nbhkdz.com冰点文库

高三理科立体几何题型与方法


立体几何题型与方法(理科)
考点一 空间向量及其运算 1.已知非零向量 e 1, e 2 不共线,如果 A B A.一定共圆
??? ? ???? ???? ? e 1 ? e 2, C ? 2 e 2 ? 8 e 2, D ? 3 e 1 ? 3 e 2 A A

,则四点 A, B, C , D (



B.恰是空间四边形的四个顶点心 C.一定共面 D.肯定不共面
??? ? ? 2 ??? ? 2 ???? 1 ??? O A ? O B ? O C ,试判断:点 P 与 5 5 5

2. 已知 A , B , C 三点不共线,对平面外任一点,满足条件 O P ?
A , B , C 是否一定共面?

3.已知:

? ? ? ? ? ? ? ? a ? 3 m ? 2 n ? 4 p ? 0 , b ? ( x ? 1) m ? 8 n ? 2 y p ,

? 且 m , n , p 不共面.若 a ∥ b ,求 x , y 的值.

? ? ?

?

4.如图,已知矩形 A B C D 和矩形 A D E F 所在平面互相垂直,点 M , N 分别在对 角线 B D , A E 上,且 B M ?
1 3 BD , AN ? 1 3 A E .求证: M N // 平面 C D E .

5.在平行四边形 ABCD 中, AB ? AC ? 1, ? ACD ? 90 ? ,将它沿对角线 AC 折起,使 AB 与 CD 成 60 ? 角,求 B , D 间 的距离.

考点二 证明空间线面平行与垂直 1.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF ⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA//平面 EDB;(2)证明 PB⊥平面 EFD
P

F

E

D

C

A

B

2.(2012 年高考(江苏))如图,在直三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 中, A1 B 1 ? A1 C 1 , D ,E 分别是棱 B C ,C C 1 上的点(点 D 不同

于点 C ),且 A D

? D E ,F

为 B 1 C 1 的中点.
//

求证:(1)平面 AD E ? 平面 B C C 1 B 1 ; (2)直线 A1 F

平面 A D E .

3.如图,在直三棱柱 ABC ? A 1 B 1 C 1 中, AA 1 ? BC ? AB ? 2 , AB ? BC ?M、N

B1 A1 N

C1

分别是 AC 和 BB1 的中点? (1)求二面角 B 1 ? A 1 C ? C 1 的大小? (2)证明:在 AB 上存在一个点 Q,使得平面 QMN ⊥平面 A 1 B 1 C ,并求出 BQ 的长度?

B M A

C

4.如图所示,四棱锥 P—ABCD 中,AB ? AD,CD ? AD,PA ? 底面 ABCD, PA=AD=CD=2AB=2,M 为 PC 的中点。 (1)求证:BM∥平面 PAD; (2)在侧面 PAD 内找一点 N,使 MN ? 平面 PBD; (3)求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦。

考点三 求空间图形中的角与距离 1.如图,四棱锥 P ? A B C D 中,侧面 P D C 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂 直,底面 A B C D 是 ? A D C ? 6 0 的菱形, M 为 P B 的中点. (Ⅰ)求 P A 与底面 A B C D 所成角的大小; (Ⅱ)求证: P A ? 平面 C D M ; (Ⅲ)求二面角 D ? M C ? B 的余弦值.
?

2.如图所示,AF、DE 分别是⊙O、⊙O1 的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直, AD=8,BC 是⊙O 的直径,AB=AC=6,OE//AD. (Ⅰ)求二面角 B—AD—F 的大小; (Ⅱ)求直线 BD 与 EF 所成的角.

3.如图,l1、l2 是互相垂直的两条异面直线,MN 是它们的公垂线段,点 A、B 在 l1 上,C 在 l2 上,AM=MB=MN (I)证明 AC ? NB; (II)若 ? ACB ? 60 ? ,求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值.
A M B N C

4. (2012 年高考 (四川理) 如图,在三棱锥 P ? A B C 中, ? A P B ? 9 0 , ? P A B ? 6 0 , A B ? B C ? C A ,平面 P A B ? )

?

?

平面 A B C . (Ⅰ)求直线 P C 与平面 A B C 所成角的大小; (Ⅱ)求二面角 B ? A P ? C 的大小.

P C

A

B

5.( 2006 年重庆卷)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA ? 底面 ABCD, ? DAB 为直角,AB‖CD,AD=CD=2AB, E、F 分别为 PC、CD 的中点. (Ⅰ)试证:CD ? 平面 BEF; (Ⅱ)设 PA=k·AB,且二面角 E-BD-C 的平面角大于 30 ? ,求 k 的取值范围.

6.已知三棱锥 S ? ABC ,底面是边长为 4 2 的正三角形,棱 SC 的长为 2,且 垂直于底面. E 、 D 分别为 BC 、 AB 的中点,求 CD 与 SE 间的距离.

10.如图,在直三棱柱 A B C - A1 B 1C 1 中,,D 是 AA1 的中点.

