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【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)文科数学:4数列1


各地解析分类汇编:数列(1)
1. 【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷 (三) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 文】 若 a2 ? ?9 , a3 ? a7 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时, n = A.9 【答案】D 【解析】? a3 ? a7 ? 2a5 ? ?6, ? a5 ? ?3 ,
? a6 ? ?1, a7

? 1, ? S6 最小 . 故选 D.

B.8

C.7

D.6

, ? d ?2 , a ? ? ?2 n ? 2 ) ?n2 ? 1 3 9 ( n

2 【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考文】数列{an}的通项公式是 an= 若前 n 项和为 10,则项数 n 为( A.120 【答案】A 【 解 析 】 由 B.99 C.11 ) D.121

1 n ? n ?1



an ?

n ?1 ? n ?? n ? 1 ? n ( n ? n ? 1)( n ? 1 ? n )







a1 ? a2 ??? an ? ( 2 ?1) ? ( 3 ? 2) ? ?? ( n ?1 ? n ) ? 10 ,即 n ? 1 ? 1 ? 10 ,即
n ? 1 ? 11,解得 n ? 1 ? 121, n ? 120 .选 A.
3 【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考文】已知定义在 R 上的函数 f ( x)、g ( x) 满足

? f ( n) ? f ( x) f (1) f (?1) 5 ? ? a x , 且 f '( x ) g ( x ) f ( x ) g '(x ) ? ? ,若有穷数列 ? , ? g ( x) g (1) g (?1) 2 ? g (n) ?
( n ? N * )的前 n 项和等于 A.4 【答案】B 【解析】 [ B.5

31 ,则 n 等于( ) 32
C.6 D. 7

f (x ) f x( g )x ? f ) x g ( x ) ' ( ) ' ( ? ]? ' , 因 为 f ' (x )g (x ) 2 g ( x) g ( x)

f ( x ) g ,x所 以 '( )

[

f (x ) f x( g )x ? f ) x g ( x ) ' ( ) ' ( f ( x) ? a x 单调递减,所以 0 ? a ? 1 .又 ]? ' ? ,即函数 0 2 g ( x) g ( x) g ( x)

5 1 5 1 f (1) f (?1) 5 a?2 a ? a ?1 ? a? ? a? ? ? 2 ,即 a 2 ,解得 2 .所以 g (1) g (?1) 2 ,即 (舍去)或
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1 1 f ( x) 1 f ( n) 1 ? ( )x , 即 数 列 ? ( ) n 为 首 项 为 a1 ? , 公 比 q ? 的 等 比 数 列 , 所 以 2 2 g ( x) 2 g ( n) 2

1 1 ? ( )n a1 (1 ? q n ) 1 2 ? 1 ? ( 1 ) n ,由 1 ? ( 1 ) n ? 31 得 ( 1 ) n ? 1 ,解得 n ? 5 ,选 Sn ? ? ? 2 32 2 32 1? q 2 1? 1 2 2
B. 4 【 山 东 省 师 大 附 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 文 】 在 等 比 数 列

?an?, a ? 3
A. ?4 【答案】B

2 ,a ? 8 , a ? 则 5 7
B.4 C. ?4 D.5

【解析】因为,因为 a5 ? a3q2 ? 2q2 ? 0 ,又 a52 ? a3a7 ? 16 ,所以 a5 ? 4 ,选 B. 5 【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学文】首项为 ?20 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围是 A. d ?

20 9

B. d ?

5 2

C.

20 5 ?d ? 9 2

D.

20 5 ?d ? 9 2

【答案】C

20 ? ?d ? 9 d ? a10 ? 0 ??2 0 ? 9 ? 0 ? 【 解 析 】 由 题 意 知 数 列 {an } 满 足 ? ,即 ? ,所以 ? ,即 d ? a9 ? 0 ??2 0 ? 8 ? 0 ?d ? 5 ? ? 2
20 5 ? d ? ,选 C. 9 2
6 【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文】已知各项为正的等比数列 ?an ? 中,

a4 与 a14 的等比数列中项为 2 2 ,则 2a7 ? a11 的最小值
A.16 【答案】B 【解析】由题意知 a4a14 ? (2 2)2 ? a92 ,即 a9 ? 2 2 。所以设公比为 q(q ? 0) ,所以 B.8 C. 2 2 D.4

2a7 ? a11 ?

