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倍角公式与半角公式

时间:2015-10-10


两角和与差的三角函数

评卷人

得分 二、填空题

1.若 cos ? ?

? 4 ,且 ? ? ? 0, ? ? ,则 tg ? 5 2
得分 三、新添加的题型



评卷人

f ( x) ? A sin(? x ?

/>2. (本小题满分 12 分)已知函数 为 T ? 6? ,且 f (2? ) ? 2 . (1)求 f ( x ) 的表达式;

?

) 6 ( A ? 0 , ? ? 0) 的最小正周期

? ? , ? ? [0, ]
(2)设

2 ,

f (3? ? ? ) ?

16 5? 20 f (3? ? ) ? ? 5 , 2 13 ,求 cos(? ? ? ) 的值.

3. (本小题满分 13 分)在非等腰△ABC 中,a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边, 且 a=3,c=4,C=2A. (Ⅰ)求 cosA 及 b 的值;

? –2A)的值. 3 ? 1 ? 4. 【改编】已知 sin( ? ? ) ? ,则 cos 2( ? ? ) 的值是( )
(Ⅱ)求 cos(

6

3

3

A.

7 9

B.

1 3

C. ?

1 3


D. ?

7 9

4 5.若 cos? ? ? , ? 是第三象限的角,则 5
A.

? 2 =( ? 1 ? tan 2
1 ? tan
D.-2

1 2

B. ?

1 2

C.

3 5

6.己知 a ? R,sin a ? 3cos a ? 5 ,则 tan 2a=_________.

4 , 则 sin 2? ? 4 5 ? 4 8.已知 cos( ? ? ) ? , 则 sin 2? ? 4 5
7.已知 cos( ? ?

?

)?

. .

9. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c 且 a ? b ,已知

试卷第 1 页,总 7 页

B A 2 ?1 4 sin C . cos C ? , c ? 3 2 , sin A cos 2 ? sin B cos 2 ? 2 2 2 5 (Ⅰ)求 a 和 b 的值; (Ⅱ)求 cos( B ? C ) 的值. ? 10. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? )(? ? 0, x ? R) 的最小正周期为 6
(1)求 ? 的值; (2)若 f (? ) ?

?.

? 2 , ? ? (0, ) ,求 cos 2? 的值. 8 3

11. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2sin 2 x ? 1( x ? R) . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)若在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , a ? 3 , A 为锐角, 且 f (A?

?
8

)?

2 ,求 ?ABC 面积 S 的最大值. 3

12.已知函数 y ? log a ( x ?1) ? 3 , (a ? 0 且 a ? 1) 的图象恒过点 P ,若角 ? 的终边经 过点 P ,则 sin 2 ? ? sin 2? 的值等于_______. 13.已知 ? ? (0, ? ) ,且 sin ? ? cos ? ? A. ?

1 ,则 cos 2? 的值为( 2
D. ?



7 4

B.

7 4

C. ?

7 4

3 4

14. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? A sin(? x ? ? )( x ? R, A ? 0, ? ? 0,| ? |? 部分图象如图所示.

?
2

)的

(1)试确定函数 f ? x ? 的解析式; (2)若 f (

? 1 2? ) ? ,求 cos( ? ? ) 的值. 2? 3 3
2 ,且 0? ? ? ? 90? ,则 cos 2? 的值为 10


15.已知 sin(? ? 45 ?) ? ?

试卷第 2 页,总 7 页

16.已知 sin(? ? 45 ?) ? ? 17.已知 ? ? (?

2 ,且 0? ? ? ? 90? ,则 cos 2? 的值为 10
. .



4 ,则 tan 2? ? 2 5 ? 4 18.已知 ? ? (? ,0),cos( ? ? ?) ? ? ,则 tan 2? ? 2 5 ,0),cos( ? ? ?) ? ?
19.设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? (

?

?

2

, ? ) ,则 tan 2? 的值是________.

20. (本题满分 12 分) 设 f (? ) ? 值。 21.①存在 ? ? (0,

2 cos 3 ? ? sin 2 (2? ? ? ) ? sin(

??) ? 3 ? 2 , 求 f ( )的 2 2 ? 2 cos (? ? ? ) ? cos( ?? ) 3
1 ;②存在区间 ( a, b) 使 y ? cos x 为减函数而 3

?

?
2

) 使 sin a ? cos a ?

sin x ? 0 ;
③ y ? tan x 在其定义域内为增函数;④ y ? cos 2 x ? sin( 又是偶函数; ⑤ y ? sin | 2 x ?

?
2

? x) 既有最大、最小值,

?
6

| 最小正周期为 ? ,

以上命题错误的为____________。 )

22. 【原创】在△ABC 中,若 sin(A+B-C)=sin(A-B+C) ,则△ABC 必是( (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等腰或直角三角形 (D)等腰直角三角形 23. 【原创】 y ? 2 sin x 的值域是( )
2

A.[-2,2]

B.[0,2]

C.[-2,0]

D.R

2 24. (本小题满分 12 分)已知 sin ? 是方程 5 x ? 7 x ? 6 ? 0 的根,且 ? 是第三象限角,

sin(?? ?


3? 3? ) cos( ? ? ) tan2 (? ? ? ) 2 2 的值。

cos( ? ? ) sin( ? ? ) 2 2 x 25. f(x)=cos , 则下列等式成立的是( 2
(A) f (2? ? x) ? f ( x) (C) f (? x) ? ? f ( x)

?

?



(B) f (2? ? x) ? f ( x) (D) f (? x) ? f ( x)

26. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? ? ),(0 ? ? ? ? ) 的图像过点 (

?
6

,1) .

(1)求 ? 的值; (2)将函数 y ? f ( x) 图像上各点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数

? ] 上的最大值和最小值. 2 ? 27. 【原创】 (本小题满分 12 分)将函数 f ( x ) ? 2 sin( x ? ) (x∈R)的图像向左平移 3
y ? g ( x) 的图像,求函数 y ? g ( x) 在 [ 0,
试卷第 3 页,总 7 页

m(m ? 0) 个单位长度后,所得到的图像关于 y 轴对称,
(1)求 m 的最小值; (2)在(1)的条件下,求函数 f ( 28 . 【 改 编 题 】 已 知

?
4

? x) 的单调减区间。 5 1 o? ? s ? ) ?( 2 3
, 求

c

s s ?[ i

?i ? ? ) n ( s ?i ? 2? n) ( 的值. ? 3 ? n s ? ?i) ? 1] n c ( ?o? 3 ? s ) s ( ?i ? ? ) n? c ( ?o? ? s) (
2 2

29. (本小题满分 12 分)求证:2(1-sinα ) (1+cosα )= (1 ? sin? ? cos?)2 . 30 . 已 知 f ? x? ? 3 sin?? ? ? x? sin ?

? 3? ? 2 ? ? x? ? cos ?x ? ?? ? 2 ?

?0的 最 小 正 周 期为

T ?? .
(1)求 f ?

? 2? ? 3

? ? 的值; ?
B 的大小以及 f ? A? 的取值范围. ,则求角 b co C s

、 C所 对 应 的 边 分 别 为 a、 b 、 c, 若 有 ( 2 ) 在 ?ABC 中 , 角 A、 B

? ? 2a ? c ? c o sB

31.已知函数 f ( x) ? 3cos2 x ? 2sin x cos x ? sin 2 x . (1)求 f ( x ) 的最大值,并求出此时 x 的值; (2)写出 f ( x ) 的单调区间. 32. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (2 cos2 x, 3) , 函数 f ( x) ? m ? n . n ? (1, sin 2x) , (Ⅰ)求函数 f (x)的最小正周期和单调递减区间; (Ⅱ) 在 ?ABC 中,a ,b ,c 分别是角 A ,B ,C 的对边, 且 f (C ) ? 3 ,c ? 1 ,?ABC

的面积为 33 .

