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物理竞赛讲义三运动学

时间:2013-02-12


运动学竞赛讲座(一)
1.如图所示,在绳的 A 端以速率 v 做匀速收绳从而拉物体 M 做水平方向的直线运动,当绳 AB 与水平方向恰好成α 角时,物体的 A v A v 速度为___________。 (

v 1 ?s c o

?

) Bα B α

解析:当物体 M 的位移很小时:

Vt ? Vt ? cos ? ? vt

2.如图所示,在倾角θ 为的斜面 Q 上有一点 P,在 P 点的正上方有一点 O,从 O 点到斜面 有三个光滑的斜面 OA、OB、OC,其中 OA 与斜面 Q 垂直,而 OB 与 O OC 和 OA 的夹角均为α 。现将一小球由 O 点静止释放,分别沿光滑 斜面 OA、OB、OC 滑至斜面上的 A、B、C 点,所用时间分别为 t1、 αα t2、t3,则下列关系式正确的是: [ B ] B P CA A. t1 ? t 2 ? t 3 ; B.t2>t1>t3; θ C.t3>t2>t1; D.t3>t1>t2; O 3.如图所示,在倾角θ 为的斜面上方的定点 O 沿光滑的斜面 OC 从静 止开始下滑, 为使质点在最短的时间内从 O 点滑到斜面, 则斜面与竖直 方向的夹角β 等于多少? 解法一:∵ β C θ O θ β P CA θ

mg cos ? ? ma
1 2 at 2
∴t ?



a ? g cos ?



S?

2lOC g cos ?

在三角形 ?OPC 中:由正弦定理,

OC OP ? 0 sin(90 ? ? ) sin(900 ? ? ? ? )


OC ?

cos? ? OP cos(? ? ? )

t?

2lOP cos ? ? g cos ? cos(? ? ? )

4lOP cos ? g ? cos ? ? cos(? ? 2 ? ) ?

即:当 cos(? ? 2 ? ) ? 1 , ? ?

?
2

时,上式有最小值。所以当 ? ?

?
2

时,t 有最小值。

解法二:因为 O 为定点,以过 O 点的一竖直线上的一点 O /为圆心,作过 O 点的圆, 则从 O 点沿不同光滑斜面由静止下滑到圆周上不同点的时间均相同, 当 O 所做的圆与斜面相切时, 设切点为 Q, OQ 与竖直线的夹角即为所求。 则 / β O / / / 如图所示, ?PO Q ? ? , ?O OQ ? ?O QO ? ? PQ ∴

2? ? ? ;

??

?

2



θ

4.甲、乙两船,甲在某岛 B 正南 A 处,且 AB=10 Km,甲船自 A 处以 4 Km/h 的速度向正

北方向航行,同时乙船以 6 Km/h 的速度自岛 B 出发向岛的北 60 西方向驶去。问:几分钟 后两船相距最近? 解析: s 2 ? (v乙 sin 600 ? t ) ? 2 ?(10 ? v乙 cos600 ? t ? v甲t ) 2 D B s C A

0

s 2 ? 28t 2 ? 20t ? 100
b 5 当t ? 时,t 有最小值,即 t = h =21.4 分钟时,两船相距最近。 2a 14

5.小孩游泳的速度是河水速度的 1/2,河宽 d=100m。问小孩应沿什么方向游向对岸,才能 C vA 使他被河水冲行的距离最短?这最短的距离是多少? v 解析:小孩在渡河过程中被水冲行距离的大小与两个因素有关: (1)合 β α vT B 速度中沿河岸运动的分速度; (2)渡河时间:小孩相对河岸的合速度 v 垂直河岸的分速度和河的宽度;小孩相对河岸的合速度 v 由小孩相对于 水的速度 vA 和水相对河岸的速度 vT 合成的,其失量如图所示。 设合速度 v 与河岸的夹角为 β ,vA 与河岸的夹角为 α 。渡河时间 t ?

d ,v 沿河岸 v sin ?
可见 β 越大 L

的分速度 v·cosβ 。小孩被河水冲行的距离 L ? v cos ? ?

d ? dctg? v sin ?

越小。 从失量三角形中可见, 合速度 v 的矢端 C 只可能在以 B 为圆心、vA 为半径的圆周上。 (因 为 vA 的大小是一定的,vT 的大小和方向都一定)只有当 vA⊥v 时,β 取最大值,β max=30?。 ∵

1 v A ? vT 2

∴α =60?

冲行的最小距离为 Lmin=dctg30?≈173m。

6.有一小船以恒定速率渡河,离对岸 50m,已知下游 120m处有一危险区,假设河水流速 为 5m/s, 为了使小船不经过危险区到达对岸, 那么小船从出发起相对静水的最小速度是: [C] A.2.08m/s B.1.92m/s C.1.58m/s D.1.42m/s 解法一:若: ∴ v?

50 120 ? vsn ? V ? v cos ?

25 ? v(12s i n ? 5 c o ? ) ? s
α

v V

25 5 ? 12 ? 13? sin ? ? cos? ? 13 ? 13 ?
5 13 cos ? ? 12 13
5 (如图)

13 12 θ

令 sin ? ? ∴ v?

25 25 ? ,当 sin(? ? ? ) ? 1 时,v 有最小 13?sin ? ? cos? ? sin ? cos? ? 13sin(? ? ? )
25 12 s i n ? 5 c o s ? ?

