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湖北省咸宁市三校联考2015届高三上学期期中数学试卷(文科)

时间:2015-12-23


湖北省咸宁市三校联考 2015 届高三上学期期中数学试卷 (文科)
一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分,下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确 答案的序号填涂在答题卡上) 1. (5 分)已知集合 A={﹣1,1},B={x|1≤2 <4},则 A∩B 等于() A.{﹣1,0,1} B.{1} C.{﹣1,1} D.{0,1} 2. (5 分)复数 z 满足(2+i)z=﹣3+i,则 z=() A.2+i B.2﹣i C.﹣1+i
x

D.﹣1﹣i

3. (5 分)已知向量 的值为() A. B. 2



,若



共线,则 m

C.

D.﹣2

4. (5 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:对任意的 x1,x2∈(﹣∞,0) ,有 ,则() A.f(3)<f(﹣2)<f(1) <f(1)<f(3) D. 5. (5 分)已知函数 f(x)=sin2x 向左平移 (x)的说法正确的是() A.图象关于点(﹣ C. 在区间单调递增
*

B.f(1)<f(﹣2)<f(3) f(3)<f(1)<f(﹣2)

C. f(﹣2)

个单位后,得到函数 y=g(x) ,下列关于 y=g

,0)中心对称

B. 图象关于 x=﹣ D.在单调递减

轴对称

6. (5 分)已知数列{an}对任意的 m、n∈N ,满足 am+n=am+an,且 a2=1,那么 a10 等于() A.3 B. 5 C. 7 D.9 7. (5 分)已知表示不超过实数 x 的最大整数,如=1,=﹣2.x0 是函数 f(x)=lnx﹣ 的零 点,则等于() A.2

B. 1

C. 0

D.﹣2

8. (5 分)若函数 f(x)=

,若 f(a)>f(﹣a) ,则实数 a 的取值

范围是() A.(﹣1,0)∪(0,1) 0)∪(1,+∞) D.

B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) C. (﹣1, (﹣∞,﹣1)∪(0,1)

9. (5 分)已知 f(x)= ()

,则下列四图中所作函数的图象错误的是

A.

f(x﹣1)的图象 B.

f(﹣x)的图象

C.

f(|x|)的图象 |f(x)|的图象

D.

10. (5 分)已知函数 f(x)=

+

的两个极值点分别为 x1,x2,且 x1∈

(0,1) ,x2∈(1,+∞) ;点 P(m,n)表示的平面区域为 D,若函数 y=loga(x+4) (a>1) 的图象上存在区域 D 内的点,则实数 a 的取值范围是() A. (1,3] B. (1,3) C. (3,+∞) D. (t>0)上的最小值; x (Ⅲ)若存在两不等实根 x1,x2∈,使方程 g(x)=2e f(x)成立,求实数 a 的取值范围.

湖北省咸宁市三校联考 2015 届高三上学期期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分,下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确 答案的序号填涂在答题卡上) x 1. (5 分)已知集合 A={﹣1,1},B={x|1≤2 <4},则 A∩B 等于() A.{﹣1,0,1} B.{1} C.{﹣1,1} D.{0,1} 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 利用指数函数的性质求出集合 B 中不等式的解集,确定出集合 B,找出 A 与 B 的 公共元素,即可求出两集合的交集. 0 x 2 解答: 解:由集合 B 中的不等式变形得:2 ≤2 <2 , 解得:0≤x<2, ∴B= 故选 B. 点评: 本题考查函数的单调性,考查大小比较,确定函数的单调性是关键.

5. (5 分)已知函数 f(x)=sin2x 向左平移 (x)的说法正确的是() A.图象关于点(﹣ C. 在区间单调递增 ,0)中心对称

个单位后,得到函数 y=g(x) ,下列关于 y=g

B. 图象关于 x=﹣ D.在单调递减

轴对称

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质;简易逻辑. 分析: 根据函数图象的平移变换法则“左加右减,上加下减”,易得到函数 y=sin2x 的图象 向左平移 个单位后,得到的图象对应的函数解析式,然后利用函数的对称性,单调性判

断选项即可. 解答: 解:函数 y=sin2x 的图象向左平移 (x+ )=sin(2x+ ) . )≠0.图象不关于点(﹣ ,0)中心对称,∴A 不正 个单位,得到的图象对应的函数为 y=sin2

