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2013年高中数学 (瞻前顾后+要点突出+典例精析+演练广场)3.3.2 两点间的距离课件 新人教A版必修2


想一想: 两点间的距离 (1)点 P1 (x1 ,y1 ),P2 (x2 ,y2 )间的距离公式|P1 P2 |= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. (2)坐标法:步骤:①建立坐标系,用坐标表示有关的量;②进行有关代数运算;③把代 数运算结果“翻译”成几何关系.

做一做:

1.已知△ABC 的顶点 A(2,3),B(-1,0)

,C(2,0),则△ABC 的周长是( (A)2 3 (B)3+2 3 (C)6+3 2 (D)6+ 10

C )

解析:|AB|= ?2+1?2+32=3 2,|BC|= ?2+1?2+0=3,|AC|= ?2-2?2+32=3, 则△ABC 的周长为 6+3 2.故选 C.

2.已知 A(2,1),B(-1,b),|AB|=5,则 b 等于( (A)-3 (B)5 (C)-3 或 5 (D)-1 或-3

C )

解析:|AB|2 =(2+1)2+(1-b)2=25,即 1-b=± 4, ∴b=-3 或 5,故选 C.

3.点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,线段 AB 的中点 M(3,4),则|AB|等于( (A)10 (B)5 (C)8 (D)6

A )

解析:A(6,0)、B(0,8),|AB|= ?0-6?2+?8-0?2=10.故选 A.

4.已知△ABC 的顶点坐标为 A(7,8)、B(10,4)、C(2,-4),则 BC 边上的中线 AM 的长 为________.

解析:BC 的中点 M(6,0),|AM|= ?6-7?2+?0-8?2= 65.
答案: 65

知识要点一:坐标法(解析法) 几何问题可以将之代数化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化 为代数问题.处理、分析代数问题的几何含义,最终是解决几何问题,这种处理问题的方法 叫做坐标法(或解析法),通过这种方法,把点与坐标,曲线与方程联系起来,实现空间形式 与数量关系的结合.此思路可用下图表示:

知识要点二:平面上两点之间的距离公式的几点说明 1.P1 (x1,y1 ),P2 (x2,y2 )两点间的距离公式可写为|P1 P2 |= ?x1-x2?2+?y1-y2?2. 当直线 P1 P2 平行于 x 轴时,|P1 P2 |=|x2-x1 |; 当直线 P1 P2 平行于 y 轴时,|P1 P2 |=|y2-y1 |; 当 P1,P2 中有一个是原点时,不妨设 P1 在原点,则|P1 P2 |= x2 +y2 ; 当 P1,P2 在直线 y=kx+b 上时,|P1 P2 |= 1+k 2 |x1 -x2 |. 2.求任意两点间的距离的方法和步骤 (1)给两点的坐标赋值,即 x1,x2,y1,y2 分别等于多少; (2)计算两个坐标的差,并赋值给另外两个变量,即 Δx=x2-x1,Δy=y2 -y1; (3)计算 d= ?Δx? 2+?Δy? 2 ,即得所求距离.
2 2

两点间距离公式的应用 【例 1】 已知△ABC 的三个顶点坐标为 A(-3,1),B(3,-3),C(1,7), (1)求 BC 边上的中线 AM 的长; (2)证明△ABC 为等腰直角三角形.
思路点拨:(1)已知 A 点的坐标,欲求中线 AM 的长,只需求出点 M 的坐标,然后利用 两点间的距离公式求解即可;(2)两点距离公式结合勾股定理. 3+1 -3+7 (1)解:设点 M 的坐标为(x,y),因为点 M 为 BC 的中点,所以 x= =2,y= 2 2

=2,即点 M 的坐标为(2,2).由两点间的距离公式得|AM|= ?-3-2?2+?1-2?2= 26,所 以 BC 边上的中线 AM 的长为 26. (2)证明: 根据题意可得, |AB|= ?-3-3?2+?1+3?2=2 13, |BC|= ?1-3?2+?7+3?2= 2 26,|AC|= ?-3-1?2+?1-7?2=2 13,所以|AB|=|AC|,且|AB|2 +|AC|2 =|BC|2,所以 △ABC 为等腰直角三角形.

中点的坐标公式经常用到,要牢牢记住.两点间的距离公式可用来解决一些 有关距离的问题,根据条件直接套用公式即可,要注意公式的变形应用,公式中两点的位置 没有先后之分.

