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物理竞赛讲义二:动力学


动力学(一)
中学物理课本中牛顿第二定律表述为: 物体的加速度跟物体所受的合外力成正比, 跟物 体的质量成反比:∑F=ma。 以上是表示质点或质点系中各质点的加速度相同的情况。对于一个质点系(联接体问题) ,
n n

如果各质点的加速度不相同。牛顿第二定律表达式为:

?
i ?1

F<

br />
?
=
i ?1

miai i

∑F=m1a1+m2a2+?+mn a n(∑F 表示质点系所受到的合外力,a1、a2、? an 分别表示各 质点的加速度) 若一个系统内各质点的加速度(大小或方向)不相同,而又不需要求系统内各质点间相 互作用的内力时,利用∑F=m1a1+m2a2+?+mnan 对系统列式求解比较简捷。因为对系统分析 外力,可减小未知的内力,使列式方便,最大限度简化了数学运算。以上这种方法,我们习 惯称之为“整体法” ,用这种方法要注意: (1)分析系统受到的外力,而系统内各质点间的 相互作用力不需要分析; (2)分析系统内各质点的加速度大小和方向。各质点加速度方向不 相同时可采用其正交表达式为:

∑Fx=m1a1x+m2a2x+?+mnanx ∑Fy=m1a1y+m2a2y+?+mnany

1.如图所示,倾角为θ 的斜面体置于粗糙的水平面上,已知斜面体的质量为 M,一质量为 m 的木块正沿斜面体以加速度 a 下滑, 且下滑过程中斜面 体保持静止,则下滑过程中,地面对斜面体的支持力多 大?斜面体受到地面的摩擦力多大? 解:以 M、m 为研究对象,受力分析图示如图所示: Y 方向: (M+m)g-N=may N=(M+m)g–masinθ X 方向: f=max=macosθ

2. 如图所示, 一只木箱放在水平地面上, 箱内有一固定的竖直杆, 在杆上套着一个环,箱与杆的总质量是 M,环的质量为 m,已知, 环沿杆以加速度 a ? a ? g ? 加速下滑,则此时木箱对地的压力为多 大? 解:以 M 和 m 为研究对象,受力分析图示如图所示: 由:∑F=m1a1+m2a2+?+m na n 得: (M+m)g-N=ma N=Mg+m(a+g) 由牛顿第三定律:木箱对地面的压力为 Mg+m(a+g) 3.一只质量为 m 小猫,跳起来抓住悬在天花板上质量为 M 的竖直木杆,当小猫抓住木杆 的瞬间,悬挂木杆的绳子断了,设木杆足够长,由于小猫不断地向上爬,可使小猫离地高度 保持不变,则木杆下落的加速度为多大?

分析:小猫离地高度保持不变,加速度为零,而木杆以 加速度 a 下落,两物体加速度不相同,可以用隔离法 求解,也可以采用整体法求解。 解:以 M 和 m 为研究对象,受力分析图示如图所示,即只 受到重力(M+m)g 的作用。 由

∑F=m1a1+m2a2+?+mnan 得: (M+m)g=Ma+m ? 0
a

=

?m

? M ?g M

4.如图所示,水平固定在小车上的密封玻璃管中有一气泡,当小车突然向右运动时,气泡 相对于小车将向什么方向运动? 分析:设想有一个水颗粒,其大小、形状与气泡完全一样,当小车突然向右运动时,水颗 粒与其周围的水一起向右运动, 而相对与小车不会产生相对运动。 此时水颗粒所受的合外力 由其周围的水对它的作用力来提供。 ∵ F ? ? 水 ? V ? a 在条件不变的条件下,对气泡: F / ? F 。 ∴ F ? ? 水 ?V ? a ? ? 气 ?V ? a
/ /

∵ ?水 ? ?气

∴ a ? a
/

即气泡在 F 的作用下,气泡相对于小车向右加速运动. 5.如图所示,容器和水的总质量为 M,现将一质量为 m 的金属小球放入水中。若小球在水 中以加速度 a 匀加速下降。则在小球下降的过程中,容器底对水平面的压力为:[ ] A. ? m ? M ? g C. ? m ? M ? g ? m
a
2

