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2012福建高考数学理科试题及答案


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2012 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 数学试题(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.理科:第Ⅱ卷第 21 题为选考题,其他题为必考题,满分 150 分. 第Ⅰ卷 一、选择题:(理科)本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题 给出的四个选项中

,只有一项是符合题目要求的.(文科)本大题共 12 小题,每 小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若复数 z 满足 zi=1-i,则 z 等于( ) A.-1-i B.1-i C.-1+i D.1+i A.3+4i B.5+4i C.3+2i D.5+2i 2.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( A.1 B.2 C.3 D.4 3.下列命题中,真命题是( ) A. x0∈R, e
x
x0

)

?0
a ? ?1 b
)

B. x∈R,2 >x2 C.a+b=0 的充要条件是

D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件 4.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是( A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 5.下列不等式一定成立的是( )

1 )>lg x(x>0) 4 1 B.sinx+ ≥2(x≠kπ,k∈Z) sinx
A.lg(x2+ C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.

1 ? 1 (x∈R) x ?1
2

6.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的 概率为( )

A.

1 4

B.

1 5

C.

1 6

D.

1 7
1

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7.设函数 D(x) ? ?

?1, x为有理数, 则下列结论错误的是( ?0, x为无理数,
B.D(x)是偶函数 D.D(x)不是单调函数

)

A.D(x)的值域为{0,1} C.D(x)不是周期函数

x2 y 2 ? 2 ? 1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点 8.已知双曲线 4 b
到其渐近线的距离等于( A. 5 B. 4 2
x

) C.3 D.5

? x ? y ? 3 ? 0, ? 9.若函数 y=2 图象上存在点(x,y)满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 则实数 m 的最大值 ? x ? m, ?
为( ) A.

1 2

B.1

C.

3 2

D.2

f(

x1 ? x2 1 ) ? [f ? x1 ?+f ? x2 ?] ,则称 f(x)在[a,b]上具有性质 P.设 f(x)在[1,3]上 2 2

10 . 函 数 f(x) 在 [ a , b ] 上 有 定 义 , 若 对 任 意 x1 , x2∈ [ a , b ] ,有

具有性质 P,现给出如下命题: ①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的; ②f(x2)在[1, 3 ]上具有性质 P; ③若 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f(x)=1,x∈[1,3] ; ④对任意 x1, x2, x3, x4∈ [1,3] , 有 f( 其中真命题的序号是( ) A.①② B.①③

x1 ? x2 ? x3 ? x4 1 ) ? [f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)] . 4 4
D.③④

C.②④

第Ⅱ卷 二、填空题:(理科)本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在 答题卡的相应位置.(文科)本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填 在答题卡的相应位置.
11. (a+x)4 的展开式中 x3 的系数等于 8,则实数 a=________.

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12.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 s 值等于________. 13.已知△ABC 的三边长成公比为 2 的等比数列,则其最大角的余弦值为________.

nπ ? 1 ,前 n 项和为 Sn,则 S2 012=________. 2 ? a 2 ? ab,a ? b, a * b ? 15.对于实数 a 和 b,定义运算“*”: ? 2 ?b ? ab,a ? b.
14.数列{an}的通项公式 an ? ncos 设 f(x)=(2x-1)*(x-1), 且关于 x 的方程 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1, x2,x3,则 x1x2x3 的取值范围是__________.

三、解答题:(理科)本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.(文科)本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.
16. 受轿车在保修期内维修费等因素的影响, 企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出 现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为 2 年.现从该厂已 售出的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆,统计数据如下: 品牌 甲 乙 首次出现故障 0<x≤1 1<x≤2 x>2 0<x≤2 x>2 时间 x(年) 2 3 45 5 45 轿车数量(辆) 每辆利润 1 2 3 1.8 2.9 (万元) 将频率视为概率,解答下列问题: (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概 率; (2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1,生产一辆乙品牌 轿车的利润为 X2,分别求 X1,X2 的分布列; (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的 轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.

