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高数知识点总结(2)

时间:2011-11-16


高等数学知识点总结

北雁双飞

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高数知识点总结( 高数知识点总结(下册) ——北雁友情提供 ——北雁友情提供
向量代数与空间解析几何 空间直角坐标系 卦限:三个坐标面把空间分成八部分,每一部分即为一个卦限(上下同为逆时针) 。 空间两点间的距离: d 。 向量代数 向量概念(略) 向量的表示法 几何表示法(有向线段) 几何表示法(有向线段) 向量相等:模相等、彼此平行且指向相同 逆向量:与向量 a 大小相等而方向相反的向量称为 a 的逆向量 单位向量:模为 1


= ( x 2 ? x1 ) 2 + ( y 2 ? y1 ) 2 + ( z 2 ? z1 ) 2

零向量:模为 0,记为 0 ,零向量方向不定,也可以说任意 向量的加、 向量的加、减法与数的乘法 向量加法规则
→ → → → →

平行四边形法则: 两向量 OA 、OB 的和是以 OA 、OB 为邻边的平行四边形 OACB 的对角线, 即向量 OC ,
→ → →

记为 OC = OA + OB (如右图) 三角形法则: (见图如右侧) 向量加法运算规律 (1)a+b=b+a a+b=b+a (3)a+0=a a+0=a (2)(a+b)+c=a+(b+c) ( +b)+c=a (4)a+(-a)=0 a+(-

向量减法(即向量加法的逆运算) 向量减法(即向量加法的逆运算) 数与向量的乘积:数量 λ 与向量 a 的乘积是一个向量,记为 λ a

λ a 的模等于|a|与| λ |的乘积,即| λ a|=| λ ||a| a a λ a 的方向:当 λ >0 时,与 a 同向;当 λ <0 时,与 a 反向; λ =0 时,它是零向量。

数量与向量的乘积规律 (1) λ ( ? a)=( λ

? )a a

(2)( λ + ? )a= λ a+ ? a(对数量分配率) a

(3) λ (a+b)= λ a+ λ b(对向量分配率) a b 单位向量:把与 a 同向,模为 1 的向量叫做 a 的单位向量,记为 a
o

a 显然有 a = | a | 或
o

a=|a| a

o

向量在轴上的投影(见书) 向量在轴上的投影(见书) 向量的坐标表示 向量的模

| OM | = x 2 + y 2 + z 2

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x | OM | = = x x2 + y2 + z2 y x + y2 + z2
2

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cos α =
方向余弦:

cos β =

y | OM | z
| OM |

其中把 cos α 、

cos β 、 cos γ 叫做向量 | OM | 的方

cos γ =

=

z x + y2 + z2
2

向余弦

2 2 cos 2 α + cos β + cos γ =1(任何向量的方向余弦的平方和恒等于 1)
o

a 的方向余弦,就是 a 的坐标,即

a o ={ cos α , cos β , cos γ }

l m n = = cos β cos γ (向量的方向数不是唯一的) 方向数:与方向余弦成比例的一组实数 l,m,n,即 cos α
向量的数量积 定义:两个非零向量 a,b 的数量积等于两个向量的模和它们间夹角余弦的乘积,记为 a ? b ,即

a ? b =| a || b | cos(a, b) (0 ≤ (a, b) ≤ π )
|b|cos(a,b)就是向量 b 在向量 a 的方向上的投影 a 零向量与任何向量的数量积为 0 数量积运算规律 (1)a ? b=b ? a (3) λ (a ? b)=( λ a) 推论: (1)a ? a= | a |
2

(2)a ? (b+c) = a ? b+a ? c

? b=a ? ( λ b)
(2)a,b 向量垂直 a ? b=0

结论:两个非零向量 a 与 b 互相垂直的充要条件是 a ? b =0 数量积的坐标表达式 (1) a ? b= x1 x 2 (2) cos(a, b)

+ y1 y 2 + z1 z 2
a ?b = | a || b | x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2
2 2 2 x12 + y12 + z 1 ? x 2 + y 2 + z 2 2

=

两向量互相垂直的充要条件是 x1 x 2 两向量的向量积

+ y1 y 2 + z1 z 2 = 0

定义:两向量 a 与 b 的向量积食一个向量 c,记为 c=a ? b C 的模

| c |=| a || b | sin(a, b)

C 的方向垂直于 a 和 b,即 c 垂直于 a 与 b 决定的平面 向量积运算规律(见书 17 页)

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(1)a×b=-b×a a b=-

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结论:两个非零向量 a 与 b 互相平行的充要条件是 a×b=0 推论: 推论:i×i=0 向量积的坐标表示 j× j×j=0 k× k×k=0

a ? b = ( y1 z 2 ? z1 y 2 )i + ( z1 x 2 ? x1 z 2 ) j + ( x1 y 2 ? y1 x 2 )k
x1 y1 z = = 1 x y 2 z2 两向量平行条件坐标表达式 2
平面及其方程 曲面方程概念(见书 21 页) 平面的点法式方程: 平面的点法式方程: (设

A( x ? x0 ) + B( y ? y 0 ) + C ( z ? z 0 ) = 0

M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) 为平面的任意一点,向量 n={A,B,C}为平面的一个法线向量)

平面的一般式方程: 平面的一般式方程: Ax + BY + Cz + D = 0 (其中 A,B,C 不同时为零) 重要结论:平面方程中,如缺 x,y,z 中的某一项,平面就平行或通过(D=0)某个轴,如缺其中两项,则平 面就平行或重合(D=0)与那两项所决定的坐标平面 平面的截距式方程: 平面的截距式方程:

x y z + + =1 a b c

两平面的夹角及平面平行、 两平面的夹角及平面平行、垂直条件 两平面的夹角公式: 两平面的夹角公式:两平面法线向量分别为 n1

= { A1 , B1 , C1 } , n2 = { A2 , B2 , C 2 }

cos θ =

A1 A2 + B1 B2 + C1C 2
2 2 2 A12 + B12 + C12 ? A2 + B2 + C 2

两平面垂直的充要条件: 两平面垂直的充要条件: A1 A2

+ B1 B2 + C1C 2 = 0

两平面平行的充要条件: 两平面平行的充要条件: 空间直线及其方程

A 1 B1 C 1 = = A 2 B2 C 2

直线参量式方程: 直线参量式方程:设有一点

M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )

及一个已知向量 s

= li + mj + nk (l,m,n 不

? x ? x 0 = λl ? 全为零) ? y ? y 0 = λm ? z ? z = λn 0 ?
直线的标准式方程: 直线的标准式方程:

x ? x0 y ? y0 z ? z 0 = = (条件同参量式方程) l m n

直线的一般式方程: 直线的一般式方程: ?

