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福建五年高考(2009-2013文科)


心海一舵中小学生课外成长学堂

2009 福建数学试题(文史类)
第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。 1.若集合 A ? ? x | x ? 0.? B ? ? x | x ? 3? ,则 A ? B 等于 A. {x | x ? 0} 2. 下列函数中,与函数 y ? A

f ( x) ? ln x B {x | 0 ? x ? 3} C {x | x ? 4} DR

. 定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 的部分图像如右图所示,则在 ? ?2, 0 ? 上,下列函数中与 f ? x ? 的单调性不同的是 A. y ? x ? 1
2
x ? ?e , x ? o D. y ? ? ? x ? ?e , x ? 0

B. y ?| x | ?1

C. y ? ?

? 2 x ? 1, x ? 0
3 ? x ? 1, x ? 0

1 有相同定义域的是 x

?x ? y ?1 ? 0 ? 9.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( ? 为常数) ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
域内的面积等于 2,则 a 的值为 A. -5 B. 1 C. 2 D. 3

所表示的平面区

B f ( x) ?

1 x

C f ( x) ?| x |

D f ( x) ? e

x

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

3.一个容量 100 的样本,其数据的分组与各组的频数如下表 组别

10. 设 m, n 是平面 ? 内的两条不同直线; l1 , l2 是平面 ? 内的两条相交直线,则 ? // ? 的一个充分而不必要条件是

(0,10]
12

(20, 20]
13

(20,30)
24

(30, 40)
15

(40,50]
16

(50, 60]
13

(60, 70]
7

A. m // ? 且l1 // ?

B. m // l1且n // l2
x

C. m // ? 且n // ?

D. m // ? 且n // l2

频数

11.若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则 f ? x ? 可以是 A. f ? x ? ? 4 x ? 1 B. f ? x ? ? ( x ? 1)
2

则样本数据落在 (10, 40) 上的频率为 A. 0.13 B. 0.39 C. 0.52 D. 0.64 C. f ? x ? ? e ? 1
x

D. f ? x ? ? In ? x ?

? ?

1? ? 2?

x2 y 2 4. 若双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? o ? 的离心率为 2,则 a 等于 a 3
A. 2 C. B. D. 1

3

w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

12.设 a,b,c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 a 与 b 不共线, a ? c ∣a∣=∣c∣,则∣b ? c∣的值一定等于 A. 以 a,b 为两边的三角形面积 B 以 b,c 为两边的三角形面积 C.以 a,b 为邻边的平行四边形的面积 D 以 b,c 为邻边的平行四边形的
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3 2

1 5. 如右图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 。则该集合体的俯视图可以是 2

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置。 13. 复数 i ?1+i ? 的实部是
2



? 的长度小于 1 的概率 14. 点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B ,则劣弧 ab
为 6. 阅读图 6 所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是 A.-1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知锐角 ?ABC 的面积为 3 3 , BC ? 4, CA ? 3 ,则角 C 的大小为 A. 75° B. 45° B. 60° D.30°
w.w.w.k.s.5.u.c. o. m



w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

15. 若曲线 f ? x ? ? ax ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是
2

16. 五位同学围成一圈依序循环报数,规定: ①第一位同学首次报出的数为 1.第二位同学首次报出的数也为 1, 之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数 之和; ②若报出的是为 3 的倍数,则报该数的同学需拍手一次 当第 30 个数被报出时,五位同学拍手的总次数为

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分)2 分) 等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项,试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和 S n 。 18. (本小题满分 12 分) 袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现一次有放回地随机摸取 3 次,每次摸取一个球 (I)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果; (Ⅱ)若摸到红球时得 2 分,摸到黑球时得 1 分,求 3 次摸球所得总分为 5 的概率。
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m w.w.w.k.s .5.u. c.o. m

21. (本小题满分 12 分)

1 3 x ? ax 2 ? bx, 且 f '(?1) ? 0 3 (I)试用含 a 的代数式表示 b ;
已知函数 f ( x) ? (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间;
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

(Ⅲ)令 a ? ?1 ,设函数 f ( x) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处取得极值,记点 M ( x1 , f ( x1 )), N ( x2 , f ( x2 )) ,证明:线段 MN 与 曲线 f ( x) 存在异于 M 、 N 的公共点;

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |?

