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2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第7章 第44讲 导数在研究函数中的应用

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[ , ?) ? 1.函 数 f ? x ? ? x l n x ? x ? 0 ? 的 单 调 增 区 间 是  e   .

1

解 析 : 由 f ? ? x ? ? ln x ? 1 ? 0, 得 x ? 单 调 增 区 间 是 [ , ? ). ? e 1

1 e

.故 函 数 f

? x ?的

2 .已 知 函 数 f

?x? ?

x ? ax ? 3x ? 9在 x ? ?3时
3 2

取 得 极 值 , 则 a等 于   5
2

  .

解 析 : 因 为 f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? 3, 又f

?x?在x

? ?3时 取 得 极 值 ,

所 以 f ? ? ? 3 ? ? 30 ? 6 a ? 0, 解 得 a ? 5.

3.已 知 函 数 f

?x? ?

4x ? ax ?
2

2 3

x ( x ? R )在 区 间
3

? ? 1,1? 上 是 增 函 数 , 则 实 数 a的 值 组 成 的 集 合 是 ? ? 1,1 ?   .

解 析 : 由 题 意 , f ? ? x ? ? 4 ? 2ax ? 2x , 则 问 题
2

转 化 为 f ? ? x ? ? 0 在 ? ? 1,1 ? 上 恒 成 立 , 即 x ? a x ? 2 ? 0 在 ? ? 1,1 ? 上 恒 成 立 ,
2

令 g ? x ? ? x ? ax ? 2,
2

? g ?? 1 ? ? 0 ?1 ? a ? 2 ? 0 则有 ? 即? , ? g ?1 ? ? 0 ?1 ? a ? 2 ? 0 因 此 , a ? ? ? 1,1 ?.

4 .已 知 f

? x ? ? 2 x ? 6 x ? m ( m 为 常 数 ), 在 ? ? 2, 2 ? 上
3 2

有 最 小 值 ? 37, 那 么 此 函 数 在 ? ? 2, 2 ? 上 的 最 大 值

3 . 为    
解 析 : f ? ? x ? ? 6 x ? 1 2 x, 令 f ? ? x ? ? 0
2

可 得 x1 ? 0, x 2 ? 2 , 故 在 ? ? 2, 2 ? 上 最 小 值 为 f ? ? 2 ? ? ? 1 6 ? 2 4 ? m ? ? 3 7 , 解 得 m ? 3, 则 函 数 在 ? ? 2, 2 ? 上 的 最 大 值 为 f ? 0 ? ? m ? 3.

5.已 知 函 数 f

?x? ?

a x ? ln x .若 f

? x ? ? 1在 区 间

(1 , ? ) 上 恒 成 立 , 则 实 数 a的 取 值 范 围 是 ?
 , [1 ? ? )   .

解析:由f 则a ?

? x ? ? 1 , 得 a x ? ln x

? 1,

1 ? ln x x 1 ? ln x x ? ln x x
2

设g ?x? ?

, 则 g?? x ? ?

.

因 为 x ? (1 , ? ), 所 以 ? ln x ? 0, 即 g ? ? x ? ? 0, ? 所 以 g ? x ? 在 (1 , ? ) 上 是 减 函 数 , ? 所 以 ? g ? x ?? ? ? m ax ? g ? 1 ? ? 1.故 a ? 1.

函数的单调性
【 例1 】 已 知 函 数 f (x) ? 2x ? b ( x ? 1)
2

, 求 导 函 数 f ? ( x ), 并 确

定 f ( x )的 单 调 区 间 .

【 解 析 】 f '( x ) ? ? ?2 x ? 2b ? 2 ( x ? 1)
3

2 ( x ? 1) ? ( 2 x ? b ) ?2 ( x ? 1)
2

( x ? 1) 2[ x ? ( b ? 1)] ( x ? 1)
3

4

? ?

