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夏津一中2014高二高二下学期期中理科数学考试试题

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高二数学理科(A)期中考试测试题
(满分 150 分 时间 120 分钟)

一.选择题(每题 5 分,共 50 分)
1.复数 z ? (2 ? i )i 在复平面内的对应点在( A.第一象限 2.曲线 y A. [ B.第二象限 ) D.第四象限 )

C.第三象限

? x3 ? 3x ? 2 上的任意一点 P 处切线的斜率的取值范围是(
B. (

3 , ??) 3

3 , ??) 3

C. ( ? 3, ??)

D. [ ? 3, ?? )

3.设 S (n) ?

1 1 1 1 1 S (2) ?( ? ? ? ? ? ? 2 (n ? N* ) , 当 n ? 2 时, n n ?1 n ? 2 n ? 3 n
1 1 ? B. 2 3 1 1 1 ? ? C. 2 3 4



1 A. 2

1 1 1 1 ? ? ? D. 2 3 4 5
)不同的装法.

4.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有( A.240 B.120 C.600 D.360 5.已知 z ? ? A .i

1? i , 则 1 ? z 50 ? z100 的值为( 2
B . 1 C. 2 ? i

) D. 3

6.函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 x 的图象大致是( ) 2

y
O

y

y

y

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

7、已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数, 则实数 a 的取值范围
3 2

第 1 页 共 8 页

是(

) B.(??,? 3 ] ? [ 3,??) C.(??,? 3 ) ? ( 3 ,??) D.(? 3, 3 )

A.[? 3, 3 ]

8.某台小型晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位、节目 乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 A.36 种 B. 42 种 C. 48 种 D.54 种

4 上,? 为曲线在点 P 处切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是 e ?1 ? ? ? ? 3? 3? A. [0, ) B. [ , ) C. D . [ ,? ) ( ) ( , ] 4 4 2 2 4 4 1 3 1 2 10.在 R 上可导的函数 f ( x) ? x ? ax ? 2bx ? c ,当 x ? (0,1) 时取得极大值,当 x ? (1, 2) 3 2 b?4 时取得极小值,则 的取值范围是( ) a ?3 1 1 1 1 1 1 A. (? , ) B. (? , ) C. ( ,1) D. ( ,1) 2 2 2 4 4 2
9.已知点 P 在曲线 y ?
x

二、填空题(每题 5 分,共 25 分)
11..曲线 y ? x 和曲线 y ?
2

x 围成一个

叶形图(如图所示阴影部分),其面积是______. 12.若 8 张椅子排成一排,有 4 个人就座,每人 1 个座位,恰有 3 个连续空位的坐法种数是_______(用数字做答) 13. 类比平面几何中的勾股定理:若直角三角形 ABC 中的两边 AB、AC 互相垂直,则三角 形三边长之间满足关系: AB ? AC ? BC 。若三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC、ACD、
2 2 2

ADB 两 两 互 相 垂 直 , 则 三 棱 锥 的 侧 面 积 与 底 面 积 之 间 满 足 的 关 系 为 . 14. 为如图所示的四块区域涂色,要求相邻区域不能同色,现有 3 种不 同颜色可供选择,则共有_______种不同涂色方案(用数字做答) 12 题 15.若在区间[-1, 1]上, 函数 f ( x) ? x ? ax ? 1 ? 0 恒成立, 则 a 的取值
3

范围是_________________

第 2 页 共 8 页

三、解答题(16-19 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分,解答 题写出必要的文字说明)
16. 从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问: (1)能组成多少个没有重复数字的七位数? (2)在(1)中七位数中三个偶数排在一起的有几个? (3)在(1)中任意两偶然都不相邻的七位数有几个? (以上三问均用数字做答)

17.设函数 f ( x ) ?

1 2 x x e . 2

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若当 x ? [?2 , 2] 时,不等式 f ( x ) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

18. 函数数列 f ( x ) 满足:f ( x ) ? ? n ? 1

x 1 ? x2

( x ? 0), f n ?1 ( x) ? f1 ? f n ( x) ?