?
2
w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

?? (I)若 cos cos, ? ? sin sin ? ? 0, 求 ? 的值; 4 4

?

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于 最小正实数 m ,使得函数 f ( x) 的图像象左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数。

? ,求函数 f ( x) 的解析式;并求 3

22. (本小题满分 14 分) 已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

的左顶点 A 和上顶点 D,椭圆 C 的右顶点为 B ,点 S 和椭 圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线, AS , BS 与直线 l : x ? 分别交于 M , N 两点。 (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求线段 MN 的长度的最小值; (Ⅲ)当线段 MN 的长度最小时,在椭圆 C 上是否存在这 样的点 T ,使得 ?TSB 的面积为

10 3

20. (本小题满分 12 分) 如图,平行四边形 ABCD 中, ?DAB ? 60 , AB ? 2, AD ? 4 将
?

?CBD 沿 BD 折起到 ?EBD 的位置,使平面 EDB ? 平面 ABD (I)求证: AB ? DE (Ⅱ)求三棱锥 E ? ABD 的侧面积。
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

1 ?若存在,确定点 T 的个数,若不存在,说明理由 5

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2010 年高考福建文科数学试题及答案
第 I 卷(选择题 共 60 分)
1. 若集合 A={x|1≤x≤3},B={x|x>2},则 A∩B 等于 A {x | 2<x≤3} B {x | x≥1} C {x | 2≤x<3} 2. 计算 1-2sin222.5°的结果等于 D {x | x>2}

A.4

B.6

C.8

D.12

11.若点 O 和点 F 分别为椭圆 x2/4 +y2/3 =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上点的任意一点,则 OP ? FP 的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.8 12.设非空集合 S=={x | m≤x≤l}满足:当 x∈S 时,有 x2∈S . 给出如下三个命题: ①若 m=1,则 S={1};②若 m=- 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2

??? ? ??? ?

2 1 1 ,则 1/4 ≤ l ≤ 1;③ l=1/2,则 ? ≤m≤0 2 2
D.3

1 A. 2

B.

2 2

C

3 3

D

3 2

3. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其侧面积 等于 ... A.

3

B.2

C.2 3

D.6

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在答题卡的相应位置. 13.若双曲线 x2 / 4-y2 / b2=1 (b>0) 的渐近线方程为 y=±1/2 x ,则 b 等于 . 14.将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组. 绘制频率分步直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为 2:3:4:6:4:1, 且前三组数据的频率之和等于 27,则 n 等于 . 15. 对于平面上的点集 Ω,如果连接 Ω 中任意两点的线段必定包涵 Ω,则称 Ω 为平面上的凸集,给出平面上 4 个点集的 图形如下(阴影区域及其边界) :

4. i 是虚数单位, ( (1+i)/(1-i))4 等于 A.i B.-i C.1 D.-1

?x ? 1 ? 5. 若 x,y∈R,且 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z=x+2y 的最小值等于 ?y ? x ?
A.2 B.3 C.5 D.9

6. 阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 i 值等于 A.2 B.3 C.4 D.5 其中为凸集的是 7. 函数 f(x)= ? A.2 B.2 (写出所有凸集相应图形的序号).

? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0 ? ?2 ? ln x, x ? 0
C.1

的零点个数为 D.0

8.若向量 a=(x,3) (x∈R) ,则“x=4”是“| a |=5”的 A.充分而不必要 B.必要而不充分 C 充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是 A.91.5 和 91.5 B.91.5 和 92 C 91 和 91.5 D.92 和 92

10.将函数 f(x)=sin(ωx+φ)的图像向左平移 π/2 个单位,若所得图像与原图像重合,则 ω 的值不可能 等于 ...
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16.观察下列等式: ① cos2α=2 cos2 α-1; ② cos 4α=8 cos4 α-8 cos2 α+1; ③ cos 6α=32 cos6 α-48 cos4 α+18 cos2 α-1; ④ cos 8α= 128 cos8α-256cos6 α+160 cos4 α-32 cos2 α+1; ⑤ cos 10α=mcos10α-1280 cos8α+1120cos6 α+ncos4 α+p cos2 α-1; 可以推测,m-n+p= . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
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17.(本小题满分 12 分) 数列{a n}中,a 1 =1/3,前 n 项和 S n 满足 S n+1 -S n = ? ?

?1? ?3?

n ?1

(n∈)N *.

(I)求数列{a n}的通项公式 a n 以及前 n 项和 S n (II)若 S 1,t(S 1+ S 2) ,3(S 2+ S 3)成等差数列,求实数 t 的值. 18.(本小题满分 12 分)

21. (本小题满分 12 分) 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上, 在小艇出发时, 轮船位于港口的 O 北偏西 30°且与该港 口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的 航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (I) 若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (II) 为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值; (III) 是否存在 v,使得小艇以 v 海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存在, 试确定 v 的取值范围;若不存在,请说明理由.

? ? 设平面向量 am =(m,1) , bn =(2,n) ,其中 m,n∈{1,2,3,4}.
(I)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果; ? ? ? (II)记“使得 am ? (am ? bn ) 成立的(m,n)”为事件 A,求事件 A 发生的概率. 19.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C 的方程 C:y 2 =2 p x(p>0)过点 A(1,-2). (I)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (II) 是否存在平行于 OA (O 为坐标原点) 的直线 l, 使得直线 l 与抛物线 C 有公共点, 且直线 OA 与 l 的距离等于 若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由。

5 ? 5
22. (本小题满分 14 分)

20.(本小题满分 12 分) 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,H 分别是棱 A1B1,D1C1 上的点(点 E 与 B1 不重合) ,且 EH∥A1 D1. 过 EH 的平 面与棱 BB1 ,CC1 相交,交点分别为 F,G。 (I) 证明:AD∥平面 EFGH; (II) 设 AB=2AA1 =2 a .在长方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机选取一点。记该点取自几何体 A1ABFE-D1DCGH 内的概率为 p, 当点 E, F 分别在棱 A1B1 上运动且满足 EF=a 时, 求 p 的最小值.

1 ? x 2 ? ax ? b 的图像在点 P(0,f(0))处的切线方程为 y ? 3x ? 2 . 3 (Ⅰ)求实数 a,b 的值; m (Ⅱ)设 y 2 ? 4 x(?2)2 ? 2 p? 是 [2, ??) 上的增函数. 2, x ? ?1 g ( x) ? f ( x) ? x ?1 (ⅰ)求实数 m 的最大值; (ⅱ)当 m 取最大值时,是否存在点 Q,使得过点 Q 的直线能与曲线 y ? g ( x) 围成两个封闭图形,则这两个封
已知函数 f ( x) ? 闭图形的面积总相等?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.

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2011 年福建省高考数学文科试卷与答案 参考公式:样本数据 x1 , x2 ,? , xn 的标准差 s ? 柱体体积公式 V=Sh,其中 S 为底面面积,h 为高

A. 或 其中 x 为样本平均数

1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ?( xn ? x ) 2 ] n

1 2

3 2

B. 或2

2 3

C. 或2

1 2

D. 或

2 3

3 2

1 Sh,其中 S 为底面面积,h 为高 3 4 2 3 球的表面积、体积公式 S=4π R ,V= π R ,其中 R 为球的半径 3
锥体公式 V= 一、 选择题: (本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分。 在每小题给出的四个选项中, 只有一个项是符合题目要求的。 ) 1. 若集合 M={-1,0,1} ,N={0,1,2} ,则 M∩N 等于 A.{0,1} B.{-1,0,1} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2} 2. i 是虚数单位, 1 ? i 等于
3