速度。故:小船从出发起相对静水的最小速度是:25/13 = 1.92m/s 。代入原式可求出 α 。 解法二:

50 120 ? v ? sin ? 5 ? v ? cos ?

v?

v v0

令 y ? 12sin ? ? 5 cos? ∵ 12sin ? ? 5 cos? ? 13?

5 ? 12 ? sin ? ? cos? ? ? 13sin(? ? ? ) 13 ? 13 ?

∴ y 的最大值为 13,故:小船从出发起相对静水的最小速度是:25/13 = 1.92m/s 。
7.两个人沿着运动着升降梯往下跑,第一人的速度为 u,第二人速度为 nu, 第一人计算梯 子有 a 级,第二人计算梯子有 b 级。试计算升降梯的级数 N 和速度 v。 解:设梯长 L,单位长度的级数为

N 级。则根据题意可列下列方程 L Lu N uN ? ?a ?a 对第一人,有: u?v L u?v Lnu N nuN ? ?b ?b 对第二人,有: nu ? v L nu ? v

解此联立方程,可得解: ν=

n (b ? a ) ?u na ? b

? v ? ab?n ? 1? N ? a?1 ? ? ? na ? b ? u?

8.骑自行车的人以 4m/s 向东行使,感觉风从正南吹来,当车速为 6 m/s 时,感觉风从东南 吹来,求风速(风相对于地的速度) 。 V/风对人 V 风对人 V 风对地 解
2 2 v 风对地 ? v 人对地 ? v 人对地 ? v 人对地) ? 2 5 ? 5.4(m / s) ( /

θ

450 V 人对地 V/人对地

tg? ?

v风对地 v人对地

?

2 ? 0.5 4

? ? arctg0.5 ? 26.60

9.当火车静止时,乘客发现雨滴偏向车头,与竖直方向成 30° 角。当火车以 35m /s 沿直路 行驶时,发现雨滴偏向车尾,与竖直线成 45° 角。求雨滴对地的速度。 解析: (解法一)以地为参照物,雨滴为研究对象。火车静止时,雨滴对地的速度为绝对速 度 V绝 ,方向向前方偏角为 300,若以开动的火车为参照物,火车的速度为 牵连速度 V 牵=35m /s,方向水平向前。在火车上观察的速度为相对速度 V 30 V绝 相,方向向后偏 45° ,如图所示。 ∵ v绝 sin 30 ? v相 sin 45 ? v牵
0 0
0

V车 V相

45

0

v绝 cos300 ? v相 cos450

∴ v绝 ? v相 /(sin 30 ? sin 45
0

0

? cos300 2 3? ? ? 25.6(m / s) ) ? 35 / ? 0.5 ? ? 0 ? 2 2 ? cos 45 ? ?

解法二:由正弦定理:

V雨 sin 45
0

?

V车 sin(45 ? 30 )
0 0

V相

450 300

V绝

V牵 D A C M v1 θ v2 B

10.两根细长棒 A B 与 C D 分别以垂直于自身的速度 v2 与 v1 移动,求交点 M 的速度 v。 解:设 M 点通过的位移为 S。 D M ∴ S cos? ? V2 ? t S cos(? ? ? ) ? V1 ? t θ A B V2 α V1 C ∴ V cos? ? V V cos(? ? ? ) ? V
2 1

M

/

由两式消去 α 得: V ?

V12 ? V22 ? 2V1V2 cos? sin ?

如图所示,固定在竖直面内、与水平方向成 300 角的光滑长杆 CD 与可自由滑动的光滑长杆 AB 相交于 P 点。问:当 AB 杆保持水平状态做自由落体运动时, D P θ 两杆交点 P 移动的加速度是多大? A B 解析:当 AB 自由下落高度 h 时,P 点沿 CD 移至 P/点,且:

h PP ? ? 2h sin 300 1 2 1 2h ? a 2 t ∵ h? gt 2 2
/

C A A/ C P/ P θ h

D B B
/

∴ a ? 2g

运动学竞赛讲座(二)
物奥指导(四川)P12 页 1. 如图所示为一个用长为 40cm 的硬金属丝饶制成的均匀螺旋, 螺旋共有 8 圈, 螺距 2.5cm。 现将一个光滑的小球由静止开始从螺旋的顶端滑到底端,需要的时间为___________。 解:可等效为如图所示,将三角形纸卷在圆柱上,其斜边卷在圆柱上成螺旋形。其展开后为 一个坡度均匀的斜面,小球相当于在光滑的斜面上做匀加速运动。

sin 斜面的高度: = 2.5×8 = 0.2(m) 斜面的坡度: ? ? h
∴ t?

h 0.2 ? ? 0.5 S 0.4

2S ? a

2S ? 0.4(s) g sin ?

2. 一根细绳通过定滑轮在两端分别系着物体 M 和 N, 如图所示, 物体 M 在外力作用下向左以 vm 匀速运动,当连接 M 的绳子与 水平方向成α 角时,连 N 的绳子与水平方向成β 角,此时物体 vm N 的速度大小是多少? 解:∵ vm1 ? vm cos?



