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§2.1 函数及其表示法


【高二数学学案】

4、已知 A ? {x | 0 ? x ? 4}, B ? { y | 0 ? y ? 2} ,从 A 到 B 的对应法则分别是

第二章

函数
主备人:刘淑珍 时间:

① f :x? y?

1 x ;② f : x ? y ? x ? 2 ;③

f : x ? y ? x ;④ f : x ? y ?| x ? 2 | 。 2


§2.1 函数及其表示法
一、知识梳理
1、函数的基本概念 (1)函数定义:设 A、B 是两个非空的 合 A 中的任意一个数 x , 在集合 B 中都有 集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 的 ;与 x 的值相应的 y 值叫做 显然,值域是集合 B 的 。 (2)函数的三要素 (3) 相等函数: 如果两个函数的 相同, 并且 完全一致, 则两函数相等。 2、函数的表示法: 、 、 3、分段函数 (1)在函数定义域内,对于自变量 x 的不同取值范围,有着不同的对应法则,这样的函数通常 叫 。 (2)分段函数的定义域是各段定义域的 ,其值域是各段值域的 。 4、映射的概念 设 A、 B 是两个非空的集合, 如果按某一个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的 一 元素 x , 在集合 B 中都有 的元素 y 与之对应, 这样的对应叫做 的一个映射, 记作 , 这时, 称 y 是 x 在映射 f 的作用下的 , x 称作 y 的 。 如果映射 f 是集合 A 到集合 B 的映射,并且对于集合 B 中的任意一个元素在集合 A 中都有且只 有一个原象,这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系,并把这个映射叫做集合 A 到集 合B的 。 ,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对于集 的数 f(x)和它对应, 那么就称 为从 。其中,x 叫做 ,x 的取值范围 A 叫做函数 ,函数值的集合 { f ( x) | x ? A} 叫做函数的 。

其中能构成一一映射的是

x?2
5、已知函数 f ( x) ?

2x x2 2

7 (?1 ? x ? 2) , 则f [ f (? )] ? 4 ( x ? 2)

( x ? ?1)



三、典型例题
题型一 求函数定义域问题 求下列函数的定义域: (1) y ? (3) y ?

25 ? x 2 ? lg cos x ;

x2 1 ? (5 x ? 4) 0 ; ? x 2 ? 1 ; (2) y ? lg(4 x ? 3) 2? | x | 1 2 (4) y ? log 1 ( x ? 1) ; (5) y ? lg(1 ? ) 。 x 2

题型二 求具体函数的值域问题 求下列函数的值域: (1) y ?

1? x2 sin x ; (2) y ? x ? 1 ? 2 x ; (3) y ? 。 2 1? x 2 ? cos x

二、基础考题再现 1、设 M ? {x | 0 ? x ? 2}, N ? { y | 0 ? y ? 2} ,给出下列 4 个图形,其中能表示集合 M 到 N 的函
数关系的有 个。 ( )

题型三 求函数解析式问题 已知 f ( x) 是二次函数,且 f (0) ? 0, f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 ,求 f ( x) 。 A、0 2、函数 y ? B、1 C、2 ) D、3

lg(2 ? x) 的定义域是(

A、 (??,??) B、 (??,2) C、 (??,0] D、 (??,1] 3、 如果函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? 3 ? 2 x 的图象关于坐标原点对称, 则 y ? f ( x) 的表达式为 ( ) A、 y ? 2 x ? 3 B、 y ? 2 x ? 3 C、 y ? ?2 x ? 3 D、 y ? ?2 x ? 3

§2.1 函数及其表示法定时练
1、已知两个函数 f ( x) 和 g ( x) 的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表:

8 、 对 于 任 意 的 x, y ? R, 有f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 给 出 以 下 结 论 : ① f (1) ? 0 , ②

x 1 f ( ) ? ? f ( x) ,③ f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ,则其中正确的结论有: y x
9、若函数 f ( x) ?



x f ( x) x g ( x)

1 2 2 3 )

2 3

3 1 3 2

(a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ?

2 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围。 a ?1

1 1 填写下列 g f ( x) 的表格,其三个数依次为(

x g f ( x)
A、3,2,1 2、函数 y ? A、 (1,2] 3、函数 f ( x) ? B、2,1,3

1

2 C、1,2,3 ) C、 (2, ? ? )

3 D、3,2,1

log 2 ( x ? 1) 2? x

的定义域是( B、 (1,2)

D、 ( ? ? ,2)

1 ) ( x ? R) 的值域是( 1? x2 A、 [0,1] B、 [0,1) C、 (0,1] D、 (0,1) 4、 y ? f ( x) 的图象如图所示,则 f ( x) 等于( ) ? x,?1 ? x ? 0 A、 f ( x) ? ? x ? 1,0 ? x ? 1 x,?1 ? x ? 0 B、 f ( x) ? ? x ? 1,0 ? x ? 1 ? x,?1 ? x ? 0 C、 f ( x) ? ? x ? 1,0 ? x ? 1 x,?1 ? x ? 0 D、 f ( x) ? ? x ? 1,0 ? x ? 1 | x ? 1 | ?2, | x |? 1 1 1 5、设 f ( x) ? ,则 f [ f ( )] ? ( ) , | x |? 1 2 2 1? x 1 4 9 25 A、 B、 C、 ? D、 2 13 5 41 a, a ? b 6、 对 a, b ? R, 记 max{ a, b} ? , 函数 f ( x) ? max{| x ? 1 |, | x ? 2 |}( x ? R) 的最小值是 ( ) b, a ? b 1 3 A、0 B、 C、 D、3 2 2 x ? 2( x ? 2 7、已知函数 f ( x) ? ? ,则不等式 xf ( x ? 1) ? 10 的解集是 。 ? 2( x ? 2)

1 ? 1 ? ( x ? 1), ? x ? 10、已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? 1 (?1 ? x ? 1) , ? 2 x ? 3 ( x ? ?1). ? ? 1 3 (1)求 f (1 ? ), f ( f [ f (?2)]) 的值; (2)求 f (3x ? 1) ; (3)若 f (a) ? , 求 a. 2 2 ?1

②对任意的 x, y ? R ,有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 。 (1)求 f (0);

11、函数 f ( x) 的定义域为 R,且满足下面两个条件:①存在 x1 ? x2 ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; (2)证明对任意的 x, y ? R , f ( x) >0 恒成立。


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