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【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 数学归纳法学案 理 新人教A版


数学归纳法
导学目标: 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

自主梳理 1.归纳法 由一系列有限的特殊事例得出________的推理方法叫归纳法.根据推理过程中考查的对 象是涉及事物的全体或部分可分为____归纳法和________归纳法. 2.数学归纳法 设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合,如果:(1)证明起始

命题________(或________) 成立;(2)在假设______成立的前提下,推出________也成立,那么可以断定{Pn}对一切正整 数成立. 3.数学归纳法证题的步骤 (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值__________时命题成立. (2)(归纳递推)假设______________________________时命题成立, 证明当________时命 题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 自我检测 n+2 1-a 2 n+1 1.用数学归纳法证明:“1+a+a +?+a = (a≠1)”在验证 n=1 时,左端 1-a 计算所得的项为( ) A.1 B.1+a 2 2 3 C.1+a+a D.1+a+a +a * 2.如果命题 P(n)对于 n=k (k∈N )时成立,则它对 n=k+2 也成立,又若 P(n)对于 n =2 时成立,则下列结论正确的是( ) A.P(n)对所有正整数 n 成立 B.P(n)对所有正偶数 n 成立 C.P(n)对所有正奇数 n 成立 D.P(n)对所有大于 1 的正整数 n 成立 n+2 1 1 1 1 3.(2011·台州月考)证明 <1+ + + +?+ n<n+1(n>1),当 n=2 时,中间式子 2 2 3 4 2 等于( ) 1 A.1 B.1+ 2 1 1 1 1 1 C.1+ + D.1+ + + 2 3 2 3 4 n 2 4. 用数学归纳法证明“2 >n +1 对于 n>n0 的正整数 n 都成立”时, 第一步证明中的起始 值 n0 应取( ) A.2 B.3 C.5 D.6 3 3 3 * 5.用数学归纳法证明“n +(n+1) +(n+2) (n∈N )能被 9 整除”,要利用归纳假设 证 n=k+1 时的情况,只需展开( ) 3 3 A.(k+3) B.(k+2) 3 3 3 C.(k+1) D.(k+1) +(k+2)

探究点一 用数学归纳法证明等式 * 例 1 对于 n∈N ,用数学归纳法证明:

1

1 1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+?+(n-1)·2+n·1= n(n+1)(n+2). 6

变式迁移 1 (2011·金华月考)用数学归纳法证明: 1 1 1 1 1 1 1 1 *, 对任意的 n∈N 1- + - +?+ - = + +?+ . 2 3 4 2n-1 2n n+1 n+2 2n

探究点二 用数学归纳法证明不等式

? 1? 用 数 学 归 纳 法 证 明 : 对 一 切 大 于 1 的 自 然 数 , 不 等 式 ?1+ ? ? 3? ?1+1???1+ 1 ?> 2n+1均成立. ? 5? ? 2n-1? 2 ? ? ? ?
例 2

变式迁移 2 已知 m 为正整数,用数学归纳法证明:当 x>-1 时,(1+x) ≥1+mx.

m

2

探究点三 用数学归纳法证明整除问题 * n+1 2n-1 2 例 3 用数学归纳法证明:当 n∈N 时,a +(a+1) 能被 a +a+1 整除.

变式迁移 3 用数学归纳法证明:当 n 为正整数时,f(n)=3

2n+2

-8n-9 能被 64 整除.

从特殊到一般的思想 (14 分)已知等差数列{an}的公差 d 大于 0, 且 a2、 a5 是方程 x2-12x+27=0 的两根, 1 数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn=1- bn. 2 (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; 1 (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,试比较 与 Sn+1 的大小,并说明理由. 例

bn

【答题模板】 解 (1)由已知得?
? ?a2+a5=12 ?a2a5=27 ?