2a9 4 2 4 2 ? a9 q 2 ? 2 ? 2 2q 2 ? 2 ? 2 2q 2 ? 8 2 2 q q q











4 2 ? 2 2q 2 4 2 ,即 q ? 2 ,所以 q ? 4 2 时取等号,所以最小值为 8,选 B. q
7 【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测文】设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项
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和,已知 a3 ? 5, a5 ? 9 ,则 S7 等于 A.13 【答案】C 【解析】在等差数列中, S7 ? B.35 C.49 D.63

7(a1 ? a7 ) 7(a3 ? a5 ) 7 ? (5 ? 9) ? ? ? 49 ,选 C. 2 2 2

8 【 山 东 省 师 大 附 中 2013 届 高 三 12 月 第 三 次 模 拟 检 测 文 】 数 列 ?an ? 中 ,

a1 ? 1, a n ?
A.

1 a n ?1

? 1,则 a4 等于
B.

5 3

4 3

C.1

D.

2 3

【答案】A 【 解 析 】 由 a1 ? 1, a n ?

1 a n ?1

? 1 得 , a2 ?

1 1 1 3 ? 1 ? 2 , a3 ? ? 1 ? ? 1 ? , a1 a2 2 2

a4 ?

1 2 5 ? 1 ? ? 1 ? ,选 A. a3 3 3

8 【 山 东 省 聊 城 市 东 阿 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 初 考 试 】 等 差 数 列 ?an ? 中 , 若

a2 ? a8 ? 15 ? a5 ,则 a5 等于
A.3 【答案】C B.4

( C.5

) D.6

【解析】因为等差数列 a2 ? a8 ? 2a5 ? 15 ? a5 ? a5 ? 5 ,因此选 C 10 【 山 东 省 临 沂 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数学文】已知数列

{an }的前n项和为Sn , 且Sn ? 2an ? 2, 则a2 =
A.4 【答案】A B.2 C.1 D.-2

【解析】当 n ? 1 时, a1 ? 2a1 ? 2 ,所以 a1 ? 2 ,当 n ? 2 时, S2 ? a1 ? a2 ? 2a2 ? 2 ,即

a2 ? a1 ? 2 ? 4 ,选 A.
11 【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试数学(文) 】已知等比数列 {an } 的前 n 项和 为 Sn ? 3 ? a , n ? N ,则实数 a 的值是
n
?

A. ?3

B. 3

C. ?1

D. 1

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【答案】C 【解析】当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 3n ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 ,当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ? a ,因 为 {an } 是等比数列,所以有 3 ? a ? 2 ,解得 a ? ?1 ,选 C. 12 【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学(文) 】已知等差数列{ an }的前 n 项和 为 Sn ,且 S10 ? 12 ,则 a5 ? a6 ? A.

12 5

B. 12

C. 6

D.

6 5

【答案】A 【解析】等差数列中 S10 ?

10(a1 ? a10 ) 12 ? 5(a5 ? a6 ) ? 12 ,所以 a5 ? a6 ? ,选 A. 2 5

13 【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试数学(文) 】已知函数 f (n) ? n2 cos(n? ) , 且 an ? f (n) ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? A. 0 【答案】C 【解析】因为 f (n) ? n2 cos(n? ) ,所以 B. 100 C. 5050 D. 10200

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? ?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? 992 ? 1002
? (22 ?12 ) ? (42 ? 32 ) ? ?(1002 ? 992 ) ? 3 ? 7 ? ? ? 199 ?
50(3 ? 199) ? 5050 ,选 C. 2

14 【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试文】等差数列 {a n } 中,已知前 15 项的和

S15 ? 90 ,则 a 8 等于( )
A.