对于 A,当 x=﹣ 确; 对于 B,当 x=﹣

时,y=sin(﹣

时,y=sin0=0,图象不关于 x=﹣

轴对称,∴B 不正确

对于 C,y=sin(2x+ 当 x=

)的周期是 π. 时,函数取得最小值,

时,函数取得最大值,x=﹣

∵?, ∴在区间单调递增,∴C 正确; 对于 D,y=sin(2x+ )的周期是 π.当 x= 时,函数取得最大值,∴在单调递减不正确,

∴D 不正确; 故选:C. 点评: 本题考查的知识点是函数图象的平移变换,其中熟练掌握图象的平移变换法则“左 加右减,上加下减”,是解答本题的关键 6. (5 分)已知数列{an}对任意的 m、n∈N ,满足 am+n=am+an,且 a2=1,那么 a10 等于() A.3 B. 5 C. 7 D.9 考点: 数列递推式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由 am+n=am+an,a2=1 可得 a4=2a2,a8=2a4,进而可求 a10=a2+a8. 解答: 解:∵am+n=am+an,a2=1,∴a4=2a2=2 ∴a8=2a4=4, ∴a10=a2+a8=5 故选:B. 点评: 本题主要考查由数列的递推公式推导求解数列的项, 考查基本运算, 属于基础试题.
*

7. (5 分)已知表示不超过实数 x 的最大整数,如=1,=﹣2.x0 是函数 f(x)=lnx﹣ 的零 点,则等于() A.2

B. 1

C. 0

D.﹣2

考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数零点的判定定理,求出函数零点所在的区间,根据表示即可得到结论. 解答: 解:∵f(x)=lnx﹣ ,则函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴f(1)=ln1﹣2=﹣2<0,f (2)=ln2﹣1<0,f(3)=ln3﹣ >0, ∴f(2)f(3)<0, ∴函数 f(x)=lnx﹣ 在区间(2,3)内存在唯一的零点, ∵x0 是函数 f(x)=lnx﹣ 的零点, ∴2<x0<3, ∴=2,

故选 A. 点评: 本题主要考查函数零点的判断,以及 函数的新定义的应用,要求 熟练掌握函数零 点的判定定理.

8. (5 分)若函数 f(x)=

,若 f(a)>f(﹣a) ,则实数 a 的取值

范围是() A.(﹣1,0)∪(0,1) 0)∪(1,+∞) D. 考点: 专题: 分析: 解答:

B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) C. (﹣1, (﹣∞,﹣1)∪(0,1)

对数值大小的比较. 函数的性质及应用. 由分段函数的表达式知,需要对 a 的正负进行分类讨论. 解:由题意

. 故选 C. 点评: 本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想,属于中等 题.分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解,解对数不等式既要注意真数大于 0,也 要注意底数在(0,1)上时,不等号的方向不要写错.

9. (5 分)已知 f(x)= ()

,则下列四图中所作函数的图象错误的是

A.

f(x﹣1)的图象 B.

f(﹣x)的图象

C.

f(|x|)的图象 |f(x)|的图象

D.

考点: 函数的图象. 专题: 作图题. 分析: 由题意作出函数 f(x)的图形,由图象的变换原则分别验证各个选项即可得答案. 解答: 解:函数 f(x)= 的图形如图所示,

而函数 f(x﹣1)的图象是把函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位,故选项 A 正确; f(﹣x)的图象是把函数 f(x)的图象做关于 y 轴的对称得到,故选项 B 正确; f(|x|)的图象是把函数 f(x)的图象保留 y 轴右边的,左边的去掉,再把右边的做关于 y 轴的对称,故选项 C 正确; |f(x)|的图象是把函数 f(x)的图象 x 轴下方的做关于 x 轴的对称,对本题来说,就是自 身,故选项 D 错误. 故选 D 点评: 本题考查函数图象的作法,和图象的变换,属基础题.

10. (5 分)已知函数 f(x)=

+

的两个极值点分别为 x1,x2,且 x1∈

(0,1) ,x2∈(1,+∞) ;点 P(m,n)表示的平面区域为 D,若函数 y=loga(x+4) (a>1) 的图象上存在区域 D 内的点,则实数 a 的取值范围是() A. (1,3] B. (1,3) C. (3,+∞) D. ∴cos2α=﹣(sinα﹣cosα) (sinα+cosα) =(﹣ = . . )×

故答案为:

点评: 本题考查同角三角函数间的基本关系, 突出二倍角的正弦与余弦的应用, 求得 sinα ﹣cosα 的值是关键,属于中档题. 12. (5 分)已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1) )处的切线方程是 y= x+3,则:f (1)+f′ (1)=4. 考点: 导数的几何意义. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据题意吧,求出切点坐标,得出 f(1)的值,根据导数的几何意义判断 f′(1) 求解. 解答: 解:∵函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1) )处的切线方程是 y= x+3 , ∴f(1)= = ,f′(1)= , =4

∴f(1)+f′(1)=

故答案为:4 点评: 本题考察了导数的概念,几何意义,属于容易题.

13. (5 分)函数 f(x)=Asin(ωx﹣ 条对称轴之间的距离为 ,则 f(

)+1(A>0,ω>0)的最大值为 3,其图象相邻两 )=3.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质.