,又∵{an}的公差大于 0,

∴a5>a2,∴a2=3,a5=9.∴d=

= =2,a1=1, 3 3 ∴an=1+(n-1)×2=2n-1.[2 分] 1 2 1 ∵Tn=1- bn,∴b1= ,当 n≥2 时,Tn-1=1- bn-1, 2 3 2 1 ? 1 ? ∴bn=Tn-Tn-1=1- bn-?1- bn-1?, 2 ? 2 ? 1 化简,得 bn= bn-1,[4 分] 3 2 1 ∴{bn}是首项为 ,公比为 的等比数列, 3 3 1 2 ? ?n-1 2 即 bn= ·? ? = n, 3 ?3? 3 2 ∴an=2n-1,bn= n.[6 分] 3

a5-a2 9-3

3

1+ (2)∵Sn= 1

n-
2

n=n2,∴Sn+1=(n+1)2, = . bn 2

1

3

n

以下比较 与 Sn+1 的大小:

bn

1 3 1 1 9 1 当 n=1 时, = ,S2=4,∴ <S2,当 n=2 时, = ,S3=9,∴ <S3, b1 2 b1 b2 2 b2 1 27 1 1 81 1 当 n=3 时, = ,S4=16,∴ <S4,当 n=4 时, = ,S5=25,∴ >S5. b3 2 b3 b4 2 b4 1 猜想:n≥4 时, >Sn+1.[9 分]

bn

下面用数学归纳法证明: ①当 n=4 时,已证. 1 3 * 2 ②假设当 n=k (k∈N ,k≥4)时, >Sk+1,即 >(k+1) .[10 分] bk 2 k+1 k 1 3 3 2 2 2 2 那么,n=k+1 时, = =3· >3(k+1) =3k +6k+3=(k +4k+4)+2k +2k- bk+1 2 2 1 2 1>[(k+1)+1] =S(k+1)+1,∴n=k+1 时, >Sn+1 也成立.[12 分]
k

bn

由①②可知 n∈N ,n≥4 时, >Sn+1 都成立.

*

1

bn

1 1 综上所述,当 n=1,2,3 时, <Sn+1,当 n≥4 时, >Sn+1.[14 分]

bn

bn

【突破思维障碍】 1. 归纳——猜想——证明是高考重点考查的内容之一, 此类问题可分为归纳性问题和存 在性问题,本例中归纳性问题需要从特殊情况入手,通过观察、分析、归纳、猜想,探索出 一般规律. * 2.数列是定义在 N 上的函数,这与数学归纳法运用的范围是一致的,并且数列的递推 公式与归纳原理实质上是一致的,数列中有不少问题常用数学归纳法解决. 【易错点剖析】 1.严格按照数学归纳法的三个步骤书写,特别是对初始值的验证不可省略,有时要取两 个(或两个以上)初始值进行验证;初始值的验证是归纳假设的基础. 2.在进行 n=k+1 命题证明时,一定要用 n=k 时的命题,没有用到该命题而推理证明 的方法不是数学归纳法. 1.数学归纳法:先证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立,然后假设当 n=k (k∈N ,k≥n0) 时命题成立,并证明当 n=k+1 时命题也成立,那么就证明了这个命题成立.这是因为 第一步首先证明了 n 取第一个值 n0 时,命题成立,这样假设就有了存在的基础,至少 k =n0 时命题成立,由假设合理推证出 n=k+1 时命题也成立,这实质上是证明了一种循 环,如验证了 n0=1 成立,又证明了 n=k+1 也成立,这就一定有 n=2 成立,n=2 成 立,则 n=3 成立,n=3 成立,则 n=4 也成立,如此反复以至无穷,对所有 n≥n0 的整 数就都成立了. 2.(1)第①步验证 n=n0 使命题成立时 n0 不一定是 1,是使命题成立的最小正整数. (2)第②步证明 n=k+1 时命题也成立的过程中一定要用到归纳递推, 否则就不是数学归 纳法.
*

(满分:75 分)