? A1 x + B1 y + C1 z + D = 0 (直线为两平面交线) ? A2 x + B2 y + C 2 z + D = 0

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空间两直线的夹角及直线平行、 空间两直线的夹角及直线平行、垂直条件 两向量夹角余弦公式: 两向量夹角余弦公式: cos θ

=

l1l 2 + m1 m2 + n1 n2
2 2 2 l12 + m12 + n12 ? l 2 + m2 + n 2

两直线垂直的充要条件: 两直线垂直的充要条件: l1l 2

+ m1 m2 + n1 n2 = 0

两直线平行的充要条件: 两直线平行的充要条件:

l1 m1 n1 = = l 2 m2 n2

直线与平面的夹角及平行、 直线与平面的夹角及平行、垂直条件 直线 L 标准式方程:

x ? x0 y ? y0 z ? z 0 = = l m n By + Cz + D = 0

平面的方程为: Ax +

直线与平面夹角的正弦为: sin θ

=

| Al + Bm + Cn | A2 + B 2 + C 2 ? l 2 + m 2 + n 2

A B C = = l m n 直线与平面平行的充要条件: Al + Bm + Cn = 0 直线与平面平行的充要条件:
直线与平面垂直的充要条件: 直线与平面垂直的充要条件: 多元函数微分学 二元函数的定义见书 59 页(点函数的概念同上) 二元函数定义域见书 61 页(几何定义,极限) 二元函数的连续性 定义: 定义:设函数 z = f ( x, y ) 在点 P0 ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内有定义,如果当点 P ( x, y ) 趋于点 P0 ( x 0 , y 0 ) 时, 函数 z = f ( x, y ) 的极限等于 f ( x, y ) 在点 P0 ( x 0 , y 0 ) 处的函数值 f ( x 0 , y 0 ) 即 lim f ( x, y ) = f ( x 0 , y 0 ) ,称
x → x0
y → y0

函数 f ( x, y ) 在点 P0 ( x 0 , y 0 ) 处连续 表示形式二: 表示形式二: ?z = f ( x 0 + ?x, y 0 + ?y ) ? f ( x 0 , y 0 ) 全增量
?x →0
?y → 0

定义二 设函数 z = f ( x, y ) 在点 P0 ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内有定义, 若 定义二: 在点 P0 ( x 0 , y 0 ) 处连续 最大值与最小值定理 若函数

lim ?z = 0 , 则称函数 z = f ( x, y )

f ( x, y ) 在有界闭域 D 上连续,则 f ( x, y ) 在 D 上一定取得最大值和最小值,即如下结论

(1)在 D 上至少存在一点 (ξ 1 ,η1 ) ,恒有 (2)在 D 上至少存在一点 (ξ 2 ,η 2 ) ,恒有

f ( x, y ) ≤ f (ξ1 ,η1 )( x, y ) ∈ D f ( x, y ) ≥ f (ξ 2 ,η 2 )( x, y ) ∈ D

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介值定理: 介值定理:若函数

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f ( x, y ) 在有界闭域 D 上连续,则在 D 上必取得介于函数最大值 M 和最小值 m 之间的任何值 (m ≤ u ≤ M ) f (ξ ,η ) = u

(ξ ,η ) ∈ D

多元初等函数在其定义域(是指包含在定义域内的区域)内是连续的 偏导函数概念( (几何意义 偏导函数概念(见书 69 页) 几何意义) (几何意义) 高阶偏导数

?2z ?2z 定理:如果函数 z = f ( x, y ) 在域 D 上二阶混合偏导数 , 连续,则在该区域上必有 定理 ?x?y ?y?x ?2z ?2z = 。 ?x?y ?y?x
?2z ? ?z = f x'' ( x, y ) = ( ) 2 ?x ?x ?x
全微分及其应用 全微分概念(见书 79 页) 全微分概念 定理: 定理:如果 z

?2z ? ?z = f y'' ( x, y ) = ( ) 2 ?y ?y ?y

= f ( x, y ) 在点 ( x0 , y 0 ) 处可微,则它在点 ( x0 , y 0 ) 处连续 = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y 0 ) 处可微,则在该点处 f ( x, y ) 的两个偏导数存在,并且

定理: 定理:如果函数 z

A = f x ( x0 , y 0 ) , B = f y ( x0 , y 0 )
全微分计算公式: 全微分计算公式: d z

= f x ( x0 , y 0 )dx + f y ( x0 , y 0 )dy



dz =

?z ?z dx + dy ?x ?y

定理: 定理:设 z 续,则函数 z

= f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 的某邻域内偏导数 f x ( x, y ) 、 f y ( x, y ) 存在,且 f x ( x, y ) 、 f y ( x, y ) 连

= f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处可微
函数可微,偏导数一定存在 函数可微,函数一定连续

推论: 推论:偏导数连续,函数一定可微: 复合函数的微分法 定理:设函数 u

= ? ( x, y ) , v = ? ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处有偏导数,而函数 z = f (u , v) 在对应点(u,v)处 = f [? ( x, y ),ψ ( x, y )] 在点 ( x, y ) 处有偏导数

有连续偏导数,则复合函数 z

?z ?z 和 ,且 ?x ?y

?z ?z ?u ?z ?v = ? + ? ?x ?u ?x ?v ?x

?z ?z ?u ?z ?v = ? + 多元复合函数偏导数的基本公式) (多元复合函数偏导数的基本公式) ?y ?u ?y ?V ?y

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dz du dv z、u、v 这三个函数都是 x 的一元函数,故对 x 的导数写成 dx . dx . dx
全微分形式不变性 dz =

