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小专题复习课(五)平面解析几何


小专题复习课(五)
平面解析几何

热点聚焦

考 情 播 报

1.以直线的方程,两条直线的垂直与平行,点到直 线的距离公式为主要考查对象,常与圆、圆锥曲线 热点一: 等知识交汇命题 直线的方程 2.试题以选择题、填空题形式出现时,考查学生的 双基,属基础题,以解答题形式出现时,常与圆锥 曲线综合,属中高

档题

热点二: 圆的方程

1.圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系,是高 考命题的主要对象,常与直线、圆锥曲线等知识交 汇命题 2.多以选择、填空题为主,突出考查学生数形结合 思想,转化与化归思想,以及函数与方程思想

热 点 聚 焦

考 情 播 报 1.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 是每年高考中必考的内容,试题可以直接 考查根据圆锥曲线的标准方程求范围、对 称性、离心率等知识,也可以利用圆锥曲 线的几何性质求圆锥曲线的标准方程 2.多以选择、填空题形式出现,考查学生 分析问题,解决问题的能力,考查学生的 基本运算能力及数形结合思想,有时也出 现在解答题的第(1)问中,属基础题

热点三:圆锥曲 线的定义、标准 方程与几何性质

热 点 聚 焦

考 情 播 报 1.该类试题一般为高考的压轴题,以圆锥 曲线的标准方程,直线与圆锥曲线的位置 关系为载体,通过直线与圆锥曲线相交得 到的弦的弦长,弦中点及与弦端点坐标有 关的计算来考查,常与向量、函数等知识 交汇命题 2.试题以解答题为主,主要考查学生分析 问题、解决问题的能力,考查基本运算能 力,逻辑推理能力

热点四:直线与 圆锥曲线的位置 关系的综合应用

热点 一

直线的方程

1.(2013·天津模拟)已知倾斜角为α 的直线l与直线x-2y+2=0

平行,则tan 2α 的值为(

)

2 3 1 【解析】选B.依题意,得:tan ? ? , 2 2tan ? 1 4 tan 2? ? ? ? . 2 1 1 ? tan ? 1 ? 3 4

?A?

4 5

? B?

4 3

?C?

3 4

?D?

2.(2013·珠海模拟)点P(2,-1)为圆(x-3)2+y2=25的一条弦的 中点,则该弦所在直线的方程是__________. 【解析】点P(2,-1)为圆(x-3)2+y2=25的弦的中点,设该圆的 圆心为C,则该弦所在直线与PC垂直,故弦所在直线的方程为 x+y-1=0. 答案:x+y-1=0

3.在平面直角坐标系xOy中,A,B分别为直线x+y=2与x,y轴的 交点,C为AB的中点,若抛物线y2=2px(p>0)过点C,则焦点F到 直线AB的距离为______. 【解析】由题意,得A(2,0),B(0,2),C(1,1),所以抛物线方程 为y2=x,所以焦点为 F( 1 ,0), 所以点F到直线AB的距离为
4

1 ?0?2 7 2 4 ? . 8 2

答案: 7 2
8

2 x 4.(2013·唐山模拟)过椭圆 ? y 2 ? 1 的左焦点F作斜率为 2

k(k≠0)的直线交椭圆于A,B两点,使得AB的中点M在直线 x+2y=0上. (1)求k的值. (2)设C(-2,0),求tan∠ACB.

【解析】(1)由椭圆方程知 a ? 2,b ? 1,c ? 1, 则点F为(-1,0),直线AB的方程为y=k(x+1), 代入椭圆方程,得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
2 x ? x 2k 则 x 0 ? 1 2 ? ? 2 , y0 ? k ? x 0 ? 1? ? k , 2 2 2k ? 1 2k ? 1



由点M在直线x+2y=0上,知-2k2+2k=0, ∵k≠0,∴k=1.

(2)将k=1代入①式,得3x2+4x=0, 不妨设x1>x2,则 x1 ? 0, x 2 ? ? 4 , 记α=∠ACF,β=∠BCF,则 tan ? ? y1 ? x1 ? 1 ? 1 ,
tan ? ? ? y2 x ?1 1 ?? 2 ? , x2 ? 2 x2 ? 2 2
3

x1 ? 2

x1 ? 2

2

2tan ? 4 ?? ? ?, tan?ACB ? tan 2? ? ? . 1 ? tan 2 ? 3

热点 二

圆的方程

1.(2013·太原模拟)已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线 y2=4x的焦点,且与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为( )

? A ?? x ? 1?