N

vn1 ? vn cos ?
v cos ? ∴ vn ? m cos ?
vm2 vm vm1 Mα

vn1 vn β N vn2

vm1 ? vn1

3.如图所示,细杆 AB 长 L,P 为 AB 的中点,端点 A、B 分别被约束在 x 轴和 y 轴上运动, y A θ O P B x

若细杆 AB 与 y 轴的夹角为θ 时,A 端的速率为 vA,求 P 点的运动轨迹与速度。 解析: OP ? AB / 2 ? L / 2 ,P 点的运动轨迹为以 O 点为圆心,半径为 L/2 的 1/4 圆周。 P 点的速度 vP 为圆周的切线方向,且杆上各点沿杆方向的速度相同,故:

vP c o s 90 0 ? 2 ? vA ? ? ?

cos ?

vP ?

vA 2 s i? n
O α Q B P

4.如图所示,AB 为水平的光滑细杆,另一细杆 OP 可饶 AB 上方距 AB 高为 h 的 O 轴转动,两杆都穿过环 Q。若使 OP 杆饶 O 以角速度ω 逆时针转动, 则当 OP 与竖直方向的夹角为 300 时,环 Q 的速度为多大? 解析:将 vQ 分解为沿 PO 方向的分速度: v1 ? vQ sin ? 和垂直于 PO 方向的 分速度: v2 ? vQ cos? ∵ v2 ? ? ? OQ ∴ vQ ? A

? ? OQ ? h 4 ? ? ? ?h cos ? cos ? cos ? 3
P A v A v P A u2 B v P u1

5.两个相同的正方形 A、B,如图所示放置,并沿对角线方向以速度 v 和 2 v 向两边运动,求两框交点 P 的运动速度 u。 解析:若 A 框以速度 v 向左运动,B 框静止,此时 P 点的速度为:

B 2v B

u1 ? v cos450 ?

2 v 2

若 B 框以速度 2v 向右运动,A 框静止,此时 P 点的速度为:

u2 ? 2v cos450 ? 2v


2v 2v

10 2 u ? u12 ? u 2 ? v 2

6.如图所示,跨过同一高度处的光滑定滑轮的细线连接着质量相同的物体 A 和 B,A 套在 光滑水平杆上,B 被托在紧挨滑轮处,细线与水平杆的夹角 θ=53° ,定滑轮离水平杆的高度 h=0.2m。当 B 由静止释放后,A 所能获得的最大速度为( cos53 ? 0.6 ,sin53° =0.8) :
0

A. 2 / 2m / s C. 2 m/s 解法一: m gh ?

B.1m/s D.2m/s

[ B ] A θ

B

1 ? 1 2 1 /2 1 2 1 ? 1 2 ? ? ? m v ? m v ? m v ? m(v cos? ) ??① 2 2 2 ? sin ? sin ? ? 2
B v/ v

A θ

v/

1 ? ?5 2 2 2 2 2 gh? ? ? ? v 1 ? cos ? ? v (2 ? sin ? ) 4 sin ? ? ? v2 ? 5 4 ? ?1 2 2 ? sin ? sin ? (2 ? sin 2 ? )
v ? 1m / s

?

?

解法二:当 α <900 时绳的拉力对物体 A 做正功,α =900 时物体 A 有最大速度,将 α =900 代入①式,得: v ? 1m / s 7.如图所示,通过定滑轮(定滑轮的质量、滑轮与轴之间的摩擦力均不计)以恒定的速度 v0 v0=1m/s 用绳将小船拉向河的岸边, 河岸高出船面 h=6m, 推导出小船的船速 v 和绳长 L 的关系式;当 L=10m 时小 船的速度大小;从初始位置计时在时间 1s 内的位移。 解析: s ? s1 ? vt v

L ? L1 ? v0t
L β s α L1 s1 v0 h

当 t ? 0 时, ?? ? 0 、 ?? ? 900

L ? L1 v0t v0 ∴ ? ? ? cos ? s ? s1 vt v
又∵ cos ? ?

v

θ

s ? L

L2 ? h 2 L

∴ v?

v0 ? cos ?

v0 L L2 ? h2

( 解法二:利用功能关系:由于定滑轮的质量、滑轮与轴之间的摩擦力均不计,所以运动 过程中人拉绳子所做的功 W1 等于绳子对船所做的功 W2 ,即: W1 ? W2 ,则: ∵

W1 W2 ? 、P ? P 1 2 ?t ?t

P ? F? v 1
v0 L ?

P ? F ? v/ cos? 2

∴ v ?
/

v ) cos ?

当 L=10m 时: v ? 设小船的位移为 s0,则:

L2 ? h2

1?10 ? 1.25m / s 100 ? 36

2 s0 ? s ? s1 ? L2 ? h2 ? L1 ? h2 ? L2 ? h2 ?

