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2014年全国高中数学联赛模拟卷(含答案)

时间:2014-09-16


2014 年全国高中数学联赛模拟卷(含答案)
1.不等式

4 x2 ? 2 x ? 9 的解集为 2 (1 ? 1 ? 2 x )



2.过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________. ①三角形 ②正方形 ③梯形 ④五边形 ⑤六边形
2 3.直线 kx ? y ?

2 与曲线 1 ? ( y ? 1) ?| x | ?1 有两个不同的交点,则实数 k 的取值范围是__ _______.

4.复数 z ,使 z3 ? z ? 2 z
a b

2

,则 z 的所有可能值为 _____
a ?1

____.

5.所有的满足条件 a ? b ? a

? a ? b 的正整数对 ( a, b) 的个数为 . 1? a 1? b 1? c ? ? ? 6.设 a , b, c 为方程 x3 ? k1 x ? k2 ? 0 的根( k1 ? k2 ? 1 ) ,则 1? a 1? b 1? c

?b

b ?1

__.

7.将号码分别为 1、2、?、9 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同. 甲从袋中摸出一个球,其号码为 a ,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为 b . 则使不等式 a ? 2b ? 10 ? 0 成立的事件发生的概率等于 . 8.已知 A, B, C 为△ABC 三内角, 向量 ? ? (cos

| AB | 二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分) n?1 n 1 9.对正整数 n ? 2 ,记 an ? ? ? k ?1 ,求数列{an}中的最大值. k ?1 n ? k 2
10.给定正实数 k,圆心为( a, b )的圆至少与抛物线 y ? kx2 有三个公共点,一个是原点(0, 0),另两个 点在直线 y ? kx ? b 上,求 a, b 的值(用 k 表示) .

存在动点 M, 使得 | MA |, | AB |, | MB | 成等差数列, 则

A? B A? B , 3 sin ) , | ? |? 2 .如果当 C 最大时, 2 2 | MC |
最大值是__
___.

11.已知函数

f ( x) ? a(| sin x | ? | cos x |) ? 3sin 2x ? 7, 其中 a 为实数,求所有的数对(a, n)(n∈N*), 使得函数 y ? f ( x) 在区间 (0, n? ) 内恰好有 2011 个零点.

一、 (本题满分 40 分)在 Rt ?ABC 中, CD 是斜边 AB 上的高,记 I1 , I 2 , I 分别是△ADC, △BCD, △ABC 的内心, I 在 AB 边上的射影为 O1 , ?CAB, ?ABC 的角平分线分别交 BC , AC 于 P, Q , C 且 PQ 的连线与 CD 相交于 O2 ,求证:四边形 I1O1I 2O2 为正 方形.
P Q I1 D O1 I I2 A B

二、 (本题满分 40 分)给定正数 a, b, c, d, 证明: a3 ? b3 ? c3 b3 ? c3 ? d 3 c3 ? d 3 ? a3 d 3 ? a 3 ? b3 ? ? ? ? a2 ? b2 ? c2 ? d 2 . a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b

三、 (本题满分 50 分)设 k ? N ? ,定义 A1 ? 1 , An ?1 ?

nAn ? 2(n ? 1) 2 k , n ? 1,2,? n?2 证明:当 n ? 1 时, An 为整数,且 An 为奇数的充要条件是 n ? 1或2(mod4)

四、 (本题满分 50 分)试求最小的正整数 n, 使得对于任何 n 个连续正整数中,必有一数,其各位数
字之和是 7 的倍数.

2014 年全国高中数学联赛模拟卷答案
1. 由 1 ? 1 ? 2x ? 0 得 x ? ?

1 , x ? 0 ,原不等式可变为 1 ? 1 ? 2 x 2 ? 1 ? ? 45 ? 故原不等式的解集为 ? ? ,0 ? U ? 0, ? ? 2 ? ? 8?

?

?

2

? 2 x ? 9 解得 x ?

45 8

2.答案:②⑤,解:由对称性可知,所得图形应为中心对称图形,且②⑤可以截得

4 4 3 3 4.答案:0,1, ?1 ? 2i , ? 1 ? 2i

3.提示: [?2, ? ) ? ( , 2] , 曲线为两个半圆,直线过定点(0,?2) ,数形结合可得. 解: z ? z ? 2 z
3
2 2

2

= 2 z ? z ,∴z( z 2 ? 1 ? 2 z ) ? 0

当 z ? 0 时,满足条件,当 z ? 0 时, z 2 ? 1 ? 2 z ? 0 设 z ? a ? bi ( a , b ? R ) , 则 a ? b ? 2 abi ? 1 ? 2( a ? bi )

