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福建省安溪蓝溪中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题

时间:2016-02-27


蓝溪中学 2015 年高二年理科数学期中考试
(空间向量+导数及其应用)

第Ⅰ卷:选择题部分
一、选择题:本大题共 15 小题,每小题 5 分,共 75 分。在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。

⒈空间向量不可以做的运算是 ( )
( A) 加法 ( B ) 减法 (C ) 数量

积 ( D) 除法

⒉已知点 A(-4,8,6),则点 A 关于 y 轴对称的点的坐标为 ( )
( A) (-4,-8,6) ( B ) (-4,-8,-6) (C ) (-6,-8,4) ( D) (4,8,-6)
f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) 的值为 h

⒊若函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内可导,且 x0 ? (a, b) ,则 lim h ?0
( )
( B ) 2 f ' ( x0 ) (C ) ?2 f ' ( x0 ) ( D) 0

( A) f ' ( x0 )

⒋若 a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且(a+λb)⊥a,则实数 λ 的值为 ( )
( A) -1 (B) 0 (C ) 1 ( D) -2

⒌若曲线 y ? x? ? 1(? ? R) 在 (1, 2) 处的切线经过原点,则 ? ? ( )
( A) 1 (B) 2 (C ) 3 ( D) 4
8 9

⒍若向量 a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),a,b 夹角的余弦值为 ,则 λ 等于 ( )
( A) 2 ( B ) -2 (C ) - 2 或
2 55

( D) 2 或 ?

2 55

⒎下面为函数 y ? x sin x ? cos x 的单调递增区间的是 ( )
? 3? ( A) ( , ) 2 2
( B ) (? , 2? ) (C ) (
3? 5? , ) 2 2

( D) (2? ,3? )

⒏函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 3x ? a 的极值点的个数是 ( )
( A) 2 (B) 1 (C ) 0 ( D) 由 a 确定

⒐正四面体 ABCD 中,点 E,F,G 分别是 AB,AD,DC 的中点,给出向量的 →· →; →· →; →· →; →· → .其中等于 0 的个数是 ( ) 数量积如下: ①AB CD ②AC EF ③EF FG ④EG CD

( A) 1

(B) 2

(C ) 3

( D) 4

⒑如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? BC ? 2, AA1 ? 1, 则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 ( )
( A)

6 3

(B)

2 5 5

(C )

15 5

( D)

10 5

⒒已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的函数,且 f (1) ? 1, f ' ( x) ? 1 ,则 f ( x) ? x 的解集是 ( )
( A) (0,1) ( B ) (?1, 0) ? (0,1) (C ) (1, ??) ( D) (??, ?1) ? (1, ??)

⒓下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的 序号是 ( )

( A) ①②

( B ) ③④

(C ) ①③

( D) ①④

⒔函数 f ( x) ? ax3 ? x 在 R 上为减函数,则 ( )
( A) a≤0 ( B ) a<1
x

(C ) a<0

( D) a≤1

⒕设 f ( x) ? ?? x cos 2tdt ,则 f ( f ( )) ? ( )
4

?

( A) 1

( B ) sin1

(C ) sin 2

( D) 2sin 4

⒖如图所示,正方体 ABCD-A′B′C′D 中,M 是 AB 的中点, 则 sin ? DB' , CM ? 的值为 ( )
( A)

???? ? ???? ?

1 2

(B)

210 15

(C )

2 3

( D)

11 15

第Ⅱ卷:非选择部分

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡的相应位置。 ⒗若函数 f ( x) 在 x ? 1 取到极值,则 f ' (1) ? _______ 。 ⒘若向量 a ? (4, 2, ?4), b ? (1, ?3, 2) ,则 2a ? (a ? 2b) ? _______ 。 ⒙若直线 l 的方向向量为 a=(1,0,2),平面 α 的法向量为 u=(-2,0,-4),则直 线与平面的位置关系是 _______ 。 ⒚若曲线 y ? e? x 上点 P 处的切线平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则点 P 的坐标 是 。
? ? ? ? ?

⒛在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, M 和 N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点,那么 直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 ______。

三、解答题:本大题共 5 小题,共 50 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 21.(本小题满分 10 分) 如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90° ,PA 1 ⊥底面 ABCD,且 PA=AD=DC=2AB=1,M 是 PB 的中点.

(1)证明:面 PAD⊥面 PCD. (2)求 AC 与 PB 所成角的余弦值.

22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3x ?1

(ⅰ)求 a ? ? 2 时,讨论 f ( x) 的单调性; (ⅱ)若 x ?[2, ??) 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围。

23.(本小题满分 13 分) 如图,在五面体 ABCDEF 中, FA ? 平面 ABCD , AD // BC // FE, AB ? AD , M 为 EC 的 中点, AF ? AB ? BC ? FE ? AD (ⅰ)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (ⅱ)证明:平面 AMD ? 平面 CDE ; (ⅲ)求二面角 A ? CD ? E 的余弦值。
1 2

24.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ?
a ( a ? R, e 为自然对数的底数) ex

(ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (ⅱ)求函数 f ( x) 的极值; (ⅲ)当 a ? 1 时,若直线 l : y ? kx ? 1与曲线 y ? f ( x) 没有公共点,求 k 的最大值。


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