A B ^ B C , A B = B C = 1, A A1 = 2

(Ⅰ) 求异面直线 A1 C 1 与 B 1 D 所成角的大小; C1 (Ⅱ) 求二面角 C-B1D-B 的大小; (Ⅲ) 在 B1C 上是否存在一点 E,使得 D E // 平面 A B C ? 若存在, 求出
B1 E EC

B1 A1

的值;若不存在,请说明理由. D

C A 考点四 探索性问题

B

1.(2012 年高考(湖北理))我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,

所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V ,求其直径 d 的一个近似公式
3

d ?

16 9

V
3

. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据 π
16 9
3

= 3 .1 4 1 5 9 ?

判断,下列近似公式中最精确的一个是
3

A. d

?

V

B. d

?

3

2V

C. d

?

300 157

V

D. d

?

21 11

V

2.在水平横梁上 A、B 两点处各挂长为 50cm 的细绳,AM、BN、AB 的长 度为 60cm,在 MN 处挂长为 60cm 的木条,MN 平行于横梁,木条的 中点为 O,若木条绕过 O 的铅垂线旋转 60°,则木条比原来升高了

3.如图,棱长为 1m 的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔(不计小孔直径) O1、 O2、O3 它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容器,容器存水的最大容积是___m3.

? O1 ? O2

? O3

4.在一个正四棱锥,它的底面边长与侧棱长均为 a ,现有一张正方形包装纸将其完全包住 (不能裁剪纸,但可以折叠),那么包装纸的最小边长应为( A. ( 2 ?
2 ? 2 6
(1 ?


1? 2 3

6 )a

B.

a

C.

3 )a

D.

a

5.在直角梯形 ABCD 中,?D=?BAD=90?,AD=DC= 1 AB=a,(如图一)将△ADC 沿 AC 折起,使 D 到 D ? .
2

记面 AC D ? 为 ?,面 ABC 为 ?.面 BC D ? 为 ?. (1)若二面角 ??AC?? 为直二面角(如图二),求二面角 ??BC?? 的大小; (2)若二面角 ??AC?? 为 60?(如图三),求三棱锥 D ? ?ABC 的体积.

6.如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2 ,AF=1,M 是线段 EF 的中点. (1)求证 AM//平面 BDE; (2)求二面角 A?DF?B 的大小; (3)试在线段 AC 上确定一点 P,使得 PF 与 BC 所成的角是 60?.

7.如图所示:边长为 2 的正方形 ABFC 和高为 2 的直角梯形 ADEF 所在的平 面互相垂直且 DE= 2 ,ED//AF 且∠DAF=90°。 (1)求 BD 和面 BEF 所成的角的余弦; (2)线段 EF 上是否存在点 P 使过 P、A、C 三点的平面和直线 DB 垂直, 若存在,求 EP 与 PF 的比值;若不存在,说明理由。

8. ( 2012 年 高 考 ( 福 建 理 ) ) 如 图 , 在 长 方 体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 中
A B ? A D ? 1, E 为 C D 中点.

(Ⅰ)求证: B 1 E ? A D 1 (Ⅱ)在棱 A A 1 上是否存在一点 P ,使得 D P / / 平面 B 1 A E ?若存在,求
A P 的长;若不存在,说明理由.

(Ⅲ)若二面角 A ? B 1 E ? A1 的大小为 3 0 ? ,求 A B 的长.

V 9. (2007 安徽· 如图, 文) 在三棱锥 V ? A B C 中, C ⊥ 底 面 A B C , C ⊥ B C , 是 A B 的中点, A C ? B C ? a , 且 A D
π ? ? ∠ VDC ? ? ? 0 ? ? ? ? . 2 ? ?



(I)求证:平面 V A B ⊥ 平面 V C D ; (II)试确定角 ? 的值,使得直线 B C 与平面 V A B 所成的角为
π 6


. A





考点五 折叠、展开问题 1.矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D, 则四面体 ABCD 的外接球的体积为_____________.

2.如图左,在正三角形 ABC 中,D、E、F 分别为各边的中点,G、H、I、J 分别为 AF、AD、BE、DE 的中点,将 △ABC 沿 DE、EF、DF 折成三棱锥后,GH 与 IJ 所成角的度数为 G A H J D I B 3.(2006 年辽宁高考)已知正方形 A B C D 面角 A ? D E ? C 的大小为 ? ( 0 ? ? ? ? ) (I) 证明 B F // 平面 A D E ; (II) 若 ? A C D 为 正 三 角 形 , 试 判 断 点 A 在 平 面
B C D E内的射影 G 是否在直线 E F 上,证明你的结论,
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

F C H E

(A、B、C) G I D J E F

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

E 、 F 分别是 A B 、 C D 的中点,将 ? A D E 沿 D E 折起,如图所示,记二

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

并求角 ? 的余弦值

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

4. 如图(1),ABCD 为非直角梯形,点 E,F 分别为上下底 AB,CD 上的动点,且 E F ? C D 。现将梯形 AEFD 沿 EF 折起,得到图(2) (1)若折起后形成的空间图形满足 D F ? B C ,求证: A D ? C F ; (2)若折起后形成的空间图形满足 A , B , C , D 四点共面,求证: A B / / 平面 D E C ; D D F C A A E 图(1) B F B 图(2)

C

E

5.(2012 年高考(湖北理))如图 1, ? A C B 接 AB,沿 A D 将△ (Ⅱ)当三棱锥 A ?
ABD

? 45 ? 90

?