/

B. ? m ? M ? g ? ma
a
2

D. Mg ? m

g

g

解析:当小球以加速度 a 下落时相当于有一个水球以加速度 a 上升,对整体:
N ? ? M ? m ? g ? m 水 a ? ma N ? ? M ? m ? g ? ( ? m 水 a ? ma )

对小球:mg ? F 浮 ? ma

F浮 ? m 水 g

∴ ?m ? m 水 ? ?

ma g

N ? ?m ? M ?g ? m

a

2

g

6.物体 A、B 均静止在同一水平面上,其质量分别为 mA、mB,与水平面间的动摩擦因数分 别为μ A、μ B,水平方向的力 F 分别作用在 A、B 上,所产生的 a A 加速度 a 与力 F 的关系分别如图中的 A、B 所示,则以下判断正 B 确的是 ( A ) O F A.μ A >μ B mA < mB B.μ A =μ B mA < mB C.μ A <μ B mA > mB D.μ A =μ B mA = mB

1.我们将质点的运动与物体的转动进行对比,可以看到它们的规律有许多相似之处,存在

着较强的对应性。如;运动的位移与转动的角度、运动的速度与转动的角速度、运动的加速 度 a 与转动的角加速度β (其中β =Δ ω /Δ t);力是产生加速度的原因,而且 F 合=ma,力矩 是产生角加速度的原因,而且 M 合=Iβ (其中的 I 叫转动惯量).则下列关于角加速度β 的单 位、转动惯量 I 的单位(国际单位制主单位)正确的:[ C ] A、m/s2、N B、rad/s2、N C、rad/s2、kg·m2 D、m/s2、kg·m2 7.一个行星探测器从所探测的行星表面竖直升空,探测器的质量为 1500 kg,发动机推力恒 定.发射升空后 9 s 末,发动机突然间发生故障而关闭. 下图是从探测器发射到落回地面全过程的速度图象.已 知该行星表面没有大气.不考虑探测器总质量的变化。 求: (1)探测器在行星表面上升达到的最大高度 H (2)该行星表面附近的重力加速度 g (3)发动机正常工作时的推力 F 解: (1)0~25 s 内一直处于上升阶段, 上升的最大高度在数值上等于△OAB 的面积, 即 H=
1 2

×25×64 m=800 m (2)9 s 末发动机关闭,此后探测器只受重力作用,故在这一阶段的加速度即为该行星表面 的重力加速度,由图象得:g=
?v ?t

=

64 16

m/s2=4 m/s2
64 9

(3)由图象知加速上升阶段探测器的加速度::a= 根据牛顿运动定律,得:F-mg=ma

m/s2

F=m(g+a)=1.67×104 N

8.如图所示,火箭内平台上放有测试仪器,火箭从地面起动后,以加速度 g/2 竖直向上匀 加速运动,升到某一高度时,测试仪器对平台的压力为起动前压力的 17/18, 已知地球半径为 R,求火箭此时离地面的高度。 为地面附近的重力加速度) (g 解:启动前 N1=mg 升到某高度时 N2=(17/18)N1=(17/18)mg 对测试仪 N2-mg′=ma=m(g/2) ∴ g′=(8/18)g=(4/9)g GmM/R2=mg,GmM/(R+h)2=mg′,解得:h=(1/2)R 9.某航空公司的一架客机,在正常航线上作水平飞行时,由于突然受到强大垂直气流的作 用,使飞机在 10s内高度下降 1700m造成众多乘客和机组人员的伤害事故,如果只研究飞 机在竖直方向上的运动,且假定这一运动是匀变速直线运动.试计算: (1)飞机在竖直方向上产生的加速度多大?方向怎样? (2) 乘客所系安全带必须提供相当于乘客体重多少倍的竖直拉力, 才能使乘客不脱离座椅? 2 (g取 10m/s ) (3) 未系安全带的乘客, 相对于机舱将向什么方向运动?最可能受到伤害的是人体的什么部 位? (注: 飞机上乘客所系的安全带是固定连结在飞机座椅和乘客腰部的较宽的带子, 它使乘客 与飞机座椅连为一体) 解:(1)飞机原先是水平飞行的,由于垂直气流的作用,飞机在竖直方向上的运动可看成

