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2014届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件:2.9指数函数与对数函数(第1课时)


第二章 第 9 讲

函数

指数函数与对数函数 (第一课时)

1


点 搜 索

●指数、对数函数的图象及性质对 照表 ●指数函数、对数函数的复合函数 的性质,求指数函数、对数函数的 复合函数的单调区间、最值等

●分类讨论含有字母参数的函数

问 题高
2

指数函数、对数函数是高考的热点 问题,高考中,既考查定义与图象及 高 主要性质,又在数学思想方法上考查 考 分类讨论的方法及字符运算能力.有关 猜 指数函数、对数函数的试题每年必考. 想 既有选择题、填空题,又可以解答题 的形式出现,且对综合能力要求较高.

3

1.指数函数的概念:一般地,函数 y=ax (a>0,且a≠1)叫做指数函 数,其中x是自变量. ? 2. 指数函数的图象和性质:
?

4

a>1 图

0<a< 1


定 义域

R (0,+∞)

R (0,+∞)





数值 分

当x>0时,y>1;

当x>0时,0<y<

1; 当x=0时,y=1; R上的增函数 R上的减函数 当x=0时,y=1; 当x<0时,0<y<1.

5

3. 对数函数的概念:一般地,函数 y=logax ? (a>0,且a≠1)叫做对数 函数,其中x是自变量. ? 4. 对数函数的图象和性质:
?

6

a>1 图 像 定 义域 值 域 (0,+∞) R 当x>1时,y>0; 当x=1时,y=0; 当0<x<1时,y<0.

0<a< 1

(0,+∞) R 当x>0时,0<y<1; 当x=0时,y=1; 当x<0时,y>1.


数值

在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
7



?1? y3 ? ? ? ?2? ? 1.设y1=40.9,y2=80.48,
?
? ? ?

?1.5

,

则(

D

)

A. y3>y1>y2
C. y1>y2>y3 故选D.

B. y2>y1>y3
D. y1>y3>y2

y1=21.8,y2=21.44,y3=21.5

? >y >y , ?y1 3 2

8

B 2.设a=lge,b=(lge)2,c=lge,则( ) ? A. a>b>c B. a>c>b ? C. c>a>b D. c>b>a ? ? c 0<lge<1? a>b>0,a>c>0. 1 lg10 ? ? ? 1 ? c ? b. ? 又 b 2lge lge2 ? 所以a>c>b,故选B.
?

9

3.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的 反函数,且f(2)=1,则f(x)=( ) ? A.log21 x 2x ? B. log 1 x ? C. 2 ? D. 2x-2
?

10

函数y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数是f(x)=logax. ? 又f(2)=1, ? 即loga2=1, ? 所以a=2, ? 故f(x)=log2x, ? 故选A.
?

答案:A
11

题型一:指数函数、对数函数的图象 ? 1. 函数y=ax+b与函数y=ax+b(a>0且a≠1) 的图象有可能是( )
?

12

由a>0知直线的斜率大于0, ? 可以排除A、C, ? 由选项B中的直线在y轴的截距b>0知, ? B中的指数函数的图象错,故选D.
?

答案:D

13

?

点评:解决有关函数的图象问题,一是对 基本函数的图象的形状要熟记,如指数函 数、对数函数等图象的形状;二是注意系 数的符号及大小对图象的影响;三是注意 图象的特殊位置、特殊点,如在y轴上的 截距等.

14

?

若直线y=2a与函数y=|ax-1| (a>0,且 a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范 围是 .

15

?

当a>1时,如图易知直线y=2a与曲 线y=|ax-1|有一个公共点.

16

同理,当 时, ? 同样作出图象, 1 ? 可知只有一个交点. 0<a< 2时, ?当 ? 可知有两个交点. 1 ? 故a的取值范围是 (0, ). 2
?

1 ? a<1 2

1 答案:(0, ) 2
17

?

题型二:利用指数函数、对数函
? 4 ?2 ? 9 ?3 ? ? 与? ? ; 比较下列各组数中数的大小: ?5? ? 10 ?

数的性质比较大小 1 1

? ?

2.

(1)

?
?

(2)log1.10.7与log1.20.7;
(3)60.7,0.76,log0.76.
18

? ?

(1)取中间量
1 2 1 2 1 2

? 9 ? ? ? . ? 10 ?

1 2

因为 ? 4 ? ? 9 ? ? ? 8 ? <1, ? ? ? ? ? ? ? 5 ?1 ? 10 ? 1 ? 9 ? ? 所以 ? 4 ? 2 <? 9 ? 2 ,
? ? ?



9 x y ? ( )是减函数, 10 1 1
? 9 ?2 ? 9 ?3 ? ? <? ? , ? 10 ? ? 10 ?
1 2 1 3

? ? ?5?

? ? ? 10 ?

