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江苏省南通市2010届高三第三次调研测试数学试题


江苏省南通市 2010 届高三第三次调研测试

数学试题 参考答案及评分建议
必做题部分
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 有一容量为 10 的样本:2,4,7,6,5,9,7,10,3,8,则数据落在 ?5.5 , 7.5? 内的频 率为 ▲ . 2.
l 已知直线 l,m,n,平面 ? ,

m ? ? , n ? ? ,则“ l ? ? ”是“ l ? m , 且 ?n ”的 ▲ 条

件.(填“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分也不必要”之一) 、 、 、 3.
{3 , 已知集合 A ? ?2,7,? 4m ? (m ? 2)i (其中 i 为虚数单位, m ? R ) B ? 8 } ,且 , ?
A I B ? ? ,则 m 的值为

▲ .

4.

在区间[0,1]上任取两个数 a,b,则关于 x 的方程 x2 ? 2ax ? b2 ? 0 有实数根的概率为 ▲ .

5.

x≥0, ?tan x, 若函数 f ( x) ? ? 则 f 2 f 3π 4 ?log 2 (? x), x ? 0,

? ? ?? ?

▲ .

6.

在区间 ? ?a,a? (a ? 0) 内不间断的偶函数 f ( x) 满足 f (0) ? f (a ) ? 0 ,且 f ( x) 在区间 ?0,a? 上是单调函数,则函数 y ? f ( x) 在区间 (?a,a) 内零点的个数是 ▲ .

7. 8.

执行如图所示的程序框图后,输出的结果是 ▲ 不等式 x ? 2 ? 1 的解集是 ▲ . x

.

第 1 页共 18 页

9.

如图,点 A、B 在函数 y ? tan π x ? π 的图象上,则直线 AB 的方程为 ▲ . 4 2
开始

?

?

n ?6

S ?0 n ? n ?1
S ?S ?n

y 1 O A

S<15 N
输出 n

Y

B B

x

结束 (第 7 题)

(第 9 题)

y2 10. 双曲线 x ? ? 1 上的点 P 到点(5, 0)的距离是 6,则点 P 的坐标是 ▲ . 16 9 a 11. 已知数列 ?an ? 为等差数列,若 5 ? ?1 ,则数列 ? an ? 的最小项是第 ▲ 项. a6
2

uur uur u 12. 在菱形 ABCD 中,若 AC ? 4 ,则 CA ? AB ?

▲ .

13. 已知点 P 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,点 Q 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上,PQ 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,且
y0 ? x0 ? 2 ,则

y0 的取值范围是____▲____. x0

14. 数 列 ?an ? 满 足 : a1 ? 2, a ? 1 ?1 (n ? 2, 3 4 ?, ?)若 数 列 ?an ? 有 一 个 形 如 , , ? n an?1
an ? A sin(? n ? ? ) ? B 的通项公式, 其中 A、B、?、? 均为实数, A ? 0,? ? 0,? ? π , 且 2

则 an ?

▲ .(只要写出一个通项公式即可)
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【填空题答案】 1.0.3 5. 1

2.充分不必要 6. 2

3.-2 7. 3

4. 1 2 8.?x x ? ?2或 ? x ? 1? 0 11.6

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9. x ? y ? 2 ? 0

10.(8, ?3 3 )



第 2 页共 18 页

12. -8

13. ? 1 , 1 ? 2 5

?

?
?

14. 3 sin 2π n ? π ? 1 3 3 2

?

?

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 1 15. (本题满分 14 分) , 3 sin 已知向量 m ? sin A,1 与 n ? 3, A ? 3 cos A 共线,其中 A 是△ABC 的内角. 2 , 5 (1)求角 A 的大小;

?

?

?

(2)若 BC=2,求△ABC 面积 S 的最大值,并判断 S 取得最大值时△ABC 的形状. 【解】 (1)因为 m//n,所以 sin A ? (sin A ? 3 cos A) ? 3 ? 0 . 2 ??????2 分 ??3 分

所以 1 ? cos 2 A ? 3 sin 2 A ? 3 ? 0 ,即 3 sin 2 A ? 1 cos 2 A ? 1 , 2 2 2 2 2 即 sin 2 A ? π ? 1 . ????????????????4 分 6

?

?