令 f ? ( x )= 0, 得 x= b-1. 当 b-1 ? 1 , 即 b ? 2 时 , x、 f ? ( x )的 变 化 情 况 如 下 表 :

x

(-∞,b-1) b-1 (b-1,1)

(1,+∞)

f ′(x)



0





当b-1>1,即b>2时,x、f ′(x)的变化情况如下表: x f ′(x) (-∞,1) (1,b-1) b-1 (b-1,+∞) 0 - + -

所 以 , 当 b ? 2 时 , 函 数 f ( x ) 在 (- ? , b-1) 上 单 调 递 减 , 在 ( b-1,1) 上 单 调 递 增 , 在 (1 , + ? ) 上 单 调 递 减 . 当 b ? 2 时 , 函 数 f ( x ) 在 (- ? , 上 单 调 递 减 , 在 (1 , b-1) 1) 上 单 调 递 增 , 在 ( b-1 , + ? ) 上 单 调 递 减 当 b-1 =1 , 即 b= 2 时 , f ( x ) ? 2 x ?1 , 所 以 函 数 f ( x )在

(- ? , 上 单 调 递 减 , 在 (1 , + ? ) 上 单 调 递 减 1)

求函数的单调区间,先找出函数的极 值点,再判断在极值点邻近函数的变化趋

势.本题是用导数研究函数单调性的常见
问题,由于参数b的大小直接影响函数的单 调区间,因此要对b进行分类讨论.

【 变 式 练 习1 】 已 知 函 数 f ( x ) ? ln ( x ? 2 ) ? 的单调区间. x
2

,求 函 数 f ( x)

2a

【 解 析 】 易 知 函 数 f ( x )的 定 义 域 为 ( 2 , + ? ). f '( x ) ? 1 x?2 ? x a ? ? x ? 2x ? a
2

a ( x ? 2)

?1 ? 当 a

? 0时 , 因 为 x ? 2 , x( x ? 2) ? (? a ) a ( x ? 2) ?0

所 以 f '( x ) ? ?

所 以 函 数 f ( x )在 ( 2 , + ? )上 是 增 函 数 .

( 2 ) 当 a ? 0时 , f '( x ) ? [ x ? (1 ? 1 ? a )][ x ? (1 ? a ( x ? 2) 1 ? a; 1 ? a )]

因 为 x ? 2 , 由 f ? ( x ) ? 0, 得 2 ? x ? 1 ? 由 f ? ( x ) ? 0, 得 x ? 1 + 1 ? a . 所 以 f ( x ) 在 ( 2,1+ 1 ? a ) 上 是 增 函 数 , 在 (1 ? 1 ? a, + ? ) 上 是 减 函 数 .

函数的极值
【 例 2】 已 知 函 数 f ( x )= 1 4 x + x - x + cx 有 三 个 极 值 点 .
4 3 2

?1 ? 证 明 : - 2 7

? c ? 5;

? 2 ? 若 存 在 实 数 c, 使 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a, a+ 2 ]上
单 调 递 减 , 求 a的 取 值 范 围 .

【解析】(1)证明:依题意,得f '(x)=x3+3x2- 9x+c=0有三个互异的实根. 设g(x)=x3+3x2-9x+c,则g'(x)=3x2+6x -9=3(x+3)(x-1).

当x<-3时,g'(x)>0,则g(x)在(-∞,-3)
上为增函数; 当-3<x<1时,g'(x)<0,则g(x)在(-3,1)上 为减函数; 当x>1时,g'(x)>0,则g(x)在(1,+∞)上为

增函数.

所以函数g(x)在x=-3时取极大值,在x

=1时取极小值.
当g(-3)≤0或g(1)≥0时,g(x)=0最多只有

两个不同实根.
因为g(x)=0有三个不同实根, 所以g(-3)>0且g(1)<0,即-27+27+27

+c>0,且1+3-9+c<0,
解得c>-27且c<5,故-27<c<5.