(1)求f 2 ( x ),f 3 ( x )的解析式; (2)猜想f n ( x )的解析式,并用数学归纳法证明

第 3 页 共 8 页

19. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数, 且 x ? ?1 时, 函 ? ax ? bx ? cx(a ? 0)
3 2

数取极值 1.(1)求 a,b,c 的值; (2)若对任意的 x1,x2 ? ?? 1 , 1?,均有

f (x1 ) ?f (x2 )? s 成立,求 s 的最小值;

20. 如图,设铁路 AB 长为 50,BC⊥AB,且 BC=10,为将货物从 A 运往 C,现在 AB 上距点 B 为 x 的点 M 处修一公路至 C,已知单位距离的铁路运费为 2,公路运费为 4. (1)将总运费 y 表示为 x 的函数; C (2)如何选点 M 才使总运费最小? M

A

B

21. 已知函数 ? ( x) ?

a , a 为正常数. x ?1

(1)若 f ( x) ? ln x ? ? ( x) ,且 a ?

9 ,求函数 f ( x) 的单调增区间; 2
g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? ?1 , x2 ? x1

(2)若 g ( x) ?| ln x | ?? ( x) ,且对任意 x1 , x2 ? (0,2] , x1 ? x2 ,都有 求 a 的的取 值范围.

第 4 页 共 8 页

高二数学理科(A)期中考试测试题参考答案 1-5 BDCAA 12. 18 480 15. [0, 6-10 BABDD 13. S ?BCD ? S ?ABC ? S ?ACD ? S ?ADB
2 2 2 2

1 11. 3
14.

33 2] 2
种情况; 种情况;
7

16 解:(1)分步完成:第一步在 4 个偶数中取 3 个,可有 第二步在 5 个奇数中取 4 个,可有

第三步 3 个偶数,4 个奇数进行排列,可有 A7 种情况, 所以符合题意的七位数有 C4 C5 A7 ? 100800 个.………4 分
3 4 7

(2)上述七位数中,三个偶数排在一起的有个. C4 C5 A5 A3 ? 14400 ………8 分
3 4 5 3

(3)上述七位数中,偶数都不相邻,可先把 4 个奇数排好,再将 3 个偶数分别插入 5 个 空档,共有 A5 C4 A5 ? 28800 个。………12 分
4 3 3

17. 解:(1) f ?( x ) ? xe ?
x
x

1 2 x 1 x x e ? e x ( x ? 2) , 2 2
w.w.w.k.s.5. u.c.o.

令 e x ( x ? 2) ? 0 ,得 x ? 0或x ? ?2 ,

∴ f ( x ) 的增区间为 ( ?? , ? 2) 和 (0 , ? ?) ,………3 分 令 e x ( x ? 2) ? 0 ,得 ? 2 ? x ? 0 ,
x

∴ f ( x ) 的减区间为 ( ? 2 , 0) .………………………………………………6 分 (2)因为 x ? [?2 , 2] ,令 f ?( x ) ? 0 ,得 x ? ?2 ,或 x ? 0 , 又由(1)知, x ? ?2 , x ? 0 分别为 f ( x ) 的极大值点和极小值点, ………8 分

第 5 页 共 8 页

∵ f ( ?2) ?

2 2 , f ( 2) ? 2e , f (0) ? 0 , 2 e
2

w.w.w.k.s.5. u.c.o.m

∴ f ( x ) ? [0 , 2e ] , ∴ m ? 2e .
2

……………………………………………………………11 分

………………………………………………………………………12 分

18.

? ax ? bx ? cx(a ? 0) 19 解:(1)函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,
3 2

2 即 bx ? 0 对于 x ? R 恒成立,? b ? 0 . ? f(? x) ? ? f(x),

? x) f(x) ? ax3 ? cx , f ( ? 3ax 2 ? c

1 3 ? a ? c ? 1 ,解得: a ? ,c ? ? . ? x ? ?1 时,函数取极值 1. ∴ 3a ? c ? 0, 2 2
第 6 页 共 8 页

3 ……………………………………………5 分 2 1 3 3 3 3 (2) f(x) ? x 3 ? x , f ?( x) ? x 2 ? ? ( x ? 1)( x ? 1) , 2 2 2 2 2
故 a ? ,b= 0, c??

