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2011年卡西欧图形计算器竞赛试卷(试卷+详解)9750


“卡西欧杯”2011 年全国高中数学图形计算器应用能力测试

试卷参考答案 (使用 Casio fx-9750GⅡ图形计算器)
一、填空题(本题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.把答案填在题中横线上) 1.计算 2.5ln 5 ? cos 【答案】2.42. 【提示】利用 RUN(运算)模块功能. 注意角的单位应设置为弧度.


13 π ? 10 ? lg 75 的值为 7

(精确到 0.01) .

2.若 a ? log π 3 , b ? log 5 2 , c ? log 33 2 ,则将它们按从小到大的顺序用“<” 连接起来为____________________. 【答案】 b ? c ? a ; 【提示】利用 RUN(运算)模块功能.

5 3.不等式 x2 ? ≥ 3 的解集为____________________(精确到 0.01) . x
【答案】{ x | x≤-2.28 或 x>0 }.

5 【提示】利用 GRAPH(图形)模块功能. 将不等式变形为 x2 ? -3 ≥ 0 ,输入函数 x y ? x2 ? 5 ? 3 的表达式并画出图象,利用图象分析功能找出函数的零点,进而得出不等 x

5 式 x2 ? ≥ 3 的解集为{ x | x≤-2.28 或 x>0 }. x

1

4. 记 g (m) 为函数 f ( x) ? mx cos xm ? 1, x ??0,5? 的零点个数, 则 g (1) ? g (2) =_________. 【答案】10. 【提示】利用 GRAPH(图形)模块功能. 令 y1 ? x cos x ? 1, x ? ?0,5? ,

y2 ? 2x cos x2 ? 1, x ? ?0,5? ,分别输入这两个函数的解析式,画出函数图象,利用图象分
析功能可分别得出这两个函数零点的个数,即 g (1) ? 1 , g (2) ? 9 ,所以 g (1) ? g (2) ? 10 .

…… 5.下表是 2009 年天津、济南两座城市的月平均气温(单位:摄氏度)数据:
城市 天津 济南 1月 -3.5 -0.2 2月 0 .7 5 .1 3月 6.7 9.0 4月 15.6 16.7 5月 22.6 21.9 6月 25.8 28.1 7月 27.1 26.5 8月 25.6 25.1 9月 20.9 21.1 10 月 14.9 18.8 11 月 1.6 4.8 12 月 -2.8 0.8

则天津、济南这两座城市 2009 年的年平均气温分别为 (精确到 0.01) ,全年气温变化幅度较小的城市是 【答案】12.93℃,14.81℃,济南. 【提示】利用 STAT(统计)模块功能. .



2

1 6.已知物体的斜抛公式为 y ? v0 sin ? ? t ? gt 2 (g 为重力加速度, g ? 9.8 米/秒 2) , 2
若已知倾斜角 ? ? 45? ,物体的初速度 v0 ? 300 米/秒,当 y ? 938.16 米时,时间 t 的值为 ____________________(精确到 0.1) . 【答案】5.0 或 38.3. 【提示】利用 EQUA(方程)模块功能. 由题意,将方程化简为
4.9t 2 ? 150 2t ? 938.16 ? 0 ,直接解此一元二次方程即可.

7.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 8ln x , g ( x) ? ? x2 ? 14 x .若方程 f ( x) ? g ( x) ? m 有唯一解, 则实数 m 的值是____________________(写出精确数值) . 【答案】 ?16 ln 2 ? 24 . 【提示】利用 GRAPH(图形)模块功能. 令函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2x2 ? 8ln x ? 14x ,画出图象,标注极小值点,可知当 m = F (4) = ?16 ln 2 ? 24 时, 直线 y ? m 与 F ( x) 的图象只有一个公共点, 数形结合可知此时 所求方程有唯一解.

