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线面平行的证明题


线面平行的证明题 1.如图所示,两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB,M∈AC,N∈

FB 且 AM=FN,求证:MN∥平面 BCE.

2. 如图, 在七面体 ABCDMN 中, 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, MD⊥平面 ABCD,

NB⊥平面 ABCD,且 MD=2,NB=

1,MB 与 ND 交于 P 点,点 Q 在 AB 上,且 BQ= .
(1)求证:QP∥平面 AMD; (2)求七面体 ABCDMN 的体积.

2 3

3.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,直线 l 是平面 AB1D1 与下底面 ABCD 所在 平面的交线.

求证:l∥平面 A1BD.

4.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1,底面为正三角形,侧棱 A1A⊥底面 ABC,点 E、F 分 别是棱 CC1、BB1 上的点,点 M 是线段 AC 上的动点,EC=2FB. 当点 M 在何位置时,BM∥平面 AEF?

答案: 1、证明 过 M 作 MG∥BC,交 AB 于点 G,如图所示,连接 NG.

∵MG∥BC,BC?平面 BCE,

MG?平面 BCE,

∴MG∥平面 BCE. 又 =

BG CM BN = , GA MA NF

∴GN∥AF∥BE, 同样可证明 GN∥平面 BCE. 又 MG∩NG=G, ∴平面 MNG∥平面 BCE. 又 MN?平面 MNG,∴MN∥平面 BCE.

2、解析 (1)证明:∵MD⊥平面 ABCD,NB⊥平面 ABCD, ∴MD∥NB.

∴ =

BP NB 1 QB = .又 = PM MD 2 QA

1 QB BP = ,∴ = . 2 2 QA PM 2- 3

2 3

∴在△MAB 中,QP∥AM. 又 QP?平面 AMD,AM?平面 AMD, ∴QP∥平面 AMD. (2)连接 BD,AC 并交于点 O,则 AC⊥BD, 又 MD⊥平面 ABCD, ∴MD⊥AC,又 BD∩MD=D. ∴AC⊥平面 MNBD. ∴AO 为四棱锥 A-MNBD 的高.

1 又 S 四边形 MNBD= ×(1+2)×2 2=3 2, 2 1 ∴VA-MNBD= ×3 2× 2=2. 3 又 VC-MNBD=VA-MNBD=2, ∴V 七面体 ABCDMN=2VA-MNBD=4.

3、证明

∵平面 A1B1C1D1∥平面 ABCD,且平面 A1B1C1D1∩平面 AB1D1=B1D1,平面

ABCD∩平面 AB1D1=l,∴l∥B1D1.又 B1D1∥BD,
∴l∥BD.又 l?平面 A1BD,BD?平面 A1BD, ∴l∥平面 A1BD.

4、解析

法一

如图,取 AE 的中点 O,连接 OF,过点 O 作 OM⊥AC 于点 M.

∵侧棱 A1A⊥底面 ABC, ∴侧面 A1ACC1⊥底面 ABC, ∴OM⊥底面 ABC. 1 又∵EC=2FB,∴OM∥FB 綉 EC, 2 ∴四边形 OMBF 为矩形, ∴BM∥OF, 又∵OF?面 AEF,BM?面 AEF. 故 BM∥平面 AEF,此时点 M 为 AC 的中点. 法二 如图,取 EC 的中点 P,AC 的中点 Q,连接 PQ、PB、BQ,

∴PQ∥AE.∵EC=2FB, ∴PE 綉 BF,PB∥EF, ∴PQ∥平面 AEF,PB∥平面 AEF. 又 PQ∩PB=P, ∴平面 PBQ∥平面 AEF, 又∵BQ?面 PQB,∴BQ∥平面 AEF.
故点 Q 即为所求的点 M,此时点 M 为 AC 的中点.


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