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高二数学下学期第一次月考试卷 理


2012-2013 学年湖南省长沙市浏阳一中高二(下)第一次月考数学试 卷(理科) 参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分)已知点 P(x,y) ,其中 x∈{1,2},y∈{1,3,4},则在同一直角坐标系中所确 定的不同点的个数是( ) A.6 B.12 C.8 D.5 考点: 分步乘法计数原理. 专题:

概率与统计. 分析: 本题是一个分步计数问题,A 集合中选出一个数字共有 2 种选法,B 集合中选出一个 数字共有 3 种结果,由分步原理即可得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个分步计数问题, 首先从 A 集合中选出一个数字共有 2 种选法, 再从 B 集合中选出一个数字共有 3 种结果,根据分步计数原理得, 1 1 ∴共有 C2 C3 =6, 故选 A. 点评: 本题考查分步计数原理,是一个与坐标结合的问题,加法原理、乘法原理是学习排列 组合的基础,掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.
6

2. (5 分)在 A.﹣27C10
6

的展开式中,x 的系数是( B.27C10
4

) D.9C10
4

C.﹣9C10

6

考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题. 6 分析: 利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项,令 x 的指数为 6 求出 x 的系数. 解答: 解: 展开式的通项为 令 10﹣r=6 得 r=4 6 4 ∴展开式中 x 的系数是 9C10 故选项为 D 点评: 本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具. 3. (5 分)下列命题中,假命题的个数为( ①对所有正数 P, <P; 2 ②不存在实数 x,使 x<4 且 x +5x=24; 2 ③存在实数 x,使得﹣1≤x+≤1 且 x >4; ④3>3. A.1 B.2 )

C.3

D.4
1

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 阅读型. 分析: 对于①,通过举例说明该命题为假命题; 对于②,直接求解二次方程的根即可说明命题是假命题; 对于③,由两个不等式的解集为空集,说明命题是假命题; 对于④,该不等式显然不成立. 由以上分析即可得到答案. 解答: 解:取 p=0.01,则 , ,∴①为假命题; 2 2 由 x +5x=24,解得:x=﹣8 或 x=3,∴存在实数 x=﹣8 或 x=3,满足 x<4 且 x +5x=24, ∴②为假命题; 2 由﹣1≤x+1≤1,得:﹣2≤x≤0,由 x >4,得:x<﹣2 或 x>2, 2 ∴不存在实数 x,使得﹣1≤x+≤1 且 x >4,∴③为假命题; 3>3 显然错误,∴④为假命题. 所以,给出的四个命题均为假命题. 故选 D. 点评: 本题考查了命题的真真假判断与应用, 判断一个命题为真命题, 需要严格的理论证明, 说明一个命题为假命题,只需举一反例即可,此题是基础题. 4. (5 分)由数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中偶数共有( A.60 个 B.48 个 C.36 个 D.24 个 )

考点: 分步乘法计数原理. 分析: 偶数即个位数字只能是 2 或 4 1 4 解答: 解:偶数即个位数字只能是 2 或 4,其它位置任意排放共有 C2 ?A4 =2×4×3×2×1=48 个 故选 B 点评: 分步乘法计数原理的理解,偶数怎样选,注意没有 0;当然也可以用概率解答. 5. (5 分) (2008?东城区二模)某电视台连续播放 5 个广告,其中 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥运宣传广告, 要求最后播放的必须是奥运宣传广告, 且 2 个奥运宣传广告不能连 续播放,则不同的播放方式为( ) A.120 B.48 C.36 D.18 考点: 计数原理的应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: 本题是一个分步计数问题,首先从两个奥运广告中选一个放在最后位置,第二个奥运 3 广告只能从前三个中选一个位置排列,余下的三个元素在三个位置全排列,共有 A3 种结果,根据分步计数原理得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个分步计数问题, ∵最后播放的必须是奥运宣传广告, 1 ∴首先从两个奥运广告中选一个放在最后位置,有 C2 =2 种结果, ∵两个奥运广告不能连放,第二个奥运广告只能从前三个中选一个位置排列,有 3 种 结果,
2

余下的三个元素在三个位置全排列,共有 A3 种结果, 3 ∴根据分步计数原理知共有 2×3×A3 =36 种结果, 故选 C. 点评: 本题考查分步计数问题,解题时一定要分清做这件事需要分为几步,每一步包含几种 方法,再根据分步乘法原理得到结果.本题是一个典型的排列组合的实际应用. 6. (5 分) (2009?北京)在复平面内,复数 z=i(1+2i)对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点: 复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 按多项式乘法运算法则展开,化简为 a+bi(a,b∈R)的形式,即可确定复数 z 所在 象限. 解答: 解:∵z=i(1+2i)=i+2i=﹣2+i, ∴复数 z 所对应的点为(﹣2,1) , 故选 B 点评: 本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查.