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17.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin213° +cos217° -sin13° cos17° ; 2 2 ②sin 15° +cos 15° -sin15° cos15° ; ③sin218° +cos212° -sin18° cos12° ; ④sin2(-18° )+cos248° -sin(-18° )cos48° ; 2 2 ⑤sin (-25° )+cos 55° -sin(-25° )cos55° . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.

18.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AD=1,E 为 CD 中点.

(1)求证:B1E⊥AD1. (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P, 使得 DP∥平面 B1AE?若存在, 求 AP 的长; 若不存在, 说明理由. (3)若二面角 A-B1E-A1 的大小为 30° ,求 AB 的长.

19. 如图, 椭圆 E:

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左焦点为 F1, 右焦点为 F2, 离心率 e ? . 过 2 2 a b

F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且△ABF2 的周长为 8.

(1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 l: y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P, 且与直线 x=4 相交于点 Q. 试 探究:在坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 环球网校——中国职业教育领导者品牌
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的坐标;若不存在,说明理由.

20.已知函数 f(x)=ex+ax2-ex,a∈R. (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴,求函数 f(x)的单调区间; (2)试确定 a 的取值范围,使得曲线 y=f(x)上存在唯一的点 P,曲线在该点处的切线与 曲线只有一个公共点 P.

21. (1)选修 4-2:矩阵与变换 设曲线 2x2+2xy+y2=1 在矩阵 A ? ?

+y2=1. ①求实数 a,b 的值; ②求 A2 的逆矩阵. (2)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知 直 线 l 上 两 点 M , N 的 极 坐 标 分 别 为 (2,0) , ? ?

? a 0? 2 ? (a>0)对应的变换作用下得到的曲线为 x b 1 ? ?

?2 3 π? , ? ? ,圆 C 的参数方程为 3 2 ? ?

? ? x ? 2 ? 2cos? , (θ 为参数). ? y ? ? 3 ? 2sin ? ? ?
①设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; ②判断直线 l 与圆 C 的位置关系. (3)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1] . ①求 m 的值; ②若 a,b,c∈R+,且

1 1 1 ? ? ? m ,求证:a+2b+3c≥9. a 2b 3c

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22.(文)已知函数 f(x)=axsinx-

3 π π?3 (a∈R),且在[0, ]上的最大值为 . 2 2 2

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明.

答案
1 ? i (1 ? i)i i ? i 2 i+1 ? 2 ? ? ? ?1 ? i . 1. A 由 zi=1-i,得 z ? i i ?1 ?1
2. B ∵a1+a5=10=2a3, ∴a3=5.故 d=a4-a3=7-5=2. 3. D ∵a>1>0,b>1>0,∴由不等式的性质得 ab>1, 即 a>1,b>1?ab>1. 4. D ∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆, ∴这个几何体不可以是圆柱. 2 2 5. C ∵x +1≥2|x|?x -2|x|+1≥0, 2 2 2 ∴当 x≥0 时,x -2|x|+1=x -2x+1=(x-1) ≥0 成立; 2 2 2 当 x<0 时,x -2|x|+1=x +2x+1=(x+1) ≥0 成立. 2 故 x +1≥2|x|(x∈R)一定成立. 6. C ∵由图象知阴影部分的面积是

1 2 1 1 2 3 1 ( x ? x )d x ? ( ? x 2 ? x2 ) ? ? ? , ?0 0 3 2 6 3 2
1

1 1 ∴所求概率为 6 ? . 1 6
7. C ∵D(x)是最小正周期不确定的周期函数, ∴D(x)不是周期函数是错误的. 8. A 由双曲线的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合,知 c ?
2

p ? 3 ,c2=9=4+b2, 2

于是 b =5, b ? 5 .因此该双曲线的渐近线的方程为 y ? ?
2

5 x ,即 5x ? 2y ? 0 .故 2

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该双曲线的焦点到其渐近线的距离为 d ?

|3 5 | ? 5. 5? 4

9. B 由约束条件作出其可行域如图所示:

由图可知当直线 x=m 经过函数 y=2 的图象与直线 x+y-3=0 的交点 P 时取得最大值, x 即得 2 =3-x,即 x=1=m. 10. D ①如图 1,

x

图1 在区间[1,3]上 f(x)具有性质 P,但是是间断的,故①错. 2 2 ②可设 f(x)=|x-2|(如图 2),当 x∈[1,3]时易知其具有性质 P,但是 f(x )=|x -2|= ?
2 ? ?2 ? x ,1 ? x ? 2, 2 ? ? x ? 2, 2 ? x ? 3

不具有性质 P(如图 3).