4

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) n n 1.用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,x +y 能被 x+y 整除”,在第二步时, 正确的证法是( ) * A.假设 n=k(k∈N )时命题成立,证明 n=k+1 命题成立 B.假设 n=k(k 是正奇数)时命题成立,证明 n=k+1 命题成立 * C.假设 n=2k+1 (k∈N )时命题成立,证明 n=k+1 命题成立 D.假设 n=k(k 是正奇数)时命题成立,证明 n=k+2 命题成立 1 1 1 1 2.已知 f(n)= + + +?+ 2,则( ) n n+1 n+2 n 1 1 A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 2 C.f(n)中共有 n -n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 2 D.f(n)中共有 n -n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 3.如果命题 P(n)对 n=k 成立,则它对 n=k+1 也成立,现已知 P(n)对 n=4 不成立, 则下列结论正确的是( ) * A.P(n)对 n∈N 成立 * B.P(n)对 n>4 且 n∈N 成立 * C.P(n)对 n<4 且 n∈N 成立 * D.P(n)对 n≤4 且 n∈N 不成立 n4+n2 2 4.(2011·日照模拟)用数学归纳法证明 1+2+3+?+n = ,则当 n=k+1 时左 2 端应在 n=k 的基础上加上( ) 2 A.k +1 2 B.(k+1) k+ 4+ k+ 2 C. 2 2 2 2 2 D.(k +1)+(k +2)+(k +3)+?+(k+1) 5.(2011·湛江月考)已知 f(x)是定义域为正整数集的函数,对于定义域内任意的 k,若 f(k)≥k2 成立,则 f(k+1)≥(k+1)2 成立,下列命题成立的是( ) 2 A.若 f(3)≥9 成立,且对于任意的 k≥1,均有 f(k)≥k 成立 2 B.若 f(4)≥16 成立,则对于任意的 k≥4,均有 f(k)<k 成立 2 C.若 f(7)≥49 成立,则对于任意的 k<7,均有 f(k)<k 成立 2 D.若 f(4)=25 成立,则对于任意的 k≥4,均有 f(k)≥k 成立 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 2 * 6.用数学归纳法证明“1+2+3+?+n+?+3+2+1=n (n∈N )”时,从 n=k 到 n =k+1 时,该式左边应添加的代数式是________. 1 1 1 13 7.(2011·南京模拟)用数学归纳法证明不等式 + +?+ > 的过程中,由 n+1 n+2 n+n 24 n=k 推导 n=k+1 时,不等式的左边增加的式子是______________. 8.凸 n 边形有 f(n)条对角线,凸 n+1 边形有 f(n+1)条对角线,则 f(n+1)=f(n)+ ________. 三、解答题(共 38 分) n 1 1 1 1 * 9.(12 分)用数学归纳法证明 1+ ≤1+ + +?+ n≤ +n (n∈N ). 2 2 3 2 2

5

1 1 10.(12 分)(2011·新乡月考)数列{an}满足 an>0,Sn= (an+ ),求 S1,S2,猜想 Sn, 2 an 并用数学归纳法证明.

1 1 11.(14 分)(2011·郑州月考)已知函数 f(x)= 2e- (其中 e 为自然对数的底数). x |x| (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)在(-∞,0)上求函数 f(x)的极值; 1 2-n (3)用数学归纳法证明:当 x>0 时,对任意正整数 n 都有 f( )<n!·x .

x

学案 39

数学归纳法

自主梳理 1.一般结论 完全 不完全 2.(1)P1 P0 (2)Pk Pk+1 * * 3.(1)n0 (n0∈N ) (2)n=k (k≥n0,k∈N ) n=k+1 自我检测 2 1.C [当 n=1 时左端有 n+2 项,∴左端=1+a+a .] 2. B [由 n=2 成立, 根据递推关系“P(n)对于 n=k 时成立, 则它对 n=k+2 也成立”, 可以推出 n=4 时成立,再推出 n=6 时成立,?,依次类推,P(n)对所有正偶数 n 成立”.] 3.D [当 n=2 时,中间的式子 1 1 1 1 1 1 1+ + + 2=1+ + + .] 2 3 2 2 3 4 1 2 4.C [当 n=1 时,2 =1 +1; 2 2 3 2 当 n=2 时,2 <2 +1;当 n=3 时,2 <3 +1; 4 2 5 2 当 n=4 时,2 <4 +1.而当 n=5 时,2 >5 +1,∴n0=5.] 5.A [假设当 n=k 时,原式能被 9 整除, 3 3 3 即 k +(k+1) +(k+2) 能被 9 整除. 3 3 3 3 当 n=k+1 时,(k+1) +(k+2) +(k+3) 为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3) 3 展开,让其出现 k 即可.]
6

