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【创新方案】2015届高考数学(新课标版,文)二轮复习专题讲解课件:专题2 3、考前必懂的 22 个解题方法

时间:2015-02-01


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三、考前必懂的22个解题方法

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1.解决集合问题要“四看” (1)看代表元素:代表元素反映了集合中元素的特征,解 题时需分清是点集、数集还是其他集合. (2)看元素组成:集合是由元素组成的,从研究集合的元 素入手是解集合问题的常用方法. (3)

看能否化简:有些集合是可以化简的,如果先化简再 研究其关系,可使问题变得简捷. (4)看能否数形结合:常用的数形结合的形式有数轴、坐 标系和 Venn 图.
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2.充分条件与必要条件的判断方法 (1)定义法:正、反方向推理,若 p?q,则 p 是 q 的充 分条件(或 q 是 p 的必要条件);若 p?q,且 q?/ p,则 p 是 q 的充分不必要条件(或 q 是 p 的必要不充分条件). (2)集合法:利用集合间的包含关系.例如,若 A?B, 则 A 是 B 的充分条件(B 是 A 的必要条件);若 A=B,则 A 是 B 的充要条件. (3)等价法: 将命题等价转化为另一个便于判断真假的命 题.
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3.利用导数研究函数单调性的步骤 第一步:确定函数 f(x)的定义域; 第二步:求 f′(x); 第三步:解方程 f′(x)=0 在定义域内的所有实数根; 第四步:将函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐 标和各实数根按从小到大的顺序排列起来, 分成若干个小区 间; 第五步:确定 f′(x)在各小区间内的符号,由此确定每个区 间的单调性

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4.求函数 y=f(x)在某个区间上的极值的步骤 第一步:求导数 f′(x); 第二步:求方程 f′(x)=0 的根 x0; 第三步:检查 f′(x)在 x=x0 左右的符号: ①左正右负?f(x)在 x=x0 处取极大值; ②左负右正?f(x)在 x=x0 处取极小值.

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5.求函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步 骤 第一步:求函数 y=f(x)在区间(a,b)内的极值(极大值或 极小值); 第二步:将 y=f(x)的各极值与 f(a),f(b)进行比较,其中 最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.

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6.求解恒成立问题的主要方法 (1)分离参数法:当不等式中的参数(或关于参数的代数 式)能够与其他变量完全分离开来, 且分离后不等式另一边的 函数(或代数式)的最值可求出时,应用分离参数法. (2)最值法:当不等式一边的函数(或代数式)的最值能够 较容易地求出时, 可直接求出这个最值(最值中可能需用参数 表示),然后建立关于参数的不等式求解. (3)数形结合法:如果不等式中涉及的函数、代数式对应 的图象、图形较易画出时,可通过图象、图形的位置关系建 立不等式求得参数范围. (4)更换主元法:在问题所涉及的几个变量中,选择一个 最有利于问题解决的变量作为主元进行求解.
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7.判断函数 f(ωx+φ)的奇偶性的方法 π (1)若 y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则有 φ=kπ+2(k∈Z); 若为奇函数,则 φ=kπ(k∈Z). (2)若 y=Acos(ωx+φ)为偶函数,则有 φ=kπ(k∈Z);若 π 为奇函数,则 φ=kπ+2(k∈Z). kπ (3)若 y=tan(ωx+φ)为奇函数,则有 φ= 2 (k∈Z).

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8.确定函数 y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)解析式的 方法 最大值-最小值 最大值+最小值 2π A= ,B= ,ω= T ,求 2 2 φ 时,常根据“五点法”中的五个点求解,可以根据图象的 升降找准第一个零点的位置,把第一个零点作为突破口. .

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9.三角函数恒等变换的基本策略 (1)常值代换:特别是 “1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan 45° 等. (2) 项的分拆与角的配凑:如 sin2α + 2cos2α = (sin2α + α+β α-β α 2 2 cos α)+cos α;α=(α-β)+β;β= 2 - 2 ;α 可视为2的 ?π ? π ? 2α? 倍角;4± α 可视为?2± ?的半角等. ? ? (3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式 降次. (4)弦、切互化:一般是切化弦.