45 2

B.6

C.

45 4

D.12

【答案】B

15(a1 ? a15 ) 15 ? 2a8 ? ? 15a8 ? 90 ,所以 a8 ? 6 ,选 B. 2 2 m 15 【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试文】 设函数 f ( x) ? x ? ax 的导数 f′(x)
【解析】由题意得 S15 ?
?1? * =2x+1,则数列? ?n∈(N )的前 n 项和( ) f?n? ? ?

A.

n n-1

n+1 B. n

C.

n n+1

n+2 D. n+1

【答案】C
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【解析】函数

f ( x) ? xm ? ax 的导数为 f '( x) ? mxm?1 ? a ? 2x ? 1 ,所以

m ? 2, a ? 1 ,所



f ( x) ? x2 ? x , f (n) ? n2 ? n ,即

1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? ,所以数列的前 f (n) n ? n n(n ? 1) n ?1

n 项和为 C.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? 1? ? ,选 f (1) f (2) f ( n) 1 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1

16 【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文】已知等差数列 ?an ? 的公差为 d 不 为 0, 等比数列 ?bn ? 的公比 q 是小于 1 的正有理数, a1 ? d , b1 ? d 2 , 若 且 正整数,则 q 的值可以是 A.

a1 ? a2 ? a3 是 b1 ? b2 ? b3
2 2 2

1 7

B.-

1 7

C.

1 2

D. ?

1 2

【答案】C 【解析】由题意知 a2 ? a1 ? d ? 2d , a3 ? a1 ? 2d ? 3d , b2 ? b1q ? d 2q, b3 ? b1q2 ? d 2q2 , 所以
2 2 2 a12 ? a2 2 ? a32 d 2 ? 4d 2 ? 9d 2 14 a ? a2 ? a3 ,因为 1 是正整数,所以 ? 2 ? b1 ? b2 ? b3 d ? d 2 q ? d 2 q2 1 ? q ? q2 b1 ? b2 ? b3



t t 14 2 2 ?0 ,解得 , 即 q ? q ?1? ? t , t 为 正 整 数 。 所 以 q ? q ?1 ? 2 14 14 1? q ? q

?1 ? 1 ? 4(1 ? q? 2

14 14 56 ) ?1 ? 1 ? 4(1 ? ) ?1 ? ?3 ? t ? t ? t ,因为 为正整数,所以当 t 2 2

t ? 8 时, q ?

?1 ? ?3 ? 7 ?1 ? 2 1 ? ? 。符合题意,选 C. 2 2 2

17 【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学 (文) 已知 ?a n ? 为等差数列, bn ? 】 ? 为等比数列,其公比 q≠1 且, bi > 0 ? i ? 1, 2, ???, n ? ,若 a1 ? b1,a11 ? b11 ,则 A. a 6 > b6 【答案】A 【解析】∵数列 {an } 是等差数列,数列 {bn } 是等比数列, a1 ? b1 , a11 ? b11 , ∴ a1 ? a11 ? b1 ? b11 ,∴ 2a6 ? b1 ? b11 ? 2 b1b11 ? 2b6 ,又 q ? 1 ,∴ b1 ? b11 ,∴ a6 ? b6 ,
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B. a 6 ? b6

C. a 6 < b6

D. a 6 < b6或a 6 > b6

故选 A. 18 【北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(文) 】 若 A. 15 【答案】D ,则 B. 18 C. 9 ( ) D. 12 是等差数列 的前 项和,

【 解 析 】 在 等 差 数 列 中 S5 ?

