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高中数学奥林匹克竞赛讲座:17数学归纳法


竞赛讲座 17 -数学归纳法 数学归纳法
基础知识 数学归纳法是用于证明与正整数 n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法. 在数 学竞赛中占有很重要的地位. 1.数学归纳法的基本形式 (1)第一数学归纳法 设 P (n) 是一个与正整数有关的命题,如果 ①当 n = n0 ( n0 ∈ N )时, P ( n) 成立; ②假设 n = k ( k ≥ n0 ,

k ∈ N ) 成立,由此推得 n = k + 1 时, P (n) 也成立,那么,根据① ②对一切正整数 n ≥ n0 时, P (n) 成立. (2)第二数学归纳法 设 P (n) 是一个与正整数有关的命题,如果 ①当 n = n0 ( n0 ∈ N )时, P (n) 成立; ②假设 n ≤ k ( k ≥ n0 , k ∈ N ) 成立,由此推得 n = k + 1 时, P (n) 也成立,那么,根据① ②对一切正整数 n ≥ n0 时, P (n) 成立. 2.数学归纳法的其他形式 (1)跳跃数学归纳法 ①当 n = 1,2,3, ? , l 时, P (1), P ( 2), P (3), ? , P (l ) 成立, ②假设 n = k 时 P (k ) 成立,由此推得 n = k + l 时, P (n) 也成立,那么,根据①②对一 切正整数 n ≥ 1 时, P (n) 成立. (2)反向数学归纳法 设 P (n) 是一个与正整数有关的命题,如果 ① P (n) 对无限多个正整数 n 成立; ②假设 n = k 时,命题 P (k ) 成立,则当 n = k ? 1 时命题 P ( k ? 1) 也成立,那么根据①② 对一切正整数 n ≥ 1 时, P (n) 成立. 3.应用数学归纳法的技巧

(1) 起点前移: 有些命题对一切大于等于 1 的正整数正整数 n 都成立, 但命题本身对 n = 0 也成立,而且验证起来比验证 n = 1 时容易,因此用验证 n = 0 成立代替验证 n = 1 ,同理,其 他起点也可以前移,只要前移的起点成立且容易验证就可以.因而为了便于起步,有意前移 起点. (2)起点增多:有些命题在由 n = k 向 n = k + 1 跨进时,需要经其他特殊情形作为基础, 此时往往需要补充验证某些特殊情形,因此需要适当增多起点. (3)加大跨度:有些命题为了减少归纳中的困难,适当可以改变跨度,但注意起点也应 相应增多. (4)选择合适的假设方式:归纳假设为一定要拘泥于“假设 n = k 时命题成立”不可, 需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式,灵活选择使用. (5)变换命题:有些命题在用数学归纳证明时,需要引进一个辅助命题帮助证明,或者 需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要,才能顺利进行证明. 5.归纳、猜想和证明 在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的,也可能是错误的, 这种不严格的推理方法称为不完全归纳法.不完全归纳法得出的结论,只能是一种猜想,其 正确与否,必须进一步检验或证明,经常采用数学归纳法证明.不完全归纳法是发现规律、 解决问题极好的方法. 例题分析 例 1.用数学归纳法证明:

1 1 1 (1 + 1)(1 + )(1 + ) ? (1 + ) > 3 3n + 1 ( n ∈ N * , n ≥ 1 ) 4 7 3n ? 2
例 2.已知对任意 n ∈ N , n ≥ 1 , a n > 0 且 a1 + a 2 + ? + a n = ( a1 + a 2 + ? + a n ) ,
*