? L ? v0t ? ? h2

? 1.25m

注: L1 ? L ? v0t 是因为 v0 是匀速的。 如图所示,质量为 m 的物体放在光滑的平台上,系在物体上的绳子通过定滑轮由地面上的 人拉着绳子以速度 v0 向右匀速运动。设人从紧靠竖直墙处开始向 右运动至绳子与水平方向的夹角为 450, 在此过程中绳子是一直拉 紧的,则人所做的功为:[ ]

1 2 A. mv0 2

2 2 mv0 B. 2

1 2 C. mv0 4

v0 D. mv
2 0

45

0

解析: 物体在各个时刻的速度等于对应时刻绳子的径向速度, 绳子拉至绳子与水平方向的夹

1 ? 2 ? 1 2 角为 45 时的径向速度为: 2v0 2 ,由动能定理: W ? ?Ek ? m ? v0 ? ? mv0 2 ? 2 ? 4 ? ?
0

2

8.如图所示,杆 OA 长为 R,可绕过 O 点的水平轴在竖直平面内 C 转动,其端点 A 系着一跨过定滑轮 B、C 的不可伸长的轻绳,绳 、 的另一端系一物块 M。滑轮的半径可忽略,B 在 O 的正上方,OB 之间的距离为 h。某一时刻,当绳的 BA 段与 OB 之间的夹角为 α M 时,杆的角速度为 ω ,求此时物块 M 的速率 v。 (2001 预赛题) 解析:∵ ∠BAO =90 +β
0

θ

B


O R A 、ω

v A ? ? ? OA ? ? ? R
vM vB C





将 vA 分解为沿 BA 方向的分速度 vM (因 A 点与绳系在一起故 / vA 有一分速度 vM) 和与 vM 垂直的分速度 v (即绳饶 A 点转动的 切向速度) ,则: vM ? v A cos ? (图为右图所示的右下部分) 在 Δ ABO 中,由正弦定理: 得: v M ? v A cos ? ? ? ? R


M

B v/ α β / 、 A v R

R h h ? ? 0 sin ? sin(90 ? ? ) cos ?

h sin ? ? ? ? h sin ? R

、ω 、 、
O

vM

vA

解法二:可等效为 OA 杆不转动,OB 这一墙壁饶 O 点逆时针以角速度 ω 转动(图为右图 所示的右上部分) ∵ vB ? ? ? h 将 vB 分解为沿 BA 方向的分速度 vM(相当于滑轮从 A 向 B 滑动的速

度,即绳被从滑轮上抽过来的速度)和与 vM 垂直的分速度 v /,vB 与 v/的夹角为 α ,则:

vM ? vB sin ? ? ? ? h sin ?
9.一个人在距直线公路 50m 处,看见一车以 10m/s 的速度沿公路向他这一方向行驶,此时 汽车与他相距 200m,他要赶上汽车,以 3m/s 的速度奔跑,则奔跑时应向什么方向? v1t 2 2 2 2 解:若用 v1t ? d ? a ? (v2t ) ? a 将是一个关于 t 的无理 a v2t d α β 方程,故不行。 令? ? ? ? ? ∴ sin ? ? sin ? cos ? ? sin ? cos ?

d 2 ? a2 又∵ sin ? ? d
∴ sin ? ?

(v2t ) 2 ? a 2 sin ? ? v2t

2 2 (v2t ) 2 ? a 2 d 2 ? a 2 (v2t ) ? (v2t ) ? a d 2 ? a2 ? ? ? 1? d v2t d v2t

?

a v1 50 10 5 ? ? ? ? d v2 200 3 6

∴ ? ? 56 27
0

/

10. 一弹性小球自 4.9m 高处自由下落, 它与地面每碰撞一次后, 速度就减少到碰撞前的 7/9, 求小球从开始下落到停止运动所用的时间? 解析:小球第一次下落的时间: t 0 ? 第一次碰地后的速度: v1 ?

2h g ? 1s

碰地前的速度: v0 ? 2gh

7 v0 9

第一次碰地后上升和下落的时间: 2t1 ? 2
2

v1 7 2h ?7? ? 2? ? 2 ? ? ?s g 9 g ?9?

第二次碰地后的速度: v2 ?

7 ?7? v1 ? ? ? v0 9 ?9? v2 ?7? ? 2?? ? s g ?9?
2

第二次碰地后上升和下落的时间: 2t 2 ? 2
n

??

7 ?7? 第 n 次碰地后的速度: v2 ? v1 ? ? ? v0 9 ?9? v ?7? 第 n 次碰地后上升和下落的时间: 2t n ? 2 2 ? 2 ? ? ? s g ?9?
小球从开始下落到停止运动所用的时间: t ? t 0 ? 2t1 ? 2t 2 ? ?? ? 2t n
n

7 ?7? ?? ? 2 3 n ? ? ?7 ? 7 ? ? 7 ? 9 ?9? ? ? 7 ? ?? t ? ?1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? ? 8s (n ??) 7 ? 9 ? ?? ? ?9 ? 9 ? ? 9 ? ? ?? ? 1? 9
11.摩托车以 a1=1.6m/s2 的加速度从静止开始运动,行驶了一段距离后匀速运动,又以 a2=6.4m/s2 的加速度做匀减速运动,直到停止,共走了 1.6km,历时 120s,:求: (1)车的最大速度。 (2)若 a1、a2 的值不变,走这段路程所需的最短时间及这种情况下车的最大速度。 解: (1)匀加速过程:∵ v0 ? 0 匀速过程:∵ v2 ? vm

n

v1 ? vm

2 vm vm vm vm ∴ S1 ? v1 ? t1 ? t1 ? ? ? 2 2 a1 2a1

∴ S2 ? vmt2 ? vm (t ? t1 ? t3 )
2 vm vm vm ? ? 2 a2 2a2

匀减速过程:∵ S3 ? v3 ? t3 ?