初速度为零的匀加速直线运动,根据 2 2 h=(1/2)at ,得a=2h/t 代入h=1700m t=10s 2 2 2 得:a=(2×1700/10 )(m/s )=34m/s 方向竖直向下. (2)飞机在向下做加速运动的过程中,若乘客已系好安全带,使机上乘客产生加速度的力 是向下重力和安全带拉力的合力.设乘客质量为m,安全带提供的竖直向下拉力为F,根据 牛顿第二定律 F+mg=ma,得安全带拉力? F=m(a-g)=m(34-10)N=24m(N) ∴ 安全带提供的拉力相当于乘客体重的倍数: n=F/mg=24mN/m·10N=2. 4 (倍) 2 2 (3)若乘客未系安全带,飞机向下的加速度为 34m/s ,人向下加速度为 10m/s ,飞 机向下的加速度大于人的加速度,所以人对飞机将向上运动,会使头部受到严重伤害 10.质量为 m 的两个相同的小珠,串在光滑圆环上,无初速地自最高处滑下,圆环竖直地 立在地面上(如图) ,问环的质量和小珠质量有什么关系时,圆环才可能从地面上跳起,并 求跳起时小珠的位置在何处? N 解析:∵ mg cos ? ? N ? mv
2

/R

R θ mg 由动能定理: mgR (1 ? cos ? ) ? mv
2

/2

∴ N ? 3 mg cos ? ? 2 mg

M

由上式可知当 θ 取某些数值时,N 将为负值,此时小球将对环有一个斜 向上的弹力,这个力的竖直分力可使环向上跳起。 ∴ 2 N cos ? ? Mg ? 0
/

2 ( ? 3 mg cos ? ? 2 mg ) cos ? ? Mg

即: 3 cos ? ? 2 cos ? ? M / 2 m ? 0
2

?1 1 cos ? ? ? ? 3 ?3

1?

3M ? 3M ? 0 ? (1) 若有实数解: 1 ? 2m ? 2m

即:

M m

?

2 3

如小珠不套在环上,而是放在圆环上,它将于 cos ? 0 ? 有 0 ? cos ? ?
2 3

2 3

时脱离圆环,所以圆环跳起时应

, θ 必大于 θ 0 而小于 即

?
2

。 (1) 式对应的 cosθ 的两个根都满足这条件。

我们要求圆环第一次跳起时所对应的 θ 角,此 θ 应较小,这时 cosθ 应较大,所以(1) 式中若取正号对应的是圆环第一次跳起。取负号时 θ 较大,相应的 cosθ 较小,这是圆环 第二次跳起。

动力学(二)
2.如图所示,绳子 OO1 挂着匣子 C,匣内又用绳子挂着 A 球,A 的下方用轻弹簧 挂着 B 球,A、B、C 三个物体的质量都是 m,原来都处于静止状态,当绳子 OO1 被烧断瞬间,关于三个物体的加速度,下列判断正确的是: [ A、C、D ] A.B 的加速度为零; B.A、B、C 的加速度为 g; C.A 的加速度为 1.5g; D.C 的加速度为 1.5g。 O O1 A C B

解析:绳子 OO1 被烧断瞬间,A、C 有相同的加速度
a A ? aC ? 2 mg ? T 2m ? 3 mg 2m ? 1 .5 g
2 mg ? F ? ma
A

F ? 0 . 5 mg

F A T mg

4.飞机斜向下做加速度大小为 a 的匀加速直线运动,飞机中系着小球的悬线与竖直方向的 夹角: [ D ] A.小于 ? , 且 ? ? arctg
a g a g

B.等于 ? , 且 ? ? arctg

a g

C.大于 ? , 且 ? ? arctg

D.不能确定

B

a a1 a C a1 α
/

A

解: 小球的加速度 a 为重力加速度 g 与悬线的拉力产生的加速度 a1 的合 加速度,如图所示。当飞机运动方向沿 AB(水平方向)或 AC 时,悬 线与竖直方向的夹角均为α ,当飞机的加速度方向在 AB、AC 之间时, 悬线与竖直方向的夹角大于α ,当飞机的加速度方向在 AC、AD 之间 时,悬线与竖直方向的夹角小于α 。

Dg

如图所示, 三个物体的质量分别为 m1、 2 和 m3, m 带有定滑轮的物体放在光滑的水平地面上, 滑轮和所有接触面的摩擦与及绳子的质量均不计。 为使三个物体无相对运动, 水平推力 F__。 m1 解:对 m3: T ? m 3 g F m2 m3 对 m1: T ? m 1 a
a ? m3 m1 m3 m1 g

对整体: F ? ( m 1 ? m 2 ? m 3 ) a ?