5(a1 ? a 5) 5 ? 2a 3 ? ? 5a3 ? 20 , 所 以 a3 ? 4 , 所 以 2 2

a2 ? a3 ? a4 ? a3 ? 2 3 1 ,选 D.
19 【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考文】 f 是点集 A 到点集 B 一个映射,且对任 意 ( x, y) ? A ,有 f ( x, y) ? ( y ? x, y ? x) 。现对集 A 中的点 P (an , bn ),(n ? N * ) ,均 n 有 P ?1 (an?1 , bn?1 ) = f (an , bn ). 点 P 为( 0,2 ) ,则 | P P | = 1 n 2011 2012 【答案】 21006 【解析】 由题意知 P (0, 2), P (2, 2), P (0, 4), P (4, 4), P (0,8)?,根据两点间的距离公式可得 1 2 3 4 5 。

PP2 ? 2, P2 P3 ? 2 2, P3 P4 ? 22 , P4 P5 ? 4 2 , 从 而 Pn Pn?1 ? 2 ? ( 1 P2011P2012 ? 2 ? ( 2)2010 ? 21006 。

n 2?1) , 所 以

20 【 云 南 省 昆 明 一 中 2013 届 高 三 新 课 程 第 一 次 摸 底 测 试 文 】 设

Sn为等差数列{an }的前n项和, S3 ? 9, S9 ? S6 ? 27 ,则该数列的首项 a1 =
【答案】2



3? 2 ? d ?9 ? a1 ? 3d ? 3 ?3a1 ? 【解析】由已知得 ? ,即 ? ,解得 a1 ? 2 。 2 ? a1 ? 7 d ? 9 ?9a1 ? 36d ? (6a1 ? 15d ) ? 27 ?
21 【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测文】已知等比数列 {an } 的公比为正 数,且 a2 ? a6 ? 9a4 , a2 =1,则 a1 = 【答案】

1 3
4 2
2

【解析】由 a2 ? a6 ? 9a4 得 a2 ? a2q ? 9a2q ,解得 q ? 9 ,所以 q ? 3 或 q ? ?3 (舍去) , 所以由 a2 ? a1q ,所以 a1 ?

a2 1 ? 。 q 3

22 【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测文】已知等差数列

{an } 中,

a3 ? 7,a6 ? 16 ,将此等差数列的各项排成如下三角形数阵:
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则此数阵中第 20 行从左到右的第 10 个数是_________ 【答案】598 【 解 析 】 由

a3 ? 7, a6 ? 16 , 解 得 公 差 d ? 3 , 所 以 通 项 公 式 为

an ? 3 ? a (

n ? ) d ? 7 ? 3 n ? 3 )。则前 19 行的共有 1 ? 2 ? ? ? 19 ? 190 项,所以 3 ( ?n 3? 2

第 20 行第 10 个数为等差数列中的第 190 ? 10 ? 200 项,所以 a200 ? 3 ? 200 ? 2 ? 598 。 23 【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试数学(文) 】设正项等比数列 {an } 的前 n 项 和为 S n ,若 S 3 ? 3, S 9 ? S 6 ? 12 ,则 S 6 ? 【答案】9 【解析】在等比数列 {an } 中, S3 , S6 ? S3 , S9 ? S6 也成等比数列,即 3, S6 ? 3,12 成等比,所 以 (S6 ? 3)2 ? 3 ?12 ? 36 ,所以 S6 ? 3 ? ?6 ,所以 S6 ? 9 或 S6 ? ?3 (舍去). 【北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(文) 】如上页图,一条螺旋线是用以下方法画 成: 是边长为 1 的正三角形,曲线 为半径画的弧,曲线 为半径画弧…,这样画到第 分别以 为圆心, 为圆心 表示即可) ;

称为螺旋线旋转一圈.然后又以 ______.(用

圈,则所得整条螺旋线的长度

【答案】 n(3n ? 1)?

【解析】设第 n 段弧的弧长为

,由弧长公式,可得
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数列

是以

为首项、

为公差的等差数列.画到第 n 圈,有 3n 段弧,

故所得整条螺旋线的长度

24 【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学(文) 】已知等差数列 ?an ? ,其中

1 a1 ? , a2 ? a5 ? 4 , an ? 33,则 n 的值为 3
【答案】50



a 【解析】 ∵数列 {an } 是等差数列, 1 ?

