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高一数学教案:第二章函数教材分析.doc


第二章 函数 教材分析 本章为函数,分三个单元共 10 节,内容如下函数、函数的表示方法、函数的单 调性,;反函数;指数、指数函数;对数、对数函数; 函数的应用举例 本章共需 30 课时,具体分配如下: 2.1 函数 2.2 函数的表示方法 2.3 函数单调性 2.4 反函数 2.5 指数 2.6 指数函数 2.7 对数 2.8 对数函数 2.9 函数的应用举例 实习作业 小结与

复习 约 3 课时 约2时 约 2 课时 约 3 课时 约 3 课时 约 3 课时 约 3 课时 约 3 课时 约 4 课时 约 1 课时 约 3 课时
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一、内容与要求 函数是数学的重要的基础概念之一 进一步学习的数学分析,包括极限理论、微
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分学、积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程,无一不是 以函数作为基本概念和研究对象的 其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知
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识作为研究问题和解决问题的工具 函数的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想,是
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对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材 函数的思想方法也广泛地诊透到中学
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数学的全过程和其他学科中

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函数是中学数学的主体内容 它与中学数学很多内容都密切相关,初中代数中的
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“函数及其图象”就属于函数的内容,高中数学中的指数函数、对数函数、三角函

数是函数内容的主体,通过这些函数的研究,能够认识函数的性质、图象及其初步 的应用 后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容 数列可以看作整标函
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数,等差数列的通项反映的点对(n,an)都分布在直线 y=kx+b 的图象上,等差数列 的前 n 项和公式也可以看作关于 n(n∈N)的二次函数关系式,等比数列的内容也都 属于指数函数类型的整标函数 中学的其他数学内容也都与函数内容有关
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函数在中学教材中是分三个阶段安排的 第一阶段是在初中代数课本内初步讨论
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了函数的概念、函数的表示方法以及函数图象的绘制等,并具体地讨论正比例函数、 反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数,通过计算函数值、研究正比例 函数、反比例函数、一次函数、二次函数的慨念和性质,理解函数的概念,并用描 点法可以绘制相应函数图象 本章以及第四章三角函数的内容是中学函数教学的第
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二阶段,也就是函数概念的再认识阶段,即用集合、映射的思想理解函数的一般定 义,加深对函数概念的理解,在此基础上研究了指数函数、对数函数、三角函数等 基本初等函数的概念、图象和性质,从而使学生在第二阶段函数的学习中获得较为 系统的函数知识,并初步培养了学生的函数的应用意识,为今后学习打下良好的基 础 第二阶段的主要内容在本章教学中完成 第三阶段的函数教学是在高中三年级数
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学的限定选修课中安排的,选修Ⅰ的内容有极限与导数,选修Ⅱ的内容有极限、导 数、积分,这些内容是函数及其应用研究的深化和提高,也是进一步学习和参加工 农业生产需要具备的基础知识 (一)内容安排 第一单元是函数,包括函数、函数的表示方法、函数的单调性、反函数等 4 节, 是全章的基础
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本章的函数是用初中代数中的 “对应”来描述的函数概念,这两个函数定义 反映了函数概念发展的不同阶段 高一学生的数学知识较少,接受能力有限,用原始
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概念“对应”一词来描述函数定义是合适的 而且有利于初中和高中知识的自然过渡
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和衔接

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映射是在学习完集合与函数的基本概念之后学习的 它是两个集合的元素与元素
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的对应关系的一个基本概念 学习集合的映射概念的目的主要为了进一步理解函数
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的定义 映射中涉及的“原象的集合 A”“象的集合 B”以及 “从集合 A 到集合 B 的
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对应法则 f”可以更广泛的理解 集合 A、B 不仅仅是数集,还可以是点集、向量的集
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合等,本章主要是指数的集合 随着内容的增多和深入,可以逐渐加深对映射概念的
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理解,例如实数对与平面点集的对应,曲线与方程的对应等都是映射的例子 映射是
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现代数学的一个基本概念