2

? y2 ?

64 25

? B? x 2 ? ? y ? 1?

2

?

64 25

(C)(x-1)2+y2=1

(D)x2+(y-1)2=1

【解析】选C.抛物线y2=4x的焦点为(1,0),则a=1,b=0.
r? 3 ?1 ? 4 ? 0 ? 2 3 ?4
2 2

? 1,

所以圆的方程为(x-1)2+y2=1.

2.(2013·成都模拟)圆心在曲线 y ? 3 (x>0)上,且与直线
x

3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为(
3 2 ? A ?? x ? 2 ? ? (y ? ) ? 9 2 16 2 2 ? B ?? x ? 3? ? ? y ? 1? ? ( ) 2 5 18 2 2 2 C x ? 1 ? y ? 3 ? ( ) ? ?? ? ? ? 5
2

)

?D?? x ?

3

? ? ?y ? 3?
2

2

?9

12 ?3 3 x 【解析】选A.设圆心坐标为 (x, ), 则 R= ? 3, 当且仅 x 5 3 圆方程为 当x=2时取等号,所以半径最小时圆心为 (2, ), 2 3 (x ? 2) 2 ? (y ? ) 2 ? 9. 2 3x ?

3.已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且
|AB|= 3, 则 OA?OB =__________.
??? ? ??? ?

【解析】因为直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,
?ax ? by ? c ? 0, 2 2 2 2-b2=0,令 得 (a +b )x +2acx+c ? 2 2 ? x ? y ? 1, 2ac c2 ? b2 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1 ? x 2 ? ? 2 2 , x1x 2 ? 2 2 , 又 a ?b a ?b c ??? ? ??? ? 1 |AB|= 3, 所以圆心距 d ? ? 而 , OA? OB = 2 2 2 a ?b 2 2 a ac c 1 (1 ? 2 )x1x 2 ? 2 ? x1 ? x 2 ? ? 2 ? ? . b b b 2 答案: ? 1 2

联立得

4.(2013·郑州模拟)已知圆C的圆心为C(m,0),m<3,半径为 5,
2 2 x y 圆C与椭圆E: ? ? 1(a>b>0)有一个公共点A(3,1),F1, a 2 b2

F2分别是椭圆的左、右焦点. (1)求圆C的标准方程. (2)若点P的坐标为(4,4),试探究斜率为k的直线PF1与圆C能 否相切,若能,求出椭圆E和直线PF1的方程;若不能,请说明 理由.

【解析】(1)由已知可设圆C的方程为(x-m)2+y2=5(m<3).将点 A的坐标代入圆C的方程,得(3-m)2+1=5,即(3-m)2=4,解得m=1或 m=5. ∵m<3,∴m=1,∴圆C的方程为(x-1)2+y2=5. (2)直线PF1能与圆C相切. 依题意,设直线PF1的方程为y=k(x-4)+4,即kx-y-4k+4=0. 若直线PF1与圆C相切,则
k ? 0 ? 4k ? 4
2

k ?1 ∴4k2-24k+11=0,解得 k ? 11 或k ? 1 . 2 2

? 5,

当 k ? 11 时,直线PF1与x轴的交点横坐标为 36 ,不合题意,舍
2 11

去; 当 k ? 1 时,直线PF1与x轴的交点横坐标为-4,
2

∴c=4,F1(-4,0),F2(4,0). ∴由椭圆的定义得
2a ? AF1 ? AF2 ?

?3 ? 4?

2

? 12 ?

?3 ? 4?