12. 在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ,记为[k],即[k]={5n+k 丨 n∈Z},k=0,1,2,3,4。 给出如下四个结论: ①2011∈[1] ②-3∈[3]; ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] ④“整数 a,b 属于同一‘类’ ”的充要条件是“a-b∈[0]” 。 其中,正确结论的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 :共 4 小题, 每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上。 13. 若向量 a ? (1, 1) , b ? (?1, 2) ,则 a? b 等于_____________. 14. 若△ABC 的面积为 3 ,BC=2,C= 60? ,则边 AB 的长度等于_________. 15. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上,若 EF∥平面 AB1C, 则线段 EF 的长度等于_____________. 16. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,及根据商品的最低销售限价 a,最高销售限价 b(b>a)以及 常数 x(0<x<1)确定实际销售价格 c ? a ? x(b ? a) ,这里,x 被称为乐观系数。 经验表明,最佳乐观系数 x 恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项,据此可得,最佳乐观系数 x 的值等 于_____________. 三、解答题 :共 6 小题 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 中, a1 ? 1 , a3 ? ?3 . (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)若数列 {an } 的前 k 项和 Sk ? ?35 ,求 k 的值.

A.i B.-i C.1+i D.1-i 3. 若 a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4. 某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名。 现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的 学生中抽取了 6 名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为 A.6 B.8 C.10 D.12 5. 阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是 A.3 B.11 C.38 D.123 2 6. 若关于 x 的方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是 A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 7. 如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自 ?ABC 内部的概率等于 A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

8. 已知函数 f ( x ) ? ? A.-3 9. 若 a∈(0, B.-1

? 2 x, x >0 ,若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于 ? x ? 1, x ? 0
C.1 D.3 18.(本小题满分 12 分) 如图,直线 l : y ? x ? b 与抛物线 C : x ? 4 y 相切于点 A。
2

? 1 2 ) ,且 sin a+cos2a= ,则 tana 的值等于 2 4
B.

A.

2 2

3 3

C.
3

2
2

D.

3

(I) 求实数 b 的值; (II)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.

10. 若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x -ax -2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于 A.2 B.3 C.6 D.9 11. 设圆锥曲线 ? 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 ? 上存在点 P 满足 PF1 : F1 F2 : PF2 =4:3:2,则曲线 ? 的离 心率等于
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19.(本小题满分 12 分) 某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取 20 件,对 其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下: x f 1 a 2 0.2 3 0.45 4 b 5 b

21.(本小题满分 12 分) 设函数 f (? ) ? 3 sin ? ? cos ? ,其中,角 ? 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,终边经过点

P( x, y ) ,且 0 ? ? ? ? 。
(1)若点 P 的坐标为 ( ,

(I)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 4 件,等级系数为 5 的恰有 2 件,求 a、b、c 的值; (II)在(I)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1,x2,x3,等级系数为 5 的 2 件日用品记为 y1,y2,现 从 x1,x2,x3,y1,y2,这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同) ,写出所有可能的结果,并求 这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。

1 3 ) ,求 f (? ) 的值; 2 2

? x+y ? 1 ? (II)若点 P( x, y ) 为平面区域Ω : ? x ? 1 上的一个动点,试确定角 ? 的取值范围,并求函数 f (? ) 的最小值和 ?y ? 1 ?
最大值。

20.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点 E 在线段 AD 上,且 CE∥AB。 (1)求证:CE⊥平面 PAD; (11)若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2 ,∠CDA=45°,求四棱锥 P-ABCD 的体积

22.(本小题满分 14 分) 已知 a,b 为常数,且 a≠0,函数 f ( x) ? ?ax ? b ? ax ln x , f (e) ? 2 (e=2.71828?是自然对数的底数) 。 (I)求实数 b 的值; (II)求函数 f ( x) 的单调区间; (III) 当 a=1 时, 是否同时存在实数 m 和 M (m<M) , 使得对每一个 M], 直线 y=t 与曲线 y ? f ( x) ( x ? [ , e]) ...t∈[m, 都有公共点?若存在,求出最小的实数 m 和最大的实数 M;若不存在,说明理由。

1 e

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2012 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 数学试题(文史类)
第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 复数 ( 2 ? i ) 等于( )
2

?x ? y ? 3 ? 0 ? 10. 若直线 y ? 2 x 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的最大值为( ?x ? m ?
A. ? 1 B.1 C.