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函数的单调性函数的重要性质之一,中学函数教材研究的函数性质主要有单调 性、奇偶性、周期性以及连续性等,本章研究的单调性是从观察函数图象的特性, 然后给出一般的定义,作为代数方面证明的开始和基础 这也是学生接受的难点所在
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奇偶性、周期性是结合三角函数内容讲授的,连续性安排在函数极限之后学习 这样
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一是为了分散难点,另外一方面结合具体函数讲授能够直接应用,也有利于巩固这 些知识的学习
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反函数也是函数,因为它符合函数的定义 反函数的概念只能以变量及对应关系
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来说明它的含义 中学里讲授的函数内容主要以解析式表示的函数为主,因此,求反
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函数主要借助初中学习的方程知识来解决,函数与反函数的图象间的关系是观察具 体函数的图象给出了结论,学生接受起来也不难
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第二单元是指数与指数函数,指数函数是基本初等函数之一,应用非常广泛 它
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是在本章学习完函数概念和两个基本性质之后较为系统地研究的第一个初等函数

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为了学习指数函数应该将初中学过的指数概念进行扩展,初中代数中学习了正 整数指数、零指数和负整数指数的概念和运算性质 本章在此基础上将指数概念扩充
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到有理指数幂,并给出了有理指数幂的运算性质 在分数指数幂概念之后,新课本也
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注明“若 a>0, p 是一个无理数,则 ap 表示一个确定的实数” 为高中三年级限定
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选修课学习导数时做准备

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指数函数的概念从实际问题引入,这样既说明指数函数的概念来源于客观实 际,也便于学生接受和培养学生用数学的意识 函数图象是研究函数性质的直观图形
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指数函数的性质是利用图象总结出来的,这样便于学生记忆其性质和研究变化规律 本节安排的图象的平行移动的例题,一是为了与初中讲二次函数图象的变化相呼
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应,二是为以后各章学习函数或向量的平移做些准备
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第三单元是对数与对数函数 对数产生于 17 世纪初叶,为了适应航海事业的发 展,需要确定航程和船舶的位置,为了适应天文事业的发展,需要处理观测行星运 动的数据,就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数 恩格斯曾把对数
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的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为 17 世纪数学的三大成就,给予 很高的评价 今天随着计算器的普及和电子计算机的广泛使用以及航天航海技术的
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不断进步,利用对数进行大数的计算功能的历史使命已基本完成,已被新的运算工

具所取代,因此中学对于传统的对数内容进行了大量的删减 但对数函数应用还是广
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泛的,后续的教学内容也经常用到

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本单元讲对数的定义和运算性质的目的主要是为了学习对数函数 对数概念与
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指数概念有关,是在指数概念的基础上定义的,在一般对数定义 logaN(a>0,a≠1) 之后, 给出两个特殊的对数: 一个是当底数 a=10 时, 称为常用对数, 简记作 lgN=b ; 另一个是底数 a=e(一个无理数)时,称为自然对数,简记作 lnN =b 这样既为学生以
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后学习或读有关的科技书给出了初步知识,也使教材大大简化,只保留到学习对数 函数知识够用即可
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对数函数是指数函数的反函数, 教材是根据互为反函数的两个函数的图象间关 于直线 y=x 对称的性质,引入对数函数的定义和相应的性质 用这种讲法,可以加深
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和巩固学生对互为反函数的函数图象之间的关系的认识,便于与指数函数的图象和 性质相对照,教材紧扣对数函数是指数函数的反函数这个本质联系来讲述对数函数 的概念、图象和性质的
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函数应用举例是本章教材的最后一节, 是全章综合知识的运用 在学习了函数的
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概念、函数的性质、指数函数和对数函数之后,安排这节内容 本节共选三个例题
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例 1 是建立函数关系式,这是实际问题抽象成数学问题的第一步,也是函数应 用极其重要的关键的一步 这类问题一般有两类 一类是根据几何图形的性质或物理
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等学科的知识建立函数关系 这类问题往往学生容易接受,传统的中学数学教材中有
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一些这方面的题目 另一类是通过观察、实验建立函数关系,如经验公式就属于这类
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问题,自由落体的公式也是属于这类问题,这类问题较难,本节教材没有涉及此类 问题 对于学有余力的学生可以介绍些课外阅读材料来训练这方面的能力,但教学上
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不要提高这方面的要求而讲授这类问题

