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2014年长春市高中毕业班第一次调研试题理科数学试题及参考答案与评分标准(精心校对)

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2014 年长春市高中毕业班第一次调研试题 数学试题卷(理科)及参考答案与评分标准
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间为 120 分 钟,其中第 II 卷 22 题一 24 题为选考题,其它题为必考题.考试结束后,将试卷和答 题卡 一并交回.

第I卷

(选择题 60 分)<

br />
一、 选择题 (本大题包括 12 小题, 每小题 5 分, 60 分, 共 每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). 1.复数 Z=1-i 的虚部是( ) (A).1 (B) -1 (C) i (D)-i 2 2.已知集合 M={x|x ? 4x + 3 < 0},集合 N={ x|lg(3-x)>0},则 M∩N=( ) (A).{ x|2<X<3} (B). { x|1<X<2} (C) . { x|1<X<3} (D) ? 2 3.函数 f(x)=(sinx+cosx) 的一条对称轴方程是( ) (A). x =
π 4 1 2

(B)x = 3

π

(C) x=2 ) (C)
3 3 x 2 dx 0 1 2

π

(D) x = π

4.抛物线x 2 = y 的焦点 F 到准线 l 的距离是( (A). 2 (B). 1

(D)

1 4

5.等比数列{an }中, a3 =9,前三项和为S3 = (A). 1 (C) 1 或 ?
1 2

,则公比 q 的值是( )

(B)

?1 2 ?1 2

(D) - 1 或

6.定义某种运算 S=a?b,运算原理如图所示,则式子 : 2tan
5π 4

? lne ? lg100 ? (C).-8

1 ?1 3

的值为

( A). -3 (B). -4

(D). 0

x≥1 7.实数 x,y 满足 y ≤ a(a > 1) ,若函数 z=x+y 的最 x?y ≤ 0
一模数学试题答案(理科) 第 1 页 共 15 页

大值为 4,则实数 a 的值为( ) (A). 2 (B). 3 (C).
3 2

(D). 4

8.已知三条不重合的直线 m,n,l 和两个不重合的平面α, β ,下列命题正确的是:( ) (A). 若 m//n,n? α,则 m//α (B). 若α⊥β, α ∩β=m, n⊥m ,则 n⊥α. (C) .若 l⊥n ,m⊥n, 则 l//m (D). 若 l⊥α,m⊥β, 且 l⊥m ,则α ⊥ β 9.已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的右顶点、左焦点分别为 A、F,点 B(0,-b) ,若
a b x2 y2

|BA+BF|=|BA ? BF|,则双曲线的离心率值为( (A).
3+1 2


5?1 2

(B).

5+1 2

(C).

(D). 2

10.一个半径为 1 有球体经过切割后,剩下部分几何体的三视图如图所示,则剩下部分几 何体的表面积为( ) (A).
13π 3

(B).

15π 4

(C).4π

(D).

9π 2

11.若函数 y=f(x)图象上的任意一点 p 的坐标(x,y)满足条 件|x|≥ |y|,则称函数具有性质 S,那么下列函数中具有性质 S 的是( ) (A). f(x)=tanx (B).f(x) = ex ? 1 (C). f(x)=sinx (D). f(x)= ln(x+1) 12.已知.f(x)=1+xx3 3 x4 x 2013 x2 2

正视图

侧视图

+

x3 3

?

x4 4

+…+

x 2013 2013

,g(x)=1-x+

x2 2

?

俯视图

第10题图

+ 4 —…— 2013 , 设函数 F(x)= f(x+3)g(x-4),且 F(x)的零点均在区间[a,b] (a<b,a,b∈ Z) 内, ) (B). 9 (C). 10 (D). .11

则 b-a 的最小值为( (A) 8

第二卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分, 13 题-21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须作 答, 第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横 线上). 13.已知三棱柱 ABC-A1B1C1 底面是边长为 6 的正三角形,侧棱垂直于底面,且该三棱柱 的外接球表面积为 12π ,则该三棱柱的体积为 .
一模数学试题答案(理科) 第 2 页 共 15 页