变式训练 11:在直线 l:x-y+4=0 上求一点 P,使点 P 到 A(-2,-4)、B(4,6)的距离 相等. 解:法一:设点 P 的坐标为(x0,y0),则 y0=x0+4,
即点 P 的坐标为(x0,x0+4). 由|PA|=|PB|,得 [x0-?-2?]2+[?x0+4?-?-4?]2 = ?x0-4? +?x0+4-6? ,
2 2

?x0+2? +?x0+8? = ?x0-4? +?x0-2? , 3 解得 x0=- . 2 3 5 ∴点 P 的坐标为(- , ). 2 2 法二:由|PA|=|PB|,知点 P 在线段 AB 的垂直平分线上, 6-?-4? 5 ∵k AB= = ,AB 的中点为(1,1), 4-?-2? 3 3 ∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y-1=- (x-1), 5 即 3x+5y-8=0.
2 2 2 2

由?

?3x+5y-8=0 ?x-y+4=0

∴点 P 的坐标为(- , ). 2 2

?x=-3 ? 2 ,得? 5 y= ? 2 ? 3 5

.

坐标法证明几何问题

【例 2】 如图,在△ABC 中,|AB|=|AC|,D 是 BC 边上任意一点(D 与 B、C 不重合), 2 2 求证:|AB| =|AD| +|BD|· |DC|.

思路点拨:建立适当的平面直角坐标系,设出三角形顶点的坐标,利用两点间的距离公 式证明.

证明:如图,以 BC 的中点 O 为原点,BC 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系. 设 A(0,b)、B(-a,0),C(a,0),D(t,0),-a<t<a, 2 2 2 2 2 则|AB| =(-a-0) +(0-b) =a +b , |AD|2 =(t-0)2+(0-b)2=t2+b2 , |BD|· |DC|=(a+t)(a-t)=a2 -t2, ∴|AD|2+|BD|· |DC|=t2+b2 +a2-t2=a2 +b2, ∴|AB|2=|AD|2 +|BD|· |DC|.

(1)坐标法解决几何问题的步骤:第一步,建立坐标系,用坐标表示有关的量; 第二步,进行有关的代数运算;第三步,把代数运算结果“翻译”成几何关系. (2)建系的原则:①使尽可能多的点在坐标轴上;②充分利用图形的对称性.

两点间距离公式在最值中的应用 【例 3】 求函数 y=| x2 -2x+5- x2 -4x+5|的最大值与最小值,并求取最大值或最 小值时 x 的值.

思路点拨: 本题若按一般的求最值的方法很难找到思路. 若把根式转化为两点间的距离, 利用数形结合思想,则很容易求得 y 的最大值与最小值.

解:将已知条件变形为 y=| ?x-1?2+22- ?x-2?2+12| =| ?x-1?2+?0-2?2- ?x-2?2+?0-1?2|. 故设 M(x,0),A(1,2),B(2,1), ∴原函数变为 y=||MA|-|MB||.

则上式的几何意义为: 轴上的点 M(x, x 0)到定点 A(1,2)与点 B(2,1)的距离的差的绝对值, 如图可知,当|AM|=|BM|时,y 取最小值 0. 即 ?x-1? +4= ?x-2? +1, 解得 x=0,此时点 M 在坐标原点,y 最 小=0.又由三角形性质可知||MA|-|MB||≤|AB|, 即当||MA|-|MB||=|AB|,也即是当 A、B、M 三点共线时,y 取最大值. 由已知得 AB 的方程为 y-2=-(x-1),即 y=-x+3,令 y=0 得 x=3, ∴当 x=3 时,y 最 大=|AB|= ?2-1?2+?1-2?2 = 2.
2 2

一般地,根式能化成两个完全平方式之和(差)的问题,均可借助于两点间距 离公式,利用数形结合的思想来解决,这也正是本题解法创新之处.

变式训练 31:已知函数 f(x)= x2-2x+2+ x2-4x+8,求 f(x)的最小值;并求取得最 小值时 x 的值.
解:f(x)= x -2x+2+ x -4x+8 2 2 2 2 = ?x-1? +?0-1? + ?x-2? +?0-2? ,
2 2

它表示点 P(x,0)与点 A(1,1)的距离加上点 P(x,0)与点 B(2,2)的距离之和, 即在 x 轴上求一 点 P(x,0)与点 A(1,1)、B(2,2)的距离之和的最小值. 由图可知,转化为求两点 A′(1,-1)和 B(2,2)间的距离,其距离为函数 f(x)的最小值. ∴f(x)的最小值为 ?1-2? +?-1-2? = 10. 再由直线方程的两点式得 A′B 的方程为 3x-y-4=0. 4 4 令 y=0 得 x= .当 x= 时,f(x)有最小值,最小值为 10. 3 3
2 2

基础达标 1.以 A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( (A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等边三角形 (D)等腰直角三角形

B )