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例 2 是增长率计算的问题. 例题中给出的公式 y=N(1+P)x 的应用非常广泛 复利
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的计算是这方面的问题,其他如人口增长率、国民生产总值增长率等都属于这方面 的问题,日常生活中遇到的销售利润的计算也会涉及这类问题
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例 3 是物理方面的问题,这是给出函数关系式,根据题中的已知条件确定参数 的问题 这类问题涉及方程组的知识和比较复杂的计算
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函数的应用是极其广泛的, 这里只通过几个简单的例题予以说明 应用意识的培
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养和应用能力的提高是高中数学教学培养能力的总的目的之一,应该贯穿于数学教 学的全过程
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本节的教学要求是通过几何图形的函数关系建立、增长率的计算、物理大 气压强公式的运用等实际问题的教学,以及课后配备的练习、习题的训练,初步培 养学生用数学的意识,逐步提高分析问题、解决实际问题的能力 (二)教学要求 1.理解函数概念,了解映射的概念; 2.理解函数的单调性概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法,并能利用 函数的性质简化函数图象的绘制过程; 3.了解反函数的概念,了解互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函 数的反函数; 4.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质; 5.掌握指数函数的概念、图象和性质; 6.理解对数的概念,掌握对数的运算性质; 7.掌握对数函数的概念、图象和性质; 8.能够运用函数的概念、函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简 单的实际问题; 9.实习作业以函数应用为内容,培养学生应用函数知识解决实际问题的能力
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10.在解题和证题过程中,通过运用有关的概念和运用函数的性质,培养学生 的思维能力和运算能力;通过揭示互为反函数的两个函数之间的内在联系,以及指 数与对数,指数函数与对数函数之间的内在联系,对学生进行辩证唯物主义观点的 教育;通过联系实际地引入问题和解决简单的带有实际意义的某些问题,培养学生 用数学的意识,提高分析问题和解决实际问题的能力 二、教学中应该注意的问题 (一)注意与初中内容的衔接 函数这章内容是与初中数学最近的结合点 如果初中代数中的内容没有学习好
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或遗忘的过多,学习本章就有障碍 本章很多内容都是在初中的基础上讲授的,如函
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数概念,要在讲授之前复习好初中函数及其图象的主要内容,包括函数的概念、函 数图象的描绘,一次函数、二次函数的性质等等;又如指数概念的扩充,如果没有 正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的基础知识,有理数指数幂就无法给出, 运算性质也是如此,因此在本章教学中要注意与初中所学的有关内容的联系,做好 初、高中数学的衔接和过渡工作
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(二)注意数形结合 本章的内容中图象占有相当大的比重,函数图象对于研究函数的性质起到很重 要的作用 通过观察函数图象的变化趋势, 可以总结出函数的性质 函数与反函数的函
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数图象的关系也是通过图象变化特点来归纳的性质,指数函数的性质、对数函数的 性质本身就是由函数图象给出的 所以在本章教学中要特别注意利用函数图象,使学
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生不仅能从图象观察得到相应的性质,同时在研究性质时也要有函数图象来印证的 思维方式 在教学过程中要注意培养学生绘制某些简单函数图象的技能,记住某些常
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见的函数图象的草图,养成利用函数图象来说明函数的性质和分析问题的习惯 (三)注意与其他章内容的联系

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本章是在集合与简易逻辑之后学习的,映射概念本身就属于集合的知识 因此,
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要经常联系前一章的内容来学习本章,又如学会二次不等式解集的表示就要用到求 函数的定义域或表示值域等知识上来 简易逻辑中的充要条件在本章中就要用到 同
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样本章学到的知识将在后续内容也要经常用到 因此,要注意与其他章节的联系,也
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要注意联系物理、化学等学科的知识内容来丰富和巩固本章的内容

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