14. 已 知 数 列 { an } (n=1,2,3, … 2012) , 圆 C1 : x 2 + y 2 -4x-4y=0 , 圆 C2 : x 2 + y 2 -2an x-2a2013?n y=0 ,若圆 C2 平分圆 C1 的周长,则{an }的所有项的和为 . 15.定义[x]表示不超过 x 的最大整数,例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,若 f(x)=sin(x-[x]),则下列结论中 ①. f(x)是奇是函数 ②. f(x)是周期函数 ,周期为 2π ③. f(x)的最小值为 0 ,无最大值 ④. f(x)无最小值,最大值为 sin1.正确的序号为 . 三、 解答题 (本大题包括 6 小题, 70 分, 共 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) . 17.( 本小题满分 1 2 分) 设等差数列{an }的前 n 项和为sn , 且a1 = 3,s5 ? s2 = 27, (1).求数列an 的通项公式 (2).若sn ,2 2(an+1 + 1), sn+2 成等比数列,求正整数 n 的值 .

18. ( 本小题满分 1 2 分) 已知向量m = cosx, ?1 , n = ( 3sinx, ? ) ,设函数 f(x)=( m+n)? m .
2 1

(1).求函数 f(x)的最小正周期; (2).已知 a,b,c 分别为三角形 ABC 的内角对应的三边长,A 为锐角,a=1,b= 3 ,且 f(A)恰是函 数 f(x)在[0,2] 上的最大值,求 A,b,和三角形 ABC 的面积.
π

19. ( 本小题满分 1 2 分) 如图所示,正方形 AA1D1D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点 E 为 AB 的中点, (1).求证:D1E⊥A1D ; D1 (2).在线 段 AB 上是否存在 点 M ,使二面角 D1-MC-D 的大小为6 ?,若存在,求出 AM 的长, 若不存在,说明理由
π

A1

D A E 第19题图 B

C

一模数学试题答案(理科) 第 3 页 共 15 页

20.( 本小题满分 1 2 分) 已知椭圆 2 +
a x2 y2 b2

=1(a>b>0) ,的左焦为 F,右顶点为 A,上顶点为 B,O 为坐标原点,M 为椭圆上

任意一点,过 F,B,A 三点的圆的圆心为(p,q). (1).当 p+q≤ 0时,求椭圆的离心率的取值范围; (2).若 D(b+1,0),在(1)的条件下,当椭圆的离心率最小时,( MF + OD)? MO的最小值为2 ,求椭 圆的方程.
7

21. ( 本小题满分 1 2 分) 已知函数 f(x)=x ? x , g(x)=alnx ,(a∈ R) (1).a≥ ?2时,求 F(x)= f(x)- g(x)的单调区间; (2).设 h(x)= f(x)+ g(x),且 h(x)有两个极值点为 x1 , x2 ,其中 x 1∈ (0, 2] ,求 h(x1)- h(x2) 的最小值.
1 1

请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. A 如图,四边形为边长为 a 的正方形,以 D 为圆心,DA 为半径的圆 弧与以 BC 为直径的圆 O 交于 F,连接 CF 并延长交 AB 于点 E. (1).求证:E 为 AB 的中点; E F (2).求线段 FB 的长.

D

B

O

C

一模数学试题答案(理科) 第 4 页 共 15 页

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲. 以直角坐标系的原点为极点 O, x 轴正半轴为极轴,已知点 P 的直角坐标为(1,-5),点 C 的 极坐标为(4,2 ) ,若直线 l 经过点 P,且倾斜角为3 ,圆 C 的半径为 4. (1).求直线 l 的参数方程及圆 C 的极坐标方程; (2).试判断直线 l 与圆 C 有位置关系.
π π

24. 本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 已知 f(x)=|x+1|+|x-1| ,不等式 f(x)< 4的解集为 M. (1).求 M; (2).当 a,b∈M 时,证明:2|a+b|<|4+ab|. 2014 年长春市高中毕业班第一次调研测试 数学(理科)试题参考答案及评分标准 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题纸上) 题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 D 5 C 6 D 7 A 8 D 9 B 10 D 11 C 12 C

1.【试题答案】 B 【试题解析】由复数虚部定义:复数 a ? bi ?a ? R,b ? R ? 的虚部为 b ,得 z ? 1? i 的 虚部为 ? 1 ,故选 B . 2.【试题答案】 B 【试题解析】 因为 M ? ?x | 1 ? x ? 3?,N ? ?x | x ? 2?, 所以 M ? N ? ?x | 1 ? x ? 2?, 故选 B . 3.【试题答案】 A 【试题解析】 化简 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ? 2 sin x cos x ? 1 ? sin 2 x ,
2 2 2

∴将选项代入验证,当 x ?