?z ?z du + dv (一阶全微分的形式不变性) ?u ?v
d(u*v)=udv+vdu d(

全微分的运算公式 d(u±v)=du±dv

u vdu ? udv )= (v≠0) v v2

复合函数的高阶偏导数( 复合函数的高阶偏导数(见书 95 页) 隐函数微分方法 将 y=f(x)带入 F(x,y)=0,于是有恒等式 F[x,f(x)]=0,其左端可以看成 x 的复合函数,两端对 x 求导, 得 Fx + Fy

dy dy Fx =0.如果 Fy≠0 则有 =dx dx Fy

x,y) y=f(x)求导公式 求导公式) (由方程 F(x,y)=0 所确定的隐函数 y=f(x)求导公式) z=f(x,y)的偏导数的公式 由方程 F(x,y,z)=0 所确定的隐函数 z=f(x,y)的偏导数的公式 将 z=f(x,y)带入方程 F(x,y,z)=0 于是得 恒等式 F[x,y,f(x,y)]=0 左端可以看做是 x,y 的复合函数,上 式两端分别对 x 和 y 求偏导得 Fx + Fz

?z ?z =0 , Fy +Fz =0 ?x ?y

若 Fz≠0,解出

?z ?z ?z Fx ?z Fy , 得 =? , =? ?x ?y ?x Fz ?y Fz

多元函数微分方法在几何上的应用 空间曲线的切线与法平面(见书 103 页) 曲线 L 在点 M 0处的切线方程

x ? x0 y ? y0 z ? z 0 = ' = x ' (t 0 ) y (t 0 ) z ' (t 0 )
\ ' '

曲线 L 在点 M 0 的法平面方程 x (t 0 )(x-x 0 )+y ( t 0 )(y-y 0 )+z ( t 0 )(z-z 0 )=0 空间曲线的切平面与法线 曲面 S 在点 M 0处的切平面方程:

Fx ( x0 , y 0 , z 0 )( x ? x0 ) + Fy ( x0 , y 0 , z 0 )( y ? y 0 ) + Fz ( x0 , y 0 , z 0 )( z ? z 0 ) = 0
多元函数的极值 设函数 z=f(x,y)在点 P0 ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内有定义, 若对于该邻域呢异于点 P0 ( x 0 , y 0 ) 的任何点 P(x,y) 恒有 f(x,y)<f(x 0 ,y 0 ) (或 f(x,y)> f(x 0 ,y 0 ))则称点 P0 ( x 0 , y 0 ) 为函数 f(x,y)的极大值点(或极小值点)

定理: 定理:设函数 z=(x,y)在点(x 0 ,y 0 )处去得极值,且在该点的偏导数存在,则函数在该点的两个偏导数必 为零 即

f x ( x0 , y 0 ) = 0 , f y ( x0 , y 0 ) = 0

(极值点的必要条件)

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驻点: 驻点:使

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f x ( x, y ) = 0 , f y ( x, y ) = 0 同时成立的点 ( x0 , y 0 ) 称为函数 f(x,y)的驻点

推论: 推论:在偏导数存在的条件下函数的极值点必是驻点(驻点不一定是极值点) 定理: 定理:设函数 z=f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内有连续的一阶与二阶偏导数,假定点 ( x 0 , y 0 ) 是函数的 一个驻点即

f x ( x0 y 0 ) = 0 , f y ( x0 , y 0 ) = 0



A = f xx ( x0 , y 0 ) B = f xy ( x0 , y 0 )

C = f yy ( x0 , y 0 )

则有如下结论: (1) 小值点,

B 2 ? AC < 0 ,当 A<0 时, ( x0 , y 0 ) 为极大值点, f ( x0 , y 0 ) 为极大值;当 A>0 是 ( x0 , y 0 ) 为极

f ( x0 , y 0 ) 为极小值。
(2) B (3) B
2

? AC > 0 , f ( x0 , y 0 ) 不是极值。 ? AC = 0 , f ( x0 , y 0 ) 可能是极值,也可能不是极值。

2

多元函数的最大、最小值问题( 多元函数的最大、最小值问题(113 页) 条件极值与拉格朗日乘数法 重积分 二重积分的定义( 二重积分的定义(见书 126 页) 注意:

∫∫
D

f ( x, y )dσ = lim∑ f (ξ i ,η i )?σ i
λ →0
i =1

n

二重积分是个极限值,因此是个数值,这个数值的大小仅与被积函数 分变量的记号无关 二重积分存在定理: 二重积分存在定理:如果函数 二重积分的几何意义: 二重积分的几何意义: 如果函数

f ( x, y ) 及积分区域 D 有关,而与积

f ( x, y ) 在闭域 D 上连续,则函数 f ( x, y ) 在 D 上可积,即二重积分存在

f ( x, y ) ≥ 0,则二重积分 ∫∫ f ( x, y )dσ 在数值上等于以函数 z= f ( x, y ) 所确定的曲面为顶,以
D

积分域 D 为底的曲顶柱体的体积。 二重积分的性质 性质一、函数和(或差)的二重积分等于多个函数的二重积分的和(或差) ,即 性质一、函数和(或差)的二重积分等于多个函数的二重积分的和(或差) 即 ,

∫∫[ f ( x, y ) ± g ( x, y)]dσ = ∫∫ f ( x, y )dσ ± ∫∫ g ( x, y)dσ
D D D

性质二、被积函数的常数因子,可以提到二重积分号的外面,即

∫∫ kf ( x, y )dσ = k ∫∫ f ( x, y )dσ (k为常数)
D D

性质三、如果积分区域 D 分为两个区域 D1 和 D2,即 D=D1+D2,则

∫∫ f ( x, y)dσ = ∫∫ f ( x, y)dσ + ∫∫ f ( x, y)dσ
D D1 D2

性质四、如果在 D 上,

f ( x, y ) ≥ 0 ,则, ∫∫ f ( x, y )dσ ≥ 0
D

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性质五、如果在 D 上,

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D

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f ( x, y ) ≤ g ( x, y ), 则, ∫∫ f ( x, y )dσ ≤ ∫∫ g ( x, y )dσ
D

由性质五得到结论:

∫∫ f ( x, y )dσ ≤ ∫∫
D D

f ( x, y ) dσ

性质六、估值定理) M 和 m 分别为 ( 设 其中 σ 为积分域 D 的面积 性质七、 (二重积分中值定理)如果 ( ξ ,η )使得下式成立 二重积分的计算

f ( x, y ) 在闭域 D 上的最大值和最小值, mσ ≤ ∫∫ f ( x, y )dσ ≤ M σ , 则
D

f ( x, y ) 在闭域 D 上连续,σ 是区域 D 的面积,则在 D 上至少存在一点

∫∫ f ( x, y )dσ =
D

f (ξ ,η )σ

二重积分在直角坐标系下的计算方法

∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫
a D

b

y2 ( x )

y1 ( x )

f ( x, y )dy

(公式)
(详见书 133)

基本原则: (1)画出积分区域 D 的图形 (2)找 x,y 的下限 (3)求值(套用公式)

累次积分方法

注意:二重积分化为二次积分时,二次积分的上限必须大于下限 二重积分在极坐标系下的计算方法 二重积分在极坐标系下的计算方法 二重积分在极坐标系下的表达式

∫∫ f ( x, y )dσ = ∫∫ f (r cos θ , r sin θ )rdrdθ
D D

二重积分化为在极坐标系下的要点是: 二重积分化为在极坐标系下的要点是: (1)将被积函数中的 x,y 换成 x = r cos θ , y = r sin θ (2)面积元素 dσ 换成极坐标系下的表达式 dσ = rdrdθ 1、极点 O 在积分域 D 外部的情况
β
r2 (θ )

∫∫
D

f (r cos θ , r sin θ )rdrdθ = ∫ dθ ∫
α

r1 (θ )

f (r cos θ , r sin θ )rdr

2、极点 O 在积分域 D 内的情况

∫∫ f (r cos θ , r sin θ )rdrdθ = ∫
D



0

dθ ∫

r (θ )

0

f (r cos θ , r sin θ )rdr

三重积分的概念与在直角坐标系下的计算法(待续) 三重积分的概念与在直角坐标系下的计算法(待续) 在柱坐标系和球坐标系下三重积分的计算法(待续) 在柱坐标系和球坐标系下三重积分的计算法(待续) 重积分的应用(待续) 重积分的应用(待续) 曲线积分(出大题)概念( 曲线积分(出大题)概念(175 页) 对弧长的曲线积分——————第一类曲线积分 对弧长的曲线积分——————第一类曲线积分 ——————

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n

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L

f ( x, y )ds 或 ∫ ∩ f ( x, y )ds 即 ∫ f ( x, y )ds = lim ∑ f (ξ i ,η i )?S i
AB
L x →0 i =1

若 B 与 A 重合,这是记为 对弧长曲线积分的简单性质 (1) (2)



L

f ( x, y )ds

∫ kf ( x, y )ds = k ∫
L L

L

f ( x, y )ds

(k为常数)

∫ [ f ( x, y) ± g ( x, y)]ds = ∫
L L1

L

f ( x, y )ds ± ∫ g ( x, y )ds
L

(3)若积分路径 L 上是由 m 段弧 L1,L2,,……lm 组成,则

∫ f(x, y)ds = ∫

f(x, y)ds + ∫ f(x,y)ds + …… + ∫ f(x, y)ds
L2 Lm

(4)改变积分路径的方向,对弧长的曲线积分值不变,即




L

f ( x, y )ds = ∫ f ( x, y )ds
?L

(其中L表示积分路径由A到B, L表示B到A) ?

结论:对弧长的曲线积分与积分路径方向无关 x=g(y),( c

≤ y ≤ d ),则 ∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( g ( x), y ) 1 + g ' ( y ) 2 dy
L c

d

若?

β ? x = ? (t ) ' 2 ' 2 ,则 ∫ f (? (t ),η (t )) ? (t ) + η (t ) dt α ? y = η (t )

对弧长曲线积分的计算 1、平面曲线 L 由参量方程给出 若L

? x = ? (t ) =? , α ≤ t ≤ β , 其中? (t ),ψ (t ), 在区间[α , β ] 上具有一阶连续导数,且 ? y = ψ (t )
β
L

[? ' (t )]2 + [ψ ' (t )] 2 ≠ 0 ,又 f(x,y)在 L 上连续,则有 ∫ f ( x, y )ds = ∫ f [? (t ),ψ (t )] ? ' (t ) 2 + ψ ' (t ) 2 dt
α

y=y(x)给出 2、平面曲线 L 由方程 y=y(x)给出 设 L:y=y(x),( a ≤ x ≤ b ),其中 y(x)在就[a,b]上有一阶连续导数,f(x,y)在 L 上连续,则有
b



L

f ( x, y )ds = ∫ f [ x, y ( x)] 1 + y ' ( x) 2 dx
a

对坐标的曲线积分( 对坐标的曲线积分(定义 181 页)

∫ P( x, y)dx + ∫ Q( x, y)dy = ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy
L L L

……第二类曲线积分(组合曲线积分)

注意:对坐标的曲线积分必须规定积分弧段的指向为表明积分的起止点,有时记为



( x1 , y1 )

( x2 , y 2 )

P ( x, y )dx + Q( x, y )dy

曲线 L 也可以是封闭曲线,即起点与重点重合(沿闭路的曲线积分)

∫ P( x, y)dx + Q( x, y )dy
L

对坐标的曲线积分常分成向量的形式,设 F=P(x,y)i+Q(x,y)j,ds=dxi+dyj 于是

∫ P( x, y)dx + Q( x, y )dy = ∫ Fds
L L

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高等数学知识点总结
对坐标曲线积分的性质 (1)

北雁双飞
P( x, y )dx

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∫ kP( x, y)dx = k ∫
L


:L

∫ kQ( x, y)dy = k ∫ Q( x, y)dy
L L BA

(2)改变积分路径的方向,积分值要改变符号,即


L

AB

P( x, y )dx + Q( x, y )dy = ? ∫ ∩ P( x, y )dx + Q( x, y )dy 或
?L

∫ P( x, y)dx + Q( x, y )dy = ? ∫
∫ Pdx + Qdy = ∫
L L1

P( x, y )dx + Q( x, y )dy

(3)设 L 是由有向曲线弧 L1 和弧 L2 组成,则有(曲线分段)

Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy
L2

对坐标曲线积分的计算 1、设曲线 L 由参数方程给出,L: ?