课堂活动区 例 1 解题导引 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题, 关键在于弄清等式 两边的构成规律: 等式的两边各有多少项, 由 n=k 到 n=k+1 时, 等式的两边会增加多少项, 增加怎样的项. 证明 设 f(n)=1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+?+(n-1)·2+n·1. (1)当 n=1 时,左边=1,右边=1,等式成立; * (2)假设当 n=k (k≥1 且 k∈N )时等式成立, 即 1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+?+(k-1)·2+k·1 1 = k(k+1)(k+2), 6 则当 n=k+1 时, f(k + 1) =1·(k + 1) + 2[(k + 1) - 1] + 3[(k + 1) - 2] +?+ [(k + 1) -1]·2+ (k + 1)·1 =f(k)+1+2+3+?+k+(k+1) 1 1 = k(k+1)(k+2)+ (k+1)(k+1+1) 6 2 1 = (k+1)(k+2)(k+3). 6 * 由(1)(2)可知当 n∈N 时等式都成立. 变式迁移 1 证明 (1)当 n=1 时, 1 1 1 左边=1- = = =右边, 2 2 1+1 ∴等式成立. * (2)假设当 n=k (k≥1,k∈N )时,等式成立,即 1 1 1 1 1 1- + - +?+ - 2 3 4 2k-1 2k 1 1 1 = + +?+ . k+1 k+2 2k 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 1 1- + - +?+ - + - 2 3 4 2k-1 2k 2k+1 2k+2 1 1 1 1 1 = + +?+ + - k+1 k+2 2k 2k+1 2k+2 1 1 1 1 ? 1 - 1 ? = + +?+ + +? ? k+1+1 k+1+2 2k 2k+1 ?k+1 2k+2? 1 1 1 1 1 = + +?+ + + , k+1+1 k+1+2 2k 2k+1 k+ 即当 n=k+1 时,等式也成立, * 所以由(1)(2)知对任意的 n∈N 等式都成立. 例 2 解题导引 用数学归纳法证明不等式问题时,从 n=k 到 n=k+1 的推证过程中, 证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等. 1 4 5 证明 (1)当 n=2 时,左边=1+ = ;右边= . 3 3 2 ∵左边>右边,∴不等式成立. * (2)假设当 n=k (k≥2,且 k∈N )时不等式成立, 1 ? 2k+1 ? 1?? 1? ? 即?1+ ??1+ ???1+ > . 3 5 2 k -1? 2 ? ?? ? ? ? 则当 n=k+1 时,

7

?1+1??1+1???1+ 1 ??1+ ? 3?? 5? ? 2k-1?? ? ?? ? ? ??
> >

1 k+
2

-1? ?

?