?
4

时, f (x) 取得最值,故选 A .

一模数学试题答案(理科) 第 5 页 共 15 页

4.【试题答案】 D 【试题解析】由抛物线标准方程 x ? 2 py ? p ? 0? 中 p 的几何意义为:抛物线的焦点
2

到准线的距离,又 p ? 5.【试题答案】 C

1 ,故选 D . 4

【 试 题 解 析 】 S3 ? ? 3x2 dx ? x3 3 ? 27 ? 0 ? 27 , 设 公 比 为 q , 又 a3 ? 9 , 则 0
0

3

9 9 1 ? ? 9 ? 27 ,即 2q 2 ? q ? 1 ? 0 ,解得 q ? 1 或 q ? ? ,故选 C . 2 q q 2
6.【试题答案】 D 【试题解析】 由题意可知, 程序框图的运算原理可视为函数 S ? a ? b ? ?
?1

?a ?b ? 1?, a ? b , ?a ?b ? 1?, a ? b

所以 2 tan

5? ?1? ? ln e ? 2 ?1 ? 4 , lg 100 ? ? ? ? 2 ? 3 ? 4 , 4 ? 3?
?1 ? ? ? ?1? ? ? ln e ? ? ?lg100 ? ? ? ? ? 4 ? 4 ? 0 ,故选 D . ? ? ? 3? ? ? ? ? ?

?? 5? ?? 2 tan 4 ??

7.【试题答案】 A 【试题解析】由 z ? x ? y ,得 y ? ? x ? z ,则 z 表示该 组平行直线在 y 轴的截距。又由约束条件

y
A O 1

平移至经过 y ? x 和 y ? a 的交点 A?a, a ? 时, 取得 z 最大值,代入 A?a, a ? ,即 z max ? a ? a ? 4 ,所以

? x ?1 ? ? y ? a ?a ? 1? 作出可行域如图,先画出 y ? ?x ,经 ?x ? y ? 0 ?

y?x y?a
x

x ?1
第 7 题图

a ? 2 ,故选 A .
8.【试题答案】 D

【试题解析】A 选项,直线 m 可能在平面 ? 内;B 选项,如果直线 n 不在平面 ? 内, 不能得到 n ? ? ; 选项, C 直线 l 与 m 可能平行, 可能异面, 还可能相交; 故选 D . 9.【试题答案】 B
一模数学试题答案(理科) 第 6 页 共 15 页

【试题解析】 BA ? BF ? BA ? BF 得 BA ? BF ? 0 , A?a,0? ,B?0,?b ? ,F (?c,0) 由 又

BF ? ?? c, b ? , 则 BA ? ?a, b ? , 所以有 b 2 ? ac ? 0 , c 2 ? a 2 ? ac ? 0 , 即
从而 e
2

? e ?1 ? 0
1? 5 1? 5 ,又 e ? 1 ,所以 e ? ,故选 B . 2 2

解得 e ?

10.【试题答案】 D 【试题解析】由三视图可知,该几何体为一个球体,下半球完整,上半球分为四份,

1 球的表面积,再 4 1 1 1 9 加上 6 个 圆面积,故 S ? 4?R 2 ? ? 4?R 2 ? 6 ? ?R 2 ? ?R 2 ,又球 4 4 4 2 9? 半径 R ? 1, S ? ,故选 D . 2 11.【试题答案】 C 【试题解析】不等式 x ? y 表示的平面区域如图
去掉了对顶的两份,故表面积应为球的表面积,去掉 所示,函数 f (x) 具有性质 S ,则函 数图像必须完全分布在阴影区域① 和②部分, f ( x) ? e ? 1 分布在区 域①和③内, f ( x) ? ln( x ? 1) 分布 在区域②和④内, f ( x) ? sin x 图像 分布在区域①和②内, f ( x) ? tan x
x

在每个区域都有图像,故选 C 12.【试题答案】 C 【试题解析】验证 f (0) ? 1 ? 0 ,

第 11 题图

1 1 1 1 1 1 f (?1) ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?0 2 3 4 5 2012 2013

f ?( x) ? 1 ? x ? x 2 ? x 3 ? ?? ? x 2012
1 ? ?? x ? 易知 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;x ? 0 时, f ?( x) ? 1? x
2013

?