? x = ? (t ) , α ≤ t ≤ β , ? (t ),ψ (t ) ,具有一阶连续导数,t=a 对 L 的起 ? y = ψ (t )

点,t=b 对 L 的终点,当 t 由 a 变到 b 时,曲线上的对应点恰好画出曲线 L,函数 P(x,,y),Q(x,y)在 L 上连续, 则有

∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫α {P[? (t ),ψ (t )]? (t ) + Q[? (t ) + ψ (t )]ψ
' L

β

'

(t )}dt (坐标曲线积分计算公式)

2、设曲线 L 以方程 y=f(x)给出


格林公式

L

P( x, y )dx + Q( x, y )dy = ∫ {P[ x, f ( x)] + Q[ x, f ( x)] f ' ( x)}dx
a

b

平面曲线积分与路径无关的条件

定理:设 P(x,y),Q(x,y)在单连通域 D1 内及其边界 L 上具有连续的一阶偏导数,则

∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫∫ ( ?x ? ?y dxdy )
L D



?P

(L 取正向)

平面曲线积分与路径无关的条件 定义:设函数 P(x,y),Q(x,y)在区域 D 内具有连续的一阶偏导数如果对于 D 内任意指定的两点 A,B 以及 D 内任意两条曲线 L1
∩ ∩

= AmB

L2 = AnB 等式 ∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy 恒成立,则除曲线积分
L1 L2

∫ Pdx + Qdy 在 D 内与路径无关,反则……
L

结论:如果曲线积分

∫ Pdx + Qdy 与路径无关,即 ∫
L

L1

Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy 由曲线积分性质得
L2

∫ Pdx + Qdy = ?∫
L

? L2

Pdx + Qdy ,上式可化为
L1 + ( ? L2 )

∫ Pdx + Qdy + ∫
L

? L2

Pdx + Qdy = 0即∫
L

Pdx + Qdy = 0

重要结论:曲线积分 重要结论

∫ Pdx + Qdy 在 D1 内与路径无关等价于沿 D 内任意闭曲线 C 得曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 与路
L



C

Pdx + Qdy = 0
定理:设函数 P(x,y),Q(x,y)在单连通域 D 内具有一阶连续偏导数,则在 D 内曲线积分 定理

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?P ?θ = 在 D 内恒成立 ?y ?x

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径无关的充要条件是等式 无穷级数

无穷级数的概念( 无穷级数的概念(见书 202 页) 等比级数(几何级数) 等比级数(几何级数) 结论:等比级数 无穷级数的基本性质 性质一、如果级数

∑ aq
n =1 ∞



n ?1

当公比 q 的绝对值|q|<1 时,收敛;

q ≥ 1 时发散

∑ u n 收敛,其和为 S,k 为常数,则级数 ∑ ku n 也收敛,其和为 kS
n =1 n =1 ∞



性质二、收敛级数也可以逐项相加或逐项相减,也就是说,设有两个收敛级数,

∑u
n =1 ∞



n

= u1 + u 2 + …… + u n + = S , ∑ v n = v1 + v 2 + L + v n + = σ 则级数
n =1

∑ (u
n =1

n

± v n ) = (u1 ± v1 ) + (u 2 ± v 2 ) + L + (u n ± v n ) + L 也收敛,其和为 S ± σ

性质三、在级数前加上或去掉有限项,不影响级数的敛散性,只是当级数收敛时,加上有限项或去掉有限 项,一般会改变级数的和。 级数收敛的必要条件 如果级数

∑u
n =1



n

收敛,则 lim u n

n →∞ ∞

=0

注意:如果 lim u n 正向级数 概念:如果 u n

n →∞

= 0 ,级数 ∑ u n 可能收敛,也可能发散
n =1

≥ 0(n = 1,2,3, L) ,则称级数 ∑ u n 为正向级数
n =1



正向级数收敛的必要条件:它的前 n 项和数列 {S n } 有上界 正向级数收敛性的判别法: 正向级数收敛性的判别法: 1、比较判别法 设

∑ u n = u1 + u 2 + …… + u n + = S
n =1



①,

∑v
n =1



n

= v1 + v 2 + L + v n + = σ

②为两个正向

级数,则有: (1)如果级数②收敛,且 u n

≤ v n (n = 1,2,3, L) ,则级数①也收敛

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(2)如果级数②发散,且 u n 比较判别法的极限形式 设

≥ v n (n = 1,2,3, L) ,则级数①也发散
∞ ∞ un = l (0 < l < +∞) ,则级数 ∑ u n 与 ∑ v n 同时收敛或 vn n =1 n =1

∑ u n 与 ∑ v n 是两个正向级数,如果 lim
n =1 n =1





n →∞

同时发散 比值判别法(达朗贝尔判别法) 比值判别法(达朗贝尔判别法) 设正向级数

∑u
n =1



n

= u1 + u 2 + …… + u n + L ,



其中 u n

≥ 0(n = 1,2,3, L) ,如果其后项与

前项之比的极限存在,即 lim (1)当 q<1 时,级数③收敛 (2)当 q>1 时,级数③发散

u n +1 = q ,则 n →∞ u n

(3)当 q=1 时,级数③可能收敛也可能发散 根值判别法(柯西判别法) 根值判别法(柯西判别法) 如果正向级数

∑u
n =1



n

通项的 n 次方根的极限存在,即 lim n
n →∞

u = q ,则

(1)当 q<1 时,级数收敛 (2)当 q>1 时,级数发散 (3)当 q=1 时,级数可能收敛也可能发散 要判定一个正向级数是否收敛,通常按下列步骤进行 (1)用级数收敛的必要条件:如果 lim u n
n →∞