? a 2 ? b 2 ? 1 ? 2a ? 0 (1) ∴ ? ,由(2) 2b( a ? 1 ) ? 0 ? 2ab ? 2b ? 0 (2) 2 1) b ? 0 代入(1) 整理得: (a ?1) ? 0 ? a ? 1 2 2) b ? 0 ,则 a ? ?1 代入(1) 得: b ? 4 ? b ? ?2 ,经检验复数 z ? 1, ? 1 ? 2i 均满足条件. ∴ z 的所有可能值为 0,1, ?1 ? 2i , ? 1 ? 2i . a a ?1 b ?1 b ?1 b ?1 b 5.解:显然 a ? b ? 1 .由条件得 a ? a ? b ? a ? b ? a ? b ? 1 ,从而有 ab ? b ? b

即 b ? ab ? b ,再结合条件及以上结果,可得 a
b

a ? ab ? a a ? a a ?1 ? bb?1 ? a a ?1 ? ? a ? bb ?1 ?
即a
a ?3

? bb?1 ? a ? b ? aa ? bb ? aa ? ab ? b ,整理得 ? aa?1 ,从而 a2 ? a ? a ? a ?1? ? a ? ab ? aa?1

a ?1

? 1 ,所以 2 ? a ? 3 .当 a ? 2 时, b ? 1 ,不符合;当 a ? 3 时, b ? 2 ( b ? 1 不符合) . 综上,满足本题的正整数对 ? a, b ? 只有 ? 3, 2 ? ,故只有 1 解.
6.答案:

3 ? k1 ? 3k2 ,由题意, x3 ? k1 x ? k2 ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) 由此可得 1 ? k1 ? k2 a ? b ? c ? 0 , ab ? bc ? ca ? ?k1 , abc ? k2 以及1 ? k1 ? k2 ? (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) 1 ? a 1 ? b 1 ? c 3 ? (a ? b ? c) ? (ab ? bc ? ca) ? 3abc 3 ? k1 ? 3k2 ? ? ? ? 1? a 1? b 1? c (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) 1 ? k1 ? k2

7.提示:甲、乙二人每人摸出一个小球都有 9 种不同的结果,故基本事件总数为 92=81 个,由不等式 a?2b+10>0 得 2b<a+10,于是,当 b=1、2、3、4、5 时,每种情形 a 可取 1、2、?、9 中每一个值, 使不等式成立,则共有 9× 5=45 种;当 b=6 时,a 可取 3、4、?、9 中每一个值,有 7 种;当 b=7 时,a 可取 5、6、7、8、9 中每一个值,有 5 种;当 b=8 时,a 可取 7、8、9 中每一个值,有 3 种; 当 b=9 时,a 只能取 9,有 1 种。于是,所求事件的概率为 8.解: | ? |?

A? B A? B 1 3 ? 3 sin 2 ? 2 ? cos( A ? B) ? cos( A ? B) ? 2 2 2 2 2 1 ? cos( A ? B) ? 3 cos( A ? B) ? 2 sin A sin B ? cos A cos B ? tan A tan B ? , 2 tan A ? tan B tan C ? ? tan( A ? B) ? ? ?2(tan A ? tan B) ? ?4 tan A tan B ? ?2 2 , tan A tan B ? 1 2 等号成立仅当 tan A ? tan B ? .令|AB|=2c,因 | MA | ? | MB |? 4c , 2 x2 y2 2 所以 M 是椭圆 2 ? 2 ? 1 上的动点.故点 C(0, c ), 设 M(x,y), 则 2 4c 3c 4 2 c2 1 2 9c 2 2 2 2 2 2 2 ? ? y ? 2cy ? , | y |? 3c . |MC| =x +( y ? c ) = 4c ? y ? y ? 2cy ? 3 2 3 2 2 | MC | 7?2 6 2 2 3? 2 6 ?1 当 y= ? 3c 时, |MC|2max= . c , |MC|max= c. 即 max= 2 4 2 | AB | 2 ? cos 2
10 10 ,下面用数学归纳法证明:当 n ? 5 时,有 an ? 3 3 n ?1 n ?1 1 n ?1 1 n ?1 1 10 ? ? ? ? ? ? ? n ?1 假设 an ? ? n ? 5? ,则 an ?1 ? n n ? 1 2 n ? 2 22 1 2 3 n ? 1 n? 1? n n 1 n 1 ? n ?1 n ?1 ? ? ? ? ? ? ? n?2 ? ? ? an ? n 2n? n ?1 ? n 2 2 12 ? n 2n n ? 1 n ? 1 10 n ? 1 8 6 8 10 ? ? ? ? ? ? ? ? n 2n 3 n 3 5 3 3 10 所以数列{an}中的最大值是 a4 ? a5 ? 3
2 2 2 2 2 2

45 ? 7 ? 5 ? 3 ? 1 61 ? 81 81

9.解:经计算知 a2 ? 2 , a3 ? 3 , a4 ? a5 ?