, BC

? 3 ,过动点

A 作 AD

? BC

,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B,连

折起,使 ? B D C

?

(如图 2 所示).

(Ⅰ)当 B D 的长为多少时,三棱锥 A ?
BCD

BCD

的体积最大;

的体积最大时,设点 E , M 分别为棱 B C , A C 的中点,试在
? BM

棱 C D 上确定一点 N ,使得 E N A

,并求 E N 与平面 B M N 所成角的大小. A M

B

D 图1

C B

D

. · E

C

图2

6.(2012 年高考(北京理))如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,

且 DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (1)求证:A1C⊥平面 BCDE; (2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由.

考点六 球体与多面体的组合问题

1.设棱锥 M-ABCD 的底面是正方形,且 MA=MD,MA⊥AB,如果Δ AMD 的面积为 1,试求能够放入这个棱锥的 最大球的半径.

D 2. 2012 年高考 ( (上海理) 如图,AD 与 BC 是四面体 AB CD 中互相垂直的棱,BC=2。 AD=2c, ) 若 且 AB+BD=AC+CD=2a,其中 a、 为常数,则四面体 ABCD 的体积的最大值是 _________ . c C B 3.如图:三棱锥 S ? ABC 中, SE
EA ? BF FS ? SG SC ? 1 2

,则截面 EFG 把三棱锥分成的两部分的体

A

积之比为( A. 1 : 9

) B. 1 : 7

C. 1 : 8

D. 2 : 25
S

E G

F A

C

B

4.如图所示, 等腰 △ A B C 的底边 A B ? 6 6 , C D ? 3 , E 是线段 B D 上异于点 B , D 的动点, F 在 B C 边 高 点 点 上,且 E F ⊥ A B ,现沿 E F 将 △ B E F 折起到 △ P E F 的位置,使 P E ⊥ A E ,记 B E ? x , V ( x ) 表示四棱锥
P ? A C F E 的体积.
P

(1)求 V ( x ) 的表达式; (2)当 x 为何值时, V ( x ) 取得最大值? (3)当 V ( x ) 取得最大值时,求异面直线 A C 与 P F 所成角的余弦值.
C A D E B

F


立体几何题型与方法总结(理科)

立体几何题型与方法总结(理科)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。立体几何题型与方法(理科) 1.平面 平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点、共线、共...

高考数学-立体几何知识点与例题讲解-题型方法

高考数学-立体几何知识点与例题讲解-题型方法_数学_高中教育_教育专区。立体几何知识点例题讲解 一、知识点 <一>常用结论 1.证明直线与直线的平行的思考途径: (1...

高中立体几何题型与方法(理数)

高中立体几何题型与方法(理数)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。立体几何题型与方法(理科) 1.平面 平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点、共线、共...

高考数学专题:立体几何新题型的解题技巧

立体几何题型的解题技巧【命题趋向】在 2007 年高考中立体几何命题有如下特点...方法,这是数学解题中常用的方法;解法一采用了等体积法,这种方法可以避免复杂的...

高考文科数学立体几何题型与方法

高考文科数学立体几何题型与方法_数学_高中教育_教育专区。高考文科数学立体几何题型...平面PCD? 20.(安徽省合肥市2007年高三第三次教学质量检测)已知,在如图所示的...

立体几何题型的解题技巧适合总结提高用

立体几何题型的解题技巧适合总结提高用_数学_高中教育_教育专区。第六讲 立体几何新题型的解题技巧考点 1 点到平面的距离 例 1(2007 年福建卷理)如图,正三棱柱...

高考数学立体几何问题的题型与方法

高考数学立体几何问题的题型与方法_高三数学_数学_高中教育_教育专区。立体几何问题的题型与方法一、考试内容:平面及其基本性质,平面图形直观图的画法。 平行直线,对应...

高考数学立体几何题型与方法2

高考数学立体几何题型与方法2_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。专题六:...平面 PCD? 20.(安徽省合肥市 2007 年高三第三次教学质量检测) 已知,在如图...

高中数学立体几何方法题型总结

高中数学立体几何方法题型总结_数学_高中教育_教育专区。立体几何 重要定理: 1)直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这两...

高考数学_立体几何理科典型例题选讲

立体几何题型与方法(理科) 32页 免费 立体几何几个经典题型(理科... 12页 免费...SD ? P 的大小为 arccos 6 6 14. (北京丰台 09 高三一模理)(本小题共...