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椭圆双曲线抛物线公式


双曲线的标准公式为: X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0) 但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋 转得到的 因为 xy = c 的对称轴是 y=x, y=-x 而 X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1 的对称轴是 x 轴,y 轴 所以应该旋转 45 度 设旋转的角度为

a (a≠0,顺时针) (a 为双曲线 渐进线的倾斜角) 则有 X = xcosa ysina Y = - xsina ycosa 取 a= π /4 则 X^2 - Y^2 = (xcos( π /4) ysin( π /4))^2 -(xsin( π /4) - ycos( π /4))^2 = (√2/2 x √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2 = 4 (√2/2 x) (√2/2 y) = 2xy. 而 xy=c 所以 X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0) Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0) 由此证得,反比例函数其实就是双曲线函数 椭圆的面积公式 S=π (圆周率)×a×b(其中 a,b 分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或 S=π (圆周率)×A×B/4(其中 A,B 分别是椭圆的长轴,短轴的长). 椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式,有积分式或无限项展开式。 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L = ∫[0,π /2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π √((a^2 b^2)/2) [椭圆近似周长], 其 中 a 为椭圆长半轴,e 为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比, 设椭圆上点 P 到某焦点距离为 PF,到对应准线距离为 PL,则 e=PF/PL 椭圆的准线方程 x=±a^2/C 椭圆的离心率公式 e=c/a(e<1,因为 2a>2c) 椭圆的焦准距 :椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线 x= a^2/C)的距离,数值 =b^2/c 椭圆焦半径公式 |PF1|=a ex0 |PF2|=a-ex0 椭圆过右焦点的半径 r=a-ex 过左焦点的半径 r=a ex 椭圆的通径:过焦点的垂直于 x 轴(或 y 轴)的直线与椭圆的两焦点 A,B 之间的距离,数值 =2b^2/a 点与椭圆位置关系 点 M(x0,y0) 椭圆 x^2/a^2 y^2/b^2=1 点在圆内: x0^2/a^2 y0^2/b^2<1 点在圆上: x0^2/a^2 y0^2/b^2=1 点在圆外: x0^2/a^2 y0^2/b^2>1 直线与椭圆位置关系 y=kx m ① x^2/a^2 y^2/b^2=1 ② 由①②可推出 x^2/a^2 (kx m)^2/b^2=1

相切△=0 相离△<0 无交点 相交△>0 可利用弦长公式:A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = √ (1 k^2)|x1-x2| = √ (1 k^2)(x1-x2)^2 = √ (1 1/k^2)|y1-y2| = √ (1 1/k^2)(y1-y2)^2 椭圆通径(定义:圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦)公式:2b^2/a 椭圆的斜率公式 过椭圆上 x^2/a^2 y^2/b^2 上一点(x,y)的切线斜率为 b^2*X/a^2y

抛物线的标准方程 右开口抛物线:y^2=2px 左开口抛物线:y^2=-2px 上开口抛物线:x^2=2py 下开口抛物线:x^2=-2py p 为焦准距(p>0)

[编辑本段]3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线) 离心率:e=1 焦点:(p/2,0) 准线方程 l:x=-p/2 顶点:(0,0) 通径(定义:圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦):2P [编辑本段]4.它的解析式 求法: 以焦点在 X 轴上为例 知道 P(x0,y0) 令所求为 y^2=2px 则有 y0^2=2px0 ∴2p=y0^2/x0 ∴抛物线为 y^2=(y0^2/x0)x [编辑本段]5.抛物线的光学性质: 经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴。[编辑本段]6.抛物线的一 段的面积和弧长公式 面积 Area=2ab/3 弧长 Arc length ABC =√(b^2 16a^2 )/2 b^2/8a ln((4a √(b^2 16a^2 ))/b) [编辑本段]7.其他 抛物线:y = ax^2 bx c (a≠0) 就是 y 等于 ax 的平方加上 bx 再加上 c a > 0 时开口向上 a < 0 时开口向下 c = 0 时抛物线经过原点 b = 0 时抛物线对称轴为 y 轴 还有顶点式 y = a(x-h)^2 k 就是 y 等于 a 乘以(x-h)的平方 k

h 是顶点坐标的 x k 是顶点坐标的 y 标准形式的抛物线在 x0,y0 点的切线就是


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