10.解:设⊙O: ( x ? a) ?( y ? b) ? a ? b , 即 x ? 2ax ? y ? 2by ? 0 抛物线与直线 y ? kx ? b 的两个交点坐标为 ( x1 , y1 , ), ( x2 , y2 ) ,

? x1 ? x2 ? 1 2 ? kx1 ? kx1 ? b ? 则? 2 ,即 ? b kx ? kx ? b x1 x2 ? ? ? 2 2 ? k ?
2 2 2

①, 这两点亦在圆上,即
2

o ? x1 ? 2ax1 ? y1 ? 2by1 ? x1 ? 2ax1 ? (kx1 ? b) 2 ? 2b(kx1 ? b), ? (1 ? k 2 ) x1 ? 2ax1 ? b2 ? 0 2a ? x1 ? x2 ? , ? ? 1? k 2 2 2 2 同理 (1 ? k ) x2 ? 2ax2 ? b ? 0 , 即 ? ② 2 ? x x ? ?b . ? 1 2 1? k 2 ? 1 1? k 2 1 2 a ? ( 1 ? k ), b ? ?k? 比较①,②知: 2 k k k? ? ? (k ? Z ) 为对称轴,即 11.解:首先,函数 f ( x) 以为 ? 周期,且以 x ? 2 4 ? f ( x ? ? ) ? f ( x), f (k? ? ? x) ? f ( x)( k ? Z ) ,其次, 2 k? ? k? ? 3? ? (k ? Z ) 对称, f ( ) ? a ? 7, f (k? ? ) ? 2a ? 10, f (k? ? ) ? 2a ? 4 ,∵ f ( x) 关于 x ? 2 4 2 4 4 k? k? ? k? ? k? ? , ? )及( ? , ? ) 上的零点个数为偶数, ∴ f ( x) 在 ( 2 2 4 2 4 2 2 (0,n? ) 恰有 2011 个零点,则上述区间端点必有零点 要使 f ( x) 在区间 k? k? ? ? ? ) ? 0, f ( ? ) ? 0 ,考虑区间 (0, ) 及 ( , ? ) 上的零点个数. (1)若 a ? 7 ,则 f ( 2 2 4 2 2 ? 当 x ? (0, ) 时, f ( x) ? 7(sin x ? cos x) ? 3 sin 2 x ? 7 , 2 2 令 t ? sin x ? cos x(t ? (1, 2 ]. 则 y ? g (t ) ? ?3t ? 7t ? 4 ? 0 , 4 ? ? 解得 t1 ? 1 (舍) , t 2 ? ? 2 sin( x ? ) ,故在 (0, ) 内有两解. 3 4 2 ? 当 x ? ( , ? ) 时, f ( x) ? 7(sin x ? cos x) ? 3 sin 2 x ? 7 , 2 2 令 t ? sin x ? cos x(t ? (1, 2 ] ,则 y ? g (t ) ? 3t ? 7t ?10 ? 0 , 10 ? 解得 t1 ? 1 (舍) , t2 ? ? (舍) ,故在 ( , ? ) 内无解.因此, f ( x) 在区间 (0, ? ) 内有三个零点. 3 2 故在(0, n? )内有3n ? (n ? 1) ? 4n ? 1 ? 2011 个零点。解得 n ? 503.
同理可得满足条件 (a, n) ? (7,503),(5 2, 2011),(2 2, 2011) .

加试题
一.证明:不妨设 BC ≥ AC ,由 ?ADC ~ ?CDB 且 I1 , I 2 分别是其内心,得 且 ?I1 DI 2 ?

AC I1D ? BC I 2 D

1 ?ADB ? 900 ? ?ACB ,所以 ?DI1I 2 ~ ?CAB 则 ?I 2 I1D ? ?CAB ① 2 Rt ?ABC 的三边长为 a, b, c , I1 , I 2 在 AB 边上的射影为 设 ?ADC, ?BCD 的内切圆半径分别为 r 1, r 2, x ? z ?b y? z?a b?c?a , r2 ? , AO1 ? E , F ,并且 AD ? x, BD ? y, CD ? z ,则 r1 ? , 2 2 2

所以 DO1 ? AO1 ? AD ?

b?c?a y ? z ?a x ? z ?b ?x? ? ? r2 ? r1 , 2 2 2 , I1E ? r1 ? r2 ? (r2 ? r1 ) ? DF ? DO1 ? O1F , EO1 ? r 1? (r 2? r )1? r ? 2 I F2

