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浙江省台州中学2015届高三上学期第三次统练试题数学(文)


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台州中学 2014 学年第一学期第三次统练试题

高三数学(文科)
命题:陈守湖 审题:金玲虹

一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的) 1.

设集合 M={x| ? A. [?1, )

1 2

1 1 ? x ? },N={x | x2 ≤ x},则 M∩N =( 2 2 1 1 B. (? ,1] C. [0, ) 2 2

) D. (? , 0] )

2. 已知 f ( x) ? sin( x ? ? )(? ? R ) ,则“ ? ? A.充分不必要条件 C.充要条件

?

1 2

2

”是“ f ( x) 是偶函数”的(

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3. 一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为 10 3 , 则 h? ( ) A.

3 2

B. 3

C.3

D.5

3

4. 将函数 y ? cos( x ?

?
3

) 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐

标不变) ,再向左平移 A. x ?

?
6

个单位,所得图像的一条对称轴方程为(



?
9

B. x ?

?
8
2

C. x ?
2

?
2

D. x ? ?

5. 已知过点 P(2,2)的直线与圆 ( x ? 1) ? y ? 5 相切,且与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直, 则 a =( A. ? ) B.1 C.2 D.

1 2

1 2

6. 设 l 为直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B.若 l⊥α,l⊥β,则 α∥β C.若 l⊥α,l∥β,则 α∥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β 7. 已知函数 f ( x) ? ax ? b sin x ? 4(a, b ? R ) ,f (lg(log 2 10)) ? 5 , 则 f (lg(lg 2)) ? (
3

)

A. ?5
x

B ?1
?x

C 3

D 4

8. 若函数 f ( x) ? ka ? a (a ? 0且a ? 1) 在( ?? , ?? )上既是奇函数又是增函数,则 函数 g ( x) ? log a ( x ? k ) 的图象是( )

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9. 已知△ABC 外接圆的半径为 1 , 圆心为 O , 且 CA ? BA ? 2OA , 则 CA ? BC | OA |?| AB | , 的值是( (A) 3 ) (B) 2 (C) ? 2 (D) ? 3

10. 函数 f ( x) ? min 2 x , x ? 2 ,其中 min ?a, b? ? ?

?

?

? a, a ? b ,若动直线 y ? m 与函数 ?b, a ? b

y ? f ( x) 的图像有三个不同的交点,它们的横坐标分别为 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x 3 的最
大值为( A.4 ) B.3 C.2 D.1

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) sin 2? 11.若 tan ? ? 2 ,则 的值为 . 2 sin ? ? 4 cos 2 ?
12.若 x, y 满足条件 ?

? y ? 2 | x | ?1 ,则 z = x+3y 的最大值为 ? y ? x ?1
a5 的值为 a3




13. 设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和, S5 ? 3(a2 ? a8 ) , 则



?21? x ,  x ? 0, 14. 函数 f ( x) ? ? 则 f (3.5) 的值为 ? f ( x ? 1), x ? 0.

15. 如图, 已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 内切球,则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为 . A1

D1 B1 ·O D A B

C1

1 16 .已知正实数 a, b 满足 2a ? b ? 1 ,则 4a 2 ? b 2 ? 的最小 ab
值为 .

C

17 .已知点 P 为双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0, b ? 0) 上任意一点,

过点 P 作双曲线的渐近线的平行线,分别与两渐近线交于 M , N 两点,若
PM ? PN ? b 2 ,则该双曲线的离心率为



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三、解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18. (本题满分 14 分) 在△ ABC 中, 角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c , 且 (Ⅰ)若 C ?
5 ? ,求角 B 的大小; 12
b sin 2C . ? a sin A

(Ⅱ)若 b ? 2 ,

?
3

?C ?

?
2

,求△ ABC 面积的最小值.

19. (本小题满分 14 分) 已知等差数列 ?a n } 的前 n 项和为 S n , 且 a2 ? 8, S 4 ? 40 . 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 2bn ? 3 ? 0 , n ? N ? . (Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ? ?

?a n n为奇数 , 求数列 ?c n ? 的前 2n ? 1 项和 P2 n ?1 . ?bn n为偶数

20. (本小题满分 15 分)在四棱锥 P ? ABCD 中, AD // BC , ?ABC ? ?APB ? 90? , 点 M 是线段 AB 上的一点,且 PM ? CD , AB ? BC ? 2 PB ? 2 AD ? 4 BM . (1)证明:面 PAB ? 面 ABCD ; (2)求直线 CM 与平面 PCD 所成角的正弦值.

P M
C

A D

B

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21. (本题满分 15 分)已知二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2bx ? c(b, c ? R ) 满足 f (1) ? 0 ,且关于 x 的 方程 f ( x) ? x ? b ? 0 的两个实数根分别在区间 (?3, ?2) 、 (0,1) 内. (1)求实数 b 的取值范围; (2)若函数 F ( x) ? log b f ( x) 在区间 (?1 ? c,1 ? c) 上具有单调性,求实数 c 的取值范围.

