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浙江省台州市书生中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题

时间:2016-07-10


浙江省台州市书生中学 2015-2016 学年高二数学下学期期中试题
(满分:150 分 考试时间:120 分钟) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知 i 是虚数单位,则复数 A. 1 B. i

2i 的虚部为 1? i
C. ?1




r />D. ?i ??? ? ? ???? ? ???? ? 2.如图,在平行六面体 ABCD ? A 中,已知 , ,则用向量 AB ? a AD ? b , AA B C D 1 1 1 1 1 ?c ? ? ? ???? ? ( ) a , b , c 可表示向量 BD1 等于 ? ? ? ? ? ? A. a ? b ? c B. a ? b ? c ? ? ? ? ? ? C. a ? b ? c D. ?a ? b ? c 3.甲、乙两人计划从 A 、 B 、 C 三个景点中各选择两个游玩, 则两人所选景点不全相同的选法共有 ( )

A. 3 种

B. 6 种

C. 9 种

D. 12 种 ( )

4. (2 x ? 1)(1 ? )5 的展开式的常数项是 A. ?10 B. ?9 C. 11 D. 9

1 x

5.已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x ,且 f ?( x) ? 3 f ( x) ,则 tan x 的值是 A. ?





1 2


B.

1 2

C. ?2

D. 2

6 . 已 知 某 射 击运 动 员 ,每 次 击 中 目 标的 概 率 是 0.8 , 则 该 射 击 运动 员 射 击 4 次 至 少 击 中 3 次 的 概率为 (

A. 0.85

B. 0.75

C. 0.8

D. 0.8192

7 . 设 函 数 f ( x) ?

x x x ( x ? 0) , 观 察 : f1 ( x) ? f ( x) ? , f 2 ( x ) ? f ( f 1 ( x)) ? , x?2 x?2 3x ? 4 x x f 3 ( x) ? f ( f 2 ( x)) ? , f 4 ( x) ? f ( f 3 ( x)) ? ?????? 根据以上事实 ,由归纳 15 x ? 16 7x ? 8
( )

* 推理可得当 n ?N 且 n ? 2 时, f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ?

A.

x ?2n ? 1?x ? 2n

B.

x ?2n ? 1?x ? 2 n

C.

x (2 ? 1) x ? 2 n
n

D.

x (2 ? 1) x ? 2n
n

8.将 3 个不相同的黑球和 3 个相同白球自左向右排成一排,如果满足:从任何一个位置(含这个位置)开始往 右数,数到最末一个球,黑球的个数不少于白球的个数,就称这种排列为“有 效排列”,则出现“有效排列”的概率为 A. ( C. )

1 2
1 2

B.

1 4

1 5

D.

1 10
( )

9.已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax2 ? 2x 有两个极值点,则 a 的取值范围是 A. ? ??,1? B. ? 0, 2 ? C. ? 0,1? D. ? 0,3?

1

10.若 X 是离散型随机变量, P ( X ? a ) ? , P ( X ? b) ?

1 3

2 2 ,且 a ? b ,又已知 E ( X ) ? , 3 3
( )

D( X ) ?
A. 1

2 ,则 a ? b 的值为 9 B. 2

C. 3

D. 4 ( )A. e 2 ? e 1 ? ln x2 ? ln x1
x x

11.若 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则 B. e 2 ? e 1 ? ln x2 ? ln x1
x x

C. x2 e 1 ? x1e
x

x2

D. x2 e x1 ? x1e x2

12.如图,矩形 ABCD 中, AB ? 2 BC ? 4 , E 为边 AB 的中点, 将△ ADE 沿直线 DE 翻转成△ A1 DE . 若 M 为线段 A1C 的 中点,则在△ ADE 翻转过 程中: ① BM 是定值; ② 点 M 在圆上运动; 第 12 题图

③ 一定存 在某个位置,使 DE ? A1C ; ④ 一定存在某个位置,使 MB ∥平面 A1 DE . 其中正确的命题是 A.①②③ B.①②④ C.①③④

( D.②③④



二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分 13.已知复数 z ?