? ,② 2 则 D, O1 , I 2 , I1 四点共圆 ? ?I 2O1F ? ?I 2 I1D ? ?CAB(由①知) 所以 O1I 2 // AC , 同理 O1I1 // BC , 1 (b ? c ? a) CQ BC CQ BC ab AI1 AO1 2 b?c?a ∴ , 又由角平分线性质得 ? ? ? ? CQ ? ? ? ? QA BA QA ? CQ BA ? BC a?c I1P BO1 1 (c ? a ? b) c ? a ? b 2 1 CQ ? CO2 sin ?ACD S ab QO2 b?c b ?CQO2 2 同理 CQ ? ,另一方面 , ? ? ? b?c O2 P S?CPO2 1 CP ? CO sin ?BCD a ? c a 2 2 C AI1 QO2 b ? c ? a b(b ? c) 又 O2 I1 // CA ? , ? ? ? P I1P O2 P c ? a ? b a (a ? c ) 而 a(a ? c)(b ? c ? a) ? b(b ? c)(c ? a ? b) Q I 2 2 2 2 ? a(ab ? ac ? a ? cb ? c ? ac) ? b(bc ? ba ? b ? c ? ac ? bc) I2 2 2 I 1 ? a(ab ? b ) ? b(ba ? a ) ? 0 , A B D O1 所以 O2 I1 // CA , 同理 O2 I 2 // BC , 所以四边形 I1O1I 2O2 为平行四边形,由②知四边形 I1O1I 2O2 为正方形.
因此 ?I1EO1 ? ?FO1I 2 . ? O1I1 ? O1I 2 且 ?I1O1 I 2 ? ? ? ?I1O1E ? ?I 2O1F ? ? ? ?O1I 2 F ? ?I 2O1F ? 二.解:由于问题的对称性, 只要证明对于任何正数 下式成立

因为如果上式成立, 则原式的左边不小于

不失一般性, 可以在 的假设下证明上述不等式. 如果 , 只要将不等式两边同除 , 令 于是问题转化成下列被修改的问题:给定满足条件 此不等式证明如下: 的正数 证明

三.证明:注意到 (n ? 2) An?1 ? nAn ? 2(n ? 1)

2k

(n ? 1) An ? (n ? 1) An?1 ? 2n 2k

得 (n ? 2)(n ? 1) An?1 ? (n ? 1)nAn?1 ? 2(n ? 1) 2k ?1 ? 2n 2k ?1 反复运用上式,得 An ? 得 2 S ( n) ?
n

2 S ( n) t t t ,其中 S (n) ? 1 ? 2 ? ? ? n , t ? 2k ? 1 n(n ? 1)
n i ?1

?[(n ? i) t ? i t ] ? ?[(n ? 1 ? i) t ? i t ] ,从而可知 n(n ? 1) | 2S (n) ,因此 An (n ? 1) 是整数.
i ?0

(1)当 n ? 1或2(mod4) 时,由 S (n) 有奇数个奇数项知 S (n) 为奇数,所以 An 为奇数. (2)当 n ? 0(mod4) 时, ( ) ? 0(mod 4) ,
t

n 2

n ? i t ] ? ( ) t ? 0(mod4) ,所以 An 为偶数 2 i ?0 n ?1 t ) ? 0(mod 4) , (3)当 n ? 3(mod4) 时, ( 2
故 S (n) ?

?[(n ? i)
n ?1 2 i ?1

n 2

t

故 S ( n) ?

?[(n ? 1 ? i)

t

? it ] ? (

n ?1 t ) ? 0(mod4) ,所以 An 为偶数 2

综上所述,命题成立,证毕. 四.解:首先,我们可以指出 12 个连续正整数,例如 994,995,?,999,1000,1001,?,1005, 其中任一数的各位数字之和都不是 7 的倍数,因此, n ? 13 . 再证,任何连续 13 个正整数中,必有一数,其各位数字之和是 7 的倍数.对每个非负整数 a ,称如 下 10 个数所构成的集合: Aa ? {10a,10a ? 1, 10a ? 9}为一个“基本段” ,13 个连续正整数,要么 属于两个基本段,要么属于三个基本段。当 13 个数属于两个基本段时,据抽屉原理,其中必有连 续的 7 个数,属于同一个基本段;当 13 个连续数属于三个基本段 Aa ?1 , Aa , Aa ?1 时,其中必有连续 10 个数同属于 Aa .现在设 ak ak ?1

a1a0

ak ak?1
k i ?0 i

a ( a ? 1) , 1 0
k i ?0 i

a k ?a k 1
k i ?0 i

a a 6) 1( ? 0 是属于同一个

基本段的 7 个数,它们的各位数字之和分别是

? a , ? a ? 1, , ? a ? 6, 显然,这 7 个和数被 7

除的余数互不相同,其中必有一个是 7 的倍数.因此,所求的最小值为 n ? 13.


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