11π . 因为 A? (0, π) , 所以 2 A ? π ? ? π , 6 6 6
故 2A ? π ? π , A ? π . 6 2 3

?

?

??????????5 分

????????????????7 分

(2)由余弦定理,得 4 ? b2 ? c2 ? bc . ???????????????8 分 又 S?ABC ? 1 bc sin A ? 3 bc , 2 4 ?????????????9 分 ???11 分

而 b2 ? c 2≥2bc ? bc ? 4≥2bc ? bc≤4 , (当且仅当 b ? c 时等号成立) 所以 S?ABC ? 1 bc sin A ? 3 bc≤ 3 ? 4 ? 3 . 2 4 4

?????????12 分

当△ABC 的面积取最大值时, b ? c .又 A ? π ,故此时△ABC 为等边三角形. ?14 分 3 D 16. (本题满分 14 分) 如图, 已知四边形 ABCD 为矩形,AD ? 平面 ABE, AE=EB=BC=2, F 为 CE 上的点,且 BF ? 平面 ACE. (1)求证:AE//平面 BDF; (2)求三棱锥 D-ACE 的体积. 【证明】 (1)设 AC I BD ? G ,连结 GF . 因为 BF ? 面 ACE , CE ? 面 ACE ,所以 BF ? CE . 因为 BE ? BC ,所以 F 为 EC 的中点.
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C

A

G B O

F B E

(第 16 题) ????????3 分

在矩形 ABCD 中, G 为 AC 中点,所以 GF // AE . 因为 AE ? 面 BFD , GF ? 面 BFD ,所以 AE // 面 BFD .

???????5 分 ????7 分

(2)取 AB 中点 O ,连结 OE .因为 AE ? EB ,所以 OE ? AB . 因为 AD ? 面 ABE , OE ? 面 ABE ,所以 OE ? AD , 所以 OE ? 面 ADC . ???????????????9 分

因为 BF ? 面 ACE , AE ? 面 ACE ,所以 BF ? AE . 因为 CB ? 面 ABE , AE ? 面 ABE ,所以 AE ? BC . 又 BF I BC ? B ,所以 AE ? 平面 BCE . 又 BE ? 面 BCE ,所以 AE ? EB .所以
AB ? AE 2 ? BE 2 ? 2 2 , OE ? 1 AB ? 2 .????12 分 2

????????????11 分

故三棱锥 E ? ADC 的体积为
VD ? AEC ? VE ? ADC ? 1 S?ADC ? OE ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 4 . 3 3 2 3

??????14 分

17 . (本题满分 15 分) 田忌和齐王赛马是历史上有名的故事. 设齐王的 3 匹马分别为 A、B、C,田忌的 3 匹马分 别为 a,b,c,6 匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为:A,a,B,b,C,c. 两人约定: 6 匹马均需参赛,共赛 3 场,每场比赛双方各出 1 匹马,最终至少胜两场者为获胜. (1)如果双方均不知道对方的出马顺序,求田忌获胜的概率; (2)颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情,得知齐王第一场必出 A 马. 那么, 田忌应怎样安排马的出场顺序,才能使获胜的概率最大? 【解】记 A 与 a 比赛为(A,a) ,其它同理. (l) (方法 1)齐王与田忌赛马,有如下 6 种情况: (A,a),(B,b),(C,c)(A,a),(B,c),(C,b) ; ; (A,b),(B,c),(C,a)(A,b),(B,a),(C,c) ; ; (A,c),(B,a),(C,b)(A,c)(B,b)(C,a). ???????????? ; , , 2分 其中田忌获胜的只有一种: (A,c),(B,a),(C,b). 4分
第 4 页共 18 页

???????????


P? 1. 6

















???????????????????????7 分 (方法 2)齐王与田忌赛马对局有 6 种可能: A a a b b c c B b c a c a C c b c a b b ??????????????????????????????2 分

a

其中田忌获胜的只有一种: (A,c),(B,a),(C,b). 4分

???????????