1 ,则 z ? i 在复平面内对应的 点位于第 1? ?i ? ? ? 14.已知空间向量 a ? ( x, 4,3) , b ? (3, 2, z) ,若 a ∥ b ,则 xz ?
x

象限. .

15.已知点 P 在曲线 y ? 方程为______ 16.若 ( x ?
2

1 (其中 e 为自然对数的底数)上运动,则曲线在点 P 处的切线斜率最小时的切线 e ?1
__.

1 2 x

) n (n ? N ? ) 的二项 展开式中第 3 项和第 5 项的二项式系数相等,则展开式中系数最大的项的


系数为

17.在某班进行的演讲比赛中,共有 5 位选手参加,其中 3 位女生,2 位男生.如果 2 位男生不能连着出场,且 女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数为 .

18.设定义域为 (0, ??) 的单调函数 f ( x ) ,对任意的 x ? (0, ??) ,都有 f [ f ( x) ? log2 x] ? 6 成立,若 x0 是方程

f ( x) ? f ?( x) ? 4 的一个解,且 x0 ? (a, a ? 1)(a ? N * ) ,则 a ? _______.
三、解答题(本大题共 5 小题,共 66 分) 19. (本小题满分 12 分)设 m, n ? N , f ( x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) .
m n

(1)当 m ? n ? 5 时,若 f ( x) ? a5 (1 ? x)5 ? a4 (1 ? x)4 ? ?? a1 (1 ? x) ? a0 ,求 a0 ? a2 ? a4 的值; (2) f ( x ) 展开式中 x 的系数是 9 ,当 m, n 变化时,求 x 系数的最小值.
2

2

20. (本小题满分 12 分)某校课改实行选修走班制,现有甲,乙,丙,丁四位学生准备选修物理,化学,生物三 个科目.每位学生只选修一个科目,且选修其中任何一个科目是等可能的. (1)求恰有 2 人选修物理的概率; (2)求学生选修科目个数 ? 的分布列及期望.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 4 x ? ax 2 ? bx ? ( a , b 是实数) ,且 f ?(2) ? 0 , 3 3

f (?1) ? 0 . (1)求实数 a , b 的值;
(2)当 x ?? ?1, t ? 时,求 f ( x) 的最大值 g (t ) 的表达式.

22. (本小题满分 14 分)如图,在三棱锥 A ? BCD 中, AD ? 平面 BCD , CB ? CD , AD ? DB ,

P , Q 分别在线段 AB , AC 上, AP ? 3PB , AQ ? 2QC , M 是 BD 的中点.
(1)证明: DQ //平面 CPM ; (2)若二面角 C ? AB ? D 的大小为

? ,求 ?BDC 的正切值. 3
A

P Q B C M D

第 22 题图

23. (本小题满分 14 分)已知 a 为正的常数,函数 f ( x) ?| ax ? x | ? ln x .
2

(1)若 a ? 2 ,求函数 f ( x) 的单调递增区间;
3

(2)设 g ( x) ?

f ( x) ,求 g ( x) 在区间[1, e ]上的最小值.( e ? 2.71828 为自然对数的底数) x

4

台州市书生中学 2015 学年第二学期高二期中考试 参考答案及评分标准 一、选择题(本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.A; 7.C; 2.D; 8.B; 3.B; 9.C; 4.B; 10.A. 5.A; 11.D; 6.D; 12.B.

二、填空题(本大题有 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 13.二; 14. 9 ; 15. x ? 4 y ? 2 ? 0 ; 16.