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(5) 公式的变形应用 , 如 sin α = cos αtan α , sin2α = 1-cos 2α 1+cos 2α 2 , cos α= , tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan 2 2 ? α α? ? 2 cos2? αtan β),1± sin α=?sin2± ? 等. ? ? (6)化简三角函数式: ? b? ? 2 2 asin α+bcos α= a +b sin(α+φ)?tan φ=a? ?. ? ?

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10.数列求和的常用方法 (1)公式法: ①等差数列求和公式; ②等比数列求和公式; 1 ③常用公式:1+2+3+?+n=2n(n+1);12+22+32+?+ 1 2 n =6n(n+1)(2n+1);1+3+5+?+(2n-1)=n2. (2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将 “和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和. (3)倒序相加法:在数列求和中,若和式中到首尾距离相 等的两项和有其共性,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其 共性的作用求和. (4)错位相减法: 如果数列的通项是由一个等差数列的通 项与一个等比数列的通项相乘构成 , 那么常选用错位相减
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(5)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差” 的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求 和.常用的裂项形式有: 1 1 1 ① = - ; n?n+1? n n+1 1 ? 1 1? ?1 ② =k ?n-n+k? ?; n?n+k? ? ? 1 ? 1 1 1? ? 1 ③k2< 2 =2?k-1-k+1? ?; k -1 ? ? 1 1 1 1 1 1 1 k -k+1=?k+1?k<k2<?k-1?k=k-1-k ; ? 1 1 1 1? ? ④ =2?n?n+1?-?n+1??n+2?? ?; n?n+1??n+2? ? ? ⑤an=Sn-Sn-1(n≥2).
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11.数列的通项的求法 (1)公式法:①等差数列的通项公式;②等比数列的通项 公式. (2)已知 Sn(即 a1+a2+?+an=Sn)求 an,用作差法:
? ? ?S1,n=1, an=? ? ? ?Sn-Sn-1,n≥2.

(3)已知 a1· a2· ?· an=f(n),求 an,用作商法:

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(4)若 an+1-an=f(n),求 an,用累加法:an=(an-an-1) + (an - 1 - an - 2) +?+ (a2 - a1) + a1 = f(n - 1) + f(n - 2) +?+ f(1)+a1(n≥2). an+1 (5)若 a =f(n),求 an,用累乘法: n an an-1 a2 an= · · ?· · a =f(n-1)· f(n-2)· ?· f(1)· a1(n≥2). an-1 an-2 a1 1

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(6)an=kan-1+b,an=kan-1+bn(k,b 为常数)的递推数列 都可以用待定系数法,先将问题转化为公比为 k 的等比数列 后,再求 an. an-1 (7)形如 an= 的递推数列可以用倒数法求通项. kan-1+b

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12.已知定值求最值的常考形式及应试方法 (1)已知 x>0,y>0,若积 xy 是定值 p,则当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 p. (2)已知 x>0,y>0,若和 x+y 是定值 s,则当 x=y 时, 12 积 xy 有最大值4s . (3)已知 a,b,x,y>0,若 ax+by=1,则有
?1 1? 1 1 by ax ? ? +y? = a + b + + ≥a + b + 2 ab = x + y = (ax + by) ? x y ?x ?

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13.求解线性规划问题 (1)二元一次不等式表示的平面区域:设点 P(x1,y1), Q(x2,y2),l:Ax+By+C=0,若 Ax1+By1+C 与 Ax2+By2 +C 同号, 则 P, Q 在直线 l 的同侧; 异号则在直线 l 的异侧. (2)求解线性规划问题的步骤: ①根据实际问题的约束条 件列出不等式;②作出可行域,写出目标函数;③确定目标 函数的最优位置,从而获得最优解. (3)可行域的确定:“线定界,点定域”,即先画出与不
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(4)目标函数的几何意义:z=ax+by 的几何意义是直线 ax+by-z=0 在 x 轴上的截距的 a 倍,是直线 ax+by-z=0 y-b 在 y 轴上的截距的 b 倍; z= 表示的是可行域内的点 P(x, x-a y)与点 Q(a,b)连线的斜率;z=(x-a)2+(y-b)2 表示的是可 行域内的点 P(x,y)与点 Q(a,b)的距离的平方. (5)线性目标函数在线性可行域内的最优解(非整点解)一 般在可行域的边界或顶点处取得.

