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福建省2013年三明市高中毕业班教学质量检查文科数学试题

时间:2013-05-07


2013 年三明市普通高中毕业班质量检查

文 科 数 学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) .本试卷共 6 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上,请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超 出答题区域书写的答案无

效,在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,…, xn 的标准差 锥体体积公式

s?
?

? ? ? 1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x) ? … ? ( xn ? x)2 ] n

V ?

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

S ? 4?R 2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 R 为球的半径

第 I 卷(选择题
有一项是符合题目要求的.

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只

1.若集合 A = {x | x ? ?2} , B = {x | ?3 ? x ? 3} ,则 A ? B 等于 A. {x | x ? ?2} C. {x | x ? ?3} B. {x | ?2 ? x ? 3} D. {x | ?3 ? x ? 3}
开始

输入 x

2.已知 A(0, ?3) , B(3,3) , C ( x, ?1) ,若 AB 与 BC 共线,则 x 等于 A.5 C. ?1 B.1 D. ?5

??? ?

??? ?

n ?1 n ? n ?1 n?4
是 输出 x 否

x ? x?2

3.输入 x ? 1 时,运行如图所示的程序,输出的 x 值为 A.4 B.5

结束

文科数学第 1 页(共 9 页)

C.7

D.9

4.设函数 f ( x) ? x2 ? 5x ? 6, x ?[0,5] ,若从区间 [0,5] 内随机选取一个实数 x0 ,则所选取的实数 x0 满 足 f ( x0 ) ? 0 的概率为 A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5

5.右图是某空间几何体的直观图,则该几何体的侧视图是

A

B

C

D 正视方向

6.若函数 f ( x ) 的定义域为 R ,那么“ ?x0 ?R , f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) ”是“ f ( x ) 为奇函数”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 7.已知双曲线 x ?
2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

y2 ? 1 (b ? 0) 的一条渐近线为 y ? 2 x ,且右焦点与抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的 b2

焦点重合,则常数 p 的值为 A. 3 B. 5 C. 2 3 D. 2 5

8.若直线 (1 ? a) x ? y ? 1 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值是 A.1, ?1 B.2, ?2 C.1 D. ?1

9. 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 a ? 7 , b ? 5 , c ? 8 ,则△ ABC 的面 积 S 等于 A.10 B. 10 3 C.20 D. 20 3

10.已知甲、乙两种不同品牌的 PVC 管材都可截成 A、B、C 三种规格的成品配件,且每种 PVC 管 同时截得三种规格的成品个数如下表: A 规格成品(个) 品牌甲(根) 2 B 规格成品(个) 1 C 规格成品(个) 1

文科数学第 2 页(共 9 页)

品牌乙(根)

1

1

2

现在至少需要 A、B、C 三种规格的成品配件分别是 6 个、5 个、6 个,若甲、乙两种 PVC 管材 的价格分别是 20 元/根、15 元/根,则完成以上数量的配件所需的最低成本是 A.70 元 B.75 元
x

C.80 元

D.95 元

11.已知函数 y ? f ( x) 的导函数为 f ?( x) ? e ?

k2 1 ? (其中 e 为自然对数的底数, k 为实数),且 ex k

f ( x) 在 R 上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是
A. (??, ?

2 ) 2

B. (?

2 , 0) 2

C. (0,

2 ) 2

D. (

2 , ??) 2

12.在透明塑料制成的正方体容器中灌进

1 体积的水,密封后可以任意摆放,那么容器内水面形状 6

可能是:①三角形;②梯形;③长方形;④五边形. 其中正确的结果是 A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②③④

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置.
2 13.已知复数 z ? 1 ? i (其中 i 是虚数单位) ,则 z ? z ? _________.