(m1 ? m 2 ? m 3 ) g

1.如图所示,质量为 m 的木块与水平地面间的动摩擦系数为 0.4,在恒力 F 作用下沿水平 面做变速运动,h=1m。求木块与 A 点相距多远时加速度最大。 解:∵
F cos ? ? ? N ? m a F s in ? ? N ? m g ? 0

??(1) ??(2) f ??(3) mg
?
1? ?
2

N

F

h A

F



F (c o s ? ? ? s in ? ) ? ? m g ? m a

设辅助角α : s in ? ?

1 1? ?
2

c o ?s ?

2

将(3)式变换成: F 1 ? ? s in (? ? ? ) ? ? m g ? m a ∴
? ? ? ? 9 0 时,a 最大。
0



c o s ? ? s in ? ?

1 1? ?
2

c o ?s ?

? ?n s i

?
1? ?
2



tg ? ? ?

h S

? ?

S ?

h

?

? 2 .5 ( m )

2. 如图所示 A 为定滑轮, 为动滑轮, B 二个物体的质量分别为 m1 = 1. 5kg, A m2 = 2kg。滑轮的质量与绳的伸长和摩擦均可忽略。求: (1)每个物体的加速度和绳中的张力 T (2)定滑轮 A 的固定轴受到的轮的压力 m1 解析:对 m1: m 1 g ? T ? m 1 a 1 对 m2: 2 T ? m 2 g ? m 2 a 2 由于绳子不伸长,故:a1 = 2a2 ∴ a1 ?
2 ?2 m 1 ? m 2 ?g 4m1 ? m 2 ? 2 ?2 ? 1 .5 ? 2 ? 4 ? 1 .5 ? 2 ? 9 . 8 ? 2 . 45 ( m / s )
2

B m2

a2 ?

?2 m 1

? m 2 ?g

4m1 ? m 2 3m 1m 2 g 4m1 ? m 2

?

?2 ? 1 .5

? 2?

4 ? 1 .5 ? 2

? 9 . 8 ? 1 . 23 ( m / s )
2

T ?

?

3 ? 1 .5 ? 2 4 ? 1 .5 ? 2

? 9 . 8 ? 11 . 0 ( N )

(2) ∵ 2T–N=0 ∴ N=2T=22.1(N) 由牛顿第三定律:N/=N=22.1N 3.如图所示 A 为定滑轮,B 为动滑轮,三个物体的质量分别为 m1 = 0.2kg,m2 = 0.1kg, m3 = 0.05kg。滑轮的质量与绳的伸长和摩擦均可忽略。求: (1)每个物体的加速度. A (2)两根绳中的张力 T1 和 T2。 解析: :对 m1: m 1 g ? T 1 ? m 1 a 1 ??① (1) 对 B、m2 、m3:以 B 为参照系(非惯性系) 对 m2,设惯性力为 F0=m2a1: m 2 g ? m 2 a 1 ? T 2 ? m 2 a 2 ??② 对 m3,设惯性力为 F0=m3a1: m 3 g ? m 3 a 1 ? T 3 ? ? m 3 a 3 ??③ 由于绳子不伸长,相对于 B,物体 m2 、m3 的加速度相等,故:a2 = a3、且 T1=2T2 ②–③得: a 2 ?
m2 ? m3 m2 ? m3 ( g ? a1 )

B m1 m2 m3

??④

②×2–①得: 2 m 2 g ? m 1 g ? 2 m 2

m2 ? m3 m2 ? m3

? ? m2 ? m3 g ? ? 2m 2 ? 2 m 2 ? m 1 ?a1 ? ? m2 ? m3 ? ?