? 2 ? 当 - 2 7 ? c ? 5 时 , f ( x )有 三 个 极 值 点 ,
不 妨 设 为 x1、 x 2、 x 3 且 x1 ? - 3 ? x 2 ? 1 ? x 3, 则 f ? ( x )= ( x- x1 )( x- x 2 )( x- x 3 ), 所 以 f ( x )的 单 调 减 区 间 是 (- ? , x1 ],x 2, x 3 ]. [ 若 f ( x ) 在 区 间 [ a, a + 2 ] 上 单 调 递 减 , 则 [ a, a+ 2 ] ? (- ? , x1 ]或 [ a, a+ 2 ] ? [ x 2, x 3 ]. 若 [ a, a+ 2 ] ? (- ? , x1 ], 则 a+ 2 ? x1 . 由 ? 1 ? 知 , x1 ? - 3 , 于 是 a ? - 5. 若 [ a, a+ 2 ] ? [ x 2, x 3 ], 则 a ? x 2 且 a+ 2 ? x 3 . 由 ?1 ? 知 , - 3 ? x 2 ? 1

又f '(x)=x3+3x2-9x+c, 当c=-27时,f '(x)=(x-3)(x+3)2;

当c=5时,f '(x)=(x+5)(x-1)2.
因此,当-27<c<5时,1<x3<3. 所以a>-3且a+2<3, 即-3<a<1. 故a<-5或-3<a<1.

反之,当a<-5或-3<a<1时,
总可找到c∈(-27,5)使函数f(x)在区间[a,a+2]上 单调递减.

综上所述,a的取值范围是(-∞,-5)∪(-3,1).

本题以函数的极值为背景考查分析问 题的思维能力和对参数范围的识别能

力.解答中有三处值得体会,一是函数有
三个极值点,说明方程f'(x)=0有三个互异 实根;二是要明确f'(x)=0的三个根的分布; 三是如何确定x3的范围.

【变式练习2】 已知函数f(x)=x3 +ax2 +3x-1(a>0),若f(x)在其 定义域内为增函数,求a的取值范围. 【解析】因为函数f(x)=x3 +ax2 +3x-1(a>0)在R 上为增函数, 所以f ′(x)=3x2+2ax+3≥0在R上恒成立,

由Δ=4a2-36≤0,所以a2≤9,所以0<a≤3;
又 因 为 当 a = 3 时 , f'(x) = 3x2 + 6x + 3 = 3(x + 1)2≥0(只有当x=-1时,f'(x)才等于0),因此0<a≤3.

函数的最值
【 例 3】 已 知 函 数 f

? x ? ? x ? a x ? 3 x.
3 2

? ? 1 ? 若 f ? x ? 在 x ? [1 , ? ) 上 是 增 函 数 , 求 实 数 a的 取 值范围;

?2?若x

? 3是 f

? x ? 的 极 值 点 , 求 f ? x ? 在 x ? [1 , a ]上

的最大值和最小值.

解 析 :1 ? 令 f ? ? x ? ? 3 x ? 2 a x ? 3 > 0, ?
2

所 以 a< [

3 2

(x ?

1 x

)] m in ? 3(当 x ? 1 时 取 最 小 值 ).

因 为 x ? 1 , 所 以 a< 3 , a ? 3 时 亦 符 合 题 意 , 所 以 a ? 3.

?2?

f ? ? 3 ? ? 0, 即 2 7 ? 6 a ? 3 ? 0 ,

所 以 a ? 5, f

? x ? ? x ? 5 x ? 3 x, f ? ? x ? ? 3 x ? 10 x ? 3.
3 2 2

令 f ? ? x ? ? 0, 得 x1 ? 3 , x 2 ?

1 3

( 舍 去 ).

当1 < x< 3 时 , f ? ? x ? < 0, 当 3 < x< 5 时 , f ? ? x ? > 0, 即 当 x ? 3时 , f

? x ?的 极 小 值 f ? 3 ? ?

? 9.

又 f ?1 ? ? ? 1 , f ? 5 ? ? 1 5 , 所以f

? x ? 在 ?1, 5 ? 上 的 最 小 值 是 f ? 3 ? ?

?9,

最 大 值 是 f ? 5 ? ? 1 5.此 题 重 点 考 查 利 用 导 数 研 究

此题重点考查利用导数研究函数的单 调性、最值.熟悉函数的求导公式,理解

求导在函数最值中的研究方法是解题的关
键.