分析: 由 y=Asin(ωx+

)+1 的最大值为 3 可求得 A,由 ) .

=

,然后求得 ω,从而可

得函数 f(x)的解析式;即可求解 f(

解答: 解:∵函数 f(x)的最大值为 3, ∴A+1=3,即 A=2; ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ∴最小正周期 T=π, ∴ω=2, ∴函数 f(x)的解析式为:y=2sin(2x﹣ f( )=2sin(2× ﹣ )+1=2sin )+1. ,即 =

+1=3.

故答案为:3. 点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,函数值的求法,考查计算 能力.

14. (5 分)已知向量 , 的夹角为

,| |=2,| |=1,则| + |?| ﹣ |=



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 向量 , 的夹角为 得出. 解答: 解:∵向量 , 的夹角为 则| + |= | ﹣ |= ∴| + |?| ﹣ |= . = = ,| |=2,| |=1,∴ = . = =1. ,| |=2,| |=1,可得 =1.再利用数量积运算性质即可

故答案为: . 点评: 本题考查了数量积的定义及其运算性质,属于基础题. 15. (5 分)函数 y=|2 ﹣1|在区间(k﹣1,k+1)内不单调,则 k 的取值范围是(﹣1,1) . 考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 数形结合. x 分析: 根据解析式为函数 y=|2 ﹣1|画出函数的图象,根据图象写出单调增区间. x 解答: 解:∵函数 y=|2 ﹣1|,其图象如图所示,由图象知, x 函数 y=|2 ﹣1|在区间(k﹣1,k+1)内不单调,
x

则:﹣2<k﹣1<0, 则 k 的取值范围是(﹣1,1) 故答案为: (﹣1,1) .

点评: 此题是个基础题. 考查根据函数图象分析观察函数的单调性, 体现分类讨论与数形 结合的数学思想方法. 16. (5 分)如图,互不相同的点 A1,A2,…,An,…和 B1,B2,…,Bn,…分别在角 O 的 两条边上,所有 AnBn 相互平行,且所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均相等.设 OAn=an,若 a1=1,a2=2,则 a9=5.

考点: 平行线等分线段定理. 专题: 计算题;立体几何. 分析: 本题可以根据所有 AnBn 相互 平行,且所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均相等.然 后利用所有的三角形都相似,面积比等于相似比的平方,得出一系列的等式,然后利用累乘 法求得通项,进一步求得结果. 解答: 解:依题意:互不相同的点 A1,A2,…,An,…和 B1,B2,…,Bn,…分别在角 O 的两条边上. ∵所有 AnBn 相互平行,且所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均相等. ∴利用所有的三角形都相似,面积比等于相似比的平方, 若 a1=1,a2=2,则令 ∴ =3m, =m(m>0) ,

∴当 n≥2 时,

=

=





=

, =(3n﹣2) ,

利用以累乘可得: 由于 a1=1, ∴an= ,

∴a9=5. 故答案为:5. 点评: 本题应用知识较多: 平行线分线段成比例定理, 相似三角形面积比等于相似比的平 方,数列通项中的累乘法, 17. (5 分)在平面直角坐标系中,若 A、B 两点同时满足: ①点 A、B 都在函数 y=f(x)图象上; ②点 A、B 关于原点对称,则称点对(A,B)是函数 y=f(x)的一个“姐妹点对”(注:点 对(A,B)与(B,A)为同一“姐妹点对”) . 已知函数 g(x)=a ﹣x﹣a, (a>0,a≠1) . (1)当 a=2 时,g(x)有 1 个“姐妹点对”; (2)当 g(x)有“姐妹点对”时,实数 a 的取值范围是(1,+∞) . 考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 新定义;函数的性质及应用. 分析: (1)当 a=2 时,化简 g(x)的表达式,利用定义求出 x 的值,判断“姐妹点对”的 个数; (2)g(x)有“姐妹点对”,利用定义通过基本不等式即可求出实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1) ∵ 当 , 时 , ; 当 时, , . 故两种情况的“姐妹点对”一样,答案只有一对. 故答案为:1.
x

(2)