S ? S1 ? S2 ? S3 ?

2 vm v v v2 ? vm (t ? m ? m ) ? m 2a1 a1 a2 2a2

由题意可知: a1 ?

1 a2 4

整理得: S ? vmt ?

2 5vm 8a1

2 5vm ? 8a1tvm ? 8a1S ? 0

8a1t ? 64a12t 2 ? 160a1t ∴ vm ? 10
故: vm1 ? 12.8(ms ?1 )

vm1 ? 12.8(ms ?1 )

vm2 ? 320(ms ?1 )

当摩托车以 a1=1.6m/s2,速度从 0 增加到 320m/s 时,t=200s,不符题意。

(2)∵

vm ?

8a1t ? 64a12t 2 ? 160a1t 10
t?

有实数解。



64a1t ?160a1S ? 0

160 S ? 50( s ) 64a1

故最短时间为 50s,此时 v ?

8a1t ? 64(m / s ) 10

12.如图所示,在平直的公路上前后行驶着 A、B、C 三辆汽车(均可视为质点) ,速度分别 为 9m/s、 8m/s、 6m/s。 A、 、 三车的间距均为 5 m 时, 车的驾驶员发现 C 车以 1 m/s2(对 当 B C B 地)的加速度做匀减速运动, 便立即做匀减速运动, 车发现 A A C B 后也作同样处理,直到三车都停下来未发生撞车事件。则 A 车的加速度至少为多少。 解:若三车未发生撞车事件,则要求三车速度相等时,刚好相遇。 若 B 车赶上 C 车时刚好不撞。以 C 车为参照物,设 C 车的加速度为 a1,B 车的加速度

(v2 ? v1 ) 2 为 a2,则: ∵ ? 5 将 a1 ? 1m / s 2 代入 2(a2 ? a1 )
若 A 车赶上 C 车时刚好不撞。以 C 车为参照物,则: ∵



a2 ? 1.4(m / s 2 )

(v3 ? v1 ) 2 ? 5 ? 5 将 a1 ? 1m / s 2 代入 2(a3 ? a1 )



a3 ? 1.45(m / s 2 )

若 A 车赶上 B 车时刚好不撞。以 B 车为参照物,则:

(v 3 ? v 2 ) 2 ∵ ? 5 将 a2 ? 1.4m / s 2 代入 2(a3 ? a2 )



a3 ? 1.5(m / s 2 )
2

从上面的答案,可得 A 车的加速度至少为: a3 ? 1.5(m / s ) 若 A 车赶上 B 车时刚好不撞, 且速度刚好相等, 所用时间为: ? t

v3 ? v 2 1 ? ? 10( s) , a3 ? a 2 0.1

而对 B 车,当速度减小为零时,所用时间为:t ?
/

v2 8 ? ? 5.71(s) 。t / ? t 说明 A 车在 a2 1.4

赶上 B 车之前,B 车已经停下(说明两车在减速之前间距较大) 。 故:设 A 车刚好与 B 车相遇在 B 车的停车时刻,且刚好不相撞,此时的间距为 s: :

(v 3 ? v 2 ) 2 ?s 2(a3 ? a2 )

v3 ? v 2 v 2 ? a3 ? a 2 a 2

将 a2 ? 1.4m / s 2 代入 得: s ? 2.857(m)

故在 v1 、 2 及 a2 最小值的条件制约下, 要使 A 车赶上运动的 B 车, 要求 s ? 2.857(m) , v 而题目条件为 5m,故 A 车赶上的是已停止运动的 B 车,所以 A 车的加速度至少为:
2 v3 v2 ? 5? 2 2a3 2a2

将 a2 ? 1.4m / s 2 代入 得: a3 ? 1.42(m / s 2 )

13.A、B、C 三个芭蕾演员同时从边长为 L 的正三角形顶点 A、B、C 出发,以相同的速率 A v 运动,在运动中始终保持 A 朝着 B,B 朝着 C,C 朝着 A,则从开始到 A1 三人相聚经历的时间 t 为多少? 解析:如图所示为三个芭蕾演员的运动示意图,可得在任意时刻三个芭蕾 L L1 C1 演员都分别在一个正三角形的三个顶点上, 只是该正三角形的边长不断减 B B C 1 小,这三个芭蕾演员作等速率的曲线运动,最后在正三角形的中心 O 相 遇。 由于在任意时刻三个芭蕾演员都分别在一个正三角形的三个顶点上, 且正三角形的中心 O 不变,故将 v 分解为沿着指向正三角形中心 O 的分速度 v1 和垂直于 A 该方向的分速度 v2; 分速度 v1 使物体不断靠近正三角形中心 O, 分速度 v2 使物体饶三角形中心转动。 现假设在三角形中心有一物体以 O 为轴自 v1 O 转,且任意时刻物体自转的角速度与芭蕾舞演员饶三角形中心 O 转动 0 C B 30 v 的角速度相同。若以此物体为参照物,则芭蕾舞演员(B)沿直线 OB v2

s BO ( L / 2) / cos300 L 2L 匀速运动到中心 O, t ? 则: ? ? ? 0 2 0 v1 3v v cos30 2 cos 30

14.有一只蚂蚁沿直线 Ox 爬离洞穴口 O 点,爬行的速度跟它离 O 点的距离成反比,已知 当 L1=1m 时,其速度 vA=2cm/s,又 L2=2m,求蚂蚁从 A 点爬到 B 点所需的时间为多少?

v 解析: 解法一) ( 令蚂蚁爬行的速度: ?
故: k ? L1 ? v A

k , 其中 k 为常数, 由于 L1=1m 时, 其速度 vA=2cm/s, x
L2 R x

1 x ? v L1v A
O L1 R

将 A→B 分成 n 等份,每等份为 Δ x,则:

t?