故②错.

图2

图3 ③任取 x0∈[1,3] ,则 4-x0∈[1,3] , 1=f(2)= f (

x0 ? 4 ? x0 1 ) ≤ [f(x0)+f(4-x0)] . 2 2

又∵f(x0)=1,f(4-x0)≤1, ∴

1 [f(x0)+f(4-x0)]≤1. 2

∴f(x0)=f(4-x0)=1.故③正确. 环球网校——中国职业教育领导者品牌
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x1 ? x2 x3 ? x4 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 2 ) ④ f( )? f( 2 4 2 x3 ? x4 ? 1 1 ? x1 ? x2 ≤ ?f( ,故④正确. )+f ( ) ? ≤ [f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)] 2? 2 2 ? 4
11.答案:2 解析:∵Tr+1= Cr 4ax
r 4-r

,∴当 4-r=3,即 r=1 时,T2= C1 4 ·a·x =4ax =8x .故 a
3 3 3

=2. 12.答案:-3 解析:(1)k=1,1<4,s=2×1-1=1; (2)k=2,2<4,s=2×1-2=0; (3)k=3,3<4,s=2×0-3=-3; (4)k=4,直接输出 s=-3. 13.答案: ?

2 4

解析:设△ABC 的最小边长为 a(m>0),则其余两边长为 2a ,2a,故最大角的余弦值

a 2 ? ( 2a)2 ? (2a)2 ?a 2 2 是 cos? ? . ? ?? 2 4 2 ? a ? 2a 2 2a
14.答案:3 018 解析:∵函数 y ? cos

nπ 2π 的周期 T ? ?4, π 2 2

∴可用分组求和法: a1+a5+?+a2 009= 1 ? 1 ? …+1=503 ;
503个

a2+a6+?+a2 010=(-2+1)+(-6+1)+?+(-2 010+1)=-1-5-?-2 009=

503( ?1 ? 2009) =-503×1 005; 2 a3+a7+?+a 2 011= 1 ? 1 ? …+1=503 ;
503个

a4 + a8 +?+ a2

012

= (4 + 1) + (8 + 1) +?+ (2 012 + 1) =

503 ? (5 ? 2013) =503×1 2

009; 故 S2 012=503-503×1 005+503+503×1 009 =503×(1-1 005+1+1 009)=3 018. 15.答案:(

1? 3 ,0) 16

2 ? ?2x -x,x ? 0, 解析:由已知,得 f ? x ?= ? 2 ? ?-x +x,x>0,

作出其图象如图,结合图象可知 m 的取值范围为 0<m<

1 , 4

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当 x>0 时,有-x +x=m,即 x -x+m=0, 于是 x1x2=m. 2 当 x<0 时,有 2x -x-m=0,

2

2

1 ? 1 ? 8m . 4 m(1 ? 1 ? 8m ) 故 x1 x2 x3 ? . 4 设 h(m)=m(1- 1 ? 8m ),
于是 x3 ? ∵h′(m)=(1- 1 ? 8m )+[m( ? = 1 ? 1 ? 8m ?

1 8 )] 2 1 ? 8m

4m ?0, 1 ? 8m

∴函数 h(m)单调递减. 故 x1x2x3 的取值范围为(

1? 3 ,0). 16

16.解:(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 A, 则 P (A) ?