22. (本题满分 14 分)已知抛物线 C 的方程为 y =2 px(p>0) ,点 R(1,2)在抛物线 C 上. (I)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)过点 Q(l,1)作直线交抛物线 C 于不同于 R 的两点 A,B,若直线 AR,BR 分别 交直线 l:y= 2x+2 于 M,N 两点,求|MN|最小时直线 AB 的方程.

2

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高三统练(文科)
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的) 题 号 答 案 C A B C C B C C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 D 1

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 5 ? 11. 12. 11 13. 14. 15. 6 6

16.

17 2

17. 2

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18. (本题满分 14 分) 【解析】 (Ⅰ) (本小题 7 分) 由正弦定理,得
b sin B sin 2C . ? ? a sin A sin A

5 1 ∴ sin B ? sin 2C ? sin ? ? . 6 2

∴ B?

?
6

(B ?

5? 舍) . 6

(Ⅱ) (本小题 7 分) 由(Ⅰ)中 sin B ? sin 2C 可得 B ? 2C 或 B ? 2C ? ? . 又 B ? 2C 时,

?
3

?C ?

?
2

,B ?

2 ? ,即 B ? C ? ? ,矛盾. 3

所以 B ? 2C ? ? , ? ? A ? C ? 2C ? ? ,即 A ? C . 所以 S ?ABC ? 即当 C ?
1 hb ? tanC ? 3 , 2

?
3

时, S ?ABC 的最小值是 3 .

19. (本小题满分 14 分) 【解析】 (Ⅰ)由题意, ?

? a1 ? d ? 8 ?a1 ? 4 ,? an ? 4n . ,得 ? ?d ? 4 ?4a1 ? 6d ? 40

???3 分

Tn ? 2bn ? 3 ? 0 ,?当n ? 1时,b1 ? 3 , 当n ? 2时,S n ?1 ? 2bn ?1 ? 3 ? 0 ,两式相减,得 bn ? 2bn ?1 , (n ? 2)

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数列 ?bn ?为等比数列,? bn ? 3 ? 2n ?1 . (Ⅱ) cn ? ?

????7 分

n为奇数 ? 4n . n ?1 3 ? 2 n 为偶数 ?
? a2 n ?1 ) ? (b2 ? b4 ? ? b2 n )
?????8 分

P2 n ?1 ? (a1 ? a3 ?
?

[4 ? 4(2n ? 1) ? (n ? 1)] 6(1 ? 4n ) ? 2 1? 4

?????12 分 ?????14 分

? 22 n ?1 ? 4n 2 ? 8n ? 2

20. (本小题满分 15 分) 【解析】 (1)由 AB ? 2 PB ? 4 BM ,得 PM ? AB , 又因为 PM ? CD ,且 AB ? CD ,所以 PM ? 面 ABCD ,??5 分 且 PM ? 面 PAB .所以,面 PAB ? 面 ABCD 。??7 分 (2)过点 M 作 MH ? CD ,连结 HP , 因为 PM ? CD ,且 PM ? MH ? M , 所以 CD ? 平面 PMH ,又由 CD ? 平面 PCD , 所以平面 PMH ? 平面 PCD ,平面 PMH ? 平面 PCD ? PH ,过点 M 作 MN ? PH ,即 有 MN ? 平面 PCD , 所以 ?MCN 为直线 CM 与 平面 PCD 所成角.??10 分 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 设 AB ? 2t , 则
N

P M
C

A

B

D

P

15 3 7 5 CM ? t , PM ? t , MH ? t, 2 2 10
∴ PH ?

A

M

B

D

4 5 7 3 t , MN ? t 5 16 MN 7 5 ,即直线 CM 与 ? CM 40 7 5 .??15 分 40

H
C

从而 sin ?MCN ?

平面 PCD 所成角的正弦值为

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21. (本题满分 15 分). 【解析】 (1)由题知 f (1) ? 1 ? 2b ? c ? 0, ? c ? ?1 ? 2b. 记 g ( x) ? f ( x) ? x ? b ? x 2 ? (2b ? 1) x ? b ? c ? x 2 ? (2b ? 1) x ? b ? 1 ,
? g (?3) ? 5 ? 7b ? 0 ? g (?2) ? 1 ? 5b ? 0 1 ? 1 5 ? 则? ? ? b ? , 即b?( , ) . g (0) ? ? 1 ? b ? 0 5 ? 5 7 ? ? ? g (1) ? b ? 1 ? 0

(2)令 u ? f ( x), 0 ?

1 ? ? b ? ? ? , ? log b u 在区间 (0, ??) 上是减函数. 5 ?

而 ?1 ? c ? 2b ? ?b ,函数 f ( x) ? x 2 ? 2bx ? c 的对称轴为 x ? ?b ,
? f ( x) 在区间 (?1 ? c,1 ? c) 上单调递增.

从而函数 F ( x) ? log b f ( x) 在区间 (?1 ? c,1 ? c) 上为减函数. 且 f ( x) 在区间 (?1 ? c,1 ? c) 上恒有 f ( x) ? 0 ,只需要 f (?1 ? c) ? 0 ,
? ?c ? ?2b ? 1 ?? ? ? f (?1 ? c) ? 0 1 ? ( ?b? ) 17 5 ? ? ? ? c ? ?2. 7

22. (本题满分 14 分)

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