≠ 0 ,则级数 ∑ u n 发散,否则进一步……
n =1



(2)用比值判别法(有时也用根值判别法) 如果 lim

u n +1 = 1 ,则比值判别法失效,则改用比较判别法 n →∞ u n

(3)用比较判别法 掌握一些敛散性已知的函数,如等比级数,P-级数等 交错级数

∑ (?1)
n =1



n ?1

u n =u1 ? u 2 + u 3 ? u 4 + L



交错级数收敛性的判别法(莱布尼茨定理) 如果交错级数①满足条件 (1) n u 其余项 rn 的绝对值| rn | ≤ u n +1

≥ u n +1 (n = 1,2,3, L) , lim u n = 0 , (2) 则级数①收敛, 其和 S ≤ u1 ,
n →∞

绝对收敛与条件收敛

∑u
n =1



n

= u1 + u 2 + …… + u n + L ②为任意项级数,其各项取绝对值,则得到正向级数

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∑| u
n =1



n

|=| u1 | + | u 2 | + …… + | u n | + L ③

定理:如果级数③收敛,则级数②也收敛 定义:如果级数

∑| u
n =1 ∞



n

| 收敛,则称级数 ∑ u n 为绝对收敛级数
n =1 ∞ ∞



如果级数

∑ u n 收敛,而级数 ∑ | u n | 发散,则称级数 ∑ u n 为条件收敛级数
n =1 n =1 n =1

注意: 对于任意级数

如果 则 但当 只能判定 ∑ u n ∑ u n , ∑ | u n | 收敛, ∑ u n 绝对收敛; ∑ | u n | 发散时,
n =1 n =1 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞











非绝对收敛,却不能判定它必发散。但如果用比值法判定

∑| u
n =1

n

| 发散,则级数 ∑ u n 也发散
n =1

定理:如果任意项级数

∑u
n =1



n

= u1 + u 2 + …… + u n + L 满足条件 lim |
n →∞

u n +1 |= q ,则 un

(1)当 q<1 时,级数绝对收敛 幂级数 函数项级数的一半概念( 函数项级数的一半概念(见书 226 页) 幂级数及其收敛性( 幂级数及其收敛性(见书 227 页) 正向级数:

(2)当 q> 1 时,级数发散

∑| a
n =0



n

x n |=| a 0 | + | a1 x | + | a 2 x 2 | + L + | a n x n | + L ,记当 n 充分大时, a n ≠ 0 ,且

a n +1 u n +1 a n +1 x n +1 a lim | |= l ,则 lim | |= lim | |= lim | n +1 || x |= l | x | ,于是 n n →∞ n →∞ n →∞ n→ ∞ an un an an x
当 l ≠ 0 时,有下列两种情况 如果 l |
∞ 1 = R ,则级数 ∑ a n x n = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + L + a n x n + L ③绝对收敛 l n =0

x |< 1, 即 | x |< x |> 1, 即 | x |>

如果 l |

1 = R ,则级数③发散。 l

推论: 只要 l 是个不为 0 的正数, 就会有一个以原点为中心的对称区间 (?

1 1 , ) ,在这个区间内幂级数绝对收敛, l l 1 1 在这个区间外幂级数发散,当 x = ± 时,幂级数可能收敛也可能发散,称 R = ,为幂级数③的收敛半 l l
径。 当 l =0 时, l |x|=0<1,级数③对于一切实数 x 都绝对收敛,这时规定收敛半径 R 如果幂级数③仅在 x=0 一点处收敛,则规定收敛半径 R=0

= +∞

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n →∞

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定理:如果幂级数③的系数满足 lim |

a n +1 |= l 则 an

(1)当 0< l <+ ∞ 时, R (2)当 l =0 时, R 幂级数的收敛区间 (3)当 l = +∞ ,R=0

=

1 l

= +∞

定义:设幂级数③的收敛半径为 R,且 0<R<+ ∞ ,如果幂级数③在 x=R 处级数


∑a
n =0



n

R n 收敛,而在 x=-R

处级数

∑a
n =0

n

(? R ) n 发散,则幂级数③在区间(-R,R]上收敛,这个区间(-R,R]称为幂级数③的收敛区间。

敛区间为(- ∞ ,+ ∞ ) ,如果幂级数③的收敛半径 R=0,则收敛区间化为一点 x=0. 幂级数的性质: 幂级数的性质: 性质一、设二幂级数分别在 性质一、

推论:幂级数③的收敛区间为[-R,R),或(-R,R) ,或[-R,R],如果幂级数③的收敛半径 R=+ ∞ ,则它的收

( ? R 1,R 1) (? R2 , R2 ) 内绝对收敛,其中 R1>0,R2>0,有 , 内绝对收敛, R1>0,R2>0,有

2 n ? ?a 0 + a1 x + a 2 x + L + a n x + L = f ( x) 对于这两个幂级数,可进行下列运算 ? ?b0 + b1 x + b2 x 2 + L + bn x n + L = g ( x) ?

(1)加法:

(a 0 + b0 ) + (a1 + b1 ) x + (a 2 + b2 ) x 2 + L + (a n + bn ) x n + L = f ( x) + g ( x)
(2)减法:

(a 0 ? b0 ) + (a1 ? b1 ) x + (a 2 ? b2 ) x 2 + L + (a n ? bn ) x n + L = f ( x) ? g ( x)
(3)乘法:

a 0 b0 + (a 0 b1 + a1b0 ) x + (a 0 b2 + a1b1 + a 2 b0 ) x 2 + L + (a 0 bn + a1bn?1 + L + a n b0 ) x n + L = f ( x) ? g ( x)
性质二、 性质二、设幂级数

a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n + L = f ( x)

>0, ,其收敛半径 R>0,则幂级数的和函数 f(x)

在(-R,R)内是连续的
性质三、 性质三、设幂级数

a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n + L = f ( x)

则在区间( R,R)内这个 ,其收敛半径为 R,则在区间(-R,R)内这个级

数可以逐项求导,即

(a 0 ) ' + (a1 x) ' + (a 2 x 2 ) ' + L + (a n x n ) ' + L = a1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + L + na n x n ?1 + L = f ' ( x)
性质四、 性质四、设幂级数

a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n + L = f ( x)

则在区间( R,R), ,其收敛半径为 R,则在区间(-R,R),内的任

何闭区间上这个级数可逐项积分,即当-R<x<R 是,有

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x x 0 0

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x

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x

0

a 0 dx + ∫ a1 xdx + ∫ a 2 x 2 dx + L + ∫ a n x n dx + L = ∫ f ( x)dx ,即
0 0
x a a1 2 a 2 3 x + x + L + n x n +1 + L = ∫ f ( x)dx ,且收敛半径为 R 0 2 3 n +1

x

a0 x +

函数展开成幂级数

泰勒级数(见书 235 页) 函数展开成幂级数:(直接展开法和间接展开法)
直接展开法: 直接展开法: f(x)展开成 的幂级数,如下步骤(最基本方法) 把 f(x)展开成 x 的幂级数,如下步骤(最基本方法)

(1)求出 f(x)的各阶导数 f ( x), f ( x), L f
(2)计算 f(x)及其导数在点 x=0 处的值,

'

''

( n)

( x) L
(n)

f (0), f ' (0), f '' (0), L f

( 0) L

(3)写成幂级数 f (0) + f (0) x +
'

f '' (0) 2 f ( n ) ( 0) n x +L+ x + L ,并求出它的收敛区间 2! n!