1 ? x 2013 ?0 1? x

所 以 f ?( x) ? 0 在 R 上 恒 成 立 , 故 f (x) 在 R 上 是 增 函 数 , 又
一模数学试题答案(理科) 第 7 页 共 15 页

f (?1) ? f (0) ? 0 ,
∴ f (x) 只有一个零点,记为 x1 ,则 x1 ? ?? 1,0 ? . 同理可证明 g (x) 也只有一个零点,记为 x 2 ,且 x2 ? ?1,2? .故

F ( x) ? f ( x ? 3) g ( x ? 4) 有 2 个不同零点 x3 , x 4 , x3 即将 x1 向左平移 3
个单位, x 4 即将 x 2 向右平移 4 个单位,∴ x3 ? ?? 4,?3? , x4 ? ?5,6? , 又函数 F (x) 的零点均在区间 ?a, b ? 内,且 a ? b, a, b ? Z ,故当 a ? ?4 ,

b ? 6 时,即 b ? a 的最小值为 6 ? (?4) ? 10 ,故选 C
第Ⅱ卷 (非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横 线上) 13.【试题答案】

15 2
??? ??? ??? ? ? ?

【试题解析】 AB ? AD ? AB ? AB ? BD ? AB ? AB ? BD ? 9 ? 3 ? 1? cos120? ?

??? ???? ?

?

?

??? 2 ?

??? ??? ? ?

15 . 2

14.【试题答案】 3 3 【试题解析】设球半径 R ,上下底面中心设为 M , N ,由题意,外接球心为 MN 的 中点,设为 O ,则 OA ? R ,由 4?R 2 ? 12? ,得 R ? OA ? 3 ,又易得

AM ? 2 , 由勾股定理可知, 所以 MN ? 2 , 即棱柱的高 h ? 2 , OM ? 1 ,
所以该三棱柱的体积为 15.【试题答案】 4024 【试题解析】设圆 C1 与圆 C 2 交于 A , B ,则直线 AB 的方程为:

3 ? 4

? 6?

2

?2 ?3 3.

x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? x 2 ? y 2 ? 2an x ? 2a2013?n y ? 0 ,
化简得: ?an ? 2?x ? ?a2013?n ? 2? y ? 0 又圆 C 2 平分圆 C1 的周长,则直线 AB 过 C1 ?2,2 ? ,代入 AB 的方程得:

?

?

an ? a2013?n ? 4 ,

一模数学试题答案(理科) 第 8 页 共 15 页

∴ a1 ? a2 ? ?? ? a2012 ? ?a1 ? a2012 ? ? ?a2 ? a2011 ? ? ?? ? ?a1006 ? a1007 ?

? 1006 ? 4 ? 4024 . 16.【试题答案】 ③本题可以画图象分析
【试题解析】f (1.5) ? sin?1.5 - ?1.5?? ? sin 0.5 ,f (?1.5) ? sin?? 1.5 ? ?? 1.5?? ? sin 0.5 , 则 f (1.5) ? f (?1.5) ,故①错。

f ( x ? 1) ? sin?x ? 1 ? ?x ? 1?? ? sin?x ? 1 ? ?x? ? 1? ? sin?x ? ?x?? ? f ( x) ,
∴ T ? 1 ,故②错。 g ( x) ? x ? ?x? 在 ?k , k ? 1? ?k ? Z? 是单调递增的周函 数,知 g ( x) ? ?0,1? ,故 f ( x) ? ?0, sin 1? ,故③正确,易知④错。综上,正 确序号为③。 三、 解答题 (本大题包括 6 小题, 70 分, 共 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) . 17.【试题解析】 (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d , 则 S 5 ? S 2 ? 3a1 ? 9d ? 27 , 又 a1 ? 3 ,则 d ? 2 ,故 a n ? 2n ? 1 . ……………………………………………6 分 (2)由(1)可得 S n ? n ? 2n ,又 S n ? S n ? 2 ? 8(a n ?1 ? 1) ,
2 2