故答案为: (1,+∞) . 点评: 本题考查新定义的应用, 函数的零点以及基本不等式的应用, 考查分析问题解决问 题的能力. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 65 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 2 2 2 18. (12 分)设命题 p:?x0∈R,x0 +2ax0﹣a=0;命题 q:?x∈R,ax +4x+a≥﹣2x +1.如果 命题“p∨q 为真命题,“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 计算题;简易逻辑. 分析: 由题意, 命题 p 与命题 q 一真一假, 化简命题 p 与命题 q 为真时实数 a 的取值范围, 从而求得. 2 解答: 解:当命题 P 为真时,△ =4a +4a≥0,则 a≥0 或 a≤﹣1, 2 当命题 q 为真时, (a+2)x +4x+a﹣1≥0 恒成立, 则 a+2>0,且 16﹣4(a+2) (a﹣1)≤0,即 a≥2. 由题意可得,命题 p 与命题 q 一真一假, 当 p 真 q 假时,a≤﹣1 或 0≤a<2, 当 p 假 q 真时,无解, 则实数 a 的取值范围为(﹣∞,﹣1]∪ ∴a1=1,d=2 ∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1 (2)∵ ∴ = 两式相减可得, = =(2n﹣1)

= ∴Tn=1﹣ 点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用, 数列求和方法中的错位相 减求和方法的应用是求解问题的关键 21. (14 分)为改善购物环境,提高经济效益,某商场决定投资 800 万元改造商场内部环境, 据调查,改造好购物环境后,任何一个月内(每月按 30 天计算)每天的顾客人数 f(x)与

第 x 天近似地满足 f(x)=8+ (千人) ,且每位顾客人均购物金额数 g(x)近似地满足 g (x)=143﹣|x﹣22|(元) . * (1)求该商场第 x 天的销售收入 p(x) (单位千元,1≤x≤30,∈N )的函数关系; (2)若以最低日收入的 20%作为每一天纯收入的计量依据,商场决定以每日纯收入的 5% 收回投资成本,试问商场在两年内能否收回全部投资成本. 考点: 函数最值的应用. 专题: 计算题;应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)由题意 p(x)=f(x)g(x) ,代入化简即可; (2)由分段函数可知,要分段求函数的最小值,从而求出函数的最小值,转化为实际问题 即可. 解答: 解: (1)p(x)=f(x)g(x)=(8+ ) (143﹣|x﹣22|)

= (2)①当 1≤x≤22,x∈N 时, p(x)=8x+ +976≥1152(当且仅当 8x=
* *

(1≤x≤30,x∈N ) ;

*

,即 x=11 时,等号成立) ,

②当 22<x≤30,x∈N 时, p(x)=﹣8x+ +1312 在(22,30]上单调递减,

则 p(x)≥p(30)=1116, 则最低日收入为 1116 千元, 该商场在两年内能收回的投资为: 1116×20%×5%×365×2=8146.8(千元)>800(万元) ; 故该商场在两年内能收回全部投资成本. 点评: 本题考查了学生实际问题转化为数学问题的能力,同时考查了分段函数的最值问 题,利用了基本不等式及函数的单调性求最值,属于中档题. 22. (14 分)已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=(﹣x +ax﹣3)e (a 为实数) . (Ⅰ)当 a= 5 时,求函数 y=g(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)求 f(x)在区间(t>0)上的最小值; (Ⅲ)若存在两不等实根 x1,x2∈,使方程 g(x)=2e f(x)成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数 研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)把 a=5 代入函数 g(x)的解析式,求出导数,得到 g(1)和 g′(1) ,由直 线方程的点斜式得切线方程; (Ⅱ)利用导数求出函数 f(x)在上的单调区间,求出极值和区间端点值,比较大小后得 到
x 2 x

f(x)在区间(t>0)上的最小值; (Ⅲ)把 f(x)和 g(x)的解析式代入 g(x)=2e f(x) ,分离变量 a,然后构造函数 ,由导数求出其在上的最大值和最小值,则实数 a 的取值范围可求. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=5 时,g(x)=(﹣x +5x﹣3)﹣e ,g(1)=e. 2 x g′(x)=(﹣x +3x+2)﹣e ,故切线的斜率为 g′(1)=4e ∴切线方程为:y﹣e=4e(x﹣1) ,即 y=4ex﹣3e; (Ⅱ)f′(x)=lnx+1, x f'(x) f(x) ①当 ﹣ 单调递减 0 极小值(最小值) + 单调递增
2 x x

时,在区间(t,t+2)上 f(x)为增函数,

∴f(x)min=f(t)=tlnt; ②当 函数, ∴
x

时,在区间

上 f(x)为减函数,在区间

上 f(x)为增


2

(Ⅲ) 由 g(x)=2e f(x) ,可得:2xlnx=﹣x +ax﹣3, ,







x h′(x) h(x) ﹣ 单调递减 .

1 0 极小值(最小值)

(1,e) + 单调递增

,h(1)=4,h(e)=

. ∴使方程 g(x)=2e f(x)存在两不等实根的实数 a 的取值范围为
x



点评: 本题考查了导数在求函数最值中的应用, 关键在于由导函数的符号确定原函数的单 调性,考查利用构造函数法求解含字母系数的范围问题,解答的技巧是分类字母系数,是 2015 届高考试卷中的压轴题.


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