14.若函数 y ? 1 ? 2sin x 图象的对称中心是 ( x0 ,0) ,则正数 x0 的最小值是______.
2

?2 x ( x ? 0), 15.已知函数 f ( x) ? ? 若直线 y ? m 与函数 f ( x) 的图象有两个不同的交点,则实数 m 的 ?log 2 x ( x ? 0),
取值范围是 .
2

16.对于二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,有下列命题: ①若 f ( p) ? q, f (q) ? p,( p ? q) ,则 f ( p ? q) ? ?( p ? q) ; ②若 f ( p) ? f (q) (p ? q) ,则 f ( p ? q) ? c ; ③若 f ( p ? q) ? c (p ? q) ,则 p ? q ? 0或f ( p) ? f (q) . 其中一定正确的命题是______________.(写出所有正确命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)
文科数学第 3 页(共 9 页)

已知等差数列 ?an ? (n ?N? ) 的前 n 项和为 Sn ,且 a3 ? 5, S3 ? 9 . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设等比数列 ?bn ? (n ?N? ) ,若 b2 ? a2 , b3 ? a5 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 18. (本小题满分 12 分) 在某次综合素质测试中, 共设有 40 个考室, 每个考 室 30 名考生. 在考试结束后, 为调查其测试前的培训辅 导情况与测试成绩的相关性,抽取每个考室中座位号为 05 的考生,统计了他们的成绩,得到如图所示的频率分 布直方图. (Ⅰ)在这个调查采样中,用到的是什么抽 样方法? (Ⅱ)写出这 40 个考生成绩的众数、中位数(只写结果) ; (Ⅲ)若从成绩在 [60, 70) 的考生中任抽取 2 人,求成绩在 [65, 70) 的考生至少有一人的概率. 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0 , 0 ? ? ? ? ) 在一个周期内的部分对应值如下表:

x
y

?

?
4

0
1

0

? 6 1 2

? 4
0

? 2
?1

3? 4
0

(I)求 f ( x ) 的解析式; (II) 设函数 h( x) ? f ( x ? 的最大值和最小值.

?
4

) ? f ( x) ,x ? [ ?

? ?

, ] , h( x ) 求 4 4
P Q

20. (本小题满分 12 分) 在空间几何体 PQ ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , 平面 QBC ? 平面 ABC , AB ? AC , QB ? QC . (I)求证: PA // 平面 QBC ; (II)如果 PQ ? 平面 QBC ,求证: VQ?PBC ? VP? ABC .

C B

A

文科数学第 4 页(共 9 页)

21. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 x?y 中,经过点 D(?1, 0) 的动直线 l ,与椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) a 2 b2

相交于 A , B 两点. 当 l ? y 轴时, | AB |? 4 ,当 l ? x 轴时, | AB |? 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 AB 的中点为 M ,且 | AB |? 2 | OM | ,求直线 l 的方程. 22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x ? 2 x ? k 在 x0 处取得极值,且 x0 恰好是 f ( x ) 的一个零点. (Ⅰ)求实数 k 的值,并写出函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)设 l1 、 l2 分别是曲线 y ? f ( x) 在点 P ( x1 , y1 ) 和 P ( x2 , y2 ) (其中 x1 ? x2 )处的切线,且 1 2

l1 ? l2 .
①若 l1 与 l2 的倾斜角互补,求 x1 与 x2 的值; ②若 x1 ? ?1,e ? (其中 e 是自然对数的底数) ,求 x1 ? x2 的取值范围.

2013 年三明市普通高中毕业班质量检查

文科数学参考答案及评分标准
一、选择题 1-5.CBCAA 二、填空题 13. 1 ? 3i 三、解答题 17.解: (Ⅰ)由 S3 ? 9 ,得 3a2 ? 9 ,所以 a2 ? 3 . 又因为 a3 ? 5 ,所以公差 d ? 2 . 从而 an ? a2 ? (n ? 2)d ? 2n ?1 . ??????????(2 分) 14. 6-10.BDDBC 11-12.CD

? 4

15. 0 ? m ? 1

16.②③

???????????????(4 分) ????????????(6 分) ?????(8 分)

(Ⅱ)由上可得 b2 ? a2 ? 3 , b3 ? a5 ? 9 ,所以公比 q ? 3 , 从而 bn ? b2 ? qn?2 ? 3n ,

??????????(10 分)

文科数学第 5 页(共 9 页)

所以 Tn ?

a1 (1 ? q n ) 1? (1 ? 3n ) 1 n ? ? (3 ? 1) . 1? q 1? 3 2
????(2 分)

…………???????(12 分)

18.解: (Ⅰ)系统抽样.