?1 1 ?x ?x ?x 1 ? ??? ? ?x? ? ? ? ? ?v v v1 v2 vn vn 2 ? 1
L1v A L2

? ? ? ?

v1 ? v A

当 n→∝时, vn ? v B ?

?1 1? ? ? ?n ?v v ? L ? L1 n ? ? 1 ∴ t ? ?x ? ? 2 2 n
解法二:由

? 1 1 ? ? ? ??n ?v ? 2 2 2 2 ? A v B ? ? L2 ? L1 ? 2 ? 1 ? 75s ? 2 2 L1v A 2 ? 1? 2

1 1 x ,作出如图所示图象,窄条面积: ?x ? 为 x 处走 Δ x 所需要的时间, ? v v L1v A

故整个三角形面积即为所求时间 t:

? 1 1 ? ? ?v vB t?? A

? ? ? ( L2 ? L1 ) ? 2 L2 ? L1 ? 2 ? ? 75s 2 2 L1v A

1/v 1/vB 1/vA O L1 Δ x L2 R R x

15.如图所示,质量为 2m 的长木板 A 放在光滑水平面上,其上面左端放有一质量为 m 的 小滑块 B,A、B 间的动摩擦因数 μ =0.30。现用一水平向右的恒力 F=0.6mg 拉 B,开始时刻 A、B 均处于静止状态,当 B 运动到某一位置时撤去力 F。若要使 B F A B 最终恰能滑到 A 的右端且不从 A 上滑落,则应在 B 运动到板长 的几分之几位置处撤去力 F? 解析:用相对运动解题,以 A 为参照物 撤去 F 的前后,B 相对 A 运动的加速度分别为(取向右为正方向)

F ? ? ? mg ? ? mg ? ? 0.15 g m 2m ? ? ? mg ? ? mg / / a / ? aB ? a A ? ? ? ?0.45 g m 2m a ? aB ? a A ?
撤去 F 的前后,B 相对 A 运动的位移分别为 s、s/,以 v 表示撤去 F 的时刻,B 相对 A 运 动的速度,由题意可知:L= s + s/,开始时刻和最终时刻 B 相对 A 运动的速度均为零。 ∴ v ? 2as
2

v 2 ? 2a / s /

s a / 0.45 ? ? ?3 a 0.15 s/

s s 3 ? ? / L s?s 4

s?

3 L 4

16.跳伞运动员从 2000m 高处跳下,开始下落过程未打开降落伞,假设初速度为零,所受 空气阻力与下落速度大小成正比,最大降落速度为 vm=50m/s。运动员降落到离地面 s=200m 高处才打开降落伞,在 1s 内速度均匀减小到 v1=5.0m/s,然后匀速下落到地面,试求运动员 在空中运动的时间。 解析:跳伞运动员先做变加速运动,接着做匀减速运动,最后做 v/m/s 匀速运动,其速度时间图象如图所示。由动量定理得:f 与 v 随时 vm 间的变化规律相同,可画出 f—t 图象与 v—t 图象一致,即:F 图 v1 O t1 t2 t3 t/s 线与时间轴所围的面积为冲量 I。设变加速运动时间为 t1,则:

mgt ? I f ? mvm 1

I f ? ? f ? ?t ? ? kv ? ?t ? k ? v ? ?t ? k ? s1

f/N vm I O t1 t/s

∵ mg ? kvm

k?

mg vm

∴ m gt ? 1

m gs 1 ? m vm vm

t1 ?

vm s1 50 1800 ? ? ? ? 41s g vm 10 50
2 v 2 ? vm ? 27.5m 2a2

第二段时间 1s 内: ∵ vt ? v0 ? at ∴ a?

v ? v m 5 ? 50 ? ? ?45m / s 2 t 1

s2 ?

第三段时间内: t 3 ?

s ? s 2 200 ? 27.5 ? ? 34.5s v 5

∴ t ? t1 ? t 2 ? t 3 ? 76.5s

运动学竞赛讲座(三)
如图所示,AC、BD 两杆均以角速度 ω 饶 A、B 两固定轴在同一竖直平面内 沿图示方向转动,A、B 两点的间距为 L,P 为两杆的交点。求当 Δ PAB 为 等边三角形时,两杆交点 P 的速度的大小。 解析:在交点 P 处 AC、BD 两杆上的点 P1、P2 线速度 v1、v2 大小为 ωL,方 向分别垂直两杆。设交点 P 相对于 P1、P2 的速度分别为 v相1 、 v 相 2 ,因 P 点总在两杆上运动, v相1 、v 相 2 的方向分别沿 AC、 杆。 故 BD 由于 vP 与 v相1 及 v1、vP 与 v 相 2 及 v2 的矢量关系如图所示。 A
600