若齐王出马顺序还有 ACB , BAC , BCA,CAB,CBA 等五种;每种田忌有一种可以获胜. 故
P? 6 ?1. 6?6 6

















???????????????????????7 分

(2)已知齐王第一场必出上等马 A,若田忌第一场必出上等马 a 或中等马 b,则剩下二 场,田忌至少输一场,这时田忌必败.为了使自己获胜的概率最大,田忌第一场应出下等 马 c.??9 分 后两场有两种情形: ①若齐王第二场派出中等马 B,可能的对阵为: (B,a),(C,b)或(B,b),(C,a) . 田
1. 2















???????????????????????????11 分 ②若齐王第二场派出下等马 C,可能的对阵为: (C,a),(B,b)或(C,b),(B,a) . 田 忌 获 胜 的 概 率 也 为

1. 2

??????????????????????????13 分

所以, 田忌按 c , a , b 或 c , b , a 的顺序出马, 才能使自己获胜的概率达到最大 1 . ?? 2 14 分
第 5 页共 18 页

答: (l)田忌获胜的概率 1 . 6 (2) 田忌按 c , a , b 或 c , b , a 的顺序出马, 才能使获胜的概率达到最大为 1 . ???? 2 15 分

18. (本题满分 15 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知对于任意实数 k , 直线

?

3k ? 1 x ? k ? 3 y ? 3k ? 3 ? 0

? ?

? ?

?

恒过定点 F. 设椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F,且椭圆 C 上的点到 F 的最大距离为
2? 3 .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设(m,n)是椭圆 C 上的任意一点,圆 O: x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 与椭圆 C 有 4 个相 异公共点,试分别判断圆 O 与直线 l1:mx+ny=1 和 l2:mx+ny=4 的位置关系. 【解】 (1) 3k ? 1 x ? k ? 3 y ? 3k ? 3 ? 0 ? 1分 解

?

? ?

? ?

?

?

3x ? y ? 3 k ? x ? 3 y ? 3 ? 0 , ?

? ?

?

? 3x ? y ? 3 ? 0, ? ? ? x ? 3 y ? 3 ? 0, ?



F

?

3,0 .

?

???????????????????????3 分

设椭圆 C 的长轴长、短轴长、焦距分别为 2a,2b,2c, 则 b2=1. 所
x 2 ? y 2 ? 1. 4











? c ? 3, ? ? ?a ? c ? 2 ? 3.. ?





a=2



?????????????????5 分 以 椭 圆 C 的 方 程 为

????????????????????????6 分

(2)因为圆 O: x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 与椭圆 C 有 4 个相异公共点, 所 以
b? ?
第 6 页共 18 页

r



a



1 ? r ? 2.

??????????????????????8 分
2 2

因为点(m,n)是椭圆 x ? y 2 ? 1 上的点,所以 m ? n2 ? 1,且-2≤m≤2 . 4 4 所 以

m2 ?

= 3 4

1

, .

??????????????????????10 分n2 ,?????????????????12 分
d1 ? 1 ≤ ?r 1 m2 ? n2

?

于是圆心 O 到直线 l1 的距离 圆心 O 到直线 l2 的距离 .

d2 ?

4 ≥2 ? r m2 ? n2

????????????????14 分 ????????????15 分

故直线 l1 与圆 O 相交,直线 l2 与圆 O 相离. 19. (本题满分 16 分)

设数列{an}是由正数组成的等比数列,公比为 q,Sn 是其前 n 项和. (1)证明 Sn ? Sn? 2 ? Sn?1 ; (2)设 bn ? 4 an ?3 ? 4 an ?1 ? 2 an , 记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn,试比较 q2Sn 和 Tn 的大小. 15 5 5 【证明】 (1)由题设知 a1>0,q>0. ??????????????????1 分

(i)当 q=1 时,Sn=na1,于是 Sn·n+2- S n2?1 =na1· S (n+2)a1-(n+1)2 a12 =- a12 <0, ???3 分 (ii)当 q≠1 时, Sn ?
a1 ?1 ? q n ? 1? q


a12 ?1 ? q n ?1 ?
2

于是 Sn·n+2- S S

2 n?1

?

a12 ?1 ? q n ??1 ? q n ? 2 ?

?1 ? q ?

2

?

?1 ? q ?

2

= ?a12 q n ? 0 .