(Ⅱ)众数是 77.5 ,中位数是 77.5 .??(6 分) (Ⅲ)从图中可知,成绩在 [60, 65) 的人数为: ,????(7 分) m1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 (人) 成绩在 [65, 70) 的人数为: .????(8 分) m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 (人) 设成绩在 [60, 65) 的考生为 a, b ,成绩在 [65, 70) 的考生为 c, d , e, f , 则所有基本事件有: a, b ), ( a, c ) , ( a , d ) , ( a, e) , ( a , f ) , (b, c) , (b, d ) , (b, e) , (b, f ) , (

(c, d ) , (c, e) , (c, f ) , ( d , e) , (d , f ) , (e, f ) ,共 15 种, ?????????(10 分)
其中成绩在 [65, 70) 的考生至少有一人的事件有:

( a, c) , ( a , d ) , ( a, e) , ( a , f ) , (b, c) , (b, d ) , (b, e) , (b, f ) , (c, d ) , (c, e) , (c, f ) , ( d , e) , (d , f ) , (e, f ) ,共 14 种.

14 . ?????? 12 分 15 3? ? ? ?? , 19.解: (Ⅰ)由表格给出的信息可以知道,函数 f ( x ) 的周期为 T ? 4 4 2? ? ? ? 2 .由 sin(2 ? ( ? ) ? ? ) ? 0 ,且 0 ? ? ? ? ,得 ? ? .??4 分 所以 ? ? ? 4 2 ? 所以函数解析式为 f ( x) ? sin(2 x ? ) (或者 f ( x) ? cos 2 x ) ????6 分 . 2 ? ? (Ⅱ) h( x) ? f ( x ? ) ? 3 f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 3 cos 2 x 4 2 ? ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) , ?????????9 分 3 ? ? ? ? 5? 1 ? 又因为 x ? [ ? , ] ,所以 ? ? 2 x ? ? ,所以 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 4 4 6 3 6 2 3
所以成绩在 [65, 70) 的考生至少有一人的概率为 P ? 所以函数 h( x) 的最大值是 2,最小值是 ?1.??????????????12 分 20.解: (I)如图,取 BC 中点 D ,连 QD , 由 QB ? QC 得 QD ? BC ,

文科数学第 6 页(共 9 页)

P Q
∵平面 QBC ⊥平面 ABC , ∴ QD ? 平面 ABC , 又∵ PA ⊥平面 ABC , ∴ QD ∥ PA , ??????????4 分 ??????2 分

C
D

A B

又∵ QD ? 平面 QBC , ∴ PA ∥平面 QBC . ??????6 分

(Ⅱ)连接 AD ,则 AD ? BC . ∵平面 QBC ⊥平面 ABC ,面 QBC ∩面 ABC ? BC ,∴ AD ⊥平面 QBC . 又∵ PQ ? 平面QBC ,∴ PQ ∥ AD . 又由(Ⅰ)知,四边形 APQD 是矩形, ∴ PQ ? AD , PA ? QD . ∴ VQ ? PBC ? VP ?QBC ? 而 VP ? ABC ? ??????????????10 分 ??????8 分

1 1 ? ( ? BC ? QD) ? PQ , 3 2

1 1 ? ( ? BC ? AD) ? PA ,则 VQ?PBC ? VP? ABC .????????12 分 3 2
y
A

21.解法一: (Ⅰ)当 l ? y 轴时, | AB |? 4 ? 2a ? 4 ,

当 l ? x 轴时, | AB |? 3 ,得 解得 a ? 2 , b ? 1 . 所以椭圆 C 的方程为:

( ?1) ? a2
2

(

3 2 ) 2 ? 1, b2

D
B

?

x

x2 ? y 2 ? 1.????5 分 4 x2 ? y 2 ? 1联立,得 (t 2 ? 4) y 2 ? 2ty ? 3 ? 0 . 4
2t 3 , y1 y2 ? ? 2 .?① t ?4 t ?4
2

(Ⅱ)设直线 l : x ? ty ? 1 ,与方程

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 因为 | AB |? 2 | OM | ,即 | OM |?

所以 OA ? OB ,即 OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,
2

??? ??? ? ?