(4)考察当 x 在收敛区间内时余项 Rn ( x) 的极限是否为零,如果为零,则由式(3)所求得的幂级 数就是 f(x)的幂级数的展开式。 类似得到下述函数的 x 的幂级数展开式 (1)

1 = 1+ x + x2 +L + xn + L 1? x

(-1,1)

(2)当 m 为实数时

m(m ? 1) 2 m(m ? 1)(m ? 2) 3 m(m ? 1) L (m ? n + 1) n x + x +L+ x + L 它的 2! 3! n! 收敛半径 R=1,在 x= ± 1 处,展开式是否成立,要据 m 的数值看右端级数是否收敛而决定 1 = 1 ? x + x 2 ? x 3 + L + (?1) n x n + L , (-1,1)当 m=-1,时 1+ x (1 + x) m = 1 + mx +
间接展开法

(1)变量置换法(对已知的级数进行变量置换而得所需幂级数展开式) (2)逐项求导法: 首先找出所给函数是哪个已知级数的和函数的导数,然后利用 逐项求导公式(幂级数的性质三)得到所需要的幂级数展开式 (3)逐项积分法:函数的幂级数展开式的应用(见书 241 页) ;欧拉公式(见书 242 页)
微分方程 概念:含有未知函数的导数或微分的方程 概念:含有未知函数的导数或微分的方程 微分方程的阶: 微分方程的阶:微分方程中的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶 微分方程的解:若将某个函数代入微分方程,能使方程两端相等, 微分方程的解:若将某个函数代入微分方程,能使方程两端相等,则称这个函数为该微分方程的解 通解:如果微分方程中的解中含有任意常数的个数等于微分方程的阶数, 通解:如果微分方程中的解中含有任意常数的个数等于微分方程的阶数,这样的解称为微分方程的通解 微分方程的初始条件:用来确定通解中任意常熟的条件叫做定解条件, 时的条件, 微分方程的初始条件:用来确定通解中任意常熟的条件叫做定解条件,若给出 t=0 时的条件,则为初始条件 ( s |t =0 =

0,

ds |t =0 = 0 ) dt

特解:有初始条件确定了通解中的任意常数后所得到的解

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一阶微分方程

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'

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一阶微分方程的一般形式为 F ( x. y. y 若 y 能解出,则方程
'

)=0

y ' =f(x,y)称为导数已解出的一阶微分方程
=0

一阶微分方程对称形式 P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy 可分离变量的微分方程

若一阶微分方程可化为 g(y)dy=f(x)dx 的形式,则原方程称为可分离变量的微分方程 若 g(y),f(x)都是连续函数,设 G(y),F(x)分别为 g(y),f(x)的一个原函数,则对方程(2)两端积分得

∫ g ( y )dy = ∫ f ( x)dx ,即 G(y)=F(x)+C

(3)

由式(3)所确定的隐函数 y=y(x)就是方程(2)的通解 注意:在解微分方程时,若得到一个含有对数的等式,为了利用对数的性质将结果进一步花间,可将任意 常数 C 写成 k ln C 的形式,k 的值可根据实际情况来确定 齐次方程 如果一阶微分方程 次方程。 齐次方程通解的求法: 齐次方程通解的求法:

dy y y = f ( x, y ) 中的函数 f(x,y)可化为 的函数,即 f ( x, y ) = ? ( ) ,称这种方程为齐 dx x x

dy = f ( x, y ) 式(4) dx y dy du du (2)令 u = ,则 y = ux, = u + x ,代入方程(4),得到可分离变量的方程 x = ? (u ) ? u x dx dx dx
(1)将所给方程化为 (3)分离变量后两端积分得 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程

∫ ? (u) ? u = ∫

du

dx y ,求出积分后,再用 代替 u,便得齐次方程通解 x x

dy + p ( x) y = Q( x) (6)称为一阶线性微分方程(其中 p(x),Q(x)都是已知的连续函数,这里方程中 dx dy 的未知函数 y 及导数 都是一次的,Q(x)称为自由项) dx dy 若 Q ( x) ≡ 0 方程(6)变为 + p ( x) y = 0 (7)称为一阶线性齐次微分方程 dx
方程 若 Q ( x)

≠ 0 ,则称为一阶线性非齐次微分方程

一阶线性非齐次微分方程通解的求法如下 (1)先求一阶线性齐次方程(7)的通解,将方程(7)分离变量,得
? p ( x ) dx y = ? ∫ p ( x)dx + ln C ,即y = ce ∫ ? p ( x ) dx p ( x ) dx y=e ∫ [ ∫ Q ( x )e ∫ dx + c](通解)

dy = ? p ( x)dx ,两端积分,的方 y

程(7)的通解为 ln

(2)利用常数变量法球一阶线性非齐次微分方程(6)的通解

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(参考过程详见书 270 页) 可降解的高阶微分方程

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y ( n ) = f ( x) 型微分方程
这类微分方程的右端仅含有自变量 x,因此,只要连续积分 n 次,即可得到方程 个任意常数的通解

y ( n ) = f ( x) 的含有 n

y '' = f ( x, y ' ) 型微分方程
这类微分方程不显含未知函数 y,只需设 P

= y ' ,则 y '' =

dp = P ' 从而将所给方程化为一阶微分方程 dx

y '' = f ( y, y ' ) 型微分方程(这类方程不显含自变量 x) 型微分方程(
设P

= y ' 且把 y ' 看做 y 的函数,则有 y '' =

dP dP dy dP = ? =P 从而将所给方程化为一阶微分方 dx dy dx dy

程P

dP = f ( y, P) dy

二阶线性微分方程解的结构 微分方程 数 当 当

y '' + P ( x) y ' + Q( x) y = f ( x) (1)称为二阶线性微分方程,其中 P(x),Q(x),f(x)都是连续函

f ( x) ≠ 0 时,方程(1)称为二阶线性非齐次微分方程 f ( x) = 0 时,方程 y '' + P ( x) y + Q ( x) y = 0 (2)称为二阶线性齐次微分方程