【变式练习3】 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b在[-1,2]上的最 大值为3,最小值为-29,求a,b的值.

【 解 析 】 f ? ( x )= 3 a x -1 2 a x= 3 a ( x- 4 ) x .
2

因 为 x ? [-1, 2 ], 所 以 x= 0 是 极 值 点 . 显 然 , a ? 0 .

?1 ? 当 a

? 0 时 , 若 x ? 0, 则 f ? ( x ) ? 0;

若 x ? 0, 则 f ? ( x ) ? 0 .所 以 f ? 0 ? = b 是 极 大 值 . 又 f (-1)= - a- 6 a+ b= b- 7 a, f ? 2 ? = b-1 6 a, 则 f (-1) ? f ? 2 ? . 所 以 f ? 0 ? = b 是 最 大 值 , f ? 2 ? = b-1 6 a 是 最 小 值 . ?b ? 3 ?a ? 2 依题意,得 ? ,得 ? ?b ? 16a ? ?29 ?b ? 3

(2)当a<0时,若x<0,则f '(x)<0; 若x>0,则f '(x)>0. 所以f(0)=b是极小值.

又f(-1)=-a-6a+b=b-7a,f(2)=b-16a,
所以f(-1)<f(2), 所以f(0)=b是最小值,f(2)=b-16a是最大值.
? b ? ?29 依题意,得 ? ,所以 ?b ? 16a ? 3 ? a ? ?2 . ? ?b ? ?29

不等式的证明与 恒成立问题
【 例 4】 设 函 数 f ( x )= x e
2 x -1

+ a x + b x .已 知 x= - 2 和 x=1

3

2

为 f ( x )的 极 值 点 .

? 1 ? 求 a 和 b的 值 ; ? 2 ? 讨 论 f ( x )的 单 调 性 ?3?设 g (x) ?
2 3 x - x , 试 比 较 f ( x ) 与 g ( x )的 大 小 .
3 2

【 解 析 】 1 ? 因 为 f ? ( x )= e ? = xe
x -1

x -1

( 2 x+ x )+ 3 a x + 2 b x

2

2

( x+ 2 )+ x (3 a x+ 2 b ),

又 x= - 2 和 x=1 为 f ( x )的 极 值 点 , 所 以 f ? (- 2 )= f ? ? 1 ? = 0 . 1 ? ? ?6 a ? 2b ? 0 ?a ? ? 因此 ? ,解得 ? 3. ?3 ? 3a ? 2b ? 0 ?b ? ?1 ?

? 2 ? 因 为 a= -

1 3

, b= -1 ,
x -1

所 以 f ? ( x )= x ( x+ 2 )(e

-1).

令 f ? ( x )= 0, 解 得 x1= - 2 , x 2= 0, x 3=1. 因 为 当 x ? (- ? , - 2 ) U ? 0,1 ? 时 , f ? ( x ) ? 0; 当 x ? (- 2, 0 ) U (1 , + ? )时 , f ? ( x ) ? 0 . 所 以 f ( x ) 在 (- 2, 0 ) 和 (1 , + ? ) 上 是 单 调 增 函 数 ; 在 (- ? , - 2 ) 和 ? 0,1 ? 上 是 单 调 减 函 数 .

(3)由(1)可知f(x)=x2ex-1-

1 3

x-x2,

3

故f(x)-g(x)=x2ex-1-x3=x2(ex-1-x). 令h(x)=ex-1-x,则h'(x)=ex-1-1.

令h'(x)=0,得x=1.
因为当x∈(-∞,1]时,h'(x)≤0,所以h(x)在

(-∞,1]上单调递减.

故当x∈(-∞,1]时,h(x)≥h(1)=0; 因为x∈[1,+∞)时,h'(x)≥0,所以h(x)在[1,

+∞)上单调递增.
故当x∈[1,+∞)时,h(x)≥h(1)=0. 所以对任意x∈(-∞,+∞),恒有h(x)≥0. 又x2≥0, 因此,f(x)-g(x)≥0.

故对任意x∈(-∞,+∞),恒有f(x)≥g(x).