8.某人购买一套 90 平方米的商品房,价格为 1.2 万元/平方米,现需首付房款总额 的 30%,余下的部分申请公积金贷款,贷款期限为 20 年,还款方式为等额本息,年利率 为 4.7%,月复利.那么每月需还贷款______________元(精确到 0.01) ;如果每月只能支 付 4000 元,能承担的最大贷款额为____________________元(精确到 0.01). 【答案】4864.83,621604.39. 【提示】利用 TVM(金融)模块功能. 由题意可知需贷款金额为 90 ? 1.2 ? (1 ? 30%)
? 75.6 万元. 选择复利计算模式,输入变量的值,求得月还款:

3

在复利模式下,修改 PMT 的值为 ?4000 ,PV=0,计算 PV,即得月付 4000 元能承 担的最大贷款额.

9.当 a ? 1 时,方程 a| x| ?| loga x | 的根的个数构成的集合为____________________. 【答案】{1,2,3}. 【提示】利用 DYNA (动态图形)模块功能或 GRAPH (图形)模块功能 . 令
y ? a| x| ? | loga x | ,通过改变参数 a 的值,得到不同的图象,根据图象求根的个数.

10. 古希腊人曾制造过一种“梯子” ,不是用来登高,而是用来求无理数 2 的近 似值,这个梯子如下表所示: ? 169 70 29 12 5 2 1 ? 239/169 99/70 41/29 17/12 7/5 3/2 1/1 ? 239 99 41 17 7 3 1

记表中左边一列数 1,2,5,12?构成的数列为 ?an ? ,其中 a1 ? 1 , a2 ? 2 ,?;右 边一列数 1, 3, 7, 17?构成的数列为 ?bn ? , 其中 b1 ? 1 ,b2 ? 3 , ?; 中间一列数由 cn ?
bn an

构成,记为数列 ?cn ? ,数列 ?cn ? 用来逼近 2 ,则 c10 =______________(用分数表示) .
4

【答案】

3363 . 2378

【提示】利用 RECUR(递归)模块功能.根据题意,可得出数列 ?an ? 和 ?bn ? 的递推 公式分别为 an? 2 ? 2an?1 ? an (a1 ? 1, a2 ? 2, n ? N*) , bn? 2 ? 2bn?1 ? bn (b1 ? 1, b2 ? 3, n ? N*) . 输入这两个递推公式,设置 a1 , a2 和 b1 , b2 的值,然后列出表格即可得到 a10 ? 2378 ,
b10 ? 3363 ,所以 c10 ?
b10 3363 ? . a10 2378

11.将同时满足被 10 除余 9,被 9 整除,被 8 除余 7 的自然数按从小到大的顺序排 列,则前 10 个这样的自然数的和为____________________. 【答案】18990. 【提示】利用 PRGM(程序)模块功能.

12 . 由 直 线 x ? y ? 60 , y ?

1 x , y ? 0 围成的三角形三边上整点的个数和为 2

? y ? 0, ? 1 ? ___________;由不等式组 ? y ? x, 围成的平面区域内整点的个数为_____________. 2 ? x ? y ? 60 ? ?
【答案】100;651. 【提示】利用 GRAPH(图形)模块功能. 做出直线 x ? y ? 60 , y ? 的三角形及已知不等式组所表示的平面区域.

1 x , y ? 0 围成 2

所围成的三角形三边上的整点数分别为:61,20,19,所以整点的个数和为 100. 所围成的三角形区域内(包括边界)整点的个数为
5

(1 ? 61) ? 21 ? 651个. 2

二、解答题(本题共 3 小题,每小题 20 分,满分 60 分,解答应写出必要的文字说 明、演算步骤或证明过程) 13.如果不等式

x?m ? x 恒成立,求实数 m 的取值组成的集合. ln x x?m ? x ? m ? x ? x ln x . ln x

【解】① 当 x ? (0,1) 时,

令 g ( x) ? x ? x ln x ,画出 g ( x) 的图象,由图象可知 g ( x) 在 (0,1) 上为增函数, 所以 g ( x) ? g (1) ? 1 ,于是 m ? 1 .