2?3 1 ? . 50 10
X1 P
1 2 3

(2)依题意得,X1 的分布列为

1 25
X2 P
1.8

3 50
2.9

9 10

X2 的分布列为

1 10

9 10

1 3 9 143 +2× +3× = =2.86(万元), 10 50 25 50 1 9 E(X2)=1.8× +2.9× =2.79(万元). 10 10
(3)由(2)得,E(X1)=1× 因为 E(X1)>E(X2),所以应生产甲品牌轿车. 17.解:方法一:(1)选择②式,计算如下: sin 15°+cos 15°-sin15°cos15°=1-
2 2 2 2

1 1 3 sin30°= 1 ? ? . 2 4 4 3 . 4

(2)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sinα ·cos(30°-α )= 证明如下: 2 2 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α ) 环球网校——中国职业教育领导者品牌

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=sin α +(cos30°cosα +sin30°sinα ) -sinα ·(cos30°cosα +sin30°sinα )

2

2

3 1 1 3 3 2 2 2 cos α + sinα cosα + sin α - sinα ·cosα - sin α 4 4 2 2 2 3 3 3 2 2 = sin α + cos α = . 4 4 4
=sin α +
2

方法二:(1)同方法一. (2)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sinα ·cos(30°-α )= 证明如下: 2 2 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α ) =
2 2

3 . 4

1 ? cos2? 1 ? cos(60? ? 2? ) ? -sinα (cos30°cosα +sin30°sinα ) 2 2 1 1 1 1 3 = - cos2α + + (cos60°·cos2α +sin60°sin2α ) - sinα cosα - 2 2 2 2 2 1 2 sin α 2 1 1 1 1 1 3 3 = - cos2α + + cos2α + sin2α - sin2α - (1-cos2α ) 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 3 = 1 ? cos2? ? ? cos2? ? . 4 4 4 4 18.解:(1)以 A 为原点, AB , AD , AA 1 的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建
立空间直角坐标系(如图).

a ,1,0),B1(a,0,1),故 AD1 = 2 a a (0,1,1), B1E =( ? ,1,-1), AB1 =(a,0,1), AE =( ,1,0). 2 2 a ∵ AD1 · B1E = ? ×0+1×1+(-1)×1=0, 2
设 AB=a,则 A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E( ∴B1E⊥AD1. (2)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0,z0), 使得 DP∥平面 B1AE. 此时 DP =(0,-1,z0). 又设平面 B1AE 的法向量 n=(x,y,z). ∵n⊥平面 B1AE,

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? ax ? z ? 0, ? ∴n⊥ AB1 ,n⊥ AE ,得 ? ax ? y ? 0. ? ?2
取 x=1,得平面 B1AE 的一个法向量 n=(1, ? 要使 DP∥平面 B1AE,只要 n⊥ DP ,有

a ,-a). 2

a 1 -az0=0,解得 z0 ? . 2 2 1 又 DP 平面 B1AE,∴存在点 P,满足 DP∥平面 B1AE,此时 AP ? . 2
(3)连接 A1D,B1C,由长方体 ABCD?A1B1C1D1 及 AA1=AD=1,得 AD1⊥A1D. ∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C. 又由(Ⅰ)知 B1E⊥AD1,且 B1C∩B1E=B1, ∴AD1⊥平面 DCB1A1.∴ AD1 是平面 A1B1E 的一个法向量,此时 AD1 =(0,1,1).

n· AD1 ? 设 AD1 与 n 所成的角为 θ ,则 cos? ? | n || AD1 |
∵二面角 A-B1E-A1 的大小为 30°, ∴|cosθ |=cos30°,即

a ? ?a 2 . a2 2 1 ? ? a2 4

3a 2 2 1? 5a 4
2

?

3 , 2

解得 a=2,即 AB 的长为 2. 19.解:方法一:(1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8, 即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8, 又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a, 所以 4a=8,a=2. 又因为 e ?

1 c 1 ,即 ? ,所以 c=1. 2 a 2

所以 b ? a2 ? c2 ? 3 .

x2 y 2 ? ? 1. 4 3 ? y ? kx ? m, ? 2 2 2 (2)由 ? x 2 y 2 得(4k +3)x +8kmx+4m -12=0. ? 1, ? ? ?4 3
故椭圆 E 的方程是

因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0),所以 m≠0 且 ? =0, 2 2 2 2 即 64k m -4(4k +3)(4m -12)=0, 2 2 化简得 4k -m +3=0.(*)

4km 4k 3 ?? ,y0=kx0+m= , 2 4k ? 3 m m 4k 3 所以 P( ? , ). m m
此时 x0 ? ? 环球网校——中国职业教育领导者品牌
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由?