3 ,且 a > b,求 a,b 的值. 2
( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数

f ? x ? ? 2a sin ? x cos ? x ? 2 3 cos 2 ? x ? 3 ? a ? 0, ? ? 0 ? 的最大值为 2,且最小正
周期为 ? . (1)求函数 f ? x ? 的解析式及其对称轴方程; (2)若 f ?? ? ? 34. 若 tan ? +

4 ?? ? , 求 sin ? 4? ? ? 的值. 3 6? ?

1 =4,则 sin2 ? =_________. tan ?

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35. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 3sin x cos x ? 3 3 cos 2 x ? (1)求 f ? x ? 的最大值和取得最大值时 x 的集合. ( 2 )设 ? ? ? 0,

3 3 , x?R . 2

36 ?? ? ? ? 5? ? ? ?? ? 2? ? ? 9 ,求 ? ?? , f ? ? ? , ? ? ? ,? ? , f ? ??? 13 ?2 ? ? 2 12 ? ? 2? ? 3 2? 5

cos?? ? ? ? 的值.
36.已知 tan ? ? ? ,则 sin 2? = ( A.

3 5

) C. ? ) C. ?

15 17

B. ?

15 17

8 17

D.

8 17

37.已知 tan ? ? ? ,则 sin 2? = ( A.

3 5

15 17

B. ?

15 17

8 17


D.

8 17

38.已知 ? ? ? ? , A.

? ?

3? 2
4 3

5 ? , tan 2? =( ? ,cos ? ? ? 5 ?
C. ? 2 D.2

4 3

B.-

39. (本题满分 12 分) 已知函数 y ? cos2 x ? a sin x ? a 2 ? 2a ? 5 有最大值 2 ,求实 数 a 的值. 40. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? (2cos x ? sin x) ? cos2 x . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)设

?
4

?? ?

?
2

,且 f (? ) ? ?

5 2 ,求 sin 2? 的值. 13

2 41. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? 1 ? 2sin ( x ? ) ,x∈R .

π 4

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

π π , ] 上是否为增函数?并说明理由. 6 6 x x 42. (本小题满分 14 分)已知 sin ? 2 cos ? 0. 2 2 (1)求 tan x 的值; cos 2 x
(Ⅱ)判断函数 f ( x ) 在区间 [ ? (2)求

2 cos( ? x) sin x 4
43. 已知 0 ? x ? ? ,且 sin 2 x ? ?

?

的值。

7 ?? ? ,则 sin? ? x ? 的值为__________. 25 ?4 ?

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44.已知 sin (? ? A.

?
4

)?
4 5

7 7 2 , cos2 ? ? , sin ? ? ( 25 10
C. ?



4 5

B. ?

45.已知 sin ? ? cos ? ?

1 ? ,且 ? ? ? ? ,则 cos 2? = 5 2

3 5

D.

3 5

.

46.2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基 础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如 图) .如果小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,直角三角形中较小的锐角为 ? , 那么 cos 2? 的值等于 .

47.已知角 ? 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,角 ? 的终边与圆心在原 点的单位圆(半径为 1 的圆)交于第二象限内的点 A( x A , ) ,则 sin 2? = 数值表示) 48.已知角 ? 的终边与单位圆 x 2 ? y 2 ? 1交于点 P ? , y0 ?,则 cos 2? 等于

4 5

. (用

?1 ?2

? ?

A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.1

x x ? 1 cos( ? ) ? 的最大值为 _________ . 2 2 6 2 3? ? 1 ) cos( x ? ) ? ? , 则 cos 4 x 的值等于( 50.已知 sin( x ? ) 4 4 4
49.函数 f ( x) ? 2sin A.

1 4

B.

2 4

C.

1 2

D.

2 2

51.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? (1)求 f (

? ? ) ? cos(2x ? ) ? 2cos2 x . 6 3

? ) 的值; 12

(2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)函数 f ( x) 的图像可由

y ? sin x 的图像如何变换得来,请详细说明.
1 ,则 cos 2? ? ( 3


52.若 ? ? (0, ? ) ,且 cos ? ? sin ? ? ?

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(A)

17 9

(B) ?

17 9

(C) ?

17 9

(D)

17 3

53 . (本小题满分 12 分)已知,在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2a ? c ) AB? BC ? cBC? CA
(Ⅰ)求 ? B 的大小; (Ⅱ)若 f ( x ) ? 2 sin 2x ? cos 值和最小值. 54.已知 ? 为锐角,且满足 cos 2? ? sin ? ,则 ? 等于( A. 30? 或 270? B. 45? C. 60? ) D. 30? )

5? ? B B , ] ,求 f ( x) 的最大 ? 2 cos 2x ? sin , x ? [ ? 12 12 2 2

55.已知 ? 是第二象限角,且 sin(? ? ? ) ? ? A.
4 5

3 ,则 tan 2? 的值为( 5

B. ?

23 7

C. ?

24 7

D. ? 3

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参考答案 1.

1 3

【解析】

4 1? 1 ? cos ? 5 ?1. ? 试题分析:解 1:因为 ? ? ? 0, ? ? ,所以 tan ? 4 3 2 1 ? cos ? 1? 5

?

4 1? 1 ? cos ? 5 ? 1. 2 ? 2 ? ? ? ? ? 3 sin ? 3 cos 2sin cos 2 2 2 5 3 ? sin ? 1 解 3:同 2, tan ? ? 5 ? . 2 1 ? cos ? 1 ? 4 3 5

? 3 解 2:由已知 sin ? ? , tan ? 5 2

sin

?

2sin 2

?

考点:半角公式,二倍角公式 2. (1) f ( x) ? 4sin( ?

x 3

?
6

); (2) cos(? ? ? ) ?

63 . 65

【解析】 试题分析:本题主要考查三角函数的周期、诱导公式、平方关系、两角差的余弦公式等基础 知识, 考查学生的分析问题解决问题的能力、 计算能力.第一问, 利用 T ?

2? 1 , 求出 ? ? , 3 |? |

再利用 f (2? ) ? 2 解三角方程,得 A ? 4 ,所以得到了函数解析式;第二问,将 3? ? ? 代

3 4 ,再利用平方关系,得出 sin? ? , 5 5 5? 5 将 3? ? 代入解析式中,利用诱导公式,得出 sin ? ? ,用平方关系求出 cos ? ,最后 2 13
入第一问所求解析式中,利用诱导公式求出 cos? ? 代入到 cos(? ? ? ) 的展开式中即可.

2π 2π 1 x π = ? ,∴ f(x) = Asin( + ) , 2分 T 6π 3 3 6 2π π 5π + ) = 2 ,即 Asin = 2 ,∴A=4, 4 分 由 f(2π )=2,得 Asin( 3 6 6 x π ∴ f(x) = 4sin( + ) . 5分 3 6 16 1 π 16 (2)由 f(3α + π) = ,得 4sin[ (3α + π) + )] = , 5 3 6 5 π 16 4 即 4sin(α + ) = ,∴ cos? ? , 6分 2 5 5
试题解析: (1)依题意得 ? =

答案第 1 页,总 23 页

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3 , 7分 5 5π 20 1 5π π 20 ) = ? ,得 4sin[ (3? + ) + )] = ? , 由 f(3? + 2 13 3 2 6 13 5 5 即 sin(? + π) = ? ,∴ sinβ ? , 9分 13 13 π 12 又∵ β ? [0, ] ,∴ cosβ ? , 10 分 2 13 4 12 3 5 63 . cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65
又∵ α ? [0, ] ,∴ sin? ? 考点:三角函数的周期、诱导公式、平方关系、两角差的余弦公式. 3. (Ⅰ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由正弦定理得 解得 cosA .
2 2 2 2 由余弦定理 a ? b ? c – 2bccosA ,建立方程 b –

π 2

12 分

2 7 4 15 ? 1 , . (Ⅱ) . 3 3 18 3 4 3 4 = ,根据 C ? 2 A ,可得 = , sin A sin C sin A 2 sin A cos A 16 b ? 7 ? 0 ,根据 a,b,c 互不相等, 3

求得 b . (Ⅱ)由 cosA =

2 5 ,得 sin A = ,应用二倍角的三角函数求得 sin2 A, cos 2 A ,应用两角 3 3

和差的三角函数求 cos (

?
3

– 2 A) . a b C = = , sin A sin B sin C
2分

试题解析: (Ⅰ)解:在△ABC 中,由正弦定理 得

3 4 = , sin A sin C

因为 C ? 2 A ,所以 解得 cosA =

3 4 3 4 = ,即 = , sin A sin 2 A sin A 2 sin A cos A
4分

2 . 3

2 2 2 在△ABC 中,由余弦定理 a ? b ? c – 2bccosA ,

7 16 b ? 7 ? 0 ,解得 b ? 3,或b ? . 3 3 7 因为 a,b,c 互不相等,所以 b ? . 3
2 得b –

7分

(Ⅱ)∵ cosA =

2 5 ,∴ sin A = , 3 3

答案第 2 页,总 23 页

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∴ sin 2 A ? 2 sinAcosA ?