二阶线性齐次微分方程解的结构 定理:如果 C2 是任意常数 结论:线性齐次微分方程的解具有叠加性 当 y1 ( x ), y 2 ( x) 是方程(2)的解时, C1 y1 ( x) + C 2 y 2 ( x ) 是方程(2)的解,但不一定是方程(2) 的通解 定义:设

y1 ( x), y 2 ( x) 是方程(2)的两个解,则 y = C1 y1 ( x) + C 2 y 2 ( x) 也是方程(2)的解,其中 C1,

y1 = y1 ( x)与y 2 = y 2 ( x) 是定义在某区间内的两个函数,如果存在不为零的常数 k,使得

y 2 ( x) = k 成立,则称 y1 ( x), y 2 ( x) 在该区间内线性相关,否则称函数 y1 ( x), y 2 ( x) 在该区间内线性无关 y 1 ( x)
定理:如果函数

y1 ( x), y 2 ( x) 是方程(2)的两个线性无关的特解则 y = C1 y1 ( x) + C 2 y 2 ( x) 就是方程(2)

的通解,其中 C1,C2 是任意常数 二阶线性非齐次微分方程的解得结构

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定义:如果

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y * = y * ( x) 是二阶线性非齐次微分方程(1)的一个特解,又 Y = C1 y1 ( x) + C 2 y 2 ( x) 是方程 y = Y + y * = C1 y1 ( x) + C 2 y 2 ( x) + y * ( x) (3)是方程(1)的通解

(1)所对应的齐次方程(2)的通解,则 定理:如果 齐次方程

* * y1 ( x) 是二阶线性非齐次方程 y '' + P( x) y ' + Q( x) y = f 1 ( x) 的特解,而 y 2 ( x) 是二阶线性非

* * y '' + P ( x) y ' + Q( x) y = f 2 ( x) 的特解,则 y * = y1 ( x) + y 2 ( x) 是方程

y '' + P( x) y ' + Q( x) y = f 1 ( x) + f 2 ( x) 的特解
二阶线性常系数齐次微分方程 概念:如果二阶线性齐次微分方程

y '' + P( x) y ' + Q( x) y = 0 中的 P(x),Q(x)均为常数,即方程

y '' + py ' + qy = 0
特征方程: 特征方程: 对 所以 r
2

(1)中的 p,q 为常数,即称方程(1)为二阶线性常系数齐次微分方程

rx ' rx ' 2 rx ' '' 2 rx y ' = e rx , 求导, y = re , y = r e , 将y , y , y 代入方程 得 (1) ( r + pr + q )e = 0 , e ≠ 0 , 得 而

+ pr + q = 0

(2)

(由此可见,只要 r 满足方程(2) ,函数

y = e rx 就是微分方程(1)的特解,方程(2)是一元二次代数 y ' 与 y 的系数,我们称方程(2)为微分方程(1)

方程,有两个根 r1 和 r2,其中 p 与 q 正好是微分方程(1)中

的特征方程,其中 r1 和 r2 称为特征根 r1, 2 求二阶现行常系数其次微分方程 通解的步骤如下 (1)写出相应的特征方程 r +
2

=

? p±

p 2 ? 4q ) (有三种情况,据 ? >=< 0 ,详课本 285 页) 2

y '' + py ' + qy = 0

pr + q = 0

(2)求出特征方程的两个特征根 r1 及 r2 (3)根据特征根的不同情况,写出微分方程(1)的通解 便于记忆,列表如下 特征方程 r +
2

pr + q = 0 的二根 r1,r2

y '' + py ' + qy = 0 y = C1e r1 x + C 2 e r2 x y = (C1 + C 2 x)e rx

二不等实根 r1

≠ r2

二相等实根 r1=r2=r 二共轭复根 r1, 2

= α ± iβ

y = eαx (C1 cos β x + C 2 sin βx)

二阶线性常系数非齐次微分方程

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Classical is something not fade,but grow more precious with time pass by,so is dream! 第 18 页 共 19 页

高等数学知识点总结
方程

北雁双飞

QQ:760722085

E_mail:heblyd@163.com

y '' + py ' + qy = f ( x) (1)称为二阶线性常系数非齐次微分方程,其中 p,q 为常数, f ( x) ≠ 0 ,
y '' + py ' + qy = 0
(2) (只要求出(1)本身一个特解

它所对应的齐次方程为 Y,

y * 和它所对应的(2)的通解

y = Y + y * ,Y 已经会求,现只要求(1)的特解 y * ) y * 的形式与方程右端的自由项 f(x)的形式密切相关
若 f(x)具有下面两种常用形式之一时,我们可用待定系数法求 (1) (2)

y*

f ( x) = Pm ( x)e λx ,其中 λ 为常数, Pm (x) 为 x 的 m 次多项式 f ( x) = e λx [ Pl ( x) cos wx + Pn ( x) sin wx] ,其中 λ , w 为常数, Pl ( x)和Pn ( x) 分别为 x 的 l 次和 n

次多项式

f ( x) = Pm ( x)e λx
结论:如果



f ( x) = Pm ( x)e λx ,则微分方程(1)有如下形式的特解, y * = x k Qm ( x)e λx ,其中

?0, 当λ不是特征方程的根 ? Qm ( x)是与Pm ( x) 同次的多项式,其系数待定,而 k = ?1, 当λ是特征方程的单根 ?2, 当λ时特征方程的二重根 ? f ( x) = e λx [ Pl ( x) cos wx + Pn ( x) sin wx]
如果 型

f ( x) = e λx [ Pl ( x) cos wx + Pn ( x) sin wx] ,则微分方程(1)有如下形式的特解

y * = x k e λx [Qm ( x) cos wx + Rm ( x) sin wx] ,其中 Qm ( x), Rm ( x) ,均为 m 次多项式,次数 m = max{l , n} 其
系数待定,而 k

?0,当λ ± iw不是特征根 =? ?1,当λ ± iw是特征根

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