2k+1 2k+2 2k+2 4k +8k+4 · = = 2 2k+1 2 2k+1 2 2k+1
2

4k +8k+3 2k+3 2k+1 k+ +1 = = . 2 2 2k+1 2 2k+1 ∴当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1)(2)知,对于一切大于 1 的自然数 n,不等式都成立. 变式迁移 2 证明 (1)当 m=1 时,原不等式成立; 2 当 m=2 时,左边=1+2x+x ,右边=1+2x, 2 因为 x ≥0,所以左边≥右边,原不等式成立; * (2)假设当 m=k(k≥2,k∈N )时,不等式成立, k 即(1+x) ≥1+kx,则当 m=k+1 时, ∵x>-1,∴1+x>0. k 于是在不等式(1+x) ≥1+kx 两边同时乘以 1+x 得, k 2 (1+x) ·(1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx ≥1+(k+1)x. k+1 所以(1+x) ≥1+(k+1)x, 即当 m=k+1 时,不等式也成立. 综合(1)(2)知,对一切正整数 m,不等式都成立. 例 3 解题导引 用数学归纳法证明整除问题,由 k 过渡到 k+1 时常使用“配凑 法”.在证明 n=k+1 成立时,先将 n=k+1 时的原式进行分拆、重组或者添加项等方式进 行整理,最终将其变成一个或多个部分的和,其中每个部分都能被约定的数(或式子)整除, 从而由部分的整除性得出整体的整除性,最终证得 n=k+1 时也成立. 2 2 2 证明 (1)当 n=1 时,a +(a+1)=a +a+1 能被 a +a+1 整除. * (2)假设当 n=k (k≥1 且 k∈N )时, k+1 2k-1 2 a +(a+1) 能被 a +a+1 整除, 则当 n=k+1 时, ak+2+(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2(a+1)2k-1 k+1 2k-1 2 2k-1 =a·a +a·(a+1) +(a +a+1)(a+1) k+1 2k-1 2 2k-1 =a[a +(a+1) ]+(a +a+1)(a+1) , k+1 2k-1 2 由假设可知 a[a +(a+1) ]能被 a +a+1 整除, k+2 2k+1 2 ∴a +(a+1) 也能被 a +a+1 整除, 即 n=k+1 时命题也成立. * 综合(1)(2)知,对任意的 n∈N 命题都成立. 4 变式迁移 3 证明 (1)当 n=1 时,f(1)=3 -8-9=64, 命题显然成立. * (2)假设当 n=k (k≥1,k∈N )时, f(k)=32k+2-8k-9 能被 64 整除. 则当 n=k+1 时, 2(k + 1)+ 2 2k + 2 2k+ 2 3 -8(k+1)-9=9(3 -8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(3 -8k-9) +64(k+1) 即 f(k+1)=9f(k)+64(k+1) ∴n=k+1 时命题也成立. * 综合(1)(2)可知,对任意的 n∈N ,命题都成立. 课后练习区 1.D [A、B、C 中,k+1 不一定表示奇数,只有 D 中 k 为奇数,k+2 为奇数.] 2.D 3.D [由题意可知,P(n)对 n=3 不成立(否则 P(n)对 n=4 也成立).同理可推 P(n)对 n=2,n=1 也不成立.]
8

4.D [∵当 n=k 时,左端=1+2+3+?+k , 当 n=k+1 时, 2 2 2 左端=1+2+3+?+k +(k +1)+?+(k+1) , ∴当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上 2 2 2 2 (k +1)+(k +2)+(k +3)+?+(k+1) .] 2 2 5.D [f(4)=25>4 ,∴k≥4,均有 f(k)≥k . 仅有 D 选项符合题意.] 6.2k+1 解析 ∵当 n=k+1 时, 左边=1+2+?+k+(k+1)+k+?+2+1, ∴从 n=k 到 n=k+1 时,应添加的代数式为(k+1)+k=2k+1. 1 7. k+ k+ 解析 不等式的左边增加的式子是 1 1 1 1 + - = . 2k+1 2k+2 k+1 k+ k+ 8.n-1 解析 ∵f(4)=f(3)+2,f(5)=f(4)+3, f(6)=f(5)+4,?,∴f(n+1)=f(n)+n-1. 1 1 9.证明 (1)当 n=1 时,左边=1+ ,右边= +1, 2 2 3 1 3 ∴ ≤1+ ≤ ,命题成立.(2 分) 2 2 2 2 1 5 当 n=2 时,左边=1+ =2;右边= +2= , 2 2 2 1 1 1 5 ∴2<1+ + + < ,命题成立.(4 分) 2 3 4 2 * (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N )时命题成立, k 1 1 1 1 即 1+ <1+ + +?+ k< +k,(6 分) 2 2 3 2 2 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 k k 1 k+1 1+ + +?+ k+ k + k +?+ k k>1+ +2 · k+1=1+ .(8 分) 2 3 2 2 +1 2 +2 2 +2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k 又 1+ + +?+ k+ k + k +?+ k k< +k+2 · k= +(k+1), 2 3 2 2 +1 2 +2 2 +2 2 2 2 即 n=k+1 时,命题也成立.(10 分) * 由(1)(2)可知,命题对所有 n∈N 都成立.(12 分) 10.解 ∵an>0,∴Sn>0, 1 1 2 由 S1= (a1+ ),变形整理得 S1=1, 2 a1 取正根得 S1=1. 1 1 由 S2= (a2+ )及 a2=S2-S1=S2-1 得 2 a2 1 1 S2= (S2-1+ ), 2 S2-1 变形整理得 S2=2,取正根得 S2= 2. 同理可求得 S3= 3.由此猜想 Sn= n.(4 分) 用数学归纳法证明如下: (1)当 n=1 时,上面已求出 S1=1,结论成立. (6 分)
9
2