A
600

L
600

B ω

ω D

P C

v2 v 相2 v 相1 v1 vP

L
600

B

ω D

ω P(P1、P2) C

v1 2 3 ? ?L ∴ vP ? 0 3 cos30

如图所示,一端用铰链连接于天花板的木棒,在倾角为 θ 的斜面的作用 下转动,斜面速度大小恒定为 v,方向水平向右。某时刻棒与竖直方向 的夹角为 α ,求此时棒端点 P 的速度。 解析:棒端点 P 的速度 vP 垂直于棒。设点 P 相对于斜面的速度为 v相 , 因 P 点总沿斜面运动,故 v相 的方向沿斜面向上, v相 、vP、v 的 矢量关系如图所示。 v α

α v θ P

vP P α θ

v相 θ v



vP v ? sin ? sin(? ? ? )

vP ?

v ? sin ? sin(? ? ? )

如图所示,直杆 AB 在半径为 R 的圆环上以速度 u 向下运动,同时圆环 以速度 v 向上运动,求二者交点 P 在∠APO=θ 时的瞬时速度。 解析: 如图所示交点 P 相对杆、 圆心 O 的速度分别为 v相1 、v 相 2 , v相1 则 方向沿杆, 因交点 P 总在圆环上运动, v 相 2 垂直半径 OP。 P、 及 v相1 、 故 v u vP、v 及 v 相 2 的矢量关系如图所示。 v A u θ O A

v P u θ O B



v相1 ? (u ? v)tg?
2 v P ? v相1 ? u 2 ? (u ? v) 2 tg 2? ? u 2

v 相2 B v P v 相1

如图所示,直杆 AB 放在半径为 R 的固定的半圆柱上,A 端沿水平面以恒速 v 做直线运动, B 求杆与水平面夹角为 θ 的瞬间,杆与半圆柱的接触点 C 以及点 C C(C/) / 处杆上的点 C 的速度。 O 解析:设点 C、C/的速度分别为 vC、v/,vC 垂直半径 OC 且沿杆 θ A 方向,因 C 总在杆上运动,故 C 点相对于 C/点的速度必沿杆的方向,点 C/的速度也必沿杆 的方向。 C/点相对于 A 点的速度为 v相 , C/、 在同一杆上 , v相 垂直于 AB, /、v相 、 设 因 A 故 v v 的矢量关系如图所示。 ∵ v ? v cos?
/

B

vC

v相 ? v s i n ?
O

由于点 C 相对点 O,C/点相对于点 A 的转动角速度相等:

C(C/) v θ v/ v 相 θ A

v相 vC ? R R / tg?

vC ? v ? sin ? ? tg?

如图所示,AA1、BB1 为两光滑细直杆,并竖直固定于天花板上,一绳的一 A 端的固定于 B 点,另一端拴在套于杆 AA1 上的珠子 D 上。另有一珠子 C 穿 α 过绳及杆 BB1 以恒速 v1 下落,从而使珠子 D 上升。求当绳子与杆 AA1 夹角 A1 D 为 α 时,珠子 D 的速度 v2。

B C B1

解析:如图所示,绳子 CD 段的端点 C 相对珠子 C 的速度 v相 大小为 v1,方向沿绳 CD,故 绳子 CD 段的端点 C 的绝对速度 v 为 v相 与 v1 的合速度。又因绳子 A B C α B1 v相 v

CD 的两端点 C 与 D 只有垂直于绳 CD 的相对转动的速度,而无沿 α A1 D 绳 CD 方向的相对速度,故:

v2 c o ? ? v相 ? v1 c o ? s s

v2 ?

v相 co? s

? v1 ?

v1 ? v1 co? s

一辆汽车做匀速运动,牵引力与速度乘积保持不变。沿坡度较小的斜坡先以速度 v1 匀速上 行,然后以 v2 匀速下行,最后以 v3 在水平路面上匀速行驶。若三种情况下,车与路面的动 摩擦因数相同,则三种速度的关系为: ( A ) A. 3 ? v

2v1 ? v 2 v1 ? v 2

B. 3 ? v

v1 ? v 2 v1 ? v 2

v C. 3 ?

v1 ? v 2 2

v D. 3 ?

2 v12 ? v 2

解析:在数学中,若 ax1 ? bx2 ? (a ? b) x ,则有: ∵ F1 ? f ? mgsin ?

1 1 1 ? ? x x1 x 2

即: x ?

x1 ? x2 x1 ? x2

F2 ? f ? mgsin ?

F3 ? ? ? mg

∴ F1 ? F2 ? 2 f ? 2? ? mgcos? ? 2F3 cos? 由于θ 很小,则: cos ? ? 1 ∴ F1 ? F2 ? 2F3

因牵引力和速度的乘积为恒定,故: F1 ? v1 ? F2 ? v 2 ? F3 ? v3 ?

F1 ? F2 v3 2

∴ v3 ?