?????7 分

由(i)和(ii),得 Sn·n+2- S n2?1 <0.所以 Sn·n+2< S n2?1 , Sn ? Sn? 2 ? Sn?1 . S S (2) 方 法 一

????8 分 :

bn ? 4 an ?3 ? 4 an ?1 ? 2 an ? 4 an q3 ? 4 an q ? 2 an , 15 5 5 15 5 5
n n

??????????11 分

Tn= ? bk ? ? ( 4 ak q 3 ? 4 ak q ? 2 ak ) ? 4 q 3 Sn ? 4 qSn ? 2 Sn , 5 5 15 5 5 k ?1 k ?1 15
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Tn-q2Sn= = 所 Tn>q2S.

Sn (4q3 ? 15q2 ? 12q ? 6) , 15

????????????????13 分 ?????????????15 分 以

Sn (4q(q ? 2)2 ? (q ? 2)2 ? 2) ≥2>0, 15

?????????????????????????????16 分
n n

方法二:Tn= ? bk ? ? ( 4 ak q 3 ? 4 ak q ? 2 ak ) ? 4 q 3 Sn ? 4 qSn ? 2 Sn , ?????11 分 5 5 15 5 5 k ?1 k ?1 15 由
Tn ? 4 q? 4 ? 2, 5q 5 q 2 Sn 15

???????????????????13 分

因为 q ? 0 ,所以 4 q ? 4 ≥2 4 ? 4 ? 8 3 (当且仅当 4 q ? 4 ,即 q ? 3 时取“=” 15 5q 15 5q 15 5 15 号) , 因为 8 3 ? 2 ? 6 ? 8 3 ? 1 , 15 5 15 所以
Tn ? 1 ,即 Tn>q2S. q 2 Sn

??????????????????16 分

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2a cos kπ ? ln x(k ?N* , a ? R ,且 a ? 0 ) . (1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若 k ? 2010 ,关于 x 的方程 f ( x) ? 2ax 有唯一解,求 a 的值. 【解】 (1)由已知得 x>0 且 f ?( x) ? 2 x ? (?1)k ? 2a . x 当 k 是奇数时, f ?( x) ? 0 ,则 f(x)在(0,+ ? )上是增函数; 当 k 是偶数时,则 f ?( x) ? 2x ? 2a ? x ???????3 分 ?????????5 分

2( x ? a )( x ? a ) . x

所以当 x ? 0, a 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ? a, ?? ? 时, f ?( x) ? 0 . 故当 k 是偶数时,f (x)在 0, a 上是减函数,在 ? a, ?? ? 上是增函数.??????7 分 (2)若 k ? 2010 ,则 f ( x) ? x2 ? 2a ln x(k ?N* ) . 记 g (x) = f (x) – 2ax = x 2 – 2 a xlnx – 2ax, g ?( x) ? 2 x ? 2a ? 2a ? 2 ( x 2 ? ax ? a) , x x 若方程 f(x)=2ax 有唯一解,即 g(x)=0 有唯一解;
第 8 页共 18 页

?

?

?

?

?????????????9 分

令 g ?( x) ? 0 ,得 x 2 ? ax ? a ? 0 .因为 a ? 0, x ? 0 , 所以 x
1 2 ? a ? a ? 4a ? 0 2

(舍去) x ,

2

2 ? a ? a ? 4a 2

.

???????11 分

当 x ? (0, x2 ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, x2 ) 是单调递减函数; 当 x ? ( x2 , ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x2 , ??) 上是单调递增函数. 当 x=x2 时, g ?( x2 ) ? 0 , g ( x)min ? g ( x2 ) . 因为 g ( x) ? 0 有唯一解,所以 g ( x2 ) ? 0 .
2 ? g ( x ) ? 0, ? x2 ? 2a ln x2 ? 2ax2 ? 0, ? 则? 2 即? 2 ? g ?( x2 ) ? 0, ? x2 ? ax 2 ?a ? 0, ?

???????????12 分

???????????13 分
(*) . ????14 分

两式相减得 a ln x2 ? ax2 ? a ? 0, 因为 a>0,所以 2ln x2 ? x2 ? 1 ? 0 设函数 h( x) ? 2ln x ? x ? 1 , 因为在 x>0 时,h (x)是增函数,所以 h (x) = 0 至多有一解.