即 n(n ? 2) (n ? 4) ? 8(2n ? 4) ,化简得 n 2 ? 4n ? 32 ? 0 ,
2 2

解得 n ? 4 或 n ? ?8 (舍) ,所以 n 的值为 4.……………………………………12 分 18.【试题解析】 (1) f (x) ? (m ? n) ? m ? cos x ? 3 sin x cos x ?
2

3 1 ? cos 2 x 3 3 ? ? sin 2 x ? 2 2 2 2
…………4 分

?

1 3 ?? ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 ? sin? 2 x ? ? ? 2 2 2 6? ?
2? ?? . 2

因为 ? ? 2 ,所以最小正周期 T ? (2)由(1)知 f ( x) ? sin? 2 x ?

……………………6 分

? ?

??

? ? 7? ? ?? . ? ? 2 ,当 x ? ?0, ? 时, ? 2 x ? ? 6? 6 6 6 ? 2?

一模数学试题答案(理科) 第 9 页 共 15 页

由正弦函数图象可知,当 2 x ? 所以 2 A ?

?
6

?

?
2

时, f (x) 取得最大值 3 ,又 A 为锐角 ……………………8 分

?
6

?

?
2

,A?

?
6

.

由 余 弦 定 理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 得 1 ? b 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? b ? cos

?
6

,所以

b ? 1或 b ? 2
经检验均符合题意. 从而当 b ? 1 时,△ ABC 的面积 S ?

……………………10 分

1 ? 3 ;……………11 分 ? 3 ? 1 ? sin ? 2 6 4
……………………12 分

S?

1 ? 3 . ? 3 ? 2 ? sin ? 2 6 2
D1 A1 F D A

19.【试题解析】 (1)连结 AD1 交 A1 D 于 F , ∵四边形 AA1 D1 D 为正方形, ∴ AD1 ? A1 D ,

C E
第 19 题图(1)

B

∵正方形 AA1 D1 D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂直,交线为 AD , AE ? AD , ∴ AE ? 平面 AA1 D1 D ,又 A1 D ∴ AE ? A1 D , 又 AD1 ? AE ? A ,∴ A1 D ? 平面 AD1 E ,

? 平面 AA1 D1 D

D1 A1

又 D1 E ? 平面 AD1 E ,∴ A1 D ? D1 E ………6 分

D

3 (2)存在满足条件的 AM ? 2 ? . 3
【解法一】假设存在满足条件的点 M ,过点 D 作

N
第 19 题图(2)

C B

A

M

DN ? CM 于点 N ,连结
一模数学试题答案(理科) 第 10 页 共 15 页

D1 N ,则 D1 N ? CM ,
所以 ?D1 ND 为二面角 D1 ? CM ? D 的平面角,……………………9 分 所以 ?D1 ND ?

?
6



在 Rt ?D1 ND 中, D1 D ? 1 所以 DN ? 3 , 又在 Rt ?DNC 中, CD ? AB ? 2 ,所以 ?NDC ? 在 Rt ?MCB 中, BM ? BC ? tan

?
6

,∴ ?MCB ?

?
6



?
6

?

3 3 ,∴ AM ? 2 ? . 3 3 3 ? ,且 AM ? 2 ? . 3 6

故在线段 AB 上存在一点 M ,使得二面角 D1 ? CM ? D 为

【解法二】 依题意,以 D 为坐标原点,DA 、DC 、DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 因为 AB ? 2 AD ? 2 , D?0,0,0? ,C ?0,2,0? ,D1 ?0,0,1? , 则 z 轴建立空间直角坐标系,

A1 ?1,0,1? ,所以 DD1 ? ?0,0,1? , D1C ? ?0,2, 1? . ?
易知 DD1 为平面 MCD 的法向量,设 M ?1, a,0? ?0 ? a ? 2? ,所以 MC ? ?? 1,2 ? a,0 ? ,

?? ? ?x, y, z ? ? ?0,2,?1? ? 0 ? ?n ? D1C ? 0 设平面 D1MC 的法向量为 n ? ?x, y, z ? , 所以 ? ? , ? 即 , ? n ? MC ? 0 ??x, y, z ? ? ?? 1,2 ? a,0? ? 0 ?
所以 ?

