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导数的应用4—恒成立问题

时间:2012-04-20


导数的应用 导数的应用 4—恒成立问题 恒成立问题 高中数学中的恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函 数与方程等思想方法,考查综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成 为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:1.一次函数型;2.二次函数型;3. 变量分离型;4.根据函数的奇偶性、周期性等性质;5.直接根据函数的图象;6.利用导数求解。 “恒成立”的含义,一定是比“比最大的还大”或“比最小的还小”。因此恒成立问题往往又可以转化为求函 数最值的问题。 A 组: 1. (1) 实数 k 为何值时不等式 e ≥ kx 对任意 x ∈ R 恒成立? (2) 实数 k 为何值时关于 x 的不等式 ln x ≤ kx
x

B 组: 1.设函数 f ( x ) =

sin x . 2 + cos x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)如果对任何 x ≥ 0 ,都有 f ( x ) ≤ ax ,求 a 的取值范围.

2.设函数 f ( x ) =

(Ⅰ) f(x)的单调区间和极值; 求 (Ⅱ) 是否存在实数 a, 使得关于 x 的不等式 f ( x ) ≥ a 的解集为 (0, ∞ ) + ? 若存在,求 a 的取值范围;若不存在,试说明理由.

ln x ? ln x + ln( x + 1) . 1+ x

恒成立?

? 2 1? 2.已知函数 f ( x) = x + ax + x + 1, a ∈ R ,若函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数.求 a 的取值范围. ? 3 3?
3 2

3.设函数 f ( x ) =

1 ( x > 0且x ≠ 1) 。 x ln x
1 x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)已知 2

> x a 对任意 x ∈ (0,1) 成立,求实数 a 的取值范围。

1 3.已知函数 f(x)=-ax -x +x(a∈R),当 x≥ 时,f(x)≤ax 恒成立,求实数 a 的取值范围. 3
3 2

x2 4.已知函数 f(x)=ln (1+x). 1+ x (I) 求函数 f ( x ) 的单调区间;
2

(Ⅱ)若不等式 (1 + 4.设函数 f(x)=e -e ,若对任意的 x≥0 都有 f(x)≥ax 成立,求实数 a 的取值范围.
x
-x

1 n+a ) ≤ e 对任意的 n ∈ N* 都成立(其中 e 是自然对数的底数) α 的最大值. ,求 n

5.设函数 f ( x ) = x 2 + b ln( x + 1) ,其中 b ≠ 0 .

1 时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性; 2 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极值点;
(Ⅰ)当 b > (Ⅲ)证明对任意的正整数 n ,不等式 ln ?

5.若关于 x 的方程 x ? 2a ln x = 2ax (a>0)有唯一解,求实数 a 的值.
2

?1 ? 1 1 + 1? > 2 ? 3 都成立. ?n ? n n

6.已知 An ( an,bn ) ( n ∈ N * )是曲线 y = e x 上的点, a1 = a , Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,且满足 6.已知 f ( x) = ln( x + 1) , g ( x ) = 1 ?

1 ,试证:对任意的 x>0,都有 f ( x ) ≥ g ( x) 成立. x +1

2 S n = 3n 2 an + S n2?1 , an ≠ 0 , n = 2, 4, 3, ….

(I)证明:数列 ?

? bn + 2 ? ? ( n ≤ 2 )是常数数列; ? bn ?

7.已知函数 f ( x ) = e ? kx,x ∈ R 。
x

(II)确定 a 的取值集合 M ,使 a ∈ M 时,数列 {an } 是单调递增数列; (III)证明:当 a ∈ M 时,弦 An An +1 ( n ∈ N * )的斜率随 n 的增大而单调递增.

(Ⅰ)若 k = e ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 k > 0 ,且对于任意 x ∈ R , f ( x ) > 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; 7 . 已 知 函 数 f ( x ) = x 2 + | x ? 1|,

g ( x) = x 3 ? ax(a < 0) , 若 ?x1 ∈ [1, 2], ?x2 ∈ [2,3] , 使 得

f ( x1 ) + 1 ≤ g ( x2 ) 恒成立,求实数 a 是取值范围. x1


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