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14.证明位置关系的方法
? a∥b? α ⊥ β ? ? ? α∥β? ? ? ? ? a⊥β? (1)线面平行: b?α??a∥α, ? a ∥ α , ? ? a ? β ? a?α ? a?α ? ? ?

?a∥α. (2) 线 线 平 行 : a∥α ? ? a⊥α? ? ? ? ??a∥b, a?β ? a ∥ b , ? ? b ⊥ α ? α∩β=b? ?

α∥β ? ? a∥b? ? ? ??b∥c. α∩γ=a??a∥b, ? ? a ∥ c ? β∩γ=b ? ?
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(3)面面平行: α∥β? ? ??α∥γ. γ∥β ? ?

a?α,b?α? ? a⊥α? ? ? ? ?? α ∥β, a∩b=O ? α ∥ β , ? ? a ⊥ β ? a∥β,b∥β ? ?

a⊥α? ? ??a⊥b. (4)线线垂直: b?α? ?

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? a?α,b?α? α⊥β ? ? ? ? ? ??a (5)线面垂直: a∩b=O ??l⊥α, α∩β=l ? a?α,a⊥l? l⊥a,l⊥b ? ? ?

α∥β? a∥b? ? ? ? ??b⊥α. ⊥β, ? a ⊥ β , a⊥ α ? a⊥α? ? ? a?β? a∥β? ? ? ??α⊥β, ??α⊥β. (6)面面垂直: ? a⊥α? a⊥α? ?

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15.空间位置关系的转化

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16.直线与圆锥曲线的位置关系 可通过表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所 得一元二次方程解的情况来判断. 设直线 l 的方程为 Ax+By +C=0,圆锥曲线方程为 f(x,y)=0.
? ? ?Ax+By+C=0, 由? ? ? ?f?x,y?=0, 2

消元,

如消去 y 后得 ax +bx+c=0. (1)若 a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线 l 与双曲线的 渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线 l 与抛物 线的对称轴平行(或重合). (2)若 a≠0,设 Δ=b2-4ac.
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①Δ>0 时,直线和圆锥曲线相交于不同的两点; ②Δ=0 时,直线和圆锥曲线相切于一点; ③Δ<0 时,直线和圆锥曲线没有公共点.

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17.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1,y1), P2(x2,y2),则所得弦长 |P1P2|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] 或|P1P2|=
? 1? ? ? 2 1 + [ ? y 2 1+y2? -4y1y2]. ? ? k? ?

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18.用样本估计总体 (1) 众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横 坐标. (2) 中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的 直线与横轴交点的横坐标. (3) 平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘 以小矩形底边中点的横坐标之和.

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19.方差与标准差的计算 标准差的平方就是方差,方差的计算 1 (1)基本公式 s2=n[(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2]. 1 2 2 2 (2)简化计算公式①s =n[(x1+x2+?+x2 x 2],或写 n ) - n· 1 2 2 2 2 成 s =n(x1+x2+?+x2 ) - x ,即方差等于原数据平方和的 n 平均数减去平均数的平方.

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1 2 2 2 (3)简化计算公式②s2=n(x′2 1+x′2+?+x′n)- x ′ 当一组数据中的数据较大时,可依照简化平均数的计算 方法, 将每个数同时减去一个与它们的平均数接近的常数 a, 得到一组新数据 x1′=x1-a, x2′=x2-a, ?, xn′=xn-a, 即得上述公式.

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20.复数的基本概念与运算问题的解题思路 (1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题, 一 般是确定复数的实部和虚部,然后再根据实部、虚部所满足 的条件,列方程(组)求解. (2)与复数 z 的模|z|和共轭复数 z 有关的问题,一般都要 先设出复数 z 的代数形式 z=a+bi(a,b∈R),代入条件,用 待定系数法解决.

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21.用程序框图描述算法应注意的问题 (1)读懂程序框图,弄清程序框图的基本结构. (2)含有循环结构的程序,要执行完每一次循环,直至循 环结束.

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22.应用合情推理应注意的问题 变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论.

(1)在进行归纳推理时,要先根据已知的部分个体,把它们适

(2)在进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推理过程 然后类比推导类比对象的性质.

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