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2.3.2


课前检测:
1.相关关系: 当自变量取值一定时,因变量带
有随机性,这种变量之间的关系称为相关关系. 相关关系是一种非确定性关系.

2.相关关系的种类:正相关、负相关
3.在平面直角坐标系中,表示具有相关关系的两 个变量的一组数据图形,称为散点图.

问题一:回归直线
问题1:一组样本数据的平均

数是样本数 据的中心,那么散点图中样本点的中心 如何确定?它一定是散点图中的点吗?
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

(x , y )

问题2:在各种各样的散点图中,有些散点图 中的点是杂乱分布的,有些散点图中的点的 分布有一定的规律性,年龄和人体脂肪含量 的样本数据的散点图中的点的分布有什么特 点?
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

这些点大致分布在一条直线附近.

脂肪含量

问题3:如果散点图中的点的分布,从整 体上看大致在一条直线附近,则称这两 个变量之间具有线性相关关系,这条直 线叫做回归直线.对具有线性相关关系的 两个变量,其回归直线一定通过样本点 的中心吗?
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

问题4:在样本数据的散点图中,能否 用直尺准确画出回归直线?
脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

整体上最接近,各点与直线的偏差最小

问题5:根据有关数学原理分析,当
?? b

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( yi ? y )
i

? (x
i ?1

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y , ? nx
2

? x)

2

?x
i ?1

2

i

? ? ? y ? bx a

时,总体偏差为最小,这样就得到了回 归方程,这种求回归方程的方法叫做最 小二乘法.

估计值

问题6:利用计算器或计算机可求得年龄和 人体脂肪含量的样本数据的回归方程为 ? y = 0.577x - 0.448 ,由此我们可以根据 一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分 比的回归值.若某人37岁,则其体内脂肪含 量的百分比约为多少?
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

20.9%

例1:下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲 产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对应数据.
x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关 于x的线性回归方程; (3)预测生产100吨甲产品的生产能耗多少吨标准煤?

x y

3 2.5

4 3
4

5 4
i i

6 4.5

解: X ? 4.5

Y ? 3.5
2 2 2

? X Y ? 66.5
i ?1

?X
i ?1

4

2 i

? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 86
2

66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 66.5 ? 63 ? b? ? ? 0.7 2 86 ? 4 ? 4.5 86 ? 81

? x ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35 ? ? y? b a
所求的回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35
?

?

?

变式1:观察两相关变量得如下数据:
x y -1 -9 -2 -7 -3 -5 -4 -3 -5 -1 5 1 4 3 3 5 2 7 1 9

则两变量间的回归直线方程为( B )

1 A. y ? x ? 1 2 1 C. y ? 2 x ? 3

B. y ? x D. y ? x ? 1

变式2:
物价部门对本市五个商场销售的某商品一天的销 售量及价格进行调查,售价x和销售量y之间的数 据如下:
价格x

销售量y

9 11

9.5 10

10 8

10.5 6

11 5

(1)画出散点图,判断x与y之间的相关关系; (2)求回归直线方程; (3)预测当售价为7.5时,销售量为多少?

目标检测:(2014年新课标卷)某地区2007年
至2013年农村居民家庭人均收入y的数据如下表:
年份 年份代号 人均收入

2007 1 2.9

2008 2 3.3

2009 3 3.6

2010 4 4.4

2011 5 4.8

2012 6 5.2

2013 7 5.9

(1)求y关于t的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,预测该地区2015年农 村居民家庭人均收入。

?? (最小二乘法估计公式:b

? (t
i ?1

n

i

? t )( yi ? y )

2 ( t ? t ) ? i i ?1

n

?) ? ? y ? bt , a

小结:求回归直线方程的步骤
(1)作散点图,通过图看出样本点是否呈条状 分布,进而判断两个量是否具有线性相关关系。
(2)所求直线方程

? +a ? ? = bx y

叫做回归直线方程;

?

其中
?= b

?(x
i=1

n

i

- x)(yi - y) = - x)
2 i

?x y
i i=1 n

n

i

- nxy
2

?(x
i=1

n

?x
i=1

,

2 i

- nx

? ? = y - bx a

(3)根据回归方程,并按要求进行预测说明。


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