因为 h (1) = 0,所以方程(*)的解为 x 2 = 1,从而解得 a ? 1 .????????16 分 2

附加题部分
21. (选做题)本大题包括 A,B,C,D 共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题. 每小题 10 分, 共 20 分.请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
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A. 选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的直径, C , F 是⊙ O 上的两点, OC ⊥ AB , 过点 F 作⊙ O 的切线 FD 交 AB 的延长线于点 D .连结 CF 交 C

AB 于点 E .
求证: DE 2 ? DB ? DA . 【证明】连结 OF. 因为 DF 切⊙O 于 F,所以∠OFD=90° . 所以∠OFC+∠CFD=90° . 因为 OC=OF,所以∠OCF=∠OFC. 因 为 CO⊥AB 于 O , 所 以 F A E O B D

∠OCF+∠CEO=90° .

??????????????????5 分

所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以 DF=DE. 因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB· 所以DE2=DB· DA. DA. ???????????? 10分

B. 选修 4-2:矩阵与变换

?2 1? 求矩阵 ? ? 的特征值及对应的特征向量. ?1 2 ?
【 解 】 特 征 多 项 式

f (? ) ?


? ?2
?1

?1 ? (? ? 2)2 ? 1 ? ? 2 ? 4? ? 3 , ?????????3 分 ? ?2
f (? ) ? 0
, 解 得

?1 ? 1, ?2 ? 3 .

????????????????????????6 分

?? x ? y ? 0, 将 ?1 ? 1 代入特征方程组,得 ? ? x ? y ? 0. ?? x ? y ? 0

?1? 可取 ? ? 为属于特征值 ? 1=1 的一个特征向量. ????????????????? ? ?1?
8分
第 10 页共 18 页

? x ? y ? 0, 将 ?2 ? 3 代入特征方程组, 得 ? ? x ? y ? 0. ?? x ? y ? 0

?1? 可取 ? ? 为属于特征值 ?2 ? 3 的一个特征向量. ?1? ?1? ?2 1? 综上所述,矩阵 ? , ? 有两个特征值 ?1 ? 1 ?2 ? 3 ;属于 ?1 ? 1 的一个特征向量为 ? ?1? , ? ? ?1 2 ? ?1? 属于 ?2 ? 3 的一个特征向量为 ? ? . ?1?
10 分 C. 选修 4-4:坐标系与参数方程
? x ? ? 3 t ? 2, ? 5 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? ,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) . 4t ?y ? 5 ?

??????????????????????

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M , N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值. 【 解 】 ( 1 ) 曲 线
C



















? 2 ? 2? sin ? .

????????????2 分

又 x2 ? y 2 ? ? 2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ? , 所 以 曲 线
C

















x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 .

??????????????4 分 l 的 参 数 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 , 得

( 2 ) 将 直 线
y ? ? 4 ( x ? 2) . 3

???????????6 分

令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,即 M 点的坐标为(2,0). 又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为(1,0),半径 r ? 1,则 MC ? 5 . 所以 MN ≤ MC ? r ? 5 ? 1 . ?????8 分

????????????????10 分

D.选修 4-5:不等式选讲

第 11 页共 18 页

设 a1,a2,a3 均为正数,且 a1 ? a2 ? a3 ? m ,求证 1 ? 1 ? 1 ≥ 9 . a1 a2 a3 m 【证明】因为 ( 1 ? 1 ? 1 )gm ? (a1 ? a2 ? a3 )( 1 ? 1 ? 1 ) ≥3 3 a1 ? a2 ? a3 ? 3 3 1 ? 1 ? 1 ? 9 , a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 当且仅当 a1 ? a2 ? a3 ? m 时等号成立. 3 又因为 m ? a1 ? a2 ? a3 ? 0 , 所以 1 ? 1 ? 1 ≥ 9 . a1 a2 a3 m ??????????????????10 分 ???????????8 分

22. 必做题, 本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC ,顶点 A1 在底面 ABC 上的射影恰为点 B, 且 AB ? AC ? A1B ? 2 . (1)求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小; (2)在棱 B1C1 上确定一点 P,使 AP ? 14 ,并求出二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余弦 值. 【解】 (1)如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系, 则 C ? 2,,?,B ? 0,,?,A1 ? 0,,?,B1 ? 0,,? , 00 20 2 2 4 2
C1 B1 A1

???? ??? ????? ? AA1 ? ? 0,,? , BC ? B1C1 ? ? 2, 2,? . 22 ? 0

???? ??? ? ???? ??? ? AA ? BC ?4 1 cos? AA1,BC ? ? ????1 ??? ? ?? ? 2 8? 8 AA1 ? BC

C B

A

故 AA1 与棱 BC 所成的角是 π . 3

(第 22 题) ?????????4 分

(2)设 B1P ? ? B1C1 ? ? 2?, 2?,? ,则 P ? 2?, ? 2?, ? . 4 2 ? 0 于 是 AP ? 4? 2 ? ? 4? ? ? ? ? 2 4
2

????