1 4 5 , cos 2 A ? 2cosA2 ? 1 ? ? , 9 9

11 分

∴ cos (

?
3

– 2 A) =

1 3 4 15 ? 1 cos 2 A + sin 2 A = . 2 18 2

13 分

考点:1.和差倍半的三角函数;2.正弦定理、余弦定理的应用. 4.D. 【解析】

1 ? ? ? 7 ? ? ) ? ,∴ cos( ? 2? ) ? cos[2( ? ? )] ? 1 ? 2sin 2 ( ? ? ) ? , 6 3 3 6 6 9 ? 2? ? ? 7 ? 2? ) ? cos[? ? ( ? 2? )] ? ? cos( ? 2? ) ? ? . ∴ cos[2( ? ? )] ? cos( 3 3 3 3 9
试题分析:∵ sin(

?

考点:1.诱导公式;2.倍角公式. 5.D 【解析】 试 题 分 析











s ? s i o 2 s 4 2 ? 2 2 2 c ? ,因为 cos? ? ? , 2 ? ? ? ? ? ? ? s 1? t a ? n c 2 o ?1 ? s ? s i 5 i n 2 2 2 2 2 4 ? ? 1 ? tan 3 2 ? 5 ? ?2 . 且 ? 是第三象限的角,故 sin ? ? ? ,故 ? 3 5 1? 1 ? tan 5 2 t a n c
考点:同角三角函数基本关系式. 6. ?

1?

?

?

?

?

? o

?

?

?

n n

?
2

4 3

【解析】
2 2 试题分析:由 sin a ? 3cos a ? 5 得, sin ? = 5 ? 3cos ? ,代入 sin ? ? cos ? ? 1 整理

得, 5cos

2

? ? 3 5 cos ? ? 2 ? 0 ,解得 cos? =

5 2 5 或 cos ? = , 5 5

当 cos ? =

2 tan ? 4 5 2 5 时, sin ? = ,所以 tan ? =2,所以 tan 2? = =? ; 2 1 ? tan ? 3 5 5 1 2 tan ? 4 2 5 5 时, sin ? =,所以 tan ? = ? ,所以 tan 2? = =? , 2 2 1 ? tan ? 3 5 5 4 . 3

当 cos ? =

综上所述, tan 2? 的值为 ?

考点:同角三角函数基本关系式,二倍角公式,分类整合思想

答案第 3 页,总 23 页

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7. ?

7 25

【解析】 试题分析: sin 2? ? ? cos(2? ?

?

? ? 7 ) ? ? cos 2(? ? ) ? 1 ? 2 cos 2 (? ? ) ? ? . 2 4 4 25

考点:1、倍角公式;2、同角三角函数的基本关系; 8. ?

7 25

【解析】 试题分析: sin 2? ? ? cos(2? ?

?

? ? 7 ) ? ? cos 2(? ? ) ? 1 ? 2 cos 2 (? ? ) ? ? . 2 4 4 25

考点:1、倍角公式;2、同角三角函数的基本关系 9. (Ⅰ) a ? 5, b ? 1; (Ⅱ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)因为 cosC ?

31 2 50
4 8 2 2 , c ? 3 2 , 由余弦定理得: a ? b ? ab ? 18 ①,由 5 5

sin A cos2

B A 2 ?1 ? sin B cos 2 ? sin C 可得 sin A ? sin B ? 2 sin C .由正弦定理可 2 2 2
4 ? 0 ,可 5

知 a ? b ? 2c ? 6 .② 由①②结合 a ? b ,即可求出结果. (Ⅱ)因为 cos C ? 得 sin C ?

3 5 b sin C ? 2 7 2 , 因为 a ? b ,所以 0 ? B ? 所以 cos B ? , 利 ? c 2 10 10

由正弦定理知 sin B ?

用 cos( B ? C ) ? cos B cos C ? sin B sin C ,即可求出结果. 试题解析:解: (Ⅰ)因为 cos C ?
2 2 所以 a ? b ?

4 2 2 2 , c ? 3 2 ,由余弦定理得: c ? a ? b ? 2ab cos C 5

8 ab ? 18 ① 5

2分

由 sin A cos 2

B A 2 ?1 ? sin B cos 2 ? sin C 可得 2 2 2
3分

sin A ?

1 ? cos B 1 ? cos A 2 ?1 ? sin B ? ? sin C , 2 2 2

化简得 sin A ? sin A cos B ? sin B ? sin B cos A ? ( 2 ?1)sin C . 因为 sin A cos B ? cos A sin B ? sin( A ? B) ? sin C , 4分

答案第 4 页,总 23 页

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所以 sin A ? sin B ? 2 sin C . 由正弦定理可知 a ? b ? 2c ? 6 .② 由①②结合 a ? b ,解得 a ? 5, b ? 1. (Ⅱ)因为 cos C ? 6分 7分

4 ?0 5 3 5

所以 0 ? C ? 8分

?
2

2 所以 sin C ? 1 ? cos C ?

由正弦定理知

b c b sin C 2 ? ,所以 sin B ? , ? sin B sin C c 10

9分

因为 a ? b ,所以 0 ? B ?

?
2

所以 cos B ? 1 ? sin 2 B ?

7 2 , 10

10 分

所以 cos( B ? C ) ? cos B cos C ? sin B sin C

11 分

?

7 2 4 2 3 31 2 . ? ? ? ? 10 5 10 5 50

12 分

考点:1.三角恒变换;2.解三角形. 10. (1) 2 ; (2) 【解析】 试题分析: (1)利用 ? ?

2 6 ?1 . 6
2?
,即可求出 ? 的值; (2)先将已知条件进行化简,再利用同角

?

三角函数的基本关系求出 cos ? 2? ? 开,代入数值. 试题解析: (1)由

? ?

??

?? ?? ?? 进而 cos 2? 变形为 cos ?? 2? ? ? ? ? , 展 ? 的值, 6? 6 ? 6? ??



?

? π 得 ? =2 π 6

2分 3分

(2)由 f (? ) ? 2sin(2? ? ) ? ∵ ? ? (0, ∴ 2? ?

?
8

2 π 1 得 sin(2? ? ) ? 3 6 3

)
4分

?

? 5π ?( , ) 6 6 12
π 6
2

∴ cos(2? ? ) ? 1 ? sin (2? ? ) ?

π 6

2 2 3

6分

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∴ cos 2? ? cos[(2? ?

?

? cos(2? ? ) cos ? sin(2? ? ) sin 6 6 6 6

?

?

)? ] 6 6

?

8分

?

?

10 分

?