3

7. (5 分)若( A.5

+

) 展开式中存在常数项,则 n 的最小值为( B.6 C.7 D.8

n



考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据二项展开式的通项公式,求出展开式的第 r+1 项的表达式,再令 x 的指数为 0 得 到关于 r、n 的方程,解出 n= r.根据 n、r 都是整数,即可求出最小正整数 n 的值. 解答: 解:根据题意,展开式的通项为 Tr+1=Cn (
r



n﹣r



) =3 Cn

r

r

r

. (r=0,1,?,n)

∵展开式中存在常数项, ∴令 n﹣ r=0,可得 n= r 故当 r=3 时,n 的最小为 5 故选:A 点评: 本题给出二项式,已知展开式中有常数项的情况下求 n 的最小值,着重考查了利用二 项展开式的通项公式研究展开式的特定项的知识,属于中档题. 8. (5 分)从 5 名志愿者中选派 4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天, 要求星期五有一人参加,星期六有两人参加,星期日有一人参加,则不同的选派方法共有 ( ) A.120 种 B.96 种 C.60 种 D.48 种
3

考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 分析: 分 2 步进行,首先从 5 人中抽出两人在星期六参加活动,再从剩下的 3 人中,抽取两 人安排在星期五、星期日参加活动,分别计算其结果数,由分步计数原理计算可得答 案 2 解答: 解:根据题意,首先从 5 人中抽出两人在星期六参加活动,有 C5 种情况, 2 再从剩下的 3 人中,抽取两人安排在星期五、星期日参加活动,有 A3 种情况, 2 2 则由分步计数原理,可得不同的选派方法共有 C5 A3 =60 种, 故选 C. 点评: 本题考查排列、组合的综合运用,本题解题的关键是注意优先分析特殊的元素,同时 需要区分排列与组合的意义. 二、填空题(本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分) 9. (5 分)若 ,则(a0+a2+a4) ﹣(a1+a3) 的值为
2 2

1 .

考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据所给的等式,给变量赋值,当 x 为﹣1 时,得到一个等式,当 x 为 1 时,得到另 2 2 一个等式,而(a0+a2+a4) ﹣(a1+a3) =(a0+a1+a2+a3+a4) (a0﹣a1+a2﹣a3+a4) ,代入即 可求得结果. 解答: 解:∵ , 当 x=﹣1 时, (﹣2 ) =a0﹣a1+a2﹣a3+a4① 4 当 x=1 时, (2 ) =a0+a1+a2+a3+a4② 2 2 而(a0+a2+a4) ﹣(a1+a3) =(a0+a1+a2+a3+a4) (a0﹣a1+a2﹣a3+a4) 4 4 =(2 ) (﹣2 ) =1 2 2 ∴(a0+a2+a4) ﹣(a1+a3) =1, 故答案为 1. 点评: 此题是个基础题.本题考查二项式定理的性质,考查的是给变量赋值的问题,结合要 求的结果,观察所赋得值,当变量为﹣1 时,当变量为 0 时,两者结合可以得到结果.
4

10. (5 分)已知 .

,则

的最小值是

考点: 空间向量的加减法;向量的模. 专题: 计算题. 分析: 根据向量 、 的坐标,可得向量 得到 =

=(1+t,2t﹣1,0) ,结合向量的模的公式, 的最

,最后利用二次函数求最值的方法,可得

4

小值. 解答: 解:∵ ∴向量 可得向量
2

, =(1+t,2t﹣1,0) 的模
2

=

=

∵5t ﹣2t+2=5(t﹣ ) + ∴当且仅当 t= 时,5t ﹣2t+2 的最小值为 所以当 t= 时, 故答案为: 点评: 本题给出两个含有字母参数的向量,求它们差的长度的最小值,着重考查了空间向量 的坐标运算和二次函数的最值等知识点,属于基础题. 的最小值是 =
2

11. (5 分)设 数 m 的取值范围为 (7,+∞) .