2v1 ? v 2 v1 ? v 2

一个力经过分解后,分解出来的分力在一定的条件 下,可以再次进行分解。如图所示就是在一定的条件下利 用力的再次分解,改变了一个力对物体原来的作用:作用 / 在帆面 PP 的风力 F 可分解为垂直作用在在帆面的风力 (分 力)F1 和沿帆面滑过的分力 F2。F1 又可以分解为作用在船 体纵向上纵推力 F3 和横向上的横推力 F4, 由于船体在横向 P/ 移动时阻力很大,故船体在纵向上纵推力 F3 作用下运动。

P F3 F3 F4 F2 F1 F1 F4

F

如图所示,跨过定滑轮 O 的绳子,一端挂着小重物 B,另一 O 端被人拉着沿着水平方向匀速运动。其速度为 1m/s2,A 端离 水平面的高度为 1.5m,且保持不变。开始时,重物放在地面 B 上,绳 OA、OB 沿竖直方向,定滑轮离地面的高度为 10m, A 滑轮的半径不计,估算重物从地面上升到滑轮处所用的时间。 C 解:设经过时间 t 重物从地面上升 x。 ∵ ∴

A/ D

OA ? H ? h

OA/ ? H ? h ? x

CD ? AA/ ? v0t
代入数据得:

(H ? h) 2 ? (v0t ) 2 ? (H ? h ? x) 2

x 2 ? 17x ? t 2 ? 0

x ? ?8.5 ? t 2 ? (8.5) 2

舍去负值,代入 x ? 10 m 得:

10 ? t 2 ? (8.5) 2 ? 8.5

t ? 270 ? 16.4(s)

如图所示,P 为位于某一高度处的质量为 m 的物块,B 为位于水平地面上的质量为 M 的特 殊长平板,m∶M=1∶10,平板与地面间的动摩擦因数μ =2.00×10-2。在板的上表面上方, 存在一定厚度的“相互作用区域” ,如图中画虚线的部分,当物块 P 进入相互作用区域时, B 便有向上的恒力 f 作用于 P。 f=α mg, =51, 对 P 的作用使 P 刚好不与 B 的上表面接触。 α f 在水平方向 P、 之间没有相互作用力。 B 已知物块 P 由静止开始 P 自由落下的时刻,板 B 向右的速度为 v0=10.0m/s。物块 P 从开 始下落至刚到达相互作用区所经历的时间 t0=2.00s。 B 板足够 设 相互作 长,保证物块 P 总能落入 B 板上方的相互作用区,取重力加速 用区 度 g=9.80 m/s2。问:当 B 板开始停止运动那一时刻,物块 P 已 B 经回到过初始位置几次? 解析:物块 P 由静止开始下落至刚到达相互作用区所经历的时间 t0 内,B 在摩擦力的作用 下的加速度为: a0 ? ? ? Mg M ? ? ? g B 板速度的减少量:

?v1 ? a0t0 ? ? gt0 ? 0.392m / s
P 落入 B 板上方的相互作用区: 设 P 落入 B 板上方的相互作用区时的速度为 vP,P 做匀减速运动: vP ? gt0 ?? ① 在相互作用区域内 P 的加速度为: aP ?

? mg ? mg
m

? (? ? 1) g ?? ②

经过时间 t 物块 P 刚好到达 B 的上表面: vP ? at ?? ③ 由①②③得: t0 ? (? ?1)t 在时间 t 内,B 在摩擦力的作用下的加速度为:aB ? ? (Mg ? ? mg ) M ,在这段时间内, B 板速度的减少量: ?v2 ? aBt ?

? ( M ? ? m) g ? t0 ? 4.782m / s (? ? 1) M

由对称性,当 P 的速度减小为零后,以 aB 向上加速运动,经时间 t 出相互作用区,在这 段时间内 B 在摩擦力的作用下速度的减少量仍为 ?v2 ,物块 P 出相互作用区后经时间 t0 上 升至原位置,在这段时间内 B 在摩擦力的作用下速度的减少量仍为 ?v1 。而后物块 P 重复 前述的运动,B 在摩擦力的作用下速度不断减小。由此可得:在物块 P 从原位置自由下落进 入相互作用区,又离开相互作用区后上升至原位置的过程中,B 在摩擦力的作用下速度的减 少总量为: ?v ? 2?v1 ? 2?v2 ? 0.8796m / s 。

设物块 P 第 n 次回到原位置时,B 板的速度为 vn,则: vn ? v0 ? n?v ,当 n ? n0 时,vn0 趋于零,以致在由 n ? n0 到 n ? n0 ? 1 的过程中的某一时刻速度减为零,故: 当 n ? n0 时,vn0 >0,当 n ? n0 ? 1 时,vn0 <0,即: v0 ? n0?v ? 0

v0 ? (n0 ? 1)?v ? 0

代入数据得:n0 <11.37、 n0 >10.37,取 n=11 故当 B 板开始停止运动那一时刻,物块 P 已经回到过初始位置 11 次。

缠在线轴上的线被绕过滑轮 B 后,以恒定速度 v0 拉出,如图所示。这时线轴沿水平面无滑 动滚动。求线轴中心点 O 的速度随线与水平方向的夹角 α 的变化关系?线轴的内、外半径 v0 分别为 R 和 r。 B 解析:设线轴中心点的速度为 v,而线轴的运动是以速度 v 的平动和角速 Ao 度为ω 转动的合运动,O 点转动的角速度为:ω =v/R(以线轴与水平面的 接触点为顺时转轴) ,此瞬间各点的角速度均相同。A 点的切线方向的速 度为 v0。 ∵ v0 ? ? ? r ? v cos ?

??

v R

∴ v?

v0 R r ? R cos ?


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