∴ a1 ?

m1 (m 2 ? m 3 ) ? 4m 2 m 3 4m 2 m 3 ? m1 (m 2 ? m 3 )

g ? 1 . 96 ( m / s )
2

代入④得: a 2 ? 3 . 92 ( m / s )
2

m2 相对于 B 的加速度 a2=3.92m/s2,方向向下;m3 相对于 B 的加速度 a3=3.92m/s2,方 向向上 m1 相对于大地的加速度为:1.96m/s2,方向向下 m2 相对于大地的加速度为:1.96m/s2,方向向下 m3 相对于大地的加速度为:5.88m/s2,方向向上 (2)将 a 1 ?
m1 (m 2 ? m 3 ) ? 4m 2 m 3 4m 2 m 3 ? m1 (m 2 ? m 3 ) 8m1m 2 m 3 4m 2 m 3 ? m 1 (m 2 ? m 3 ) g

代入①得

T1 ? m 1 ( g ? a 1 ) ?

g ? 1 . 57 ( N )

T 2 ? 0 . 784 ( N )

4. 如图甲所示, 质量为 1kg 的物体置于固 定斜面上,对物体施以平行于斜面向上的 拉力 F,1s 末后将拉力撤去。物体运动的 v—t 图象如图乙,试求拉力 F。 解: 0~1s内, v–t 图象: 1=12m/s2 在 由 a 由牛顿第二定律,得:F-μ mgcosθ -mgsinθ =ma1 在 1~3s内,由v-t图象:a2=–6m/s2 因为此时物体具有斜向上的初速度,故由牛顿第二定律,得: –μmgcosθ–mgsinθ=ma2 得: F=18N 5.(惯性力)如图所示,有一质量为 M 的斜面,放在光滑水平面上,另有一立方体木块 m, 放在斜面上。如果斜面倾角θ < 450,立方体木块和斜面间的摩檫系数μ 为定值,μ = tgθ , 在斜面右侧用一水平推力 F,问: (1)为使 m 在斜面 M 上保持相对静止,这一水平推力 F 取值范 m F M 围如何? θ (2)设斜面倾角θ =300,斜面质量 M 和立方体木块质量 m 相等, 且都等于 1kg。现要使木块 m 相对于斜面以加速度 a = g 沿斜面向上作匀加速运动,水平推 力 F 应为多大? (g 取 l0m/s2) 解析: (1)物体 M 在水平面上上匀加速运动,木块 m 相对于 M 静止,有向上或向下运动 的趋势,摩擦力可能沿斜面向上或向下,其大小:f ≤ μ N,由条件μ = tgθ 可知,当 F=0 时,木块 m 相对于 M 仍能静止,随着 F 的增大,加速度也增大,若以 M 为参照系,设惯 性力为 F0,F0 也随加速度的增大而增大。 N f F 0 ? f c o s? ? N s i n? ? 0 对 m,水平方向: ??① m F M θ mg N cos ? ? f sin ? ? mg ? 0 竖直方向: ??② 当: F 0 cos ? ? mg sin ? 时,f=0,则:
F 0 ? N s i n? ? 0

??③

N cos ? ? mg ? 0

??④

∵ F ? ? m ? M ?a ∴ F ? ?m ? M ?g ?
sin ? cos ?

F 0 ? ma

? ? m ? M ? g ? tg ? ? ? ? ? m ? M ? g

为了使木块 m 不下滑: 0 ? F ? ? ? ? m ? M ? g N 当 F > ? ? ? m ? M ? g 时,f 沿斜面向下,如图所示: 对 m,水平方向: F 0 ? f cos ? ? N sin ? ? 0 竖直方向: ∵ f= μ N
N cos ? ? f sin ? ? mg ? 0
F ? ? m ? M ?a
/

f θ

m M mg

F

?? ??⑥
/

F 0 ? ma

∴ F ?

sin ? ? ? cos ? cos ? ? ? sin ?

? ?m ? M ?g

将μ = tgθ 代入。得: F ? ? m ? M ? g ? tg 2 ?



0 ? F ? ? m ? M ? g ? tg 2 ?

(2)若使木块 m 沿斜面向上做匀加速运动,f = μ N 对 m,沿斜面方向: F 0 cos ? ? f ? mg sin ? ? ma 即: ma
/

cos ? ? mg sin ? ? ? ? N ? ma

N ?

m

?

?a

/

c o s? ? g s i n? ? a ?? ⑦

?