???? ?

C1 P B1

A1

z

1 3 1 4? ? ( ? ? 舍 ? 2 2
x

去) , 则 P 为棱 B1C1 的中点,其坐标为 P ?1 3 2 ? . ????6 分 ,, 设平面 P ? AB ? A1 的法向量为 n1 ? ? x, y, z ? ,
A

C B

??? ? ?n1 ? AP ? 0, ? x ? 3 y ? 2 z ? 0, ? x ? ?2 z, ? ?? ?? 则 ? ??? ? ?2 y ? 0. ? y ? 0. ?n1 ? AB ? 0 ?
第 12 页共 18 页

y

故 n1 ? ? ?2, , ? . ?????????????????????????????? 0 1 8分 而平面 ABA1 的法向量是 n2=(1,0,0),则 cos? n1 , n2 ? ? 故 二 面 角

n1 ? n2 ?2 2 5 , ? ?? n1 ? n2 5 5
角 的 余 弦 值 是

P ? AB ? A1







2 5 . 5

???????????????10 分

23.必做题, 本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 已知函数 f ( x) ? ln 2 (1 ? x) ? x , g ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x2 ? 2x . 1? x

? (1)证明:当 x ? (0, ?) 时, g ( x) ? 0 ;

(2)求函数 f ( x) 的的极值. 【解】 (1) g ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x2 ? 2x ,则 g ?( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x . 令
h?( x) ? 2 ? 2 ? ?2 x . 1? x 1? x
h( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x





????????????1 分

当 ?1 ? x ? 0 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 (?1,0) 上为增函数. 当 数. x > 0 时 ,
h?( x ? ) 0 , h( x)



(0, ?) ?









????????????3 分 所以 h(x)在 x=0 处取得极大值,而 h(0)=0,所以 g ?( x) ? 0( x ? 0) , 函 数 g(x) 在
(0, ?) ?









数. 当
g( ?

??????????????????????4 分 x
? . x)



0


0



g( 0 ) ????????????????????5 分

? (2)函数 f ( x) 的定义域是 (?1, ?) ,

f ?( x) ?

2ln(1 ? x) x 2 ? 2 x 2(1 ? x) ln(1 ? x) ? x 2 ? 2 x ? ? , 1? x (1 ? x) 2 (1 ? x) 2

???????????

??6 分
第 13 页共 18 页

由(1)知, 当 ?1 ? x ? 0 时, g ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x2 ? 2 x ? g (0) ? 0 , 当 x>0 时, g ( x) ? g (0) ? 0 , 所以,当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 f ( x) 在(-1,0)上为增函数. 当 数. x > 0 时 ,
f ?( x ? )

,0

f ( x)



(0, ?) ?









??????????8 分
? 故函数 f ( x) 的单调递增区间为(-1,0) ,单调递减区间为 (0, ?) .

故 0.

x=0



f ( x)









???????????????????????10 分

南通市 2010 届高三第三次模拟测试 讲评建议
1.考查统计中总体分布的估计,容易题.考前要提醒学生注意回顾相关知识,不能造成考试 中知识的盲点. 2.考查充要条件及立几中直线与平面垂直的判定及性质,考查学生的空间想象能力和逻辑推 理能力,容易题.讲评时可提醒学生解此类立几问题时要有构建模型举反例的意识. 3.考查复数的概念及集合的运算,容易题. A I B ? ? ,则 A 中的复数必须为实数,所以 m=-2;实部恰为 8.提醒学生在解决复数问题时,主要手段为对实、虚部的实数化计算. 4. 考查几何概型, 容易题. 讲解时可将几何概型的常见问题作简单小结, 要注意维度的分析,
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主要是一维测度和二维测度. 5.考查分段函数及对数、三角函数,容易题. f 3π ? ?1 ,则 f ?2 f 3π ? ? f (?2) ? 1 . ? 4 4 ? ? ? 此题还可以加大难度,将题目中的 f ( x ) 改成
x≥0, ? tan x, 则 f π ? 2 f (?2) ? 2 f ( x ? 2) ? ? 4 ?log 2 (? x), x ? 0,

? ?