A. 3 ? 4i 2.

B. 5 ? 4i

C. 3 ? 2i

D. 5 ? 2i )

11. 数列 {a n } 的通项公式 a n ? n cos A.1006 B.2012
3 2

n? ,其前 n 项和为 S n ,则 S 2012 等于( 2
C.503 D.0

3 2

D.2 )

已知集合 M ? {1,2,3,4}, M ? {?2,2} ,下列结论成立的是( A. N ? M
?

B. M ? N ? M
?

C. M ? N ? N
? ?

12. 已知 f ( x ) ? x ? 6 x ? 9 x ? abc, a ? b ? c ,且 f (a ) ? f (b) ? f (c) ? 0 ,现给出如下结论: D. M ? N ? {2} ① f (0) f (1) ? 0 ;② f (0) f (1) ? 0 ;③ f (0) f (3) ? 0 ;④ f (0) f (3) ? 0 。 ) 其中正确结论的序号是( A.①③ B.①④ ) ) C.②③ D.②④

3.

已知向量 a ? ( x ? 1,2) , b ? (2,1) ,则 a ? b 的充要条件是( A. x ? ?

1 2

B. x ? ?1

C. x ? 5

D. x ? 0

第Ⅱ卷(非选择题
0 0 13. 在 ?ABC 中,已知 ?BAC ? 60 , ?ABC ? 45 , BC ?

共 90 分)
3 ,则 AC ? _______。

4.

一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是( A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 已知双曲线

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置。

5.

x y ? ? 1 的右焦点为 (3,0) ,则该双曲线的离心率等于( 2 a 5
B.

2

2



14. 一支田径队有男女运动员 98 人,其中男运动员有 56 人。按男女比例用分层抽样的方法,从全体运动员中抽出一 个容量为 28 的样本,那么应抽取女运动员人数是_______。 15. 已知关于 x 的不等式 x ? ax ? 2a ? 0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是_________。
2

A. 6.

3 14 14

3 2 4

C.

3 2

D.

4 3

阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出 s 值等于( ) A. ? 3 B. ? 10 C.0 D. ? 2 直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交于 A, B 两点,则弦 AB 的长度等于( )
2 2

7.

16. 某地图规划道路建设,考虑道路铺设方案,方案设计图中,求表示城市,两点之间连线表示两城市间可铺设道路, 连线上数据表示两城市间铺设道路的费用,要求从任一城市都能到达其余各城市,并且铺设道路的总费用最小。例 如:在三个城市道路设计中,若城市间可铺设道路的路线图如图 1,则最优设计方案如图 2,此时铺设道路的最小 总费用为 10。

A. 2 5 8.

B. 2 3

C. 3

D.1 ) D. x ? ?

函数 f ( x ) ? sin(x ? A. x ?

?
4

) 的图像的一条对称轴是(

?
4

B. x ?

?
2

C. x ? ?

?
4

?
2


现给出该地区可铺设道路的线路图如图 3,则铺设道路的最小总费用为____________。

9.

?1, x ? 0 ?1, x为有理数 ? 设 f ( x ) ? ?0, x ? 0 , g ( x ) ? ? ,则 f ( g (? )) 值为( ?0, x为无理数 ?? 1, x ? 0 ?
A.1 B.0 C. ? 1 D. ?