2 2 3 1 1 2 6 ?1 ? ? ? ? 3 2 3 2 6

12 分

考点:1、三角函数的最小正周期;2、同角三角函数的基本关系;3、两角差的余弦公式. 11. (1)最小正周期 T ? ? ,单调递增区间为 [ ? ? ? k? , 【解析】 试题分析: ( 1 ) 首 先 根 据 二 倍 角 公 式 以 及 辅 助 角 公 式 对 f ( x) 的 表 达 式 进 行 化 简 :

3 8

?
8

? k? ] ; (2)

3( 3 ? 2) . 4

f ( x) ? 2sin x cos x ? 2sin 2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) ,从而可知最小正周 4 2? ? ? ? ? ,再根据正弦函数 y ? sin x 在 [? ? 2k? , ? 2k? ] , k ? Z 上单调递增, 期T ? 2 2 2 3 ? ? ? ? 从而可令 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? ,解得 ? ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z ,即有 8 8 2 4 2
单调递增区间为 [ ? ? ? k? ,

?

3 8

?

? 2 6 ? k? ] ; (2) 由 (1) 及条件 f ( A ? ) ? 可知 cos A ? , 8 8 3 3

sin A ?

3 2 2 2 ,从而根据余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 可以得到 b , c 满足的一个等式: 3 2 6 2 6 9?3 6 ,从而 bc ? 3 ,再由基本不等式可知 3 ? 2bc ? bc ,即有 bc ? 3 3 2

b2 ? c 2 ?

1 1 9 ? 3 6 3 3( 3 ? 2) , 即 有 ?ABC 面 积 的 最 大 值 为 S?ABC ? bc sin A ? ? ? ? 2 2 2 3 4 3( 3 ? 2) . 4
2 试题解析: ( 1) f ( x) ? 2sin x cos x ? 2sin x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ?

最小正周期 T ?

2? 3 ? ? ? ? ?? , 2x ? ? 2 ?k ? , 令 ? ? 2 k? ? ∴ ? ? ? k? ? x ? ? k? , 2 8 8 2 4 2 3 ? k ? Z , 即 单 调 递 增 区 间 为 [ ? ? ? k? , ? k? ] ;( 2 ) 由 ( 1 ) 可 得 : 8 8

2 sin(2 x ? ) ,∴ 4

?

? 2 ? 2 1 f (A ? ) ? ? 2 sin(2 A ? ) ? ? cos 2 A ? , 8 3 2 3 3
答案第 6 页,总 23 页

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2 ∴ 2 cos A ? 1 ?

1 6 3 , cos A ? , sin A ? , ∴ 由 余 弦 定 理 可 得 : 3 3 3

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,
即 b2 ? c 2 ?

2 6 2 6 9?3 6 , bc ? 3 ? 2bc ? bc ,∴ bc ? 3 3 2

∴ S?ABC ?

1 1 9 ? 3 6 3 3( 3 ? 2) 9?3 6 ,当且仅当 b ? c ? 时, bc sin A ? ? ? ? 2 2 2 3 4 2

等号成立, 即 ?ABC 面积的最大值为

3( 3 ? 2) . 4

考点:1.三角函数的图象和性质;2.余弦定理;3.基本不等式. 12. ?

3 . 13

【解析】 试题分析:由题意得: P(2,3) ,∴ sin ? ?

3 22 ? 32

?

3 2 2 , cos ? ? , ? 13 13 22 ? 32

∴ sin ? ? sin 2? ?
2

9 3 2 3 ? 2? ? ?? . 13 13 13 13

考点:1.任意角的三角函数定义;2.三角恒等变形. 13.C. 【解析】

? ? co ? s? 试题分析:∵ sin

1 1 3 , ∴ 1 ? 2sin ? cos ? ? ? sin ? cos ? ? ? , 又 ∵ 2 4 8

? ? (0, ? ) ,
o s ?? 0 , s i n ?c o ? s ) ∴ sin ? ? 0 , ∴c ∴(
1 2 2s ?i n? c o s

?

??

7 7 ,sin ? ? cos ? ? , 4 2

cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? ?
考点:三角恒等变形. 14. (1) f ( x) ? 2sin(? x ? 【解析】

7 . 4

?
6

); (2) ?

17 . 18

试题分析: (1)由图象根据 f ( x ) 的最大值为 2 ,可知 A ? 2 ,再由

T 5 1 1 ? ? ? ,可知 4 6 3 2

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1 1 ? T ? 2 , ? ? ? ,再根据图象过点 ( , 2) ,从而可得 f ( ) ? 2 ,? ? ,即有 f ( x ) 的解析 3 3 6 ? 1 ? ? ? 1 ) ? ,可知 2sin( ? ) ? ,由 式为 f ( x) ? 2 sin(? x ? ) ; (2)由(1)及条件 f ( 2? 3 6 2 6 3 ? ? ? ? ? ? ? 1 诱导公式 sin( ? ) ? cos[ ? ( ? )] ? cos( ? ) ? ,从而再由二倍角公式可得, 2 6 2 2 6 3 2 6 2? 2? 17 cos( ? ? ) ? 2 cos 2 ( ? ? ) ?1 ? ? . 3 3 18 T 5 1 1 2? ? 2?? ?? , 试题解析: (1)由图可知, A ? 2 , ? ? ? ,又∵ ? ? 0 ,∴ T ? 4 6 3 2 ? 1 ? ? 1 由图可知, f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 经过 ( , 2) ,∴ 2sin( ? ? ? ) ? 2 ,即 ? ? ? , 3 3 2 3 ? ? ? 1 ? ? 1 x) ? 2 s n i( ? x) ? ; )? , s n i( ? ) ? , ∴? ? , ∴ f( (2) 由 (1) 可得, ∵ f( ∴2 6 6 2? 3 2 6 3 ? ? ? ? ? ? ? 1 sin( ? ) ? cos[ ? ( ? )] ? cos( ? ) ? ∴ , ∴ 2 6 2 2 6 3 2 6 2? 2? 17 cos( ? ? ) ? 2 cos 2 ( ? ? ) ?1 ? ? . 3 3 18
考点:1.三角函数的图象和性质;2.三角恒等变形.

7 15. 25
【解析】 试 题 分 析 :

cos 2? ? cos[2(? ? 45? ) ? 90? ] ? ? sin 2(? ? 45? ) ? ?2sin(? ? 45? )cos(? ? 45? ) ,由已知
sin(? ? 45?) ? ?
7 2 7 2 cos 2? ? . cos(? ? 45?) ? ? ? ? 25 10 且 ?45 ? ? ? 45 ? 45 得: 10 ,所以

考点:二倍角及诱导公式

7 16. 25
【解析】 试 题 分 析 :

cos 2? ? cos[2(? ? 45? ) ? 90? ] ? ? sin 2(? ? 45? ) ? ?2sin(? ? 45? )cos(? ? 45? ) ,由已知
sin(? ? 45?) ? ?
7 2 7 2 cos 2? ? . cos(? ? 45?) ? ? ? ? 25 10 且 ?45 ? ? ? 45 ? 45 得: 10 ,所以

考点:二倍角及诱导公式

24 17. 7 ?

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【解析】

4 3 3 2 tan ? 24 cos ? ? , sin ? ? ? ,tan? =tan 2? ? ?? . 2 5 5 4, 1 ? tan ? 7 试题分析:由题意得:
考点:二倍角公式

24 18. 7 ?
【解析】

4 3 3 2 tan ? 24 cos ? ? , sin ? ? ? ,tan? =tan 2? ? ?? . 2 5 5 4, 1 ? tan ? 7 试题分析:由题意得:
考点:二倍角公式 19. 3 【解析】 试 题 分 析 : 由

sin 2? ? ? sin ?



? ? ? ( ,? )
2





1 2? 4? cos ? ? ? , ? ? , tan 2? ? tan ? 3. 2 3 3
考点:三角函数给值求值 20. ?

1 2

【解析】 f (? ) ?

2 cos3 ? ? sin 2 ? ? cos? ? 3 2 cos3 ? ? 1 ? cos2 ? ? cos? ? 3 ? 2 ? 2 cos2 ? ? cos? 2 ? 2 cos2 ? ? cos?

?

2 cos3 ? ? 2 ? (cos2 ? ? cos? ) 2(cos3 ? ? 1) ? cos? (cos? ? 1) ? 2 ? 2 cos2 ? ? cos? 2 ? 2 cos2 ? ? cos? 2(cos? ? 1)(cos2 ? ? cos? ? 1) ? cos? (cos? ? 1) 2 ? 2 cos2 ? ? cos? (cos? ? 1)(2 cos2 ? ? cos? ? 2) ? cos? ? 1 2 ? 2 cos2 ? ? cos?