15 ; 4

17. 60 ;

18. 1 ;

三、解答题(本大题有 5 小题, 共 66 分) 19(1)解:当 m ? n ? 5 时, f ( x) ? 2(1 ? x)5 令 x ? 0 ,则 f (0) ? a5 ? a4 ? ? ? a1 ? a0 ? 2 令 x ? 2 ,则 f (2) ? ?a5 ? a4 ? ?? a1 ? a0 ? 2 ? 35 所以 a0 ? a2 ? a4 ? ??????2 分 ??????4 分 ??????6 分

f (0) ? f (2) 5 ? 3 ? 1 ? 244 2
1 1

(2)由题意值 f ( x ) 展开式中 x 的系数是 Cm ? Cn
2 2 x 2 系数为 Cm ? Cn ?

? m?n ? 9

??????7 分

m(m ? 1) n(n ? 1) m2 ? n2 ? (m ? n) m2 ? n2 ? 9 ? ? ? ?????? 8 分 2 2 2 2
??????10 分 ??????12 分

m2 ? n2 ? 9 m2 ? (9 ? m)2 ? 9 2m2 ? 18m ? 72 ? ? 又 2 2 2
因为 m, n ? N ,所以当 m ? 4 或 m ? 5 时最小,最小值为16 20(1)解:这是等可能性事件的概率计算问题. 解法一:所有可能的选修方式有 3 种,
2 恰有 2 人选修物理的方式 C4 ? 22 种,
4

??????2 分 ??????4 分

C42 ? 22 8 ? . 从而恰有 2 人选修物理的概率为 4 27 3
解法二:设对每位学生选修为一次试验,这是 4 次独立重复试验. 记“选修物理”为事件 A,则 P ( A) ?

??????5 分 ??????2 分 ??????4 分

1 . 从而, 3

由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知,恰有 2 人选修物理的概率为

8 2 1 2 2 2 P4 (2) ? C4 ( ) ( ) ? . 3 3 27
(2)ξ 的所有可能值为 1,2,3

??????5 分 . ??????6 分 . ??????7 分
5

P(? ? 1) ?

3 1 ? , 4 3 27

P(? ? 2) ?

1 3 2 2 C32 (C2 C4 ? C4 C2 ) 14 C32 (24 ? 2) 14 ? ( 或 P ( ? ? 2) ? ? ) 34 27 34 27

.?? ?8 分

1 2 1 2 3 C3 C4 C2 4 C4 A 4 P(? ? 3) ? ? (或P(? ? 3) ? 4 3 ? ). 4 9 9 3 3

. ??????9 分

综上知,ξ 有分布列

ξ P

1

2

3

1 27

14 27

4 9
. ??????10 分

1 14 4 65 ? 2? ? 3? ? . 27 27 9 27 21.解: (1) f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b ,
从而有 E? ? 1 ?

??????12 分 ??????2 分

?4 ? 4a ? b ? 0 ?a ? ?1 ? 由? 1 ??4 分 得? , ??????5 分 4 b ? 0 ? ? a ? b ? ? 0 ? ? 3 ? 3 1 3 4 2 (2) f ( x) ? x ? x ? , 因为 f ?( x) ? x 2 ? 2 x = x( x ? 2) , 所以 f ( x) 在 (??,0) 递增,(0,2) 递减,(2,??) 3 3
递增。 ??????7 分

1 2 因为 f (?1) ? 0 ,所以 f ( x) ? ( x ? 2) ( x ? 1) , 3 1 3 4 4 2 又令 f ( x) ? x ? x ? ? ,则 x ? 0 或 x ? 3 ,结合图形, 3 3 3 1 3 2 4 (1)当 t ? 0 , f(x) max = f (t ) ? t ? t ? 3 3 4 f(x) max ? (2)当 0 ? t ? 3 时, 3 1 3 2 4 (3)当 t ? 3 时, f(x) min = f (t ) ? t ? t ? 3 3 ?1 3 2 4 t ? t ? ,?1 ? t ? 0或t ? 3 ? ?3 3 g (t ) ? ? 综上, ?4 , 0?t ?3 ? ?3
22.解: (1)证明:取 AB 的中点 E ,则

