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成考数列习题答案(高)


作业: 1、等差数列{an}中,a1=3,a100=36,则 a3+a98 等于 (A)36 (B)38 (C)39 解:因为为等差数列,所以 a1 ? a100 ? a3 ? a98 ? 3 ? 36 ? 39

(

) (D)42

2、等差数列{an} 中,S15=90,则 a8= ( (A)3 (B)4 (C)

6 (a ? a ) 2a 解: s15 ? 1 15 ?15 ? 8 ?15 ? 90, a8 ? 6 2 2 3、已知{an}是等差数列,且 a2+ a5+ a8+ a11=48,则 a6+ a7= (A)12 (B)16 (C)20

) (D)12

(

) (D)24

解:a2+ a5+ a8+ a11= (a2 ? a11 ) ? (a5 ? a8 ) ? 2(a6 ? a7 ) ? 48, a6 ? a7 ? 24 4、等差数列{an}中,a1+a2+……a10=15,a11+a12+……a20=20,则 a21+a22+……a30=( (A)15 (B)25 (C)35 (D)45 解:因为为等差数列,所以 a1+a2+……a10,a11+a12+……a20,a21+a22+……a30 为等差数列,第一项为 15,等差为 20-15=5,第三项为 25. 5、等差数列{an}中如果 a6=6,a9=9,那么 a3= ( ) 2 16 (A)3 (B) (C) (D)4 3 9 解:因为为等差数列,所以 a3 ? a6 ? a9 , a3 ? 3
2 16 6、设{an}是等比数列,且 a1= ,S3= ,则它的通项公式为 an= 3 9

)

(
n ?1

)

? 1? (A) 6 ? ? ? ?2 ?

n ?1

? 1 ? (B) 6 ? ? ? ? ? 2 ?

n

? 1? (C) 6 ? ? ? ? ? 2 ?

n ?1

? 1? (D) 6 ? ? ? ? ? 2 ?



3 2

a1 (1 ? q3 ) 2 16 解:由公式知 s3 ? ? (1 ? q ? q 2 ) ? , 1? q 3 9
7、已知等差数列公差 d>0,a3a7=-12,a4+a6=-4,则 S20=_______

a3 ? a7 ? a4 ? a6 ? ?12 a4 ? a6 ? ?4, a4 ? ?6, a6 ? 2
解: d ? 4, a1 ? ?18

s20 ? 20 ? (?18) ?

20(20 ? 1) ? 4 ? 400 2

8、数列前 n 项和为 Sn=n2+3n,则其通项 an 等于____________. 解: an ? sn ? sn?1 ? n2 ? 3n ? (n ?1)2 ? 3(n ?1) ? 2n ? 2 9、等差数列{an}中, 前 4 项和为 26, 后 4 项之和为 110, 且 n 项和为 187, 则 n 的值为 ____________. 解:a1+a2+a3+a4=26, an-3+an-2+an-1+an=110 因为 m+n=p+q 时,am+an=ap+aq 所以 a1+an=(26+110)/4=34

sn=n(a1+an)/2=187 n=11 10、等差数列{an}中, S6=28, S10=36(Sn 为前 n 项和), 则 S15 等于________.

s5 ? 5a1 ? 10d ? 28 s10 ? 10a1 ? 45d ? 36
解:

4 36 d ? ? , a1 ? 5 5 s15 ? 15a1 ? 105d ? 24

11、已知{an}是等差数列,且有 a2+a3+a10+a11=48, 则 a6+a7=____________. a2+a3+a10+a11= (a2 ? a11 ) ? (a3 ? a10 ) ? 2(a6 ? a7 ) ? 48, a6 ? a7 ? 24 12、数列{ an }是首项为 23,公差为整数的等差数列,且前 6 项为正,从第 7 项开始变为负的, 回答下列各问:(1)求此等差数列的公差 d;(2)设前 n 项和为 S n ,求 S n 的最大值;(3)当 S n 是正数 时,求 n 的最大值. (1)由 a6=23+5d>0 和 a7=23+6d<0,得公差 d=-4.(2)由 a6>0,a7<0,∴S6 最大, S6=8.(3)由 1 a1=23,d=-4,则 S n = n(50-4n),设 S n >0,得 n<12.5,整数 n 的最大值为 12. 2 13、设数列{ an }的前 n 项和 S n .已知首项 a1=3,且 S n?1 + S n =2 a n?1 ,试求此数列的通项公式 an 及 前 n 项和 S n . ∵a1=3, ∴S1=a1=3.在 Sn+1+Sn=2an+1 中,设 n=1,有 S2+S1=2a2.而 S2=a1+a2.即 a1+a2+a1=2a2.∴ a2=6. 由 Sn+1+Sn=2an+1,……(1) Sn+2+Sn+1=2an+2,……(2) (2)-(1),得 Sn+2-Sn+1=2an+2-2an+1,∴an+1+an+2=2an+2-2an+1 即 an+2=3an+1
? 3, 当n ? 1时, 此数列从第 2 项开始成等比数列,公比 q=3.an 的通项公式 an= ? n ?1 ?2 ? 3 , 当n ? 2时.