?

?

? ? 1 ? f ( ) ? cos ? 1 ? ? 。 3 3 2
21.①②③⑤. 【 解 析 】 当 ? ? (0,

?
2

) 时 sin a ? cos a ? 1 , 故 ① 错 ; ② 若 y ? co sx 为 减 函 数 , 则

x ?[2k? , ? ? 2k? ]k ? Z ,

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此时 sin x ? 0 ,故②错;③当 x 分别去 ? ,2? 时,y 都是 0,故③错;⑤ y ? sin | 2 x ? 小正周期为

?
6

|最

? ,故⑤错。 2

22.C 【解析】∵sin(A+B-C)=sin(A-B+C) ,∴sin(π -2C)=sin(π -2B) ,即 sin2C=sin2B, ∴2C=2B 或 2C=π -2B,即 C=B 或 C+B=

? ,∴△ABC 是等腰或直角三角形. 2

【原创理由】为了考查诱导公式的在判断三角形形状问题中的应用, 23.B 【解析】
2 2 试题分析:∵sinx∈[-1,1],∴ 0 ? sin x ? 1,则 0 ? 2 sin x ? 2 .

2 2 【原创理由】为了让学生弄清 sin x 与 sin x 的不同,同时考查正弦函数的值域。

24. ?

9 16
3 ,又 ? 1 ? sin ? ? 1 , 5

2 【解析】∵方程 5 x ? 7 x ? 6 ? 0 的根为 x1 ? 2, x2 ? ?

3 4 3 ? sin ? ? ? ,则 cos ? ? ? , tan ? ? , 5 5 4
∴原式= 25.D 【解析】由诱导公式 f ( ? x) ? cos(

cos? ? (? sin ? ) ? tan 2 ? 9 ? ? tan 2 ? ? ? . cos? sin ? 16
?x x ) ? cos , 且它的周期为 T=4π 知,只有 D 正确. 2 2

26. (1)

? 1 ; (2) 1, 3 2
? ?
3 6 ? ? ) ? 1 ,而 0 ? ? ? ? ,?? ?

【解析】 (1)由已知得 f ( ) ? cos( (2)由(1)得 f ( x ) ? cos( 2 x ? ∴ g ( x ) ? cos( 2 ?

?
3



?
3

),

1 ? ? x ? ) ,即 g ( x ) ? cos( x ? ) . 2 3 3 ? ? ? ? 1 ? 当 x ? [0, ] 时,- ≤x- ≤ ,∴ ? cos( x ? ) ? 1 , 2 2 3 3 3 6 1 ? ∴当 x=0 时, g ( x) 取得最小值 ,当 x= 时, g ( x) 取得最大值 1 2 3 ? ? 5? ], k ? Z 。 27. (1) ; (2) [2k? ? ,2k? ? 4 4 6
【解析】 ( 1 ) ∵ f ( x ) ? 2 sin( x ?

?

3

) 的 图 像 向 左 平 移 m(m ? 0) 个 单 位 长 度 后 , 得 到

答案第 10 页,总 23 页

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y ? 2 sin( x ?

?
3

? m)

的图像.又∵所得到的图像关于 y 轴对称,则有 k∈Z.∵m>0,∴当 k=0 时,m 的最小值为 ( 2 ) 由 ( 1 ) 知

? . 6

? ? ? +m=kπ + ,k∈Z,∴m=kπ + , 3 2 6

? x) ? 2 c o s ? ( x) , 令 4 4 ? 5? ? ? 2k? ? ? ? ? x ? 2k? , k ? Z ,整理得 2k? ? ? x ? 2k? ? ,故函数 f ( ? x) 的单 4 4 4 4 ? 5? ], k ? Z 。 调减区间为 [2k? ? ,2k? ? 4 4
f ( x) ? 2 cos x , 所 以 f (
【原创理由】为了综合性考查三角函数图像的平移、三角函数奇偶性,以及与三角函数有关 的复合函数单调区间的求法。 28.3

?

?

1 5 ? 1 ? ? ) ? ,∴ sin ? ? 。 3 2 2 3 ? sin ? sin ? ∴原式= ? sin ? (sin? ? 1) ? cos(? ? 3 ? ) sin ? ? cos(? ? 3 ? ) 2 2 1 sin ? 1 sin ? ? ? ? ? 1 ? sin ? ? sin 2 ? ? sin ? 1 ? sin ? cos(? ? ? ? ? ) sin ? ? cos(? ? ? ? ? ) 2 2 2 ? ? 3。 1 ? sin ?
【解析】∵ cos( ? ? ? ) ? cos( 2? ? 【改编理由】 在原有的基础上又考查了同角三角函数基本关系式, 加另外对诱导公式考查更 全面。 29.见证明过程。 【解析】右边= [(1 ? sin?) ? cos?]= (1 ? sin?) ? 2cos?(1 ? sin?) ? cos?
2

2

2

=1-2sinα + sin?

2

+2cosα (1-sinα )+ cos? =2-2sinα +2cosα (1-sinα )
2

=2(1-sinα ) (1+cosα )=左边,∴等式成立. 30. (1) f ? 【解析】 试题分析: (1)利用二倍角的正弦和余弦将公式进行化简,利用 T ?

? 2? ? 3

? ? ? 1? (2) B ? , f ? A? ? ? ?1, ? . ? ? ?1 ; 3 ? ? 2?
2? 得到 ? 的值,进 2?

而求得 f ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

?? 1

? 2? ? (2)在 ?ABC 中,将已知条件利用 ? ? ,求得 f ? ? ? ?1 ; 6? 2 ? 3 ?

答案第 11 页,总 23 页

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正弦定理进行化简,再根据和角公式及三角形内角和为 180? ,得到 B ? 角 A ? ? 0,

?
3

,根据题意,将

? ?

2? 3

? 1? ? ? ,进而求得 f ? A? ? ? ?1, ? . ? 2? ?
1分

试题解析: (1) f ? x ? ? 3sin ? x cos ? x ? cos2 ? x

?

3 1 1 sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2

2分

?? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? 6? 2 ?
? y ? f ? x ? 的最小正周期为 T ? ?
,即:

3分

2? ? ? ? ? ?1 2?

4分

?? 1 ? ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 6? 2 ?
? 2? ?f? ? 3 2? ? ? 1 7? 1 ? ? ? ? ? ? sin ? ? ?1 ? ? sin ? 2 ? 3 6? 2 6 2 ? ?

5分

6分

(2)?? 2a ? c ? cos B ? b cos C ∴由正弦定理可得: ? 2sin A ? sin C ? cos B ? sin B cos C 7分 8分 9分

? 2sin Acos B ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin ? B ? C ? ? sin ?? ? A? ? sin A
? sin A ? 0 ? cos B ? 1 2 ? B ? ? 0,? ? ?B ?

?
3

2 ?A?C ?? ? B ? ? 3 ?2A ?

? 2 ? ? A ? ? 0, ? ? ? 3 ?

10 分

?

? ? 7 ? ?? ? ,? ? 6 ? 6 6 ?

?? ? 1 ? ? ? sin ? 2 A ? ? ? ? ? ,1? 6? ? 2 ? ?

11 分

? ? 1 ? 1? ? ? f ? A? ? sin ? 2 A ? ? ? ? ? ?1, ? 6? 2 ? 2? ?
考点:1.二倍角公式;2.三角函数的值域. 31. (1) x ? k? ?

12 分

?
8

, k ? Z ;(2) [k? ?

?
8

, k? ?

5? ], k ? Z . 8

【解析】 试题分析: (1)将原函数利用倍角公式,化为一角一函数,进而求得其最大值及其对应的 x 的值;(2)根据 y ? sin x 的单调性及其运算性质,得到所求函数的单调性.
答案第 12 页,总 23 页

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1



f ( x) ?

