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问题1.2 含参数的简易逻辑问题-突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍(解析版)

时间:2017-11-19


突破 170 分之江苏高三数学复习提升秘籍

通过多年的高考试卷看,求参数的取值范围问题一直是高考考查的重点和热点,同时也是一个难点. 考生有时会感到难度较大,与简易逻辑问题有关的参数问题,需要正确理解充分条件和必要条件的定义, 弄懂逻辑联接词的含义以及全称量词、特称量词包含的数学理论,本文从各方面多角度地阐述与简易逻辑 有关的问题,以飨读者. 一、与充分条件

、必要条件有关的参数问题 充分条件和必要条件的理解,可以翻译成“若 p 则 q ”命题的真假,或者集合与集合之间的包含关系, 尤其转化为集合间的关系后,利用集合知识处理. 【例 1】 【江苏省南通中学 2017 届高三上学期期中考试】 已知命题 p :| x ? a |? 4 , 命题 q : ( x ? 1)(2 ? x) ? 0 , 若 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是 【答案】[-2,5] 【解析】
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【点评】将充分条件不必要条件转化为集合之间的关系是解题关键. 【小试牛刀】已知 p : a ? 4 ? x ? a ? 4; q : ( x ? 2)(3 ? x) ? 0 ,若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,则实数 a 的 取值范围为 【答案】[-1,6] 【解析】因为 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,所以 q 是 p 的充分不必要条件.又因为 q : 2 ? x ? 3 ,所以 .

a ? 4 ? 2, a ? 4 ? 3 ,解得: ?1 ? a ? 6 .
二、与逻辑联接词有关的参数问题
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逻辑联接词“或”“且”“非”与集合运算的并集、交集、补集有关,由逻辑联接词组成的复合命 题的真假与组成它的简单命题真假有关,其中往往会涉及参数的取值范围问题. 【例 2】设命题 p:函 数 f ( x) ? lg(ax2 ? x ?
a ) 的定义域为 R;命题 q: 3x ? 9 x ? a 对一切的实数 x 恒成立, 16

如果命题“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 【分析】首先分别将命题 p, q 翻译成实数 a 的取值范围,若命题“p 且 q”为假命题,则 p, q 至少有一个 假,分类讨论.

?a ? 0 ? 【解析】 p : ? ?a?2 a2 ?? ? 1 ? ? 0 4 ?
1 1 1 1 q : g ( x) ? 3x ? 9 x ? ?(3x ? ) 2 ? ? ? a ? 2 4 4 4

? “ p 且 q ”为假命题 ? p , q 至少有一假:
1 ,a ?? 4 1 1 (2)若 p 假 q 真,则 a ? 2 且 a ? , ? a ? 2 4 4 1 1 (3)若 p 假 q 假,则 a ? 2 且 a ? , a ? 4 4
(1)若 p 真 q 假,则 a ? 2 且 a ?

?a ? 2.
【点评】复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关,故先分别将简单命题翻译,根据其真假关系,转 化为集合间的运算. 【小试牛刀】已知命题 p : 函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 2a 的值域为 ?0, ??? ,命题 q : 方程 ? ax ?1?? ax ? 2? ? 0
2

在 ??1,1? 上有解,若命题“ p 或 q ”是假命题,求实数 a 的取值范围.

三、与全称命题、特称命题真假有关的参数问题 全称命题和特称命题从逻辑结构而言,是含义相反的两种命题,利用正难则反的思想互相转化,达到

解题的目的. 【例 3】 【江苏省如东高级中学 2017 届高三上学期第二次学情调研】若命题“ ?x ? R ,使得

x2 ? ?1 ? a ? x ? 1 ? 0 ”是假命题,则实数 a 的取值范围为__________.
【答案】 ??13 , ?