? x ? 4, 得 Q(4,4k+m). ? y ? kx ? m,

假设平面内存在定点 M 满足条件,由图形对称性知,点 M 必在 x 轴上. 设 M(x1,0),则 MP ? MQ ? 0 对满足(*)式的 m,k 恒成立.

4k 3 ? x1 , ), MQ =(4-x1,4k+m), m m 由 MP ? MQ ? 0 , 16k 4kx1 12k ? ? 4x1 ? x12 ? ?3? 0 , 得? m m m k 2 整理,得(4x1-4) +x1 -4x1+3=0.(**) m ? 4 x1 ? 4 ? 0, 由于(**)式对满足(*)式的 m,k 恒成立,所以 ? 2 解得 x1=1. ? x1 ? 4 x1 ? 3 ? 0,
因为 MP =( ? 故存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M. 方法二:(1)同方法一.

? y ? kx ? m, ? 2 2 2 (2)由 ? x 2 y 2 得(4k +3)x +8kmx+4m -12=0. ? 1, ? ? ?4 3

因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0),所以 m≠0 且 ? =0, 2 2 2 2 即 64k m -4(4k +3)(4m -12)=0, 2 2 化简得 4k -m +3=0.(*)

4km 4k 3 ?? ,y0=kx0+m= , 2 4k ? 3 m m 4k 3 所以 P( ? , ). m m x ? 4 , ? 由? 得 Q(4,4k+m). ? y ? kx ? m,
此时 x0 ? ? 假设平面内存在定点 M 满足条件,由图形对称性知,点 M 必在 x 轴上. 取 k=0, 此时 P(0, 3 ), Q(4, 3 ), 以 PQ 为直径的圆为(x-2) +(y- 3 ) m? 3,
2 2

=4,交 x 轴于点 M1(1,0),M2(3,0);取 k ? ? 直径的圆为 (x ?

1 3 ,m=2,此时 P(1, ),Q(4,0),以 PQ 为 2 2

5 2 3 45 ) ? (y ? ) 2 ? ,交 x 轴于点 M3(1,0),M4(4,0).所以若符合条件的点 2 4 16 4k 3 ? 1 , ), MQ =(3,4k+m), m m

M 存在,则 M 的坐标必为(1,0). 以下证明 M(1,0)就是满足条件的点:
因为 M 的坐标为(1,0),所以 MP =( ? 从而 MP ? MQ ? ?

12k 12k ?3? ? 3 ? 0, m m

故恒有 MP ? MQ ,即存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M. x 20.解:(1)由于 f′(x)=e +2ax-e,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处切线斜率 k=2a =0, 环球网校——中国职业教育领导者品牌
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所以 a=0,即 f(x)=e -ex. x 此时 f′(x)=e -e,由 f′(x)=0 得 x=1. 当 x∈(-∞,1)时,有 f′(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,有 f′(x)>0. 所以 f(x)的单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(1,+∞). (2)设点 P(x0, f(x0)), 曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程为 y=f′(x0)(x-x0)+f(x0), 令 g(x)=f(x)-f′(x0)(x-x0)-f(x0), 故曲线 y=f(x)在点 P 处的切线与曲线只有一 个公共点 P 等价于函数 g(x)有唯一零点. x 因为 g(x0)=0,且 g′(x)=f′(x)-f′(x0)=e -ex0+2a(x-x0). (1)若 a≥0,当 x>x0 时,g′(x)>0,则 x>x0 时,g(x)>g(x0)=0; 当 x<x0 时,g′(x)<0,则 x<x0 时,g(x)>g(x0)=0. 故 g(x)只有唯一零点 x=x0. 由 P 的任意性,a≥0 不合题意. x x (2)若 a<0,令 h(x)=e -ex0+2a(x-x0),则 h(x0)=0,h′(x)=e +2a. * 令 h′(x)=0,得 x=ln(-2a),记 x′=ln(-2a),则当 x∈(-∞,x )时,h′(x)< * * * 0,从而 h(x)在(-∞,x )内单调递减;当 x∈(x ,+∞)时,h′(x)>0,从而 h(x)在(x , +∞)内单调递增. * * * * ①若 x0=x ,由 x∈(-∞,x )时,g′(x)=h(x)>h(x )=0;x∈(x ,+∞)时,g′(x) * =h(x)>h(x )=0,知 g(x)在 R 上单调递增. * 所以函数 g(x)在 R 上有且只有一个零点 x=x . * * * ②若 x0>x , 由于 h(x)在(x , +∞)内单调递增, 且 h(x0)=0, 则当 x∈(x , x0)时有 g′(x) * =h(x)<h(x0)=0,g(x)>g(x0)=0;任取 x1∈(x ,x0)有 g(x1)>0. x 2 又当 x∈(-∞,x1)时,易知 g(x)=e +ax -[e+f′(x0)]x-f(x0)+x0f′(x0)<ex1 2 2 +ax -[e+f′(x0)]x-f(x0)+x0f′(x0)=ax +bx+c, 其中 b=-[e+f′(x0)] ,c=ex1-f(x0)+x0f′(x0). 由于 a<0,则必存在 x2<x1, 2 使得 ax2 +bx2+c<0. 所以 g(x2)<0.故 g(x)在(x2,x1)内存在零点, 即 g(x)在 R 上至少有两个零点.