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6.考查函数的性质及零点的概念,考查学生数形结合的数学思想,容易题. f (0) ? f (a) ? 0 且
y ? f ( x) 在 ?0,a? 上是单调函数,则方程 f ( x) ? 0 在(0,a)内有一实根

7.考查算法中阅读流程图的能力,容易题.算法的考查形式不太多,要么阅读程序填结果、 要么是分析结果补全程序,此类题目的讲解着重在对处理问题的逻辑顺序上给学生以启 发. 8.考查不等式的解法,中档题.可分类讨论 x ? 0, x ? 0 转化为解不等式组,也可移项通分转 化为解高次不等式. 9.考查三角函数的图像与性质及直线方程,考查学生的图形分析能力,中档题.先求出点
A(2, 0), B (3,1) ,再求得直线方程为 x ? y ? 2 ? 0 .

10.考查双曲线的几何性质,中档题.法一:首先判断出点(5, 0)为右焦点,因为 a ? c ? 9 ? 8 , 所以点 P 在双曲线右支上, 再由双曲线定义得

6 xP ? 16 5

解得 xP ? 8 . 法二: P( x, y ) , 设 ? 5, 4

? x2 y 2 ? 1, ? ? 则 ?16 9 解得 x ? 8, 或x ? ? 8 (舍去) ,所以 P(8, ?3 3 ).现在考纲中对双曲 5 ?( x ? 5) 2 ? y 2 ? 36, ?

线、抛物线的要求比较低,对圆锥曲线的定义及基本量的运算要重视,可适当补充关于 椭圆、双曲线、抛物线的相关问题 11.考查等差数列的相关内容,中档题.法一:分类讨论,d ? 0 时,?a5 ? a6 ? 0 ? a5 ? a6 ;
d ? 0 时, a5 ? ?a6 ? 0 ? a5 ? a6 ;法二:

a5 a ? ?1 ? 5 ? 1 ?? a5 ? a6 . a6 a6

12.考查向量的数量积,中档题.讲评解决数量积问题的三种常用方法:法一:定义法, uur uur u uuu uur r u uuu uur r u uuu 2 r CA ? AB ? ?2 AO ? AB ? ?2 AO ? AB ? cos ?OAC ? ?2 AO ? ?8 ;法二:建系设点进行坐标计
uur uur u uuu uur r u uuu uur uur r u uuu uur r uuu 2 r CA 算; 法三: 向量转化, ? AB ? ?2 AO ? AB ? ?2 AO ? (OB ? OA) ? 0 ? 2 AO ? OA ? ?2 AO ? ?8 ;
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另外还可利用由一般到特殊的思想方法,把菱形特殊化为正方形,解法更为简洁. 13.考查直线方程、线性规划等相关知识,考查运动与变化,对学生数形结合能力、函数方 程、转化和化归的意识考查要求较高,较难题.点 M ( x0 , y0 ) 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,利 用线性规划知识画出可行域为 x0 ? 2 y0 ? 1 ? 0 x0 ? ? 5 ,可行域区域内的点与原点连线 3

?

?

y 的斜率范围是 ? 1 , 1 ,此题中正确画出可行域是前提,明白 0 的几何意义是关键. ? 2 5 x0
14.考查数列、合情推理、三角函数的性质等相关内容,难题.采用特殊值法求出 a2 , a3 , a4 分 别为 1 , ?1, 2 ,由不完全归纳法得出 an 周期为 3,再利用三角函数的图像与性质构造出 2

?