此数列的前 n 项和为 Sn=3+2× 3+2× 2+…+2× n – 1=3+ 3 3

2 ? 3(3 n ?1 ? 1) n =3 . 3 ?1

14、在等比数列 ?an ?中,已知, a1 ? a2 ? 30 , a3 ? a4 ? 120,求 a5 ? a6 的值 解: a1 ? a2 ? 30 , a3 ? a4 ? 120 知

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 30 ? 120 ? 150 (a1 ? a3 ) ? (a2 ? a4 ) ? 150

, )

16、设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,且 a2 ? a4 ? 8 ,则 a1 ? a7 等于( (A)8 B.16 (C)32 (D)64
( 解: a1 ? a7 ? a2 ? a4 q 3 ? a2 a4 q 2 ? 8 ? 22 ? 32) q

17、在等差数列 ?an ? 中, a3 ? 1 , a8 ? 11 ,则 a13 ?

(A)??

(B)??

(C)??

(D)?22

? a ? a3 ? (8 ? 3)d ? 1 ? 5d ? 11, d ? 2, a13 ? a3 ? (13 ? 3)d ? 1 ? 10d ? 1 ? 10 ? 2 ? 21? 解: ? 8 ? 2 ?或者这样解:a8是a3和a13的等差中项,a8 =a13 +a3,a13 =2a8 ? a3 =2 ?11 ? 1=21 ?

18、在等差数列 ?an ? 中, a3 ? 1 , a5 ? ?7 ,则 a7 ? (A)?11 (B)?13 (C)?15 (D)?17 解: ?a5 ? a3 ? (7 ? 3)d ? 1 ? 2d ? ?7,
d ? ?4, a7 ? a5 ? 2d ? ?7 ? 2 ? (?4)= ?15?
1 。求: 2

19、已知等比数列 ?an ? 中, a3 ? 16 ,公比 q ? (Ⅰ)数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)数列 ?an ? 的前 7 项的和。
2

?1? ?1? 解(Ⅰ) a3 ? a1q 2 , a1 ? ? ? =16 , a1 =64 , an ? a1q n?1 ? 64 ? ? ? ? 2? ?2?

n ?1

? 27?n ? 26 ? 21?n ? 27?n

? ? 1 ?7 ? 64 ?1 ? ? ? ? 7 a1 (1 ? q n ) ? ?2? ? ? ? ? 128 ?1 ? ? 1 ? ? =128 ?1 ? 1 ? ? 127 (Ⅱ) S7 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1? q ? 128 ? ? ?2? ? ? ? 1? 2

20、设等比数列 ?an ? 的各项都为正数, a1 ? 1 , a3 ? 9 ,则公比 q ? 解: (A)3 (B)2 (C)-2 (D)-3 21、在等比数列 ?an ? 中, a2 =6 , a4 =24 , a6 = (A)8 (B)24 (C)96 (D)384
2 ? ? a4 242 2 解: ? a2 a6 ? a4 ? a6 ? ? ? 96 ? a2 6 ? ?

22、已知等差数列 {an } 的第四项是 10,第八项是 22。 (1): 求此数列的通项公式。 (2):求它的第十项。

a4 ? a1 ? 3d ? 10, a8 ? a1 ? 7d ? 22
解: (1) a1 ? 1, d ? 3

an ? 1 ? (n ? 1)3 ? 3n ? 2
(2)

an ? 3n ? 2 a10 ? 28

23、 首项为 25 的等差数列中,前 9 项和等于前 17 项和,这个数列前多少项的和最大。 解:前 9 项的和等于前 17 项的和,说明中间 8 项和是 0,又知首项为 25,设公差 d。 (25-9d)+(25-10d)+(25-11d)+……+(25-16d)=0 (25-9d+25-16d)×8÷ 2=0 50-25d=0 d=2 第 13 项为 1,第 14 项是负数,因此前 13 项的和最大。

(25+1)×13÷2=169 24、 在等比数列中,首项为 2,公比为 3,将此数列的每一项取以 3 为底的对数构成数列 bn (1) 求 bn 的通项公式 (2) bn的前多少项和为 log3 2 ? 45 10 解:(1)

an ? 2 ? 3n ?1 bn ? log3 an ? log3 (2 ? 3n?1 ) ? log 3 2 ? log 3 3n?1 ? ( n ? 1) ? log 3 2

sn ? b1 ? b2 ? ..... ? bn ? (0 ? 1 ? 2 ? ... ? n ? 1) ? (n ? 1) log 3 2

(2) ?

(n ? 1) n ? n log 3 2 ? 10 log 3 2 ? 45 2 n ? 10

25、

等比数列中, a 7 ? a11 ? 6, a 4 ? a14 ? 5,

a 20 ? a10

解:由定比数列性质可知 a7a11=a4a14=6 又因为 a4+a14=5 联立方程可知 a4=2 时 a14=3 或者 a4=3 时 a14=2 所以 q^10=a14/a4=2/3 或 3/2 a20/a10 =q^10=2/3 或 3/2 26、 等差数列的前 n 项和为 s n ? 2n 2 ? n ,则通项公式为多少。

解: an ? sn ? sn?1 ? 2n2 ? n ? 2(n ?1)2 ? (n ?1) ? 4n ?1 27、 三个数 a,b,c 成等比数列,其和为 27,a,b+2,c 成等差数列,求这三个数。 那么 b^2=ac 又 abc=27 所以 b^2=27/b 联立 解得 a=1 c=9 b^3=27 b=3

解:三个数 a,b,c 成等比数列

又 a,b+2,c 成等差数列 所以 a+c=10

因为 ac=b^2=9

或 a=9 c=1


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