【点评】已知命题为假命题,则其否定是真命题,故将该题转化为恒成立问题处理. 【小试牛刀】已知命题 p:“?x∈R,?m∈R,使 4 +2 ·m+1=0”.若命题 p 为真命题,则实数 m 的取值 范围是______________. 【答案】(-∞,-2] 【解析】因为 p 为真命题,即方程 4 +2 ·m+1=0 有实数解,所以-m=2 + 故 m 的取值范围是(-∞,-2]. 四、与全称量词、特称量词有关的参数问题 全称量词“ ? ”表示对于任意一个,指的是在指定范围内的恒成立问题,而特称量词“ ? ”表示存在 一个,指的是在指定范围内的有解问题,上述两个问题都利用参变分离法求参数取值范围. 【例 3】已知命题 p :“ ?x ? [1,2], x2 ? a ? 0 ”,命题 q :“ ?x ? R, x 2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ”. 若命题“ p 且 q ”是真命题,则实数 a 的取值范围为_______________. 【分析】若命题“ p 且 q ”是真命题,则命题 p, q 都是真命题,首先将命题 p, q 对应的参数范围求出来, 求交集即可.
x x x x x

≥2,所以 m≤-2,

【点评】命题 p 是恒成立问题,命题 q 是有解问题.
2 【 小 试牛 刀 】已 知函 数 f ( x) ? x ? 2x , g ( x) ? ax ? 2 (a>0) , 若 ?x1 ?[ ?1, 2], ?x2 ?[?1, 2] , 使 得

f(x1)= g(x2),则实数 a 的取值范围是___________________.

【答案】 ( ,3]

5 3

含参数的数学题目在高考试卷中屡见不鲜,尤其是简易逻辑中的参数问题,解决的关键是合理转化, 搞清问题的实质. 【迁移运用】 1. 【泰州中学 2017 届高三上学期期中考试】已知命题 p : ?x ? R, x 2 ? 2x ? a ? 0 是真命题,则实数 a 的取 值范围是_________. 【答案】 a ? 1 【解析】
2 试题分析:由题设方程 x ? 2 x ? a ? 0 有解,故 4 ? 4a ? 0 ,即 a ? 1 ,故应填答案 a ? 1 .

2. 【2016 届河北省定州中学高三第一次月考】给出如下四个命题:①若“ p 或 q ”为真命题,则 p 、 q 均 为真命题; ②命题“若 x ? 4 且 y ? 2 ,则 x ? y ? 6 ”的否命题为“若 x ? 4 且 y ? 2 ,则 x ? y ? 6 ”; ③在 ?ABC 中,“ A ? 300 ”是“ sin A ? ④命题 “ ?x0 ? R, e 【答案】0 【解析】 试题分析:①中 p、q 可为一真一假;②的否命题是将且改为或;③是充分非必要条件;④显然错误。
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1 ”的充要条件. 2


x0

? 0 ”是真命题.其中正确的命题的个数是

? f ? x? , x ? 0 ? 3. 已知函数 f ? x ? ? a log2 x ? 1( a ? 0 ) , 定义函数 F ? x ? ? ? , 给出下列命题: ① F ? x? ? f ? x? ; ? ? f ? ?x? , x ? 0

②函数 F ? x ? 是偶函数;③当 a ? 0 时,若 0 ? m ? n ? 1 ,则有 F ? m? ? F ? n? ? 0 成立;④当 a ? 0 时,函数

y ? F ? x ? ? 2 有 4 个零点.其中正确命题的个数为
【答案】 3



4. 【江苏省如东、前黄、栟茶、如东马塘中学四校 2017 届高三 12】若“ ?x ? R , x ? 2 x ? a ? 0 ”是假
2

命题,则实数 a 的取值范围是__________. 【答案】 ?1, ?? ? 【解析】 试 题分析:由题意得“ ?x ? R , x2 ? 2 x ? a ? 0 ”是真命题,因此 ? ? 4 ? 4a ? 0 ? a ? 1. 考点:命题的否定 5 .已知命题 p : 关于 x 的方程 x 2 ? mx ? 2 ? 0 在 x ? [0,1] 有解;命题 q : f ( x) ? log 2 ( x 2 ? 2mx ? ) 在 “ p ? q ”是真命题,则实数 m 的取值范围为 x ? [1, ??) 单调递增;若“ ?p ”为真命题, 【答案】 【解析】
2 2 试题分析:命题 p : ? ? m ? 8 ? 0 , x1 x2 ? ?2 ? 0 ,∴ x ? mx ? 2 ? 0 在 (0, ??) 上有且仅有一根,