1 , a2 ? a5 ? 4 , 设公差为 d , a1 ? d ? a1 ? 4d ? 4 , ∴ 3 2 1 2 解得 d ? ,由等差数列的通项公式得 ? (n ? 1) ? 33 ,解得 n ? 50 . 3 3 3

25 【北京市东城区普通校 2013 届高三 11 月联考数学(文) 】若数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,

an?1 ? 2an (n ? N * ) ,则 a3 ?
【答案】 4,31

;前 5 项的和 S5 ?

.

【 解 析 】 由 an?1 ? 2an (n ? N * ) , 得 数 列 {an } 是 公 比 为 2 的 等 比 数 列 , 所 以

a3 ? a1q2 ? 22 ? 4 , S5 ?

1 ? 25 ? 31 。 1? 2

26 【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测文】 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的首项为 a ,公差为 d ,且方程 ax ? 3x ? 2 ? 0 的解为 1, d .
2

(1)求 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn 公式; (2)求数列{ 3
n ?1

an }的前 n 项和 Tn .
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【 答 案 】 解 : 1 ) 方 程 ax2 ? 3x ? 2 ? 0 的 两 根 为 1,d . 利 用 韦 达 定 理 得 出 (

a ? 1, d ? 2 .

-----------2 分

由此知 a n ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ,

sn ? n2

----6 分

(2)令 bn ? 3n?1 an ? (2n ? 1) ? 3n?1 则 Tn ?b1 ?b2 ? b3 ? ?? bn ? 1?1 ? 3 ? 3 ? 5 ? 32 ? ?? (2n - 1) ? 3n?1

3Tn ? 1? 3 ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? ?? (2n - 3) ? 3n?1 ? (2n ? 1) ? 3n

------8 分 -----10 分

两式相减,得 ? 2Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? ? ? 2 ? 3n ?1 ? ( 2n - 1) ? 3n

? 1?

6(1 ? 3n ?1 ) ? (2n - 1) ? 3n 1? 3

? ?2 ? (n ? 1) ? 3n . 2
-----12 分

?Tn ? 1 ? (n ? 1) ? 3n .

27 【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测文】 (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } , {cn } 满足条件: a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1, c n ? (1)求证数列 {an ? 1} 是等比数列,并求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ,并求使得 Tn ? 值. 【答案】解: (Ⅰ)∵ an?1 ? 2an ? 1 ∴ an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,∵ a1 ? 1 , a1 ? 1 ? 2 ? 0 …………2 分 ∴数列 {an ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 . ∴ an ? 1 ? 2 ? 2 n?1 ∴ an ? 2 n ? 1 ( Ⅱ ) ∵ cn ? …………4 分

1 . (2n ? 1)(2n ? 3)

1 * 对任意 n? N 都成立的正整数 m 的最小 am

1 1 1 1 ? ( ? ) , (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

…………6 分 ∴

Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ??? ? ? ) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3

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?

1 1 1 n n . ( ? )? ? 2 3 2n ? 3 3 ? (2n ? 3) 6n ? 9


…………8 分

Tn?1 n ? 1 6n ? 9 6n2 ? 15n ? 9 9 ? ? ? ? 1? 2 ? 1 ,又 Tn ? 0 , 2 Tn 6n ? 15 n 6n ? 15n 6n ? 15n
*

∴ Tn ? Tn?1 , n ?N ,即数列 {Tn } 是递增数列. ∴当 n ? 1 时, Tn 取得最小值 要使得 Tn ?

1 . 15

…………10 分

1 1 1 * ? m 对任意 n?N 都成立,结合(Ⅰ)的结果,只需 ,由此得 15 2 ? 1 am
…………12 分

m ? 4 .∴正整数 m 的最小值是 5.

28 【北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(文)(本小题满分 13 分) 】 已知各项都不相等的等差数列 (Ⅰ)求数列 的通项公式 的前六项和为 60,且 ; 的等比中项.