1 | AB | , 2
????????????8 分

所以 (ty1 ?1)(ty2 ?1) ? y1 y2 ? 0 ,则 (t ? 1) y1 y2 ? t ( y1 ? y2 ) ? 1 ? 0 ,

文科数学第 7 页(共 9 页)

将①式代入并整理得:

1 ?3(t 2 ? 1) 2t 2 ? 2 ? 1 ? 0 ,解出 t ? ? , 2 2 t ?4 t ?4 1 y ? 1 ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 , 2 x ? y ? 2 ? 0 .??12 分 2
????????????5 分

此时直线 l 的方程为: x ? ? 解法二: (Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)设直线 l : x ? ty ? 1 ,与

x2 ? y 2 ? 1联立,得 (t 2 ? 4) y 2 ? 2ty ? 3 ? 0 .?(﹡) 4
2t 3 , y1 ? y2 ? ? 2 . t ?4 t ?4
2
2

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?
2 2

从而 | AB |? 1 ? t | y1 ? y2 |? 1 ? t ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2

? 1? t 2 ? (

2t 2 3 4 1? t2 ? t2 ? 3 . ???????8 分 ) ? 4 ? (? 2 )? t2 ? 4 t ?4 t2 ? 4
x1 ? x2 t ( y1 ? y2 ) y ? y2 ?4 t ? ?1 ? 2 ? 2 , y0 ? 1 . 2 2 t ?4 2 t ?4

设 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 由 | AB |? 2 | OM | 得:

4 1? t 2 ? t 2 ? 3 ?4 2 t 2 ?2 ( 2 ) ?( 2 ) , 2 t ?4 t ?4 t ?4
4 2

4 2 2 整理得 4(t ? 4t ? 3) ? t ? 16 ,即 4t ? 15t ? 4 ? 0 ,

即 (t 2 ? 1)(4t 2 ?1) ? 0 ,解得 t ?
2

1 1 ,从而 t ? ? . 2 4

故所求直线 l 的方程为: x ? ?

1 y ?1, 2
??????????????12 分

即 2x ? y ? 2 ? 0 和 2x ? y ? 2 ? 0 . 22.解: (Ⅰ) f ?( x) ? ln x ? 1 , 由已知得: ? 解得 k ? e .

? f ( x0 ) ? 0, ?ln x0 ? 1 ? 0, 得? ? f ?( x0 ) ? 0, ? x0 ln x0 ? 2 x0 ? k ? 0,

????????3 分

????????????????????????4 分

当 x ? (0, e) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? (e, ??) 时, f ?( x) ? 0 , 所以函数 f ( x) 单调减区间是 (0, e) ,增区间是 (e, ??) . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? x ln x ? 2 x ? e , 依题意,直线 l1 和 l2 的斜率分别为 f ?( x1 ) 和 f ?( x2 ) , ???????6 分

文科数学第 8 页(共 9 页)

因为 l1 ? l2 ,所以 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? ?1 , 所以 (ln x1 ?1) ? (ln x2 ? 1) ? ?1 .?(*) ① 因为 l1 与 l2 的倾斜角互补,所以 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? 0 , 即 (ln x1 ?1) ? (ln x2 ? 1) ? 0 , (**) ?????????????????8 分

由(*) (**) ,结合 x1 ? x2 ,解得 ln x1 ? 1 ? ?1 , ln x2 ? 1 ? 1, 即 x1 ? 1 , x2 ? e2 . ?????????????????10 分

② 因为 1 ? x1 ? e ,所以 0 ? 1 ? ln x1 ? 1 , ln x2 ? 1 ? 1, 所以 1 ? (1 ? ln x1 )(ln x2 ? 1) ? [

(1 ? ln x1 ) ? (ln x2 ? 1) 2 1 x ] ? (ln 2 ) 2 , 2 4 x1

所以 x2 ? x1 ? e2 ,当且仅当 x1 ? 1 时,等号成立. 又因为 x1 ? x2 ? x1 ? x1e2 ? x1 (1 ? e2 ) ? e2 ? 1 ,当且仅当 x1 ? 1 时,等号成立. 所以 x1 ? x2 ?[e2 ? 1, ??) . ??????????????????14 分

文科数学第 9 页(共 9 页)


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