2

? 12 ? 5 2 ? 2 ? 6 2,

∴ a ? 3 2, 即a2=18,∴b2=a2-c2=2, 故直线PF1能与圆C相切,直线PF1的方程为x-2y+4=0,椭圆E的
2 2 x y 方程为 ? ? 1. 18 2

热点 三

圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质

1.(2013·石家庄模拟)已知双曲线的渐近线为 y ? ? 3x, 焦点 坐标为(-4,0),(4,0),则双曲线方程为(
x 2 y2 ?A? ? ? 1 8 24 x 2 y2 ?C? ? ? 1 24 8 x 2 y2 ? B? ? ? 1 12 4 x 2 y2 ? D? ? ? 1 4 12

)

2 y 【解析】选D.由已知设双曲线方程为 x ? ? ? (λ>0), 3 2 2 即 x ? y ? 1, a2=λ,b2=3λ, ? 3? 2

∵焦点坐标为(-4,0),(4,0), ∴c=4,即c2=a2+b2=4λ=16,
x 2 y2 ∴λ=4,∴双曲线方程为 ? ? 1. 4 12

2 2 x y 2.若双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,线 a b

段F1F2被抛物线y2=2bx(b>0)的焦点分成7∶5的两段,则此双 曲线的离心率为( )

?A?

9 8

? B?

6 37 37

?C?

3 2 4

? D?

3 10 10

【解析】选C.因为线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成7∶5的 两段,所以 ∴e? 3 2.
4
b c ? , 36b2=4c2,36a2=32c2, 2 6

3.(2013·济南模拟)以抛物线y2=20x的焦点为圆心,且与双曲
2 2 x y 线 ? ? 1 的两条渐近线都相切的圆的方程为______. 16 9

【解析】由已知可以知道,抛物线的焦点坐标为(5,0), 双曲线的渐近线方程为 y ? ? 3 x,
4

则所求的圆的圆心为(5,0), 利用圆心到直线3x-4y=0的距离为半径r, 则有 r ?
3? 5 ? 4 ? 0 3 ?4
2 2

? 3,

故圆的方程为(x-5)2+y2=9. 答案:(x-5)2+y2=9

2 2 x y 4.(2013·贵阳模拟)若椭圆 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的焦点在x 2 a b 轴上,过点 (1, 1 ) 作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线 2

AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是_____.

【解析】因为一条切线为x=1,直线AB恰好经过椭圆的右焦点
1 和上顶点,所以椭圆的右焦点为(1,0),即c=1,设点 P(1, ), 2

连接OP,则OP⊥AB,因为 k OP ? 1 , 所以kAB=-2,又因为直线AB
2

过点(1,0),所以直线AB的方程为2x+y-2=0,因为点(0,b)在 直线AB上,所以b=2,又因为c=1,所以a2=5,因此椭圆的方程
2 2 x y 为 ? ? 1. 5 4 2 2 x y 答案: ? ? 1 5 4

热点 四

直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用

2 2 x y 1.(2013·哈尔滨模拟)已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左焦点 a b

为 F ? 2, 点F到右顶点的距离为 3 ? 2. 0, (1)求椭圆的方程. (2)设直线l与椭圆交于A,B两点,且与圆 x 2 ? y 2 ? △AOB的面积的最大值.
3 相切,求 4

?

?

【解析】(1)由题意得 c ? 2,a ? c ? 3 ? 2. ∴ a ? 3, b2=a2-c2=1,∴椭圆方程为
x2 ? y 2 ? 1. 3

(2)当直线l的斜率不存在时,l的方程为 x ? ?

2 x 3 此时|AB|= 2 程 ? y ? 1得y ? ? , 3. 3 2 3 当直线l的斜率为0时,l的方程为 y ? ? , 代入椭圆方程 2 x2 3 ? y2 ? 1得x ? ? , 此时 AB ? 3. 3 2

3 , 代入椭圆方 2

当直线l的斜率存在且不为0时,设直线l的方程为y=kx+m.点A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
m 3 3 3 2 2 ? , 相切得 即 m ? ? k ? 1? , 2 2 4 4 1? k 2 ?x ? y 2 ? 1, ? 由方程组 ? 3 消去y得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0. ? y ? kx ? m, ?

由直线l与圆x2+y2=

3 ? m 2 ? 1? ?6km x1 ? x 2 ? 2 , x1 x 2 ? , 3k ? 1 3k 2 ? 1

|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
? (1 ? k 2[ ) 36k 2 m 2
2 2 2

? 3k ? 1? 3k ? 1 12 ?1 ? k ?? 3k ? 1 ? m ? 3 ?1 ? k ?? 9k ? ? ? 3k ? 1? ?3k ? 1?
2 2 2 2 2 2 2

?

12 ? m 2 ? 1?



2 2

? 1?