垂直斜面方向: N ? mg cos ? ? F 0 sin ? ? 0 由⑦、⑧得: a ?
/

即: N ? m ( g cos ? ? a sin ? ) ?⑧
/

g sin ? ? a ? ? ? g cos ? cos ? ? ? ? sin ?

/ 代入数据,得: a ? 2 3 g

/ 将 a ? 2 3 g 、m=1kg 代入⑧,得: N ?

3 2

3g
/

以斜面为研究对象: F ? f cos ? ? N sin ? ? Ma
/

F ? ? ?N

/

cos ? ? N

/

sin ? ? Ma

/

?

7 2

3

g ? 60 . 6 ( N )

6.质量为 M = 4.5kg,倾角为θ =300 的光滑斜面,放在光滑水平面上。另一质量为 m =2kg 的物体沿着该斜面下滑。 试求斜面在水平面上滑动的加速度。 g = 10 m/s2。 取 N T :解析:对 m:设垂直于斜面的加速度为 a1: mg cos ? ? N ? ma 对 M:斜面的加速度为 a 2,方向水平向右: N sin ? ? Ma
1

2

f / mg Mg N

由于物体与斜面一直接触,故斜面在垂直与斜面方向上的分加速度 a2/应等于 a1 ∴ a 2 ? a 2 sin ? ? a 1
/

∴ a2 ?

mg sin ? ? cos ? M ? m sin
2

?

? 1 . 73 ( m / s )
2

7.如图所示,质量为的 m1 重物放在质量为 m2、倾角为 θ 的斜面上,斜面放在水平面上, 重物被竖直档板挡住,只能向下运动,先让它们静止不动,不计所有接触面的摩擦。 (1)当 去掉外力让它们运动起来,求重物与斜面的加速度、以及它们之间的相互作用力; (2)若去 掉竖直档板,重物与斜面的加速度、以及它们之间的相互作用力又是多少? 解析: (1)由于重物与斜面间有接触,设相互作用力为 F,重物由于竖直档板的限制,竖直 向下运动,斜面水平方向的运动。设 m1 的加速度为 a1,m2 的加速度为 a2。在相同的时间内 m1 向下的位移与 m2 的水平位移满足: ? y ? ? xtg ? 。 a1 加速度满足: a 1 ? a 2 tg ? 。 对 m1: m 1 g ? N cos ? ? m 1 a 1 对 m2: N sin ? ? m 2 a 2 ∴ a1 ?
m1g m 1 ? m 2 ctg ?
2

θ

a2

又∵ a 1 ? a 2 tg ?
a2 ? m 1 gctg ? m 1 ? m 2 ctg ?
2

N ?

?m

m 1 m 2 ctg ?
2 1

? m 2 ctg ? ? sin ?

?

(2)对 m1 x 方向: m 1 g sin ? ? m 1 a 1 x ; 对 m2 水平方向: N sin ? ? m 2 a 2 又∵ a 1 y ? a 2 sin ? ∴
a2 ? m 1 cos ? sin ? m 2 ? m 1 sin
2

y 方向: m 1 g cos ? ? N ? m 1 a 1 Y

a1x a1 θ
?g

a1y a2

θ

?

a 1 x ? g sin ?

a1y ?

m 1 cos ? ? sin m 2 ? m 1 sin

2 2

? ?

?g

a1 ?

a1x ? a1y
2 2

N ?

m 1 m 2 g cos ? m 1 ? m 2 sin
2

?

8.如图所示,假设将质量均为 m 的两个物体,各用质量可以忽略的细线悬挂在地面上一天 平的两臂上。已知悬线的长度相差 h。 (1)试证,由于 W/ 比 W 更靠近地球所造成的重力称量误差为 W/ O 3 m 一 W = (8π /3)Gρ mh,ρ 为地球的平均密度 5.5 g/cm 。 h (2)试求误差为百分之一的长度差值。 m

:解析:设地球的半径为 R,则地球的质量为: M ? (1)∵ W
/

4 3

? ?R ??
3

? G

mM R
2

W ? G

mM (R ? h)
2

mM ? h ? ? G ?1 ? ? 2 R ? R ?

?2

? G

mM ? h h ?1 ? ? 3 2 ? R R ? R

2 2

? ??? ? ?