2

(2)假设当 n=k 时,结论成立,即 Sk= k. 那么,当 n=k+1 时, 1 1 1 1 Sk+1= (ak+1+ )= (Sk+1-Sk+ ) 2 ak+1 2 Sk+1-Sk 1 1 = (Sk+1- k+ ). 2 Sk+1- k 整理得 Sk+1=k+1,取正根得 Sk+1= k+1. 故当 n=k+1 时,结论成立.(11 分) * 由(1)、(2)可知,对一切 n∈N ,Sn= n都成立. (12 分) 11.(1)解 ∵函数 f(x)定义域为{x∈R|x≠0}
1 1 -x -x 且 f(-x)= = 2 e =f(x), 2e -x x ∴f(x)是偶函数.(4 分) 1 1
2

(2)解 当 x<0 时,f(x)= 2 e x ,

1

1

x

f′(x)= x
1 x

-2

x

3

e + 2e
x

1 x

1

1 x

1 (- 2)

x

1 =- 4 e (2x+1),(6 分) 1 令 f′(x)=0 有 x=- , 2 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 1 1 x (-∞,- ) - 2 2 f′(x) + 0 f(x) 增 极大值 1 -2 由表可知:当 x=- 时,f(x)取极大值 4e , 2 无极小值.(8 分) 1 1 2 -x (3)证明 当 x>0 时 f(x)= 2 e x ,∴f( )=x e .
1

1 (- ,0) 2 - 减

x

x

考虑到:x>0 时,不等式 f( )<n!·x

1

2-n

x

等价于 x e <n!·x
*

2 -x

2-n

?x <n!·e (ⅰ)(9 分)

n

x

所以只要用数学归纳法证明不等式(ⅰ)对一切 n∈N 都成立即可. x ①当 n=1 时,设 g(x)=e -x(x>0), x ∵x>0 时,g′(x)=e -1>0,∴g(x)是增函数, x 故 g(x)>g(0)=1>0,即 e >x(x>0). 所以当 n=1 时,不等式(ⅰ)成立.(10 分) * ②假设 n=k(k≥1,k∈N )时,不等式(ⅰ)成立, k x 即 x <k!e , x k+1 当 n=k+1 时,设 h(x)=(k+1)!·e -x (x>0), x k h′(x)=(k+1)!e -(k+1)x =(k+1)(k!ex-xk)>0, x k+1 故 h(x)=(k+1)!·e -x (x>0)为增函数, ∴h(x)>h(0)=(k+1)!>0, k+1 x ∴x <(k+1)!·e , 即 n=k+1 时,不等式(ⅰ)也成立,(13 分) * 由①②知不等式(ⅰ)对一切 n∈N 都成立,
10

故当 x>0 时,原不等式对 n∈N 都成立.(14 分)

*

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数学归纳法学案

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2.3 数学归纳法学案(含答案)

纳​法​的​原​​,​能​用​...2.3 数学归纳法导学案编写:朱家锋 校对:高二数学...驾考新题抢先版80份文档 家装材料选购攻略 高端水...

新课标人教A版高中数学选修2-2第二章

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湖南南县一中2011届高三数学一轮复习 7.6数列的通项求...

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数学归纳法学案(陈学俊整理)

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新课标人教A版数学选修2-3全套教案

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新人教版二年级数学上册总复习教案 (1)

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新人教A版数学选修2-3教案全集(91页)

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四川大学法学院632法学综合A考

113658843】 考试科目:632 法学综合 A、905 法学...四川大学法学类专业课考研复习指南 2015 版学院实力...年法学理论专业法学试题 20 2005 宪法与行政法...