比较两个函数的大小时,要考虑两个函
数的定义域,取其公共定义域,比较两函数 的大小才有意义.本题两函数的定义域都是 全体实数.作差是比较大小的常用方法,作 差后再构造函数,利用导数研究函数的单调

性和极值、最值是解决不等式问题的重要思
想方法.

【变式练习4】

已知函数f(x)=x4+ax3+2x2+b(x∈R),其中
a,b∈R.若对于任意的a∈[-2,2],不等式

f(x)≤1在[-1,1]上恒成立,求b的取值范围.

【解析】f '(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+
4). 由条件a∈[-2,2],可知方程4x2 +3ax+4=0 的Δ=9a2-64<0, 从而4x2+3ax+4>0恒成立.

当x<0时,f '(x)<0;
当x>0时,f '(x)>0.

因 此 函 数 f ( x ) 在 [-1,1]上 的 最 大 值 是 f ? 1 ? 与 f (-1) 两 者 中 的 较 大 者 . 为 使 对 任 意 的 a ? [- 2, 2 ], 不 等 式 f ( x ) ? 1 在 [-1,1]上 恒 成 立 , ? f (1) ? 1 ?b ? ?2 ? a 当且仅当? ,即? , ? f ( ? 1) ? 1 ?b ? ?2 ? a 在 a ? [- 2, 2 ]上 恒 成 立 所 以 b ? - 4 , 因 此 满 足 条 件 的 b的 取 值 范 围 是 (- ? , - 4 ].

1.奇函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=1处有极值,则 0 3a+b+c的值为_____________. 【解析】由奇函数知,b=0, 因为f ′(x)=3ax2+2bx+c,f ′(1)=0, 所以3a+2b+c=0, 又因为b=0,所以3a+b+c=0.

2.若函数y=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减, [3,+∞) 则实数a的取值范围为____________. 【解析】因为函数y=x3 -ax2+4在(0,2)内单 调递减,所以y′=3x2-2ax≤0在(0,2)内恒成立, 所以,所以a≥3.

3.函 数 y ? x co s x ? sin x 在 [

? 3?
, 2 2

? . ]的 最 小 值 为   ? 

解 析 : y ? ? co s x ? x sin x ? co s x ? ? x sin x, 当

?
2

? x ? ? 时 , y ? ? 0, 3? 2 时 , y ? ? 0,

当p ? x ?

所 以 当 x ? ? 时 , y m in ? ? co s ? ? sin ? ? ? ? .

4.设函数f(x)=x3 -3ax2 +3bx的图象与直线12x +y-1=0相切于点(1,-11). (1)求a,b的值; (2)讨论函数f(x)的单调性.
【 解 析 】 1 ? f ? ( x )= 3 x - 6 a x+ 3 b . ?
2

由 于 f ( x )的 图 象 与 直 线 1 2 x+ y-1 = 0 相 切 于 点 (1 , -1 1), 所 以 f ? 1 ? = -1 1 , f ? ? 1 ? = -1 2 , ? 1 ? 3 a ? 3b ? ? 1 1 即? ,解得 ? 3 ? 6 a ? 3b ? ? 1 2 ?a ? 1 . ? ?b ? ?3

(2)由a=1,b=-3,得f(x)=x3-3x2-9x.

则f ′(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)
=3(x+1)(x-3). 令f '(x)>0,解得x<-1或x>3. 又令f '(x)<0,解得-1<x<3. 所以当x∈(-∞,-1)时,f(x)是增函数;

当x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数,但当
x∈(-1,3)时,f(x)是减函数.

5.已知函数f(x)=x3 +bx2 +cx+1在区间(-∞,

-2]上单调递增,在区间[-2,2]上单调递减,
且b≥0. (1)求f(x)的解析式; (2)设0<m≤2,若对任意的x1、x2∈[m-2,m]不 等式|f(x1)-f(x2)|≤16m恒成立,求实数m的最小

值.