?z ? 2 y ,取 y ? 1 , ? x ? (2 ? a) y

z D1

则 n ? ?2 ? a,1,2? ,又二面角 D1 ? MC ? D 的大小为 所以 cos

?

? , 6

A1 F D x A E M B C y

?
6

?

| DD1 ? n | | DD1 | ? | n |

?

| (0,0, ? (2 ? a,1,2) | 1) 1 ? (2 ? a) ? 1 ? 2
2 2 2



第 19 题图 2

即 3a 2 ? 12 a ? 11 ? 0 ,解得 a ? 2 ?

3 . 3

一模数学试题答案(理科) 第 11 页 共 15 页

又因为 0 ? a ? 2 ,所以 a ? 2 ?

3 . 3
3 ? ,且 AM ? 2 ? . 3 6

故在线段 AB 上是存在点 M ,使二面角 D1 ? MC ? D 的大小为

……………………………………………12 分 20.【试题解析】 , ( 1 ) 设 半 焦 距 为 c . 由 题 意 A F

A的 中 垂 线 方 程 分 别 为 B

x?

a?c b a a , y ? ? (x ? ) , 2 2 b 2

于是圆心坐标为 ? ?

? a ? c b 2 ? ac ? a ? c b 2 ? ac ? .所以 p ? q ? , ? ?0, 2b ? 2 2b ? 2 ?
……………………………………………4 分

整理得 ab ? bc ? b 2 ? ac ? 0 , 即 (a ? b)(b ? c) ? 0 ,

所以 b ? c ,于是 b 2 ? c 2 ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2c 2 . 所以 e ?
2

c2 1 2 ? ,即 ? e ? 1. 2 2 2 a

……………………………………………6 分

x2 y2 2 a ? 2b ? 2c ,此时椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 , (2)当 e ? 时, 2 2c c
设 M ? x, y ? ,则 ? 2c ? x ? 所以 MF ? OD ? MO ? 当c ?

2c ,

?

?

1 2 1 1 2 x ? x ? c 2 ? ?x ? 1? ? c 2 ? . …………………8 分 2 2 2

2 1 1 7 时,上式的最小值为 c 2 ? ,即 c 2 ? ? ,得 c ? 2 ;…………10 分 2 2 2 2 2 2
时 , 上 式 的 最 小 值 为

当 0?c?

1 ( 2c) 2 ? 2c ? c 2 , 即 2

一模数学试题答案(理科) 第 12 页 共 15 页

1 7 ( 2c) 2 ? 2c ? c 2 ? , 2 2
解得 c ?

2 ? 30 ,不合题意,舍去. 4

综上所述,椭圆的方程为 21.【试题解析】 (1)由题意 F ( x) ? x ?

x2 y2 ? ? 1. 8 4

……………………………………12 分

x 2 ? ax ? 1 1 ? ,2 分 ? a ln x ,其定义域为 ?0, ? ? ,则 F ?( x) ? x2 x 2 对于 m( x) ? x ? ax ? 1,有 ? ? a 2 ? 4 . ①当 ? 2 ? a ? 2 时, F ?( x) ? 0 ,∴ F (x) 的单调增区间为 (0,??) ;
②当 a ? 2 时, F ?( x) ? 0 的两根为 x1 ?

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 , x2 ? 2 2 2 2 ? a ? a ? 4 ? ?a? a ?4 ? ?和? ∴ F (x) 的单调增区间为 ? 0, ,?? ? , ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ? ?. F (x) 的单调减区间为 ? , ? ? 2 2 ? ? 综上:当 ? 2 ? a ? 2 时, F (x) 的单调增区间为 (0,??) ;