?

an ? 3 sin 2π n ? π ? 1 .答案不唯一,当 ? ? 2π ? 2kπ (k ? N ) 时,均可构造出相应的三 3 3 3 2
角函数式;当 ? 值取定后 A、B、 ? 的值唯一确定 A ? 3, B ? 1 , ? ? ? π . 2 3 15.本题是向量与三角结合的题型.以向量为背景,考查了两角和与差的正余弦公式、余弦 定理、向量的运算、面积公式、基本不等式等知识点,考查学生的公式、定理的选用能 力(运算方向、运算途径的确定) .第(1)小题要注意角的范围的判断;第(2)小题要 注意等号成立的条件. 近三年江苏高考解答题均没有在三角形背景下考查三角向量,对三角、向量、解三 角形等知识联系起来命题的形式值得关注. 16.本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明、锥体的体积公式等相关知识,考查空间 想象能力.讲评时应强调立体几何中有关平行与垂直定理的符号语言表达,要求规范. 第(2)小题求四面体体积时要注意等积转化,培养学生的转化意识. 17.本题主要考查古典概率的计算及其相关知识,要求学生列举全面,书写规范.尤其注意 此类问题的答题格式:设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答.古典概 率是必修 3 概率部分的中心内容,以列举法为主.本题结合列举法,留给学生能力发挥 的空间,可以列举 36 种基本事件,如果看问题深刻一些,只要列举 6 种基本事件,理科 学生还可以用排列知识求解.也可以与几何概型链接: 变题:田忌和齐王约定中午十二点到一点间到赛马场商定赛马事宜,求田忌在齐王前到 但等候不超过一刻钟的概率. 18.本题主要考查直线、圆、椭圆以及不等式等知识点,考查学生数形结合、函数与方程等 思想的应用,以及学生分析问题与解决问题的能力.讲评时要强化解析几何的本质方
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法――解析法,从几何性质上分析,用代数的方法求解.第(1)小题求定点 F 坐标时强 调分离参数的意识;第(2)小题判断 r 范围时也可联立方程组用代数法计算,在研究二 元函数 f (m, n) ? m2 ? n2 范围时,法一:消元,转化为一元函数求值域,此时要注意定 义域的影响; 法二: 数形结合, 转化为研究椭圆 m ? n 2 ? 1 上动点到原点距离的范围. 另 4 外, 19.本题主要考查数列的概念、等比数列、数列前 n 项和的求法、不等式等知识,考查学生 的分析问题与解决问题的能力及运算能力.讲评时第(1)小题要注意对公比 q 的分类讨 论;第(2)小题通过对通项分解,并利用数列前 n 项的定义避免了利用等比数列求和时 的分类讨论问题,问题化归为对关于 q 的多项式的正负判断.此题还可以这样解:令 f(q)=4q3-15q2+12q+6, f ?q 1 q 32? 1 ? 则 () 2 0 q ? 2 , f ?q 1 q 32? 1 ? 由 () 2 0 q ? 2 =0, q= 得
2

1 , 2

q=2,所以 f(q)在区间[0,+∞)上的最小值 fmin(q)=min{f(0),f(2)}=2>0,即对 q>0,Tn- q2Sn=

Sn (4q3 ? 15q2 ? 12q ? 6) ≥2>0,所以 Tn>q2S. 15

20.本题主要考查函数、导数、对数函数、三角函数等知识,考查函数与方程、数形结合、 转化和化归、 分类讨论等数学思想方法. (1) 第 小题评讲时主要讲清分类的标准和目的; 第(2)小题,着重在正确审题,怎样将复杂的问题转化成简单的问题.方程
2 ? x 2 ? 2a ln x2 ? 2ax2 ? 0, ? g ( x2 ) ? 0, ? 得 ? 22 方 g ( a ? a ? 4a ) ? 0 (*)无法直接求解,利用 ? 2 g ?( x2 ) ? 0, ? x2 ? ax 2 ?a ? 0. ? ?

程(*)其实是由此方程组消去 x 2 得到的,陷入绝境.我们转而消去参数 a 可得
2ln x2 ? x2 ? 1 ? 0 ,再利用函数与方程的有关知识解得 x 2 = 1,即 12 ? 2a ln1 ? 2 a ?1 ? 0 ,

解得 a ?

1 . 2

本次附加题考查内容尽量回避一模、二模所考内容,其中必做题考查了空间向量与复合 函数的导数,没有考查抛物线、数学归纳法、计数原理、随机变量的概率分布,这些知识点 希望在后期的复习中不可忽视.

南通市 2010 届高三第三次模拟测试数学命题组 2010-4-24
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