? G

Mm ? h ? ?1 ? 2 ? 2 R ? R ? Mm ? h ? ?4 ?2 ? ? Gm ? ? ? R 2 R ? R ? ?3
3W

∴ W

/

?W ? G

3

8 ? 2h ?? ? ? ? ? G ? ? ? mh 3 ? R

(2)由上式得: h ?

?

/

?W

?

8G ? ? ? ? m

?

3W

?

/

?W g

?

8G ? ? ? ? W

? 3 .2 ( m ) (

W

/

?W

? 0 . 01 )

W

9.如图所示,一条缆索饶过半径 r=0.5m 的定滑轮拉动一升降机,若升降机从静止开始以 a = 0.4=m/s2 匀加速上升,求: (1)滑轮的角加速度。 (2)开时上升后 5s 末滑轮的角速度。 (3)在这 5s 内滑轮转过的圈数。 (4)开始上升后 1s 末,滑轮边缘上一点的加速度(缆索与滑轮之间不打滑)。 解析: (1)升降机的加速度与轮缘上任一点的切向加速度相等,故滑轮的角加速度:
? ?
at r ? a r ? 0 .4 0 .5 ? 0 . 8 ( ard / s )
2

(2)∵ ? ? ? 0 ? ? t ? t ? ? 0 ? ? ? t (3)5s 内滑轮转过的角度: ? ?
n ? 10 2? ? 1 . 6 (圈) 1 2

?0 ? 0
2

∴ ? ? ? ? t ? 0 . 8 ? 5 ? 4 ( ard / s )
2

?t ?t

?

1 2

? ?t

?

1 2

? 0 . 8 ? 25 ? 10 ( ard )

α α
/

t

2 (4)∵ a t ? a ? 0 . 4 ( m / s )

β α
n

1s 末的角速度: ?

/

? ? ?t

/

? 0 . 8 ( ard / s )
/2

1s 末的法向加速度: a n ? r ? ? ∴ a ?
/

? 0 .5 ? 0 .8

2

? 0 .3 2 ( m / s )
2

at ? an ?
2 2

0 .4

2

? 0 . 32

2

? 0 . 51 ( m / s )
2

? ? tg

?1

an at

?

0 . 32 0 .4

? 38 . 7

0

一根均匀柔软的绳,绳长为 L,质量为 m,对折后两端固定在一颗钉子上,其中一端突然从

钉子上脱落, 求下落的绳端点离钉子的距离为 x 时, 钉子对绳子另一端的作用力是多少? (不 考虑绳子的弹性势能) 解析:设左边绳端点离钉子的距离为 x 时的速度为 v,动能为:
Ek ? 1 (L ? x) 2 ? m v ,右边绳子的速度为零。绳子在下落过程中机械能守恒,绳子下落时 2 2L

减少的重力势能转化为左边绳子的动能,相当于左边最上面一段长为 x 的绳子对折后移至 L/2 的下方,其余部分重力势能不变,以钉子所在位 置为零势能位置:
x? ? ? L x? x ? m gx ? x? ? x ?E p ? ? ? mg ? ? ? ?? ? ? ? mg ? ? ?L? ? 2? ? ? 2 4? L 2L ? 2? ? L ?
m gx ? x ? 1 (L ? x) 2 ? mv ?L ? ? ? 2L ? 2 ? 2 L
g x( 2 L? L ? x x)

x (L+x)/2 (L-x)/2

v ?

即: v 0 ?

2 g x ,左边绳并非做自由落体运动。
1 2

设经过 ? t 绳子的底部又长了

,质量为 v ? t (在 ? t 时间内认为 v 不变)

1 2

v?t ?

m L

的一

小段绳子从左边移到右边,速度由 v 变为 0,由于该段重力很小,忽略不计。该小段受到向 上的作用力为 T,设向上为正,由动量定理:
T ? ?t ? 0 ? (
1 2 v?t ? m L )v ? 1 2 v ?t ?
2

m L

T ?

1 2

v

2

m L

?

m g x2 ? ( L 2L L ? x ( )

x )

左边的绳子受到向下的拉力, 故左边的绳子对该小段绳子有向上的拉力 T/, 同时右边静 止的绳子也对该小段绳子有向上的拉力 T/: T ? T / 2 。故钉子对右边静止绳子的作用力:
/

F ?

1 2

?L

? x?

m L

g ?

T 2

?