1 2



1 . 2

? m ? m2 ? 8 m ? 1 ? ?1 ? 3 m ? m2 ? 8 ? ? 2 ? m ? ,又由题意可得 p 假 q 真,∴ ? ∴ , ? 1, q : ? 1 4 1 ? 2m ? ? 0 2 3 ? ? ? 2 m? ? ? 4
3 3 ,即实数 m 的取值范围为 ( ?1, ) . 4 4 ? 1 6.在 ?ABC 中,“ A > ”是“ sin A> ”的 6 2 ?1 ? m ?
“充分必要”、“既不充分也 不必要”之一) 【答案】必要不充分 【解析】 试 题 分 析 : 当 A=

条件. (填“充分不必要”、“必要不充分”、

1 5? 1 (0,?) 时 , s i n A = , 所 以 充 分 性 不 成 立 ; 当 sin A> 时 , 由 于 A ? ,所以 2 6 2

? 5? A? ( , ) ,即必要性成立. 6 6
7.下列几个命题:
2
[来源:学科网][来源:学科网]

①方程 x ? (a ? 3) x ? a ? 0 若有一个正实根,一个负实根,则 a ? 0 ; ②函数 y ?

x2 ?1 ? 1? x2 是偶函数,但不是奇函数;

③函数 f ( x) 的值域是 [?2, 2] ,则函数 f ( x ? 1) 的值域为 [ ?3,1] ; ④一条曲线 y ?| 3 ? x | 和直线 y ? a (a ? R) 的公共点个数是 m ,则 m 的值不可能是 1 .
2

其中正确的有 【答案】① ④ . 【解析】



④ 一 条 曲 线 y ?| 3 ? x | 和 直 线 y ? a
2

(a? R 的 ) 有 公 共 点 , 则 3 ? x 2 ? a ? 0 , ∴ x 2 ? 3 ? ?a , 即

x2 ? 3 ? a , ∴ x ? ? 3 ? a , 因 此 公 共 点 的 个 数 m 可 以 是 2, 4, 故 m 的 值 不 可 能 是 1.
综上可知:其中正确的有 ①④. 8.给出下列四个命题 (1)命题“ ?x ? R , cos x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , cos x ? 0 ” ; (2)若 f ( x) ? ax 2 ? 2x ? 1 只有一个零点,则 a ? 1 ; (3)命题“若 x ? 2 且 y ? 3 ,则 x ? y ? 5 ”的否命题为“若 x ? 2 且 y ? 3 ,则 x ? y ? 5 ”; (4)对于任意实数 x ,有 f (?x) ? f (x) , g (? x) ? ? g ( x) ,且当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 , 当 x ? 0 时, f ?( x) ? g ?( x) ; 则

(5)在 ?ABC 中,“ A ? 45 ”是“ sin A ?
?

2 ”的充要条件 2

其中正确 的命题有 【答案】 (1) 【解析】

.填所有正确的序号)

9.下列正确命题有 ① “ sin ? ?



1 ? ”是“ ? ? 30 ”的充分不必要条件 2

②如果命题“ ( p 或q ) ”为假命题,则 p , q 中至多有一个为真命题 ③设 a>0,b>1,若 a+b=2,则 + 的最小值为 3+2

④函数 f ( x) ? 3ax ? 1 ? 2a 在(-1,1)上存在 x0 ,使 f ( x0 ) ? 0 , 则 a 的取值范围是 a ? ?1或a ? 【答案】③④

1 5

【解析】 试题分析:①由 ? ? 30? 可得 sin ? ?