3(1 ? cos 2 x) 1 ? cos 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 ? sin 2 x ? 2 2 4

所以 f ( x ) 的最大值为 2 ?

,k ? Z . 5分 8 ? ? ? 3? ? ? x ? k? ? ; (2)由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 得 k? ? 2 4 2 8 8 3? ? , k? ? ], k ? Z ; 所以 f ( x ) 单调增区间为: [ k? ? 8 8 ? ? 3? ? 5? 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 得 k? ? ? x ? k ? ? 2 4 2 8 8 ? 5? ], k ? Z 。 所以 f ( x ) 单调减区间为: [ k? ? , k? ? 10 分 8 8
考点:1.三角公式;2.三角函数的单调性. 32. (1)T ? ? ,[k ? ? 【解析】 试 题 分 析 : 先 求 出 函 数

2 ,此时 x ? k? ?

?

?
6

,k ? ?

2? ],k ? Z , (2) a ? 2,b ? 3

3,

f (x )









f(x ) ? 2 cos2 x ? 3 sin 2x ? 1 ? cos 2x ? 3 sin 2x ?
2 sin(2x ?

?
6

)? 1 , 求 出 函 数 的 最 小 正 周 期 和 单 调 减 区 间 ; 第 二 步 由

f(C ) ? 2 sin(2C ?

?
6

) ? 1 ? 3 , sin(2C ?

?
6

) ? 1 ,求出角 C ?

?
6

,再根据余弦





c2 ? 1
1 ab s 2

? a2

? b2 2 ? a c b o sa 2 ? b 2 ? , 6

?

3ab ? 1





S ?ABC ?

i ? n 6

?

ab ?
4

1

3 ? ab ? 2

, 2把

3 ? ab

3 代 入 得 :

a 2 ? b 2 ? 7 ,联立方程组解出 a ? 2,b ?
?? ?

3;

试题解析: (Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? (2cos2 x , 3) ? (1, sin 2 x ) ? 2cos2 x ? 3sin 2 x

? cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ,∴函数 f ( x) 的最小周期 T ? 2? ? ? 6 2 ? ? 3? 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , (k ? Z ) , 得 f ( x ) 的 单 调 递 减 区 间 2 6 2 ? 2? [k? ? , k? ? ], k ? Z 6 3
答案第 13 页,总 23 页

?

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(Ⅱ)f (C ) ? 2 sin( 2C ? 即C ?

?
6

) ?1 ? 3

?
6

? ? ? ? sin( 2C ? ) ? 1 , ? C 是三角形内角,∴ 2C ? ? 6 2 6

∴ cosC ?

b2 ? a2 ? c2 3 ? 2ab 2

即: a ?
2

b 2 ? 3ab ? 1

(1) .

由 S ?ABC ?

1 ? 1 3 ab sin ? ab ? ? ab ? 2 3 ,代入(1)得 a 2 ? b 2 ? 7 ,联 2 6 4 2
12 ? 7, 解之得 a 2 ? 3或4 ,a ? 3或2 , ? a ? b ,∴ a ? 2 , 2 a

立方程组消去 b 可得:a 2 ?

b? 3
考点:三角函数的性质,余弦定理的应用; 33. (1) f ( x) ? 2sin(2 x ?

π π kπ 1 ) , x ? ? (k ? Z) ; (2) ? . 9 3 12 2

【解析】 试题分析:本题主要考查倍角公式、两角和的正弦公式、诱导公式、三角函数的周期、三角 函数的最值、图象的对称轴等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力. 第一问,先利用倍角公式化简,再利用两角和的正弦公式化简,使之化简成
2? 计算 ? ,利用最值,计算 a 的值,结合三角函数图 |? | 象求函数的对称轴;第二问,先化简 f (a) 表达式,再利用倍角公式,诱导公式计算即可.
y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的形式,利用 T ?

试题解析: (1) f ( x) ? a sin 2?x ? 3 cos 2?x , 由题意 f ( x ) 的周期为 π ,所以

2π ? π ,得 ? ? 1 2?

2分

? f ( x) 最大值为 2 ,故 a 2 ? 3 ? 2 ,又 a ? 0 ,? a ? 1
∴ f ( x) ? 2sin(2 x ? 令 2x ?

π ) 3

4分 6分 8分

π π π kπ ? ? kπ ,解得 f ( x) 的对称轴为 x ? ? (k ? Z) . 3 2 12 2 4 π 4 π 2 (2)由 f (? ) ? 知 2 sin(2? ? ) ? ,即 sin(2? ? ) ? , 3 3 3 3 3
∴ sin ? 4? ?

? ?

π? ? ? π ? π? π? ? ? ? sin ?2 ? 2? ? ? ? ? ? ? cos 2 ? 2? ? ? 6? 3 ? 2? 3? ? ? ?
2

10 分

π? 1 ? ?2? ? ?1 ? 2sin ? 2? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ? ? 3? 9 ? ?3?
2

12 分

考点:倍角公式、两角和的正弦公式、诱导公式、三角函数的周期、三角函数的最值、图象 的对称轴.

答案第 14 页,总 23 页

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34.

1 2

【解析】 试题分析: tan ? ?

1 1 sin ? cos ? sin 2 ? ? cos2 ? ? ? ? ? 4 ,因此 sin ? ? cos ? ? , 4 tan ? cos ? sin ? sin ? ? cos?

sin 2? ?

1 . 2

考点:1、同角三角函数的基本关系;2、二倍角的正弦公式. 35. (1)综上 f ? x ? 的最大值为 2 ,此时 x 值的集合为 ? x | x ? (2) ?

? ?

5? ? ? k? , k ? Z ? 12 ?

63 65

【解析】 (1)由题可得 f ? x ? ? 3sin x cos x ? 3 3 cos 2 x ?

3 3 2

3 1 ? cos 2 x 3 3 ? sin 2 x ? 3 3 ? ? 2 2 2 3 3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2

2分

?? ? ? 3sin ? 2 x ? ? 3? ?
所以当 2 x ?

4分

?
3

?

?
2

? 2 k ? ? k ? Z ? ,即 x ?

5? ? k? ,函数 f ? x ? 取得最大值 2 . 12

综上 f ? x ? 的最大值为 2 ,此时 x 值的集合为 ? x | x ?

? ?

5? ? ? k? , k ? Z ? 12 ?

6分

(2) f ?

? ? 2? ? ? ? ? 9 ? 2? ? ? ? ? ? 3sin ?2 ? ? ? ? ? ? 3sin ?? ? ? ? ? 3sin ? ? 5 ? 3 2? ? ? 3 2 ? 3?
3 5
7分

? sin ? ?

? ? ? 5? ? ? ? ?? 36 ? ? 5? ? ? f? ? ? ? 3sin ?2 ? ? ? ? ? ? 3sin ? ? ? ? ? 3cos ? ? ? 2? 13 ? 2 12 ? ? ? ? 2 12 ? 3 ?

? cos ? ? ?

12 13

8分

?? ? ? ?? ? ? ? ? 0, ? , ? ? ? , ? ? ?2 ? ? 2?

答案第 15 页,总 23 页

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4 5 ?3? ? 12 ? ? cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? ,sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 ?5? ? 13 ? 13
2

2

2

10



? ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? 5 ? 13 ? 5 13 65 4 12 3 5

63

12 分

【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系、三角函数的诱导公式、两角和与差的三角 函数公式等基础知识,三角函数最值等,意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题解决 问题的能力以及运算求解能力. 36.B. 【解析】

3 2 ? (? ) 2sin? cos? 2tan? 5 ? ? 15 ,故选 B. 试题分析: sin 2? = ? ? 2 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 (? 3 ) 2 ? 1 17 5
考点:三角恒等变形. 37.B. 【解析】

3 2 ? (? ) 2sin? cos? 2tan? 5 ? ? 15 ,故选 B. 试题分析: sin 2? = ? ? 2 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 (? 3 ) 2 ? 1 17 5
考点:三角恒等变形. 38.B 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 可 得 ,

sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ?