12k 2 12 ? 3? 4 ? 3 ? 1 9k ? 6k 2 ? 1 9k 2 ? 2 ? 6 k

1 2 9k 2 ? 2 ? 6 k 即 k ? ? 3 时等号成立,此时|AB|max=2. 3

? 3?

12

1 ? 4. 当且仅当 9k 2 ? 2 , k

∴△AOB面积的最大值为 S ? 1 AB ? 3 ? 3 . max
2 2 2

2 2 x y 2.(2013·咸阳模拟)已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0),过点A(a,0), a b B(0,b)的直线倾斜角为 5? , 原点到该直线的距离为 3 . 6 2

(1)求椭圆的方程.

(2)斜率小于零的直线过点D(1,0)与椭圆交于M,N两点,若
???? ? ???? 求直线MN的方程. MD =2DN ,

(3)是否存在实数k,使直线y=kx+2交椭圆于P,Q两点,以PQ为
直径的圆过点D(1,0)?若存在,求出k的值;若不存在,请说 明理由.

3 1 1 3 , a ?b= ? ? a 2 ? b2 , 3 2 2 2 2 x 得a= 3, b=1,所以椭圆方程是: ? y 2 ? 1. 3 2 x (2)设MN:x=ty+1(t<0)代入 ? y 2 ? 1, 得 3

【解析】(1)由 ?

b a

(t2+3)y2+2ty-2=0,

设M(x1,y1),N(x2,y2),由 MD ? 2DN,得y1=-2y2.
由 y1 ? y 2 ? ? y 2 ? ? 22t , y1y 2 ? ?2y 2 2 ? 2?2
t ?3 t ?3 2t ?2 得 ?2( 2 ) 2 ? 2 , ∴t=-1,t=1(舍去). t ?3 t ?3

???? ?

????

直线MN的方程为:x=-y+1,即x+y-1=0.

2 (3)存在.理由如下:将y=kx+2代入 x ? y 2 ? 1, 得

3

(3k2+1)x2+12kx+9=0 设P(x3,y3),Q(x4,y4),PQ为直径的圆过D(1,0), 则PD⊥QD,即 (x3-1,y3)·(x4-1,y4)=(x3-1)(x4-1)+y3y4=0, 又y3=kx3+2,y4=kx4+2, 得(k2+1)x3x4+(2k-1)(x3+x4)+5=0

(*)



12k , x3 ? x 4 ? ? 2 , 3k 2 ? 1 3k ? 1 代入①解得 k= ? 7 , 6 此时(*)方程Δ>0,∴存在 k ? ? 7 , 满足题设条件. 6

又 x3x 4 ?

9

2 x 3.(2013·武汉模拟)已知椭圆G: ? y 2 ? 1.过点(m,0)作圆 4

x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点. (1)求椭圆G的焦点坐标和离心率. (2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.

【解析】(1)由已知得a=2,b=1,所以 c ? a 2 ? b2 ? 3. 所以椭圆G的焦点坐标为 ? 3,0 , 3,0 , 离心率为 e ? c ? 3 .
a 2

?

??

?

(2)由题意知,|m|≥1.

当m=1时,切线l的方程为x=1,点A,B的坐标分别为
(1, 3 3 ),(1, ? ), 此时 AB ? 3. 2 2

当m=-1时,同理可得|AB|= 3. 当|m|>1时,设切线l的方程为y=k(x-m).
?y ? k ? x ? m? , 由? ? x2 2 ? ? y ? 1, ?4

得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.

设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
8k 2 m 4k 2 m 2 ? 4 则 x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? . 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k km 2 2

又由l与圆x +y =1相切,得
即m2k2=k2+1.

k ?1
2

? 1,

所以|AB|? ? x 2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2
? ?

?1 ? k ?[? x
2

1 ? x 2 ? ? 4x1x 2 ] 2

?1 ? k 2 ?[

64k 4 m 2

?1 ? 4k ?
2

2

?

4 ? 4k 2 m 2 ? 4 ? 1 ? 4k 2

]?

4 3m . 2 m ?3

由于当m=〒1时,|AB|= 3,
|m | m∈(-∞,-1]∪[1,+∞). 所以|AB|= 4 3 , m2 ? 3

因为 AB ? 4 3 m ? 4 3 2
m ?3

3 m? m

? 2,

且当 m ? ? 3 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2.


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