3

3

3

2

求证: a n = n . 例 3.如果正整数 n 不是 6 的倍数,则 1986 ? 1 不是 7 的倍数.
n

例 4.设 a1 , a 2 , ? , a n 都是正数,证明

a1 + a 2 + ? + a n n ≥ a1a 2 ? a n . n

例 5 . 已 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 [ a , b ] , 对 于 区 间 [ a , b ] 内 的 任 意 两 数 c, d 均 有

f(

c+d 1 ) ≤ [ f (c) + f (d )] .求证:对于任意 x1 , x 2 , ? , x n ∈ [a, b] ,均有 2 2 f( x1 + x 2 + ? + x n 1 ) ≤ [ f ( x1 ) + f ( x 2 ) + ? + f ( x n )] . n n
2n + 1 α 2 . α 2 sin 2
n

例 6 试证:对一切大于等于 1 的自然数 n 都有

1 + cos α + cos 2α + ? + cos nα = 2

sin

例 7 试证:对一切自然数 n ( n ≥ 1 )都有 2 + 2 > n .
2

例 8.证明:任一正方形可以剖分成任意个数多于 5 个的正方形. 例 9.设 0 < a < 1 , a1 = 1 + a , a n +1 =

1 + a ,求证:对一切 n ∈ N 均有 a n > 1 an

例 10.已知 a1 = a 2 = 1 , a n + 2 例 11 . 设 f ( n) = 1 +

2 a n +1 + (?1) n ?1 = ,求证:对一切 n ∈ N , a n 都是整数. an

1 1 1 + + ? + , 是 否 存 在 关 于 正 整 数 n 的 函 数 g (n) 使 等 式 2 3 n

f (1) + f (2) + ? + f (n ? 1) = g (n)[ f (n) ? 1] 对于 n ≥ 2 的一切自然数都成立?并证明你的
结论. 例 12. 设整数数列 {a n } 满足 a1 = 1 , 2 = 12 , 3 = 20 , a n + 3 = 2a n + 2 + 2a n +1 ? a n . a a 且 证 明:任意正整数 n , 1 + 4a n a n +1 是一个整数的平方. 例 13 . 设

x1 , x 2 , ? , x n









n≥2

) ,







x12 x2 x2 x2 + 2 2 + ? + 2 n ?1 + 2 n ≤ n ? 1. x12 + x 2 x3 x 2 + x3 x 4 x n ?1 + x n x1 x n + x1 x 2
例 14.已知 a1 = 1 , a n +1 = a n +

1 ( n ∈ N * , n ≥ 1) ,求证: a 9000 > 30 . 2 an

2 an 1 例 15. 整数列 {a n }( n ∈ N , n ≥ 1 ) 满足 a1 = 2, a 2 = 7 , 且有 ? < a n +1 ? ≤ 2. 求 a n ?1 2 *

证: n ≥ 2 时, a n 是奇数. 训练题 1.证明 n ∈ N 时, 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ? + 2 5 n ?1 能被 31 整除. 2.设 n 不小于 6 的自然数,证明:可以将一个正三角形分成 n 个较小的正三角形. 3.用数学归纳法证明: 1 +

1 1 1 + + ? + n ?1 < 2 2 4 2 1 1 1 4.设 n 为自然数,求证: 1 + 2 + 2 + ? + 2 < 2 . 2 3 n

5.对于自然数 n ( n ≥ 3 ) ,求证: n n +1 > ( n + 1) n . 6.已知 a1 = a 2 = 1 , a n + 2 =
2 a n +1 + (?1) n ?1 * ,求证:对于一切 n ∈ N , a n 是整数. an

n 7.设有 2 个球分成了许多堆,我们可以任意选甲、乙两堆来按照以下规则挪动:若甲戴

盆望天的球数 p 不小于乙堆的球数 q ,则从甲堆拿 q 个球放堆乙堆,这样算是挪动一次.证 明:可以经过有限次挪动把所有的球合并成一堆.

a a 4 ( , 8. 已知数列 {a n } 满足: 1 = 3 , 2 = 8 , ( a n ?1 + a n ? 2 ) = 3a n + 5n ? 24n + 20 n ≥ 3 )
2

试证: a n = n + 2 .
2 n


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