,当 x∈[﹣1,2]时,f(x)<m 恒成立,则实

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 常规题型. 分析: 先求导数,然后根据函数单调性研究函数的极值点,通过比较极值与端点的大小从而 确定出最大值,进而求出变量 m 的范围. 2 解答: 解:f′(x)=3x ﹣x﹣2=0 解得:x=1 或﹣ 当 x∈ 当 x∈ 时,f'(x)>0, 时,f'(x)<0,

当 x∈(1,2)时,f'(x)>0, ∴f(x)max={f(﹣ ) ,f(2)}max=7 由 f(x)<m 恒成立,所以 m>fmax(x)=7. 故答案为: (7,+∞) 点评: 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值,求函数在闭区间[a,b]上的最大值与最 小值是通过比较函数在(a,b)内所有极值与端点函数 f(a) ,f(b) 比较而得到的, 属于基础题. 12. (5 分)6 人站成一排,甲、乙、丙 3 个人不能都站在一起的排法种数为 576 种 .
5

考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 6 人站成一排, 总的排法种数为

, 甲、 乙、 丙 3 个人都站在一起的排法种数为



由此能求出 6 人站成一排,甲、乙、丙 3 个人不能都站在一起的排法种数. 解答: 解:6 人站成一排,总的排法种数为 , 6 人站成一排,甲、乙、丙 3 个人都站在一起的排法种数为 ,

∴6 人站成一排,甲、乙、丙 3 个人不能都站在一起的排法种数为: =576. 故答案为:576. 点评: 本题考查排列、组合的综合运用,涉及相邻与不能相邻的特殊要求,注意处理这几种 情况的特殊方法. 13. (5 分)2012 年 3 月 10 日是第七届世界肾脏日,某社区服务站将 5 位志愿者分成 3 组, 其中两组各 2 人, 另一组 1 人, 分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题: “保护肾脏, 拯救心脏”,不同的分配方案有 90 种. (用数字作答) 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 概率与统计. 分析: 利用分步乘法计数原理计算:第一步分成符合条件的三组,第二步把三组人分到三个 社区,由分步乘法计数原理即可求得. 解答: 解:第一步,将 5 位志愿者分成 3 组,其中两组各 2 人,另一组 1 人,有 种 分法; 第二步,把 3 组人分到三个不同社区有 种分法, × =90 种,

根据分步乘法计数原理,不同分配方案共有

故答案为:90. 点评: 本题考查排列、组合及简单计数问题,属中档题,正确理解计数原理的内容是解决问 题的基础.

14. (5 分)直线 y=x+3 与曲线



=1 交点的个数为 3



考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 数形结合.

6

分析: 先对 x 进行分类讨论:≥0 时,曲线方程为 ﹣ =1,图形为双曲线在 y 轴的右半

部分; 当 x<0 时, 曲线方程为

, 图形为椭圆在 y 轴的左半部分; 如图所示,

再结合图形即可得出直线 y=x+3 与曲线 解答: 解:当 x≥0 时,曲线方程为 ﹣



=1 交点的个数.

=1,图形为双曲线在 y 轴的右半部分;

当 x<0 时,曲线方程为

,图形为椭圆在 y 轴的左半部分;如图所示,

由图可知,直线 y=x+3 与曲线 故答案为 3.



=1 交点的个数为 3.

点评: 本题考查直线与圆锥曲线的关系,题目中所给的曲线是部分双曲线的椭圆组成的图 形,只要注意分类讨论就可以得出结论,本题是一个基础题.

15. (5 分)已知 f(n)=1+ + +? (n∈N+) ,经计算得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,f(32)> ,推测当 n≥2 时,有不等式 f(2 )≥
m

(m∈N ) 成立.

*

考点: 归纳推理. 专题: 创新题型. 分析: 根据已知中的等式:

,f(4)>2,

,f(16)>3, ,?,我

7

们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系,归纳推断后,即可得到答案. 解答: 解:观察已知中等式: 得 f(4)>2, , f(16)>3, ?, 则 f(2 )≥
m m



(m∈N ) (m∈N )
*

*

故答案为:f(2 )≥

点评: 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相 同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (12 分)7 个人排成一排按下列要求有多少种排法. (1)其中甲不站排头; (2)其中甲、乙必须相邻; (3)其中甲、乙、丙 3 人两两不相邻. 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 综合题. 分析: (1)利用乘法原理:先从其余 6 人中任选一人排在排头,然后对余下 6 人进行全排, 相乘即得答案; (2)把甲和乙看做一个元素,与其他 5 个人 6 个元素全排列,注意甲和乙间还有一 个排列; (3)插空法:先排另外 4 人,再用插空法排甲、乙、丙三人,相乘即可; 解答: 解: (1)先从其余 6 人中任选一人排在排头,有 =6 种排法, 余下 6 人进行全排有 =720 种排法,