解析:|AB|= ?5-1? +?5-4? = 17,
2 2

|BC|= ?4-1? +?1-4? =3 2, 2 2 |AC|= ?5-4? +?5-1? = 17.故选 B.
2 2

2.甲船在某港口的东 50 km,北 30 km 处,乙船在同一港口的东 14 km,南 18 km 处, 那么甲、乙两船的距离是( C ) (A)12 10 km (B)16 5 km (C)60 km (D)80 km

解析:以港口为坐标原点,正北,正东方向分别为 y 轴、x 轴的正方向,建立平面直角 坐标系, 则甲、乙坐标分别为(50,30),(14,-18), 2 2 ∴甲乙两船的距离为 ?50-14? +?30+18? = 36 +48 =60 km.故选 C.
2 2

3.点 M(x,- xy)、N(y, xy)之间的距离为( (A)|x+y| (B)x+y (C)|x-y| (D)x-y

A )

解析:MN= ?x-y?2+?- xy- xy?2 = x2 +2xy+y2 =|x+y|.故选 A.

4.光线从点 A(-3,5)射到 x 轴上,经反射以后经过点 B(2,10),则光线从 A 走到 B 的距 离为( C ) (A)5 2 (B)2 5 (C)5 10 (D)10 5

解析:涉及光的反射问题,都可以转化为数学中的对称问题求解,点 A(-3,5)关于 x 轴 的对称点是 A′(-3,-5),于是|A′B|即为所求距离,由两点间距离公式易求得|A′B|= 5 10.故选 C.

5.已知点 A(2,-1),B( 7,2),若 y 轴上有一点 P 满足|PA|=|PB|,则点 P 的坐标为 __________. 解析:设 P 点坐标为(0,y),则由两点间的距离公式得 2 2 |PA|= ?y+1? +4= y +2y+5,
|PB|= ?y-2? +?0- 7? = y -4y+11. 由|PA|=|PB|可得 y2+2y+5=y2-4y+11, ∴y=1,即 P(0,1).
2 2 2

答案:(0,1)

6.已知 M(1,0)、N(-1,0),点 P 为直线 2x-y-1=0 上的动点,则|PM|2+|PN|2 的最小 值为________.

解析:设 P 的坐标为(t,2t-1),则 |PM|2+|PN|2=(t-1)2+(2t-1)2+(t+1)2+(2t-1)2 2 2 12 12 2 =10t -8t+4=10(t- ) + ≥ . 5 5 5
12 答案: 5

能力提升 7.点 P(2,1)到直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0(k∈R)的最远距离为( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

B )

(

8.两直线 l1:3ax-y-2=0 和 l2:(2a-1)x+5ay-1=0 分别过定点 A、B,则|AB|等于 C ) 89 17 13 11 (A) (B) (C) (D) 5 5 5 5

解析:直线 l1:y=3ax-2 过定点 A(0,-2), 2 直线 l2:a(2x+5y)-(x+1)=0 过定点 B(-1, ), 5 2 2 2 13 |AB|= ?-1-0? +[ -?-2?] = .故选 C. 5 5

9.点 P 在 x 轴上,点 A(0,2)、B(1,1),则|PA|+|PB|的最小值是________.

解析:A(0,2)关于 x 轴的对称点 A′(0,-2), |PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|, |A′B|= ?1-0?2+[1-?-2?]2= 10, 当 A′、P、B 三点共线时,|PA|+|PB|取最小值 10.
答案: 10

探究创新 10.已知直线 l 过点 P(3,1),且被两平行直线 l1:x+y+1=0 和 l2:x+y+6=0 截得的 线段长为 5,求直线 l 的方程.
解:(1)若直线 l 的斜率不存在,则直线 l:x=3 与直线 l1 、l2 的交点分别为 A(3,-4)、 B(3,-9),|AB|=|-4-(-9)|=5,满足题意. (2)若直线 l 的斜率存在, 则可设直线 l 的方程为 y-1=k(x-3),k≠-1,

?x+y+1=0 由? , ?y-1=k?x-3?

? ? 解得? 4k-1 ?y=- k+1 ?
3k-2 x= k+1



3k-2 4k-1 即直线 l 与直线 l1 的交点为 M( ,- ). k+1 k+1

?x+y+6=0 由? ?y-1=k?x-3?

?x=3k-7 ? k+1 ,解得? 9k-1 y=- ? ? k+1



3k-7 9k-1 即直线 l 与直线 l2 的交点为 N( ,- ). k+1 k+1 ∵|MN|=5, 3k-2 3k-7 2 4k-1 9k-1 2 ∴( - ) +[- -(- )] =25, k+1 k+1 k+1 k+1 解得 k=0.∴直线 l 的方程为 y=1. 综上,直线 l 的方程为 x=3 或 y=1.


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