所以 故

?4? ? 9? ? ? <? ? . ?5? ? 10 ?
19

lg0.7 lg0.7 ,log1.2 0.7 ? , ? (2)因为 log1.1 0.7 ? lg1.1 lg1.2 log1.1 0.7 lg1.2 ? 所以 ? . log1.2 0.7 lg1.1
? ? ? ?

因为y=lgx是增函数,

所以lg1.2>lg1.1>0, 故
lg1.2 >1, 即 lg1.1

log1.1 0.7 >1, log1.2 0.7

又log1.20.7<0,

?

所以log1.10.7<log1.20.7.
20

(3)60.7>1,0<0.76<1,log0.76<0, ? 所以log0.76<0.76<60.7. 点评:由指(对)数函数的性质比较指(对)数 式的大小,一般是有三种类型,一是底数相 同,指数不同,可直接根据对应函数的单调 性进行比较;二是指数相同,底数不同,可 根据图象与垂直y轴的直线的交点来比较; 三是指数、底数都不同,可借助于构造一个 中间数来进行比较,如第(1)小题.
?
21

? ? ?

1.2 1.4 比较下列各组数中两个数的大小: 3? 5? ? ?

(1)

? ? 与? ? ; ?2? ?3?

(2)log1.12.3与log1.22.2.

22

(1)取中间量 ? 3 ? ? ? ?2? ? 因为 y ? ( 3 ) 是增函数, x 2 1.2 1.4 ? 所以 ?3? ?3? ? ? <? ? , ?又 ?2? ?2?
?

1.4

.

?5? 1.4 ? ? 10 ? ?3? ?? ? ? >1, 1.4 ? 9 ? ?3? ? ? ? 所以 2 ? ?
?

1.4



?5? ?3? ?3? ? ? >? ? >? ? , ?3? ?2? ?2? 1.2 1.4 ?3? ?5? ? ? <? ? . ?2? ?3?
23

1.4

1.4

1.2

? ?

(2)取中间量log1.12.2, 因为y=log1.1x是增函数,

?
?

所以log1.12.3>log1.12.2.
又 log1.1 2.2 ? log1.2 2.2
? 1 log 2.2 1.1 ? 1 log 2.2 1.2

log 2.2 1.2 ? log 2.2 1.1 ? >0 log 2.2 1.1 log 2.2 1 2 ? log 1.1 2.2>log 1.2 2.2,
?

所以log1.12.3>log1.22.2.
24

题型三:简单的指数、对数型不等式 2 ? 3. (1)若 log a <1, 3 ? 则a的取值范围是 . ? (2)已知f(x)=logax是减函数, ? 则不等式a2x-3ax+2<0的解集是
?

.

25

(1)当a>1时, ? 由函数f(x)=logax是增函数可得 2 2 ? 当0<a<1时,由函数f(x)=logax是减函数 0<log a <1, 0<a< . 3 3 及 得 2 a ? (0, ) ? (1, ?). ? ? 综合可得 3
?

2 log a <1; 3

2 a ? 答案: ? (0, ) ? (1, ?) 3
26

(2)由f(x)=logax是减函数知0<a<1. ? 又由a2x-3ax+2<0? ? ? (ax-1)(ax-2)<0? ? ? 1<ax<2, ? 得loga2<x<0. ? 故填(loga2,0).
?

(log 答案: a2,0).
27

?

点评:与指数及对数有关的不等式的解法, 一是直接根据函数的单调性转化得到相应的 不等式,如第(1)小题;二是利用整体代换, 把整个指(对)数式先看成一个整体,按解不 等式的常用方法求得整体式子的范围,然后 由指(对)数函数的特点求得最后的解集,如 第(2)小题就是先把ax看成一个整体式子.

28

解下列不等式: ? (1)(x-2)lg3+lg(10-3x)>0; ? (2)logax>logxa (a>0,且a≠1,为常数).
?

29

(1)不等式可化为lg[3x-2· x)]>0 (10-3 ? 3x-2· x)>1, (10-3 ? ? 即(3x)2-10·+9<0, 3x ? 即(3x-1)(3x-9)<0,所以1<3x<9, ? 即30<3x<32,所以0<x<2. ? 故不等式的解集是(0,2).
?

30

log 2 x ? 1 a ? (2)不等式可化为 >0, log a x
?

1 log a x> , log a x

即 ? 所以logax(logax-1)(logax+1)>0 ? ? ? -1<logax<0或logax>1. 1 ( , ? (a, ?); 1) ? ? 所以,当a>1时,解集为 a 1 ? 当0<a<1时,解集为 (1, ) ? (0,a ). a

31

1. 比较两个指、对数式的大小,常用作差、 作商或引入中间量来比较;若底数相同, 则可利用指数函数和对数函数的单调性来 比较. ? 2. 解指数、对数不等式,一般将不等式两 边化为同底数的指、对数形式,再利用单 调性转化为简单不等式求解.但去对数符号 后,一定要添加真数大于0的条件.
?
32


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