(Ⅱ)若数列 【答案】 (Ⅰ)设等差数列 的公差为 ,则

的前 项和

…………1 分 又 解得 . …………2 分 …………4 分 …………5 分

…………6 分 (Ⅱ)由

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…………9 分

…………13 分 29 【北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(文)(本小题满分 14 分) 】 设数列 的首项 R) ,且 ,

(Ⅰ)若 (Ⅱ)若 (Ⅲ)若 ,证明:

; ; ,均有 成立.

,求所有的正整数 ,使得对于任意

【答案】 (Ⅰ)解:因为 所以 a2=-a1+4=-a+4,且 a2∈(3,4) 所以 a3=a2-3=-a+1,且 a3∈(0,1) 所以 a4=-a3+4=a+3,且 a4∈(3,4) 所以 a5=a4-3=a ……4 分 (Ⅱ)证明:当 所以, ②当 所以, 综上, (Ⅲ)解:①若
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……6 分

……8 分

因此,当 k=4m(m∈N*)时,对所有的 n∈N*, ②若

成立 …10 分

因此,当 k=2m(m∈N*)时,对所有的 n∈N*, ③若 因此 k=m(m∈N*)时,对所有的 n∈N*, 综上,若 0<a<1,则 k=4m; 若 a=2,则 k=m. m∈N* ,则 k=2m; ……14 分 , 成立

成立 …12 分

……13 分

30 【北京市东城区普通校 2013 届高三 11 月联考数学(文) (本小题满分 13 分) 】 已知等差数列 ?an ? 满足: a2 ? 5 , a4 ? a6 ? 22 . ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)若 f ( x) ?

1 , bn ? f (an ) ( n ? N * ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . x ?1
2

【答案】解. (Ⅰ)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d ∵ a2 ? 5 , a4 ? a6 ? 22 ∴ a1 ? d ? 5,2a1 ? 8d ? 22 解得 a1 ? 3, d ? 2 ∴ an ? 2n ? 1 S n ? n 2 ? 2n , (Ⅱ)∵ f ( x) ? ………………2 分 ………………4 分 ………………6 分 ∴ bn ?

1 , b ? f (an ) x ?1 n
2

1 an ? 1
2

………………7 分

∵ an ? 2n ? 1 ∴ bn ?

∴ an ?1 ? 4n(n ? 1)
2

1 1 1 1 ? ( ? ) 4n(n ? 1) 4 n n ? 1

………………9 分

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ? ? bn
=

1 1 1 1 1 1 (1+ +…+ ) 4 2 2 3 n n ?1
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………………11 分

=

n 1 1 (1) = 4 n ?1 4(n ? 1) n . 4(n ? 1)
………………13 分

所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

31 【北京市东城区普通校 2013 届高三 11 月联考数学(文)(本小题满分 14 分). 】 数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若a1 ? 3 , S n 和 S n?1 满足等式 S n ?1 ? (Ⅰ)求 S2 的值; (Ⅱ) 求证: 数列 {

n ?1 S n ? n ? 1, n

Sn } 是等差数列; 【来源: 全,品…中&高*考+网】 (Ⅲ) 若数列 {bn } n

满足 bn

? an ? 2 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ;
Tn 20 . ,求证: C1 ? C 2 ? ? ? ? ? C n ? 2 n ?3 27 2
…………2 分

(Ⅳ)设 C n ?

【答案】解: (I)由已知: S2 ? 2S1 ? 2 ? 2a1 ? 2 ? 8 (II)∵ S n ?1 ?

n ?1 Sn ? n ? 1 n

同除以 n ? 1, 则有 :

S n ?1 S n ? ?1 n ?1 n

…………4 分

? 数列{

Sn } 是以 3 为首项,1 为公差的等差数列. n

…………6 分

(III)由(II)可知, Sn ? n2 ? 2n(n ?N* )

……………7 分

?当n ? 1时,a1 ? 3

当 n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 ………………9 分

经检验,当 n=1 时也成立 ? an ? 2n ? 1(n ? N *)

bn ? an ? 2an ? bn ? (2n ? 1) ? 22 n ?1 , Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ?1 ? bn ?Tn ? 3 ? 23 ? 5 ? 25 ? ??? ? (2n ? 1) ? 22 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 2 n ?1
4Tn ? 3 ? 25 ? ? ? ? ? (2n ? 3) ? 22n?1 ? (2n ?1) ? 22n?1 ? (2n ?1) ? 22n?3 …………10 分
第 13 页 共 15 页

2 n ?3 ? 解得: Tn ? ( n ? ) ? 2

2 3

1 9

(Ⅳ)∵ Cn ?