(2 L ? 2 L x ? 3 x )
2 2

4L(L ? x)

mg

左边绳子下落的加速度:
x(2 L ? x) 2(L ? x)

1 2

?L

? x?

m L

g ?

T 2

?

1 2

(L ? x)

m L

?a

a ? g ?

g

∵ 2L> x

∴ a > g (左边绳并非做自由落体运动)

如图所示,水平桌面上叠放着三块质量均为 m 的相同木块,木块之间、木块与桌面之间的 摩擦因数都是μ ,当水平拉力 F 使它们运动时,中间木块的加速度如 A 何? B F 解析:三块木块的运动情况可能为: C ① A、C 必以大小相等方向相反的加速度运动 ② 假定 B 相对 A 无滑动,则 B 对 C 肯定有滑动。由于 A 对 B 的摩擦力最大为μ mg,方 向向右,此时 C 对 B 的摩擦力为 2μ mg,方向向左,故 B 相对 A 无滑动是不可能的,即 B 相对 A 必定滑动 ③ 由②可知,B 相对 C 可以无滑动

④ 当 F 足够大,aC > aB 时,B 相对 C 也可能滑动 1.当 B 相对 C 无滑动时,B、C 的加速度相同,且三物体的加速度大小相等,设为 a: 对 A: T ? ? ? m g ? m a ?? ① ?? ② F 得: a ?
F ? 5? ? mg 3m

μ mg A

T

对 B、C: F ? T ? 4 ? ? m g ? 2 m a

?? ③ 此时: F ? 5 ? ? m g

B μ mg T C 3μ mg

2.当 B 相对 C 滑动时,设 A、B、C 的加速度分别为 aA、aB、aC 且 aA=aB > aC : 对 A: T ? ? ? m g ? m a A ?? ④ ?? ⑤ ?? ⑥
F ? 6? ?mg 2m

μ mg A 2μ mg B F C

T μ mg

对 B: 2 ? ? m g ? ? ? m g ? m a B 对 C: F ? T ? 5 ? ? m g ? 2 m a C 由⑤得: a B ? ? ? g 此时: a C ? a B ,即:

2μ mg T 3μ mg

由④、⑥得: a C ?
F ? 6? ?mg 2m ? ? ?g

得: F ? 8 ? ? m g
F ? 5? ? mg 3m

故本题答案:当 5 ? ? m g ? F ? 8 ? ? m g 时, a B ?

,方向水平向左

当 F ? 8 ? ? m g 时, a B ? ? ? g ,方向水平向左 质量为 10kg 的物体沿倾角α =300 的斜面匀速下滑,欲使物体沿斜面以 g/2 加速度向上加速 运动,则最小推力的大小和方向。 N 解析:∵ m g s in ? ? ? ? c o s ? ∴ ? ? tg 3 0
0

P

如图所示,做 mg、P(匀速上滑时 N、f 的合力) 、F(推力)的矢量 P f 图,此三个力的合力的矢量合为 ma,当 F 的方向与 P 垂直时 F 有最小
0 0 值: F m in ? m g s in 6 0 ? m a c o s 3 0 ? 1 3 0 N

ma F mg

如图所示, 长为 L 质量为 M 的圆柱形木棒竖直放置在地面上, 在其顶部套有质量为 m 的铁 环。当棒与环相对滑动时,设二者间有大小恒定的 kmg(k>1)的摩擦力,现突然在棒的下 端给棒一个很大的冲击力,使木棒在瞬间具有向上竖直速度 v0,要使铁环在木棒落地前不 滑落木棒,此木棒的长度不得少于多少? 解析:对铁环对地: k ? m g ? m g ? m a m 对木棒对地: M g ? k m g ? M a M v0 以铁环为参照物,木棒相对于铁环的加速度: a M m ? a m ? a M ? k
M ? m M g
am ? ( k? 1 )g k m

m M

方向向上 初速度: v m 0 ? 0
M) 方向向下

a M ? g( 1?

初速度竖直向上:

方向向下;

木棒相对于铁环的初速度 v0,当二者相对静止(相对速度 v=0)时,木棒穿过铁环的长度 L
2 即为所求的最小长度 s。故: v 0 ? 2 a M m s

s ?

M v0

2

2 k (M ? m g )


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