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在等差数列 {a n } 和等比数列 {bn } 中, a1 ? b1 ? 1, b4 ? 8 , {a n } 的前 10 项和 S10 ? 55 。 (Ⅰ)求 a n 和 bn ;

20. (本小题满分 13 分) 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。 (1) sin2 130 ? cos2 17 0 ? sin130 cos17 0 ; (2) sin2 150 ? cos2 150 ? sin150 cos150 ; (3) sin2 180 ? cos2 12 0 ? sin18 0 cos12 0 ;

(Ⅱ)现分别从 {a n } 和 {bn } 的前 3 项中各随机抽取一项写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率。 18. (本小题满分 12 分) 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据: (4) sin ( ?13 ) ? cos 48 ? sin(?18) cos 48 ;
2 0 2 0 0 0

(5) sin ( ?25 ) ? cos 55 ? sin(?25) cos 55 。
2 0 2 0 0 0

(I)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (II)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。
? ? ?

(I)求回归直线方程 y ? bx ? a ,其中 b ? ?20, a ? y ? b x (II)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且该产品的成本是 4 元/件,为使工厂获得最大利 润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入—成本) 21. (本小题满分 12 分)
2 如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ,且其三个顶点均在抛物线 E : x ? 2 py( p ? 0) 上。

(I)求抛物线 E 的方程; (II)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P ,与直线 y ? ?1 相交于点 Q 。证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点。

19. (本小题满分 12 分) 如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 1, AA1 ? 2 , M 为棱 DD1 上的一点。 (I)求三棱锥 A ? MCC1 的体积; (II)当 A1 M ? MC 取得最小值时,求证: B1M ? 平面 MAC 。

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax sin x ?

? ?3 3 ? 。 (a ? R), 且在 [0, ] 上的最大值为 2 2 2

(I)求函数 f ( x ) 的解析式; (II)判断函数 f ( x ) 在 (0, ? ) 内的零点个数,并加以证明。
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2013 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)

9.将函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ?

?? ? ? ? ? ? ? 的图像向右平移 ? ?? ? 0 ? 个单位长度后得 2? ? 2
? ? ? 3? ? ,则 ? 的值可以是 2 ? ?

数学试题(文史类)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数的 Z ? ?1 ? 2i ( i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设点 P ? x , y ? ,则 是 的 “x ? 2 且 y ? ?1” “ 点 P 在直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上” A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B.3 C.4 D.16

到函数 g ? x ? 的图像,若 f ? x ? , g ? x ? 的图像都经过点 P ? 0, A.

5? 3

B.

5? 6

C.

10.在四边形 ABCD 中, AC ? ?1, 2 ? , BD ? ? ?4, 2 ? ,则该四边形的面积为 A. 5 B. 2 5 C. 5 D. 10

????

??? ?

? 2

D.

? 6

11.已知 x与y 之间的几组数据如下表:

3.若集合 A= ?1, 2,3?,B = ?1,3, 4?, 则 A ? B 的子集个数为 A.2 4.双曲线 x ? y ? 1的顶点到其渐近线的距离等于 A.
2 2

x
y

1 0

2 2

3 1

4 3

5 3

6 4

2 1 B. C. 1 2 2

D. 2

? ?a ? ? bx ? , 若某同学根据上表 ,若某同学根据上表中的前两组数据 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 y

5.函数 f ? x ? ? ln x ? 1 的图像大致是
2

?

?

?1, 0 ? 和 ? 2, 2 ? 求得的直线方程为 y? ? b?x ? a? ,则以下结论正确的是
? ? b?, a ? ? a? A. b ? ? b?, a ? ? a? B. b ? ? b?, a ? ? a? C. b ? ? b?, a ? ? a? D. b

12.设函数 f ? x ? 的定义域为 R, x0 ? x0 ? 0 ? 是 f ? x ? 的极大值点,以下结论一定正确的是 A. ?x ? R, f ? x ? ? f ? x0 ? D. ? x0是-f ? ? x ?的极小值点 B. ? x0是f ? ? x ?的极小值点 C. ? x0是-f ? x ?的极小值点

?x ? y ? 2 ? 6.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1, 则 z ? 2 x ? y 的最大值和最小值分别为 ? y ? 0, ?
A. 4和3
x y

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

B. 4和2

C. 3和2

D. 2和0

?2 x 3 , x ? 0, ? 13. 已知函数 f ? x ? ? ? ? 则 ? tan x , 0 ? x ? , ? ? 2

? f? ?