1 2

? x) x ? ?? 1, 1? 时 f ( ? 0 ,? f ( x)在x ? ?? 1,1? 上是减函数,

……………8 分

故? f ( x)在x ? ?? 1,1? 上最小值为 f (1) =-1,最大值为 f (?1) ? 1 ,

(x1 ) ?f (x2 )? f Max ( x) ? f min ( x) ? 2 .…11 分 因此当 x1,x2 ? ?? 1 , 1?时, f f (x1 ) ?f (x2 )? s ? f Max ( x) ? f min ( x) ? s ,故 s 的最小值为 2 ………12 分
20. .解:(1)依题,铁路 AM 上的运费为 2(50-x),公路 MC 上的运费为 4 100 ? x ,
2

则由 A 到 C 的总运费为

y ? 2(50 ? x) ? 4 100 ? x 2 ?(0 ? x ? 50)
(2) y? ? ?2 ? 分 当0 ? x ?

………………………… 6 分

4x 100 ? x 2

?(0 ? x ? 50) ,令 y? ? 0 ,解得 x1 ?

10 10 (舍)9 , x2 ? ? 3 3

10 10 时, y? ? 0 ,函数是单调减函数;当 50 ? x ? 时, y? ? 0 ,函数是单 3 3
故当 x ?

调增函数,

10 时,y 取得最小 3

………………12 分

即当在距离点 B 为

10 时的点 M 处修筑公路至 C 时总运费最低 ……………13 分 3

21. 解:⑴ f '( x) ? ∵a ?

1 a x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ? ? ,…2 分 x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2

[来源:Zxxk.Com]

9 1 ,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 2 ,或 x ? , 2 2 1 ∴函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, ) , (2, ??) 。 …… 5 分 2

第 7 页 共 8 页

⑵∵

g ( x2 ) ? g ( x1 ) g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? ?1 , ∴ ?1 ? 0 , x2 ? x1 x2 ? x1



g ( x2 ) ? x2 ? [ g ( x1 ) ? x1 ] ?0, x2 ? x1

设 h( x) ? g ( x) ? x ,依题意, h( x ) 在 ? 0, 2 ? 上是减函数。………8 分 当 1 ? x ? 2 时, h( x) ? ln x ?

1 a a ?1, ? x , h '( x) ? ? x ( x ? 1)2 x ?1

( x ? 1)2 1 令 h '( x) ? 0 ,得: a ? ? ( x ? 1)2 ? x 2 ? 3x ? ? 3 对 x ? [1, 2] 恒成立, x x

1 1 ? 3 ,则 m '( x) ? 2 x ? 3 ? 2 , x x 1 ∵ 1 ? x ? 2 ,∴ m '( x) ? 2 x ? 3 ? 2 ? 0 , x
设 m( x) ? x ? 3x ?
2

∴ m( x) 在 [1, 2] 上是增函数,则当 x ? 2 时, m( x) 有最大值为 ∴a ?

27 , 2

27 。 2

……11 分

当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? ? ln x ?

1 a a ?1 , ? x , h '( x) ? ? ? x ( x ? 1) 2 x ?1

令 h '( x) ? 0 ,得: a ? ? 设 t ( x) ? x ? x ?
2

( x ? 1)2 1 ? ( x ? 1)2 ? x 2 ? x ? ? 1 , x x

1 1 ? 1 ,则 t '( x) ? 2 x ? 1 ? 2 ? 0 , x x

∴ t ( x ) 在 (0,1) 上是增函数,∴ t ( x) ? t (1) ? 0 , ∴a ?0, 综上所述, a ?

27 . 2

……14 分

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