1 1 ? ,反之不成立,因此“ sin ? ? ”是“ ? ? 30 ”的必要不充分条件; 2 2

② 命 题 “( p 或 q )” 为 假 命 题 , 则 p, q 都 是 假 命 题 ; ③ a ? b ? 2 ? a ? b ? 1 ? 1

2 ? b ? 1? 2 1 1 ? a ?2 ? ?? ? ? ? 3? 2 2 , 最 小 值 为 3? 2 2 ; ④ 由 题 意 得 ? ? a ? b ? 1? ? 3 ? a b ?1 ? a b ?1 ? a b ?1

f ? ?1? f ?1? ? 0?? ?5a ?1?? a ?1? ? 0 ,所以 a ? ?1或a ? 学科网
?sin ? x, x ? ?0, 2 ? ? 10. 【2016 届江西省临川区一中高三上学期第一次月考】对于函数 f ( x) ? ? 1 ,有下 ? f ( x ? 2), x ? (2, ??) ?2
列 4 个命题: ①任取 x1、x2 ??0, ??? ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 恒成立; ② f ( x) ? 2kf ( x ? 2k ) (k ? N ) ,对于一切 x ? ?0, ?? ? 恒成立;
*

1 5

③函数 y ? f ( x) ? ln( x ? 1) 有 3 个零点; ④对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ? 则其中所有真命题的序号是 【答案】①③④ 【解析】

2 恒成立. x


11. 【2015-20 16 学年河北衡水冀州中学高二上期中】已知 a ? 0 ,命题 p : ? x ? 0 , x ? 命题 q : ? k ? R ,直线 kx ? y ? 2 ? 0 与椭圆 x ?
2

a ? 2 恒成立, x

y2 ? 1 有公共点,求使得 p ? q 为真命题, p ? q 为假 a2

命题的实数 a 的取值范围. 【答案】实数 a 的取值范围为 1 ? a ? 2 . 【解析】 试题分析:先根据命题 p 和命题 q 为真,得出实数 a 的取值范围;由 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题知,

p、 q 一真一假;若 p 真 q 假,则: ?
综上可得, a 的取值范围是 1 ? a ? 2

?a ? 1 ?0 ? a ? 1 解得 1 ? a ? 2 ;若 p 假 q 真,则: ? 得 a ?? ; ?0 ? a ? 2 ?a ? 2

试题解析:命题 p :因为 a ? 0 时,对 ?x ? 0, x ?

a ? 2 a ,则: 2 a ? 2 , a ? 1 ; x

?kx ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 2 2 命题 q :由 ? ,得: ? k ? a ? x ? 4kx ? 4 ? a ? 0 ,则: y2 2 ?x ? 2 ? 1 a ?
? ? 4a 2 ? a 2 ? k 2 ? 4 ? ? 0 ,即 a 2 ? ?k 2 ? 4 ;
而 ?k 2 ? 4 在 R 上的最大值为 4; ∴ a 2 ? 4 ,∵ a ? 0 ,∴ 解得 a ? 2 ; 【也可利用直线过定点(0,2) 】

p ? q 为真命题, p ? q 为假命题时, p、 q 一真一假;
∴(1)若 p 真 q 假,则: ?

?a ? 1 ;∴ 1 ? a ? 2 ; 0 ? a ? 2 ?

(2)若 p 假 q 真,则: ?

?0 ? a ? 1 ;∴ a ? ? ; a ? 2 ?

综上可得, a 的取值范围是 1 ? a ? 2 【方法点晴】本题主要考查的是命题之间的关系,直线和椭圆的位置关系,属于容易题;做题时由 p ? q 为 真命题, p ? q 为假命题知, p、 q 一真一假;然后用分类讨论的数学思想,分 p 真 q 假和 p 假 q 真两种情 况,解决该问题;分类讨论完一定记得总结.
2 12. 【2016 届学年江西省新余一中等校高三联考】已知命题 p :对任意 x ? R, ax ? 2 x ? a ? 0

命题 q :存在 x ? R, a? sin x ? 2 cos2 【答案】证明见解析. 【解析】

? ?

x ? ? 1? ? 2 ,证明 p 是 q 的充分不必要条件 2 ?

q 真时 a ? B ? ?? ?,?1? ? ?1,???

因为 A 是 B 的真子集,所以 p 是 q 的充分不必要条件


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