2 5 5

, ∴

2 t ?a n t a? n ? ? 2 ?? t a n 22 ?? 1? t ? a n

4 3

故选 B 考点:本题考查同角三角函数之间的基本关系,二倍角公式 点评:解决本题的关键是利用同角三角函数之间的基本关系求出 tanα 39. a ? ? 【解析】 试题分析: y ? ? sin x ? a sin x ? a ? 2a ? 6 ,令 sin x ? t , t ?? ?1,1? ,
2 2 2 2 则 y ? ?t ? at ? a ? 2a ? 6 ,对称轴为 t ?

4 3 ? 21 或 3 2

a , 2



a ? ?1 ,即 a ? ?2 时,[-1,1]是函数 y 的递减区间, ymax ? y |t ??1 ? ?a2 ? a ? 5 ? 2 , 2
答案第 16 页,总 23 页

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得 a 2 ? a ? 3 ? 0, a ? 当

1 ? 13 , 与 a ? ?2 矛盾; 2

a ? 1 ,即 a ? 2 时,[-1,1]是函数 y 的递增区间, ymax ? y |t ??1 ? ?a2 ? a ? 5 ? 2 , 2

得 a 2 ? 3a ? 3 ? 0, a ?

3 ? 21 3 ? 21 ,而 a ? 2 ,即 a ? ; 2 2

当 ?1 ?

a 3 ? 1 ,即 ?2 ? a ? 2 时, ymax ? y | a ? ? a 2 ? 2a ? 6 ? 2 , t? 2 4 2 4 4 ,而 ?2 ? a ? 2 ,即 a ? ? ; 3 3

得 3a 2 ? 8a ? 16 ? 0 , a ? 4 或 a ? ? ∴a ? ?

4 3 ? 21 或a ? . 3 2

考点:三角函数的最值. 点评: 解本题的关键是利用换元法转化为关于 sin x 的二次函数, 根据 sin x 的取值范围[-1, 1],利用对称轴进行分类讨论求出最大值,解出 a 的值. 40.(Ⅰ) ? ,(Ⅱ) 【解析】 试题分析:首先把函数 f ( x) 的解析式化为 y ? A sin(?x ? ? ) ? k 标准形式之后再求周期, 注意使用降幂公式和辅助角公式进行恒等变形再用周期公式求出周期即可,第二步利用

7 2 , 26

f (? ) ? ?

? 5 5 2 得出 sin(2? ? ) ? ? 4 13 13

? 12 ,使用凑角求值思想,先求 cos(2? ? ) ? ? ,后用两角和差公式求出 sin 2? 值 . 4 13
试题解析:(Ⅰ) f ( x) ? sin 2x ? sin 2 x ? cos2 x ? sin 2x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) ,函数 f ( x) 的 4 最小正周期是 π . (Ⅱ)由 f (? ) ? ? 所 以

?

? 5 ? ? 5 2 ? 5 2 ,即 2 sin(2? ? ) ? ? ,得 sin(2? ? ) ? ? ,因为 ? ? ? , 4 13 4 2 13 4 13 3? ? 5? ? 12 , 可 得 , 则 ? 2? ? ? cos(2? ? ) ? ? 4 4 4 4 13

2 ? 2 ? ? ? sin(2? ? ) ? cos(2? ? ) sin 2? ? sin[(2? ? ) ? ] ? 2 4 2 4 4 4 ? 2 5 2 12 7 2 ? (? ) ? ? (? ) ? . 2 13 2 13 26

考点:1.使用降幂公式和辅助角公式进行恒等变形;2.凑角求值; 41. (Ⅰ) π ; (Ⅱ)函数 f ( x ) 在区间 [ ?

π π , ] 上是增函数. 6 6

答案第 17 页,总 23 页

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【解析】 试题分析: (Ⅰ) 因为 f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ( x ? ) , 根据余弦的二倍角公式, 可得 f ? x ? ? sin 2x , 根 据 三 角 函 数 的 周 期 性 , 即 可 求 出 函 数 f ( x) 的 最 小 正 周 期 ;( Ⅱ ) 由

π 4

π π π π ≤ 2 x ≤ 2kπ ? , 即 可 求 出 函 数 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 [ kπ ? , kπ ? ] , 4 4 2 2 π π (k ? Z) ,当 k ? 0 时,知 f ( x) 在区间 [? , ] 上单调递增,即可判断函数 f ( x) 在区间 4 4 π π [ ? , ] 上的单调性. 6 6 π 试题解析: (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ( x ? ) 4 π 3分 ? cos 2( x ? ) 4 ? sin 2 x , 5分 2π 所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ? 7分 ? π. 2 π π (Ⅱ)解:结论:函数 f ( x ) 在区间 [ ? , ] 上是增函数. 9分 6 6
2kπ ?
理由如下:

π π ≤ 2 x ≤ 2kπ ? , 2 2 π π 解得 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? , 4 4
由 2kπ ? 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [ kπ ? 当 k ? 0 时,知 f ( x) 在区间 [ ? 所以函数 f ( x ) 在区间 [ ?

π π , kπ ? ] , (k ? Z) . 4 4

12 分

π π , ] 上单调递增, 4 4
13 分.

π π , ] 上是增函数. 6 6

考点:1.三角恒等变换;2.三角函数的性质. 42. (1)

4 1 , (2) 3 4

【解析】 试题分析: (1)平方关系和商数关系式中的角都是同一个角,且商数关系式中角

??

?
2

? k? , k ? Z ; (2)利用平方关系解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要根

据角 ? 的范围确定,二是利用诱导公式进行化简时,先利用公式化任意角的三角函数为锐 角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐,特别注意函数名称和符号的确定; (3)掌握两角 差的正切公式及倍角公式. 试题解析: (1)由 sin 分)

x x x ? 2 cos ? 0. 得 tan ? 2, 2 2 2

(3

答案第 18 页,总 23 页

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x 2 ? 2? 2 ? ? 4. 故 tan x ? x 1 ? 22 3 1 ? tan2 2 2 tan
(2)原式 ?

(3 分)

cos2 x ? sin 2 x 2 2 2( cos x ? sin x) sin x 2 2

(2 分)

?
?

(cos x ? sin x)(cosx ? sin x) (cos x ? sin x) sin x
(3 分) (3 分)

cos x ? sin x sin x 1 3 1 ? 1? ? 1? ? . tan x 4 4

考点:两角和差公式、二倍角公式、三角函数性质等基础知识,同时考查运算求解能力 43. ?

4 5

【解析】 试题分析: 因为, 所以 ? ? 2 x ? 2? ,

?

2 2 ?? ? ? x ? ? ,sin ? ? x ? ? cos x ? sin x ? 0 , 2 2 ?4 ? 2
2







? 1 2 16 ?? ? ? 2 sin ? ? x ? ? ? cos x ? sin x ? ? (1 ? sin 2 x ) ? 2 25 ?4 ? ? 2 ? 2
2







4 ?? ? s ? i n ? x? ? ? . 5 ?4 ?
考点:三角变换及三角函数性质. 44.D 【解析】 试 题 分 析 : 由

? 7 2 7 sin(? ? ) ? ? sin ? ? cos ? ? 4 10 5





cos2? ?

7 7 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 25 25 7 1 ②,由①②可得 cos ? ? sin ? ? ? ③, 25 5

所以 ? cos ? ? sin ? ?? cos ? ? sin ? ? ? 由①③得, sin ? ?

3 ,故选 D 5

考点:本题考查两角和与差的三角函数,二倍角公式 点评:解决本题的关键是熟练掌握两角和与差的三角函数,二倍角公式

答案第 19 页,总 23 页

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45. ?