② 当 x ? (1, ??) 时,

x?m ? x ? m ? x ? x ln x . ln x

由上面图象可知,当 x ? (1, ??) 时, g ( x) ? x ? x ln x 也为增函数, 所以 g ( x) ? g (1) ? 1 ,所以 m ? 1 . 综合①②,只有 m= 1 时不等式恒成立.故实数 m 的取值组成的集合为{1} . 14.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率 v (单 位: cm3 / s )与管道半径 r (单位: cm )满足以下数量关系: 半径 r 速率 v 1 5 2 79 3 400 4 1264 5 3086 6 6400

(1)根据表中提供的数据,选择最好的函数模型,使它能够反映气体流量速率 v 与 管道半径 r 的函数关系,写出这个函数模型的解析式; (2) 当管道半径在 8.4cm~8.5cm 的范围内变化时, 求气体流量速率 v 的变化范围 (精 确到 0.01) ; (3)当要求气体流量速率 v 不大于 8000 cm3 / s 时,求符合要求的管道半径 r 的范围 (精确到 0.01) . 【解】(1)利用STAT(统计)模块功能,输入数据,选择函数模型进行拟合,通 过比较,当用四次函数拟合时, r 2 ? 1 ,拟合效果最好.所以速率 v 关于半径 r 的函数关 系式为: v ? 4.95833333r 4 ? 0.25r 3 ? 1.0416667r 2 ? 1.75r ? 1.00000004 .
6

(2)将得到的函数解析式复制到图形模块中,画出函数图象,利用G-Solv(图象分 析功能)中的Y-CAL(求函数值),可得: 24597.75 ? v ? 25790.66 .

(3)利用G-Solv(图象分析功能)中的X-CAL(求自变量值),可得 r ? 6.34 .

x . 1? x (1)若 a ? ?1 且 a ? 0 ,试比较 f (a) , g (a) ,h(a) 的大小,并说明理由(不需证明) ;
15.已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) , g ( x) ? x , h( x) ? (2)设数列 {an } 满足: a1 ?

1 , 2nan?1 ? (n ? 1)an (n ? N*) ,请利用(1)中的结论证 2

明: (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ??? (1 ? an ) ? e2 . 【解】 (1)分别绘制出 f ( x) ? ln(1 ? x) , g ( x) ? x ,h( x) ? 观察图象可得 h( x) < f ( x) < g ( x) ,即 h(a) < f (a) < g (a) .

x 的图象,当 x ? ?1 时, 1? x

(2)由 2nan?1 ? (n ? 1)an ,可得 则有 所以

an ?1 n ? 1 ? , an 2n

a a an a 3 2 n n ?1 ? , n ?1 ? ,… 3 ? , 2 ? . a2 2 ? 2 a1 2 ? 1 an ?1 2(n ? 1) an ? 2 2(n ? 2)

an an ?1 an ? 2 ? ? an ?1 an ? 2 an ?3

a3 a2 n n ?1 n?2 ? ? ? ? a2 a1 2(n ? 1) 2(n ? 2) 2(n ? 3)

3 2 n ? ,可得 an ? n . 2 ? 2 2 ?1 2

要证 (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ??? (1 ? an ) ? e2 ,只需证 ln(1 ? a1 ) ? ln(1 ? a2 ) ? ??? ? ln(1 ? an ) ? 2. 由(1)知 ln(1 ?

n n 1 2 n ) ? n . 所以 ln(1 ? a1 ) ? ln(1 ? a2 ) ? ??? ? ln(1 ? an ) ? ? 2 ? ??? ? n . n 2 2 2 2 2
7

令 Sn ?

1 2 n ? ? ??? ? n 2 22 2 2 3 n ? 2 ? ??? ? n?1 2 2 2

① ②

2Sn ? 1 ?

②-①,可得 Sn ? 1 ?

1 1 1 n 1 n ? 2 ? ??? ? n?1 ? n ? 2 ? n?1 ? n ? 2 . 2 2 2 2 2 2

所以 ln(1 ? a1 ) ? ln(1 ? a2 ) ? ??? ? ln(1 ? an ) ? 2 ,即 (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ??? (1 ? an ) ? e2 .

8


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