????9 分

??????13 分

??????14 分

AE AQ ,所以 EQ // PC . ?2? EP QC
??????2 分

又 EQ ? 平面 CPM ,所以 EQ //平面 CPM . 又 PM 是△ BDE 的中位线,所以 DE // PM , 从而 DE //平面 CPM . 所以平面 DEQ //平面 CPM , 故 DQ //平面 CPM . (2)解法 1:由 AD ? 平面 BCD 知, AD ? CM 由 BC ? CD, BM ? MD 知 BD ? CM ,
B

??????3 分 ??????4 分
A

??????6 分
E P Q M D

6

故 CM ? 平面 ABD .

??????8 分

由(Ⅰ)知 DE // PM ,而 DE ? AB ,故 PM ? AB . 所以 ? CPM 是二面角 C ? AB ? D 的平面角, 即 ?CPM ?

? . 3

??????10 分

设 PM ? a ,则 CM ? 3a , DM ? BM ? 2a , 在 Rt △ CMD 中, tan ?MDC ?

MC 3a 6 ? ? . MD 2 2a

??????12 分

所以 ?BDC 的正切值为

6 . 2

??????14 分
z A

解法 2:以 M 为坐标原点, MC , MD , ME 所在的直线 分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设 MC ? a , MD ? b ,则 C ? a,0,0 ? , B ? 0, ?b,0? ,
E P

A? 0, b,2b ?

?????8 分

则 BC ? ? a, b,0? , BA ? ? 0,2b,2b ?

??? ?

??? ?

Q B C x M D y

? ? ? 设 n1 ? ? x, y, z ? 平面 ABC 的一个法向量,
?? ? ??? ? ? ? ? ? ? n1 ? BC ? 0, ?ax ? by ? 0, 则 ? ?? 即? 取 n1 ? ? b, ?a, a ? ? ??? ? ? ? n1 ? BA ? 0. ?2by ? 2bz ? 0.

?????10 分

?? ? 不难得到平面 ABD 的一个法向量为 n2 ? ?1,0,0? ,
?? ? ?? ? 所以 cos ? n1, n2 ? ? b b ? 2a
2 2

?????12 分

?

1 a 6 ,所以 ? b 2 2

在 Rt △ CMD 中, tan ?MDC ? 所以 ?BDC 的正切值为 23.解:(1) a ? 2 时,

MC a 6 ? ? MD b 2
??????14 分

6 . 2

?2 x ? x 2 ? ln x,0 ? x ? 2 f ( x) ? x | x ? 2 | ? ln x ? ? 2 , ????2 分 ? x ? 2 x ? ln x, x ? 2 ? ? 2x2 ? 2x ?1 ,0 ? x ? 2 ? ? / x ????4 分 f ( x) ? ? 2 ? 2x ? 2x ?1 , x ? 2 ? x ? 1? 3 可得单调增区间是 (0, ????6 分 ], [2,??) 2

7

ln x ? x ? a ? ,x ? a ? ln x x ?? (2) g ( x) ?| x ? a | ? , ????7 分 ln x x ?a ? x ? ,0 ? x ? a x ? ln x / ln x 1 当 a ? e 时,则 g ( x) ? a ? x ? , g ( x) ? ?1 ? 2 ? 2 ? 0 , x x x 1 得 g ( x) min ? g (e) ? a ? e ? ; ????9 分 e ln x 当 a ? 1 时, g ( x) ? x ? a ? 单调递增, g ( x) min ? g (1) ? 1 ? a ; ????11 分 x 当 1 ? a ? e 时, g ( x) 在 [1, a ] 上减, [a, e] 上增, ln a ????13 分 g ( x) min ? g (a ) ? a
1 ? ?a ? e ? e , a ? e ? ? ? 1 ? a, a ? 1 ? ln a ? ,1 ? a ? e ? a

综上所述: g ( x) min

????14 分

8


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