x

x3 ③若 x0<x ,仿②并利用 e ? ,可证函数 g(x)在 R 上至少有两个零点. 6
*

x

综上所述,当 a<0 时,曲线 y=f(x)上存在唯一点 P(ln(-2a),f(ln(-2a))),曲线 在该点处的切线与曲线只有一个公共点 P. 21. (1)选修 4-2:矩阵与变换 2 2 解:①设曲线 2x +2xy+y =1 上任意点 P(x,y)在矩阵 A 对应的变换作用下的像是 P′(x′,y′). 由?

? x? ? ? a 0 ? ? x ? ? ax ? ? x? ? ax, ??? ?? ??? ? ,得 ? ? y? ? ? b 1? ? y ? ? bx ? y ? ? y? ? bx ? y.
2 2 2 2 2 2 2

又点 P′(x′,y′)在 x +y =1 上,所以 x′ +y′ =1,即 a x +(bx+y) =1, 2 2 2 2 整理得(a +b )x +2bxy+y =1. 依题意得 ?

?a 2 ? b 2 ? 2,

?2b ? 2, ?a ? 1, 因为 a>0,所以 ? ?b ? 1.
②由①知, A ? ?

解得 ?

?a ? 1, ?a ? ?1, 或? ?b ? 1, ?b ? 1,

?1 0 ? ?1 0 ??1 0 ? ?1 0 ? 2 ?,A ?? ?? ??? ?, ?1 1 ? ?1 1 ??1 1 ? ? 2 1?
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所以|A |=1,(A ) = ?

2

2 -1

? 1 0? ?. ? ?2 1?

(2)选修 4-4:坐标系与参数方程

2 3 ). 3 3 又 P 为线段 MN 的中点,从而点 P 的平面直角坐标为(1, ), 3 3 故直线 OP 的平面直角坐标方程为 y ? x. 3 2 3 ②因为直线 l 上两点 M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),(0, ), 3 所以直线 l 的平面直角坐标方程为 3x ? 3y ? 2 3 ? 0 .
解:①由题意知,M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),(0, 又圆 C 的圆心坐标为(2, ? 3 ),半径 r=2, 圆心到直线 l 的距离 d ?

| 2 3 ?3 3 ?2 3 | 3 ? ? r ,故直线 l 与圆 C 相交. 2 3?9

(3)选修 4-5:不等式选讲 解:①因为 f(x+2)=m-|x|,f(x+2)≥0 等价于|x|≤m, 由|x|≤m 有解,得 m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}. 又 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1] ,故 m=1.

1 1 1 ? ? ? 1 ,又 a,b,c∈R+,由柯西不等式得 a 2b 3c 1 1 1 ? ) a+2b+3c=(a+2b+3c)( ? a 2b 3c 1 1 1 2 ? 2b ? ? 3c ? ) =9 . ≥( a ? a 2b 3c
②由①知

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