根据分步乘法计数原理,共有 6×720=4320 种排法; (2)甲和乙两个人要排列在一起,则可以把甲和乙看做一个元素, 用组成的元素与其他 5 个人 6 个元素全排列,注意甲和乙之间还有一个排列, 2 6 根据分步计数原理得到共有 A2 ?A6 =1440; (3)先排另外 4 人有 =24 种方法,再用插空法排甲、乙、丙三人有 =5×4×3=60

种方法, 由乘法原理得不同排法有 24×60=1440 种. 点评: 本题考查排列组合及简单的计数问题,本题解题的关键是不相邻问题采用插空法,相 邻问题采用捆绑法,按照高矮顺序排列的几个人采用全排列除以几个人之间的排列 数,在排列组合问题中这几种方法经常用到.
8

17. (12 分)有 9 名学生,其中 2 名会下象棋但不会下围棋,3 名会下围棋但不会下象棋,4 名既会下围棋又会下象棋;现在要从这 9 名学生中选出 2 名学生,一名参加象棋比赛,另一 名参加围棋比赛,共有多少种不同的选派方法? 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 分析: 题目中给出的同学有三类, 一类会下象棋但不会下围棋, 一类会下围棋但不会下象棋, 另一类既会下围棋又会下象棋, 所以从三类共 9 名学生中选出 2 名学生,一名参加象棋比赛,另一名参加围棋比赛共 有四中选法.第一种选只会象棋和只会围棋各 1 人;第二中选只会象棋 1 人,两者都 会选 1 人下围棋;第三种选只会围棋 1 人,两者都会选 1 人下象棋;第四种从两者都 会的 4 人当中任选 2 人,1 人下象棋,1 人下围棋. 解答: 解:设 2 名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合 A,3 名会下围棋但不会下象棋的 同学组成集合 B, 4 名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合 C,则选派 2 名参赛同学的方法可以分为 以下 4 类: 第一类: A 中选 1 人参加象棋比赛, B 中选 1 人参加围棋比赛, 方法数为 第二类: C 中选 1 人参加象棋比赛, B 中选 1 人参加围棋比赛, 方法数为 第三类: C 中选 1 人参加围棋比赛, A 中选 1 人参加象棋比赛, 方法数为 第四类:C 中选 2 人分别参加两项比赛,方法数为 种; 种; 种; 种;

由分类加法计数原理,选派方法数共有:6+12+8+12=38 种. 点评: 本题考查了排列、组合及简单的技术问题,考查分类讨论的数学思想,解答此题的关 键是正确分类,做到不重不漏. 18. (12 分)求二项式( (1)常数项; (2)有几个有理项; (3)有几个整式项. 考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题. 分析: (1)先求出展开式的通项公式,令 x 的幂指数等于零求出 r 的值,即可求得常数项. (2)在展开式的通项公式中,令 x 的幂指数为整数,可得 r 为 6 的倍数,求出 r 的 值,可得有理项. (3)在展开式的通项公式中,令 x 的幂指数 5﹣ r 为非负整数,得 r 的值,可得整 式项. 解答: 解:展开式的通项为:
9



) 的展开式中:

15

Tr+1= (1)设 Tr+1 项为常数项,则 (2)设 Tr+1 项为有理项,则

= =0,解得 r=6,即常数项为 T7 =2
6

, .