Tn 22 n ?3

8 . 9 2n 1 1 1 n ? ? ? ?( ) 3 9 9 4

…………11 分

1 1 [1 ? ( ) n ] 2 n(n ? 1) 1 1 4 ? C1 ? C 2 ? ? ? ? ? C n ? ? ? ?n? ? 4 1 3 2 9 9 1? 4
3n 2 ? 4n 1 1 1 n ? ? ? ?( ) 9 27 27 4 ? 3n 2 ? 4n 1 7 1 20 ? ? ? ? . 9 27 9 27 27
…………14 分

32 【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)文】 (本小题满分 12 分)已知数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且有 a1 ? 2 , Sn ? 2an ? 2 .
(1)求数列 an 的通项公式; (2)若 bn ? nan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn . 【答案】解: (Ⅰ)? Sn ? 2an ? 2 ,? Sn?1 ? 2an?1 ? 2(n ≥ 2) ,
? an ? 2an ?1 , an ? 2(n ≥ 2) . an ?1

又? a1 ? 2 ,?{an }是以2为首项, 2为公比的等比数列 ,

? an ? 2 ? 2n?1 ? 2n .
分) (Ⅱ) bn ? n ? 2n ,

…………………………………………………………………(5

Tn ? 1 ? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n , 2Tn ? 1 ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 .
两式相减得: ?Tn ? 21 ? 22 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ,
? ?Tn ? 2(1 ? 2 n ) ? n ? 2n ?1 ? (1 ? n) ? 2n?1 ? 2 , 1? 2

?Tn ? 2 ? (n ? 1) ? 2n?1 .

…………… …………(12 分)
第 14 页 共 15 页

33 【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学(文)(本小题满分 14 分) 】 在数列 ?an ?中,已知 a1 ?

1 an?1 1 , ? , bn ? 2 ? 3 log1 an (n ? N * ) . 4 an 4 4

(Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)求证:数列 ?bn ?是等差数列; (Ⅲ)设数列 ?cn ?满足 cn ? an ? bn ,求 ?cn ?的前 n 项和 Sn . 【答案】解: (Ⅰ)∵
a n ?1 1 ? an 4

∴数列{ an }是首项为

1 1 ,公比为 的等比数列, 4 4

1 ∴ an ? ( ) n (n ? N * ) .…………………………………………………………………………4 4

(Ⅱ)∵ bn ? 3 log1 an ? 2 …………………………………………………………………… 5 分
4

∴ bn?1 ? bn 分

? 3n ? 1 ? (3n ? 2) ? 3 bn ? 3 log1 (
2

1 n ) ? 2 ? 3n ? 2 .……………………………8 4

∴数列 {bn } 是首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列.…………………………………………9 分
1 (Ⅲ)由(Ⅰ)知, an ? ( ) n , bn ? 3n ? 2 (n ? N * ) 4

1 ∴ cn ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N * ) .………………………………………………………………10 分 4 1 1 1 1 1 ∴ S n ? 1? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( )3 ? ?? (3n ? 5) ? ( ) n?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 于是 S n ? 1? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? 7 ? ( ) 4 ? ?? (3n ? 5) ? ( ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 4 4 4 4 4 4

① ②

…………………………………………………………………………………………… 9 分
3 1 1 1 1 1 两式①-②相减得 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( )3 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 4 4 4 4 4 4 1 1 = ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 .………………………………………………………………………13 分 2 4

∴ Sn ?

2 12n ? 8 1 n?1 ? ? ( ) (n ? N * ) .………………………………………………………14 分. 3 3 4

第 15 页 共 15 页


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