? a ? a2 ? 4 ? ? a ? a2 ? 4 ? ? 和? 当 a ? 2 时, F (x) 的单调增区间为 ? 0, ,?? ? , ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ? ?. ………6 分 F (x) 的单调减区间为 ? , ? ? 2 2 ? ? 1 (2)对 h( x) ? x ? ? a ln x ,其定义域为 (0,??) . x 1 a x 2 ? ax ? 1 ?( x) ? 1 ? 2 ? ? 求导得, h , x x x2 由题 h?( x) ? 0 两根分别为 x1 , x 2 ,则有 x2 ? x2 ? 1 , x1 ? x2 ? ?a , ………8 分 1 1 ∴ x2 ? ,从而有 a ? ? x1 ? x1 x1
H ( x) ? x ? ?1 ?? 1 ? 1? 1 ? 1? 1? 1? ? ? ? ? x ? ? ln x ? ? ? x ? ? ? x ? ? ln ? ? 2 ?? ? x ? ? ln x ? x ? ? x ? x? x x ? x? x? x? ? ? ?? ,……10 分
一模数学试题答案(理科) 第 13 页 共 15 页

2?1 ? x ??1 ? x ?ln x ? 1 ? . H ?( x) ? 2? 2 ? 1? ln x ? x2 ?x ? ? 1? ? 1? 当 x ? ? 0, ? 时, H ?( x) ? 0 ,∴ H (x) 在 ? 0, ? 上单调递减, ? 2? ? 2? 1 又 H ( x1 ) ? h( x1 ) ? h( ) ? h( x1 ) ? h( x2 ) , x1 1 ∴ ?h( x1 ) ? h( x2 )?min ? H ( ) ? 5 ln 2 ? 3 . ………………12 分 2
请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. 【试题解析】 (1) 由题意知, AB 与圆 D 和圆 O 相切,切点分别为 A 和 B , 由切割线定理有: EA2 ? EF ? EC ? EB 2 所以 EA ? EB ,即 E 为 AB 的中点.…5 分 (2)由 BC 为圆 O 的直径,易得 BF ? CE ,

1 1 BF ? CE ? CB ? BE , 2 2 5 BF CB ∴ ∴ BF ? a. ? 5 BE CE
∴ S△BEC ? 23. 【试题解析】

………10 分

1 ? ? ? ? x ? 1 ? t cos 3 ?x ? 1? 2 t ? ? (1)直线 l 的参数方程 ? ,即 ? ( t 为参数) ? y ? ?5 ? t sin ? ? y ? ?5 ? 3 t ? ? 3 ? 2 ?
由题知 C 点的直角坐标为 ?0,4 ? ,圆 C 半径为 4 , ∴圆 C 方程为 x ? ( y ? 4) ? 16
2 2

将?

? x ? ? cos? 代入 ? y ? ? sin?
………5 分

得圆 C 极坐标方程

? ? 8sin ?

(2)由题意得,直线 l 的普通方程为 3 x ? y ? 5 ? 3 ? 0 , 圆心 C 到 l 的距离为 d ? ∴直线 l 与圆 C 相离. 24. 【试题解析】 (1)由 f ( x) ? 4 ,即 x ? 1 ? x ? 1 ? 4 ,
一模数学试题答案(理科) 第 14 页 共 15 页

?4?5? 3 2

?

9? 3 ? 4, 2
………10 分

当 x ? ?1 时,则 ? x ?1 ? 1 ? x ? 4 ,得 x ? ?2 ,∴ ? 2 ? x ? ?1; 当 ?1 ? x ? 1 时,则 x ? 1 ? 1 ? x ? 4 ,得 2 ? 4 ,恒成立,∴ ?1 ? x ? 1 ; 当 x ? 1时,则 x ? 1 ? x ?1 ? 4 ,得 x ? 2 ,∴ 1 ? x ? 2 ; 综上, M ? ?x | ?2 ? x ? 2? . (2)当 a, b ? M 时, 则 ? 2 ? a ? 2 , ? 2 ? b ? 2 . 即: a 2 ? 4 , b 2 ? 4 ,∴ 4 ? a 2 ? 0 , 4 ? b 2 ? 0 ∴ 4?a ………5 分

?

2

??4 ? b ? ? 0 ,即16 ? 4a
2

2

? 4b 2 ? a 2b 2 ? 0 ,

也就是 4a 2 ? 4b 2 ? 16 ? a 2b 2 , ∴ 4a 2 ? 8ab ? 4b 2 ? 16 ? 8ab ? a 2b 2 , 即: ?2a ? 2b ? ? ?4 ? ab? ,
2 2

即 2 a ? b ? 4 ? ab .

………10 分

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