=5﹣ r 为整数,∴r 为 6 的倍数,

又∵0≤r≤15,∴r 可取 0,6,12 三个数,故共有 3 个有理项. (3)5﹣ r 为非负整数,得 r=0 或 6,∴有两个整式项. 点评: 本题主要考查二项式定理,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中 档题. 19. (13 分) (2012?河南模拟)已知函数 f(x)=ax +bx 的图象经过点 M(1,4) ,曲线在点 M 处的切线恰好与直线 x+9y=0 垂直. (1)求实数 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求 m 的取值范围. 考点: 函数的单调性与导数的关系;导数的几何意义. 专题: 计算题. 分析: (1)将 M 的坐标代入 f(x)的解析式,得到关于 a,b 的一个等式;求出导函数,求 出 f′(1)即切线的斜率,利用垂直的两直线的斜率之积为﹣1,列出关于 a,b 的另 一个等式,解方程组,求出 a,b 的值. (2)求出 f′(x) ,令 f′(x)>0,求出函数的单调递增区间,据题意知[m,m+1]? (﹣∝,﹣2]∪[0,+∝) ,列出端点的大小,求出 m 的范围. 3 2 解答: 解: (1)∵f(x)=ax +bx 的图象经过点 M(1,4) ,∴a+b①式 ?(1 分) 2 f'(x)=3ax +2bx,则 f'(1)=3a+2b?(3 分) 由条件 ②式?(5 分)
3 2

由①②式解得 a=1,b=3 3 2 2 (2)f(x)=x +3x ,f'(x)=3x +6x, 2 令 f'(x)=3x +6x≥0 得 x≥0 或 x≤﹣2,?(8 分) ∵函数 f(x)在区间[m,m+1]上单调递增 ∴[m,m+1]? (﹣∝,﹣2]∪[0,+∝) ∴m≥0 或 m+1≤﹣2 ∴m≥0 或 m≤﹣3 点评: 注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率; 直线垂直的充要条件是斜率之积为﹣ 1. 20. (13 分)袋子里有大小相同但标有不同号码的 3 个红球和 4 个黑球,从袋子里随机取出 4 个球. (1)求取出的红球数 ξ 的概率分布列; (2)若取到每个红球得 2 分,取到每个黑球得 1 分,求得分不超过 5 分的概率.

10

考点: 离散型随机变量及其分布列;互斥事件的概率加法公式. 专题: 概率与统计. 分析: (1)利用超几何分布计算公式即可得出; (2)利用随机变量的数学期望计算公式即可得出. 解答: 解: (1)∵ξ 的可能取值为 0,1,2,3,且 ξ 的分布列是一个超几何分布列. ∴ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 P (2)∵得分 η =2ξ +4﹣ξ =ξ +4≤5∴ξ ≤1, ∵p(ξ ≤1)=p(ξ =0)+p(ξ =1)= ∴得分不超过(5 分)的概率为 点评: 熟练掌握超几何分布计算公式随机变量的数学期望计算公式是解题的关键.

21. (13 分)设椭圆 E:

(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,已知椭圆 E 上

的任意一点 P,满足

?

的最小值为 a ,过 F1 作垂直于椭圆长轴的弦长为 3. (参考

2

公式: ? =| |?| |cosθ =x1x2+y1y2) (1)求椭圆 E 的方程; (2)若过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点,求 ? 的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的关系; 平面向量数量积的运算; 椭圆的标准方程; 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设点 P(x0,y0) ,用坐标表示出 ? ,根据二次函数性质求得其最小值, 令最小值为 a ,由长轴长可得
2

= ,结合 a =b +c 即可解得 a,b; ? ;当过 F1 的直线 AB

2

2

2

(2)当过 F1 的直线 AB 的斜率不存在时,容易求得此时

存在斜率时,设斜率为 k,则直线 AB 的方程为 y=k(x+1) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 联立直线方程与椭圆方程消去 y 得 x 的二次方程, 利用韦达定理及向量数量积运算可 把 ? 表示为关于 k 的函数,根据 k 的取值范围即可求得 ? 的范围,

综上即可求得答案. 解答: 解: (1)设点 P(x0,y0) ,则 ,

11





∵ ∴ ,∴a=2c,





,∴

,∴

,a =4,b =3,

2

2

∴椭圆的方程为:

; ? = ;

(2) 当过 F1 的直线 AB 的斜率不存在时, 点A (﹣1, ) (﹣1, B ﹣ ) , 则

当过 F1 的直线 AB 存在斜率时,设斜率为 k,则直线 AB 的方程为 y=k(x+1) ,设 A(x1, y1) ,B(x2,y2) ,



得: (4k +3)x +8k x+4k ﹣12=0,

2

2

2

2

, 所以 +y1y2= ? =(x1﹣1) (x2﹣1)



=

+ (k +1) =

2

= ﹣



∵k ≥0,∴﹣3≤ 综上所述,∴﹣3≤

2

? ?

< , < ;

点评: 本小题主要考查椭圆的方程、几何性质,平面向量的数量积的坐标运算,直线与圆锥 曲线的位置关系等基本知识及推理能力和运算能力.

12


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