【 解 析 】 1 ? f ? ( x )= 3 x + 2 b x+ c, ?
2

因 为 f ( x ) 在 (- ? , - 2 ]上 单 调 递 增 , 在 [- 2, 2 ]上 单调递减, 所 以 f ? ( x )= 3 x + 2 b x+ c= 0 有 两 个 根 x1, x 2,
2

且 x1= - 2 , x 2 ? 2 , 因 为 x1+ x 2 = 所以2b 3 又 b ? 0, 所 以 b= 0, 所 以 x 2= 2 , c= -1 2 , 所 以 f ( x )= x 3-1 2 x+1. 2b 3 , x1 x 2 = c 3 , 所 以 x2 =2b 3 + 2,

+ 2 ? 2, 所 以 b ? 0.

? 2 ? 已 知 条 件 等 价 于 在 [ m- 2 , m ]上 [ f ( x )] m ax - [ f ( x )] m in
因 为 f ( x ) 在 [- 2, 2 ]上 为 减 函 数 , 且 0 ? m ? 2 , 所 以 [ m- 2 , m ] ? [- 2, 2 ]. 所 以 f ( x ) 在 [ m - 2 , m ]上 为 减 函 数 , 所 以 [ f ( x )] m ax = f ( m- 2 )= ( m- 2 )3 -1 2 ( m - 2 )+1 , [ f ( x )] m in = f ( m )= m -1 2 m +1 , 所 以 [ f ( x )] m ax - [ f ( x )] m in = - 6 m +1 2 m +1 6 ? 1 6 m,
2 3

? 16m.

得 m ? - 2或 m ?

4 3

, 4 3

又 因 为 0 ? m ? 2 , 所 以 m m in=

1.一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可 导.如果f'(x)>0,则f(x)为增函数;如果f'(x)<0,

则f(x)为减函数.单调性是导数应用的重点内容,
主要有四类问题:①运用导数判断单调区间; ②证明单调性;③已知单调性求参数;④先证 明其单调性,再运用单调证明不等式等问题.

2.函数的单调性
设函数f(x)是定义在(a,b)上的可导 函数,则f‘(x)>0,(f’(x)<0)是f(x)在(a,b) 上单调递增(递减)的充分不必要条件.如 f(x)=x3在R上是增函数,但当x=0时,

f '(0)=0.

求单调区间的一般步骤:

①求导数f '(x);
②在函数f(x)的定义域内解不等式 f '(x)>0(f '(x)<0); ③确定单调区间. 特别注意:

(1)考虑定义域;
(2)定义区间上的不连续点和不可导点.

3.函数的极值是在局部对函数值的比较,

它只能是函数定义域中的内点,而不能是端
点;而最值是在整个定义域上对函数值的比 较,它可以在端点处取得. 求可导函数极值的步骤:①求导数f'(x); ②求导数f'(x)=0的根;③检查f'(x)在方程根左

右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这
个根处取极大值;如果左负右正,那么f(x)在 这个根处取极小值.

函数的极(最)值

函数的极值刻画的是函数在其定义域内的局
部性质,函数的最值刻画的是函数在其定义域内 的整体性质. 求函数极值的方法:如果函数f(x)在点x0 的邻 近左侧有f'(x)>0,右侧有f'(x)<0,则x0 为极大值点,

极大值为f(x0);如果函数f(x)在点x0 的邻近左侧有
f'(x)<0,右侧有f'(x)>0,则x0 为极小值点,极小值 为f(x0).

求函数最值的方法:如果函数f(x)在(a,b)上 可导,并在[a,b]上连续,则函数f(x)在[a,b]上

有最值.其一般步骤为:①求f(x)在[a,b]内的极
值;②将所求极值与端点的函数值比较,其中最 大的是最大值,最小的是最小值.这也是求函数 值域的方法. 注意:可导函数在极值点处的导数为0,但导数为

0的点不一定是极值点.

4.导数的综合应用
导数在函数中的应用非常广泛,如证明 不等式.基本方法是构造函数,讨论方程的 根,根据单调性和极值画出函数的图象,研 究图象的交点.实际中的费用最省和利润最

大问题,关键是建立数学中的函数模型.


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