7 25

【解析】 试题分析:由

?
2

? ? ? ? ? sin ? ? 0, cos ? ? 0 ,

1 1 24 2 ? ? sin ? ? cos ? ? ? ? 2sin ? cos ? ? ? , 5 25 25 49 7 2 ? cos ? ? sin ? ? ? , ∴ ? cos ? ? sin ? ? ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 25 5 7 2 2 ∴ cos 2? ? cos ? ? sin ? ? ? cos ? ? sin ? ?? cos ? ? sin ? ? ? ? 25
又 sin ? ? cos ? ? 考点:本题考查同角三角函数之间的基本关系,二倍角公式 点评:解决本题的关键是熟练掌握同角三角函数之间的基本关系,二倍角公式,注意三角函 数在各象限的 46.

7 25

【解析】 试题分析:由题意得,大正方形的边长为 5,小正方形的边长为 1,∴1=5cosα -5sinα ,

1 4 3 2 2 .由于 α 为锐角,cos α +sin α =1,∴cosα = ,sinα = , 5 5 5 32 7 2 ?1 ? ∴ cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? 25 25
∴cosα -sinα = 考点:本题考查三角函数的应用 点评:用三角函数来表示正方形的边长,列方程求解 47. ?

24 25

【解析】 试题分析:由已知得 x A ? ?

3 , 5 4 3 , cos ? ? ? , 5 5

从而由三角函数的定义可知 sin ? ?

从而 sin 2? = 2 sin ? cos ? ? 2 ?

4 3 24 ? (? ) ? ? . 5 5 25

故答案为: ?

24 . 25

考点:1.三角函数的定义;2.二倍角公式. 48.A 【解析】由题意,得 cos ? ?

1 1 1 2 ,则 cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? 2 ? ? 1 ? ? . 2 4 2
答案第 20 页,总 23 页

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考点:三角函数的定义、二倍角公式. 49.1 【解析】 试 题







x x ? 1 x x ? x ? 1 3 1 x ? f ( x) ? 2sin cos( ? ) ? ? 2sin (cos cos ? sin sin ) ? ? sin x ? (1 ? 2sin 2 ) 2 2 6 2 2 2 6 2 6 2 2 2 2

?

3 1 ? sin x ? cos x ? sin( x ? ) ,∴函数 f ( x) 的最大值为 1. 2 2 6

考点:1.三角恒等变换;2.三角函数的最值. 50.C 【解析】 试题分析:由已知得 sin( x ?

3? 3? ? 3? ) cos[( x ? ) ? ] ? ? sin 2 ( x ? ) ? ? 4 4 2 4 1 ? sin 2 x 1 1 1 ?? ? ? ,解得 sin 2 x ? ? ,故 cos 4 x ? 1 ? 2sin 2 2 x ? . 2 4 2 2

1 ? cos(2 x ? 2

3? ) 2

考点:1、诱导公式;2、降幂公式和二倍角公式. 51. (1) 3 ? 1 ; (2)增区间为 [k? ? (3)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)首先利用两角和的正弦公式和两角差的余弦公式以及降幂公式将 f ( x ) 的解 析式化为 f ( x) ? 2sin(2x ? ) ? 1 ,代入求 f ( 调性将 2 x ?

?
3

, k? ?

?
6

](k ? Z ) ,减区间为 [k? ?

?
6

, k? ?

2? ](k ? Z ) ; 3

? 6

? (2)利用正弦函数的单调性和复合函数单 ); 12

? 置入正弦函数相应单调区间内,但是要注意 ? 为正; (3)本题考查三角函数 6

的图像变换,可先平移后伸缩,也可先伸缩后平移,不管怎样的变换,每次变换都是对 x 而 言. 试 题 解 析 : 由 已 知 得

? ? ? ? f ( x) ? sin(2x ? ) ? cos(2 x ? ) ? 2cos2 x ? sin 2 x cos ? cos2 x sin 6 3 6 6
? cos 2 x cos
(1) f (

?
3

? sin 2 x sin

?

? ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2sin(2x ? ) ? 1 . 3 6

? ? 5分 ) ? 2sin ? 1 ? 3 ? 1 ; 12 3 ? ? ? ? ? (2)令 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? (k ? Z ) ,解得 k? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) ,所以 2 6 2 3 6
答案第 21 页,总 23 页

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f ( x) 增区间为 [k? ?


?
3

, k? ?

?
6

](k ? Z ) ,令 2k? ?

?
2

? 2x ?

? 3? ? 2 k? ? (k ? Z ) ,解 6 2

k? ?

?
6

? x ? k? ?

2? ? 2? ](k ? Z ) (k ? Z ) , 所 以 f ( x ) 减 区 间 为 [ k? ? , k? ? 3 6 3

10 分 (3)变换步骤: (答案不唯一)

y ? sin x

????????? ?

所有点的横坐标缩短到原来的

1 2

y ? sin 2 x

????????? ?
所有点向上平移1个单位 ??????? ?

所有点向左平移

? 个单位长度 12

? 所有点的纵坐标伸长到原来的2倍 ? ? ) ????????? 6 ? y ? 2sin(2 x ? ) ? 1. 6
y ? sin (2x ?

? y ? 2sin(2 x ? ) 6

考点:1、三角恒等变形;2、三角函数的单调性;3、图像的变换. 52.A 【解析】

cos ? ? sin ? ? ?
试题分析:由

1 3? ? ? ( ,? ) 3 ,又 ? ? (0, ? ) ,所以 cos ? ? 0 ,且 4 . 所以

2? ? (

3? 8 , 2? ) sin 2? ? ? 2 9 .所以 cos 2? ? .

1 ? sin 2 2? ?

17 9 .故选 A.

考点:1.三角恒等变形.2.三角函数的角的范围的确定. 53. (1) ? B = 【解析】 试题分析: (1)由向量的数量积公式,可以将 AB ? BC , BC ? CA 转换成有关边长的关系式, 再由正弦定理将三角形三条边的关系,转换成有关角的问题,从而得到 ? B = 角函数和差化积的公式,我们可以将 f ( x) ? 2sin 2 x cos

? ; (2) f ( x)max ? 3 , f ( x)min ? ?2 ; 3

? ; (2)由三 3

B B ? 2 cos 2 x sin ,化简成 f(x) 2 2 B ? 5? ? ? ? 2sin(2 x ? ) ,将 ? B = 代入,得到 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ,由 x ? [ ? , ] ,得到 3 2 12 12 6 2? ? ? ? ? 2 x ? ? ,即可求解 f ( x) 的最大值和最小值; 3 6 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 试题解析: (Ⅰ) (2a ? c) AB ? BC ? cBC ? CA
得: (2a ? c)ca cos(? ? B) ? cab cos(? ? C ) 由正弦定理得: 2sin A cos B ? sin( B ? C ) 2分 4分

答案第 22 页,总 23 页

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1 ? 所以: ? B = 6分 3 2 B ? B B (Ⅱ) f ( x) ? 2sin 2 x cos ? 2 cos 2 x sin ? 2sin(2 x ? ) ? 2sin(2 x ? ) 2 6 2 2 5? ? 2? ? ? ? x ? 得? ? 2x ? ? 由? 9分 12 12 3 6 3
即: cos B ? 当 2x ? 当 2x ?

?

?

6

?? ?

?

?
3

2

即x??

?

6

即x ?

?
12

3

时, f ( x)min ? ?2 12 分

时, f ( x)max ? 3

考点:?正弦定理?向量的数量积公式?三角函数的性质 54.D 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 可 知 : cos 2? ? 1 ? 2 sin ? , 故 有 2 sin ? ? sin ? ? 1 ? 0 , 得 出
2 2

(sin ? ? 1)(2 sin ? ? 1) ? 0 ,即 sin ? ?
考点:二倍角公式 55.C 【解析】 试题分析:由 sin(? ? ? ) ? ?

1 ,即 ? ? 30? 。 2

3 3 4 得 sin ? ? ,因 ? 是第二象限角,故 cos ? ? ? ,所以 5 5 5 3 ? 3 2 tan? 2 ? ? 24 tan ? ? ? ,所以 tan 2? ? ? 2 9 4 7 1 ? tan ? 1? 16

考点:三角函数诱导公式

答案第 23 页,总 23 页


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