? ? ?? f ? ?? ? ? 4 ??

.

7.若 2 ? 2 ? 1 ,则 x ? y 的取值范围是 A. ? 0, 2 ? B. ? ?2, 0? C. ? ?2, ?? ? D. ? ??, ?2?

14. 利用计算机产生 0 ? 1之间的均匀随机数 a ,则事件 “3a ? 1 ? 0 发生的概率为 15. 椭圆 r :

.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,焦距为 2c .若直线 a 2 b2
.

8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,如果输入某个正整数 n 后, 输出的 S ? ?10, 20 ? ,那么 n 的值为 A.3 B.4 C.5 D.6

y ? 3 ? x ? c ? 与椭圆 r 的一个交点 M 满足 ?MF1F2 ? 2?MF2 F1 ,则该椭圆的离心率等于
16.设 S,T 是 R 的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数 y ? f ( x) 满足:

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(i) T ? ? f ( x ) x ? S ; (ii)对任意 x1 , x2 ? S ,当 x1 ? x2 时,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 那么称这两个集合“保序同构” ,现给出以下 3 对集合: ① A ? N, B ? N ; ② A ? x ?1 ? x ? 3? , B ? x ?8 ? x ? 10? ; ③ A ? x 0 ? x ? 1? , B ? R. 其中, “保序同构”的集合对的序号是_______.(写出“保序同构”的集合对的序号) 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 an ? 的公差 d =1,前 n 项和为 S n . (I)若 1, a1 , a3 成等比数列,求 a1 ;(II)若 S5 ? a1a9 ,求 a1 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱柱 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD , AB // DC , AB ? AD, BC ? 5,
?

?

(II)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手” ,请你根据已知条件完成列联表,并判断是否有 90%的把握 认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

附:x 2 ?

?

?

n(n11n22 ? n12 n21 ) n1? n2? n?1n?2

P( x 2 ? k )

0.10 0 2.70 6

0.05 0 3.84 1

0.01 0 6.63 5

0.001 10.82 8

?

k
(注:此公式也可以写成 k ?
2

n(ad ? bc) 2 ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

20. (本小题满分 12 分) 如图, 抛物线 E : y ? 4 x 的焦点为 F , 准线 l 与 x 轴的交点为 A .
2

?

点 C 在抛物线 E 上,以

设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M , C 为圆心,CO 为半径作圆, (I)若点 C 的纵坐标为 2,求 MN ; (II)若 AF
2

N.

? AM ? AN ,求圆 C 的半径.

DC ? 3, AD ? 4, ?PAD ? 60 .
?

21. (本小题满分 12 分) 如图,在等腰直角 ?OPQ 中, ?POQ ? 90 , OP ? 2 2 ,点 M 在线段 PQ 上.
?

(I)当正视方向与向量 AD 的方向相同时,画出四棱锥 P ? ABCD 的正视图(要求标出 尺寸,并写出演算过程) ; (II)若 M 为 PA 的中点,求证:求二面角 DM // 平面 PBC ; (III)求三棱锥 D ? PBC 的体积. 19. (本小题满分 12 分) 某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名。为研究工人 的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生 产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁) ”和“25 周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生 产件数分为 5 组:? 得到如图所示的频率分布直方图. ?50, 60 ? , ? ?60, 70 ?, ? ? 70,80 ? , ? ?80,90 ? , ? ?90,100 ? 分别加以统计,

????

(I)若 OM ? 5 ,求 PM 的长; (II)若点 N 在线段 MQ 上,且 ?MON ? 30 ,问:当 ?POM 取
?

何值时, ?OMN 的面

积最小?并求出面积的最小值. 22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ?

a ( a ? R , e 为自然对数的底数). ex

(I)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (II)求函数 f ( x) 的极值; (III)当 a ? 1 时,若直线 l : y ? kx ? 1与曲线 y ? f ( x) 没有公共点,求 k 的最大值.

(I)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率;
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