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高考一轮复习-直线与圆的方程


第七章直线与圆的方程 §7.1 直线的方程

1.设直线 l 与 x 轴的交点是 P,且倾斜角为 ? ,若将此直线绕点 P 按逆时针方向旋转 45°,得到直线的倾斜角 为 ? +45°,则 A.0°≤ ? <180° C. 0°< ? ≤135° 答案 D
3

基础自测

( B.0°≤ ? <135° D.

0°< ? <135° ( D.120° ( C.1 或 3 D.1 或 4 ( C.x-2y=0 D.x+2y-5=0



2.(2008?全国Ⅰ文)曲线 y=x -2x+4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为 A.30° 答案 A.1 答案 A B B.45° C.60°



3.过点 M(-2,m) ,N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为 B.4

)

4.过点 P(-1,2)且方向向量为 a=(-1,2)的直线方程为 A.2x+y=0 答案 为 答案 A . x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 B.x-2y+5=0



5.(2009?株州模拟)一条直线经过点 A(-2,2) ,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1,则此直线的方程

例 1 已知三点 A(1,-1) ,B(3,3) ,C(4,5).? 求证:A、B、C 三点在同一条直线上.? 证明 方法一 ∵A(1,-1) ,B(3,3) ,C(4,5) ,? ∴kAB=
3 ?1 5?3 =2,kBC= =2,∴kAB=kBC,? 4?3 3 ?1

∴A、B、C 三点共线.? 方法二 ∵A(1 又∵ AB 与 BC 有公共点 B,∴A、B、C 三点共线.? 例 2 已知实数 x,y 满足 y=x -2x+2 (-1≤x≤1). 试求: 解 由
y?3 的最大值与最小值. x?2 y?3 的几何意义可知,它表示经过定点 P(-2,-3)与曲线段 AB 上任一点(x,y)的直线的斜率 k, x?2
2

如图可知:kPA≤k≤kPB, 由已知可得:A(1,1) ,B(-1,5) ,

∴ 故

4 ≤k≤8, 3
y?3 4 的最大值为 8,最小值为 . x?2 3

例 3 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2) ,且在两坐标轴上的截距相等; (2)经过点 A(-1,-3) ,倾斜角等于直线 y=3x 的倾斜角的 2 倍. 例 4 (12 分)过点 P(2,1)的直线 l 交 x 轴、y 轴正半轴于 A、B 两点,求使: (1)△AOB 面积最小时 l 的方程; (2)|PA|?|PB|最小时 l 的方程. 解 方法一 设直线的方程为
2 1 ? ?1. a b x y ? ? 1 (a>2,b>1), a b

由已知可得

2分

(1)∵2 ∴S△AOB= 当且仅当 (2)由

2 1 2 1 ? ≤ ? =1,∴ab≥8. a b a b

1 ab≥4. 2

4分

x y 2 1 1 = = ,即 a=4,b=2 时,S△AOB 取最小值 4,此时直线 l 的方程为 ? =1,即 x+2y-4=0. 6 分 4 2 a b 2

2 1 + =1,得 ab-a-2b=0, a b

变形得(a-2)(b-1)=2, |PA|?|PB| = (2 ? a) 2 ? (1 ? 0) 2 ? (2 ? 0) 2 ? (1 ? b) 2 = [(2 ? a) 2 ? 1] ?[(1 ? b) 2 ? 4] ≥ 2(a ? 2) ? 4(b ? 1) . 当且仅当 a-2=1,b-1=2, 即 a=3,b=3 时,|PA|?|PB|取最小值 4. 此时直线 l 的方程为 x+y-3=0. 方法二 设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2) (k<0), 则 l 与 x 轴、y 轴正半轴分别交于 12 分 10 分

1 ? ? A ? 2 ? ,0 ? 、B(0,1-2k). k ? ?
(1)S△AOB= =
1 ? 1? ? 2 ? ? (1-2k) 2 ? k?

1 1 ? ? ? ?4 ? (?4k ) ? (? )? 2 k ? ? 1 (4+4)=4. 2
1 1 1 ,即 k=- 时取最小值,此时直线 l 的方程为 y-1=- (x-2),即 x+2y-4=0. k 2 2



当且仅当-4k=-

6分

1 (2)|PA|?|PB|= ( ) 2 ? 1? 4 ? 4k 2 k
=

4 ? 4k 2 ? 8 ≥4, k2
4 k
2

当且仅当 12 分

=4k ,即 k=-1 时取得最小值,此时直线 l 的方程为 y-1=-(x-2),即 x+y-3=0.

2

1.设 a,b,c 是互不相等的三个实数,如果 A(a,a ) 、B(b,b ) 、C(c,c )在同一直线上,求证:a+b+c=0. ?证明 ∵A、B、C 三点共线,∴kAB=kAC,? ∴
a 3 ? b3 a 3 ? c 3 2 2 2 2 ? ,化简得 a +ab+b =a +ac+c ,? a ?b a?c
2 2

3

3

3

∴b -c +ab-ac=0, (b-c) (a+b+c)=0,? ∵a、b、c 互不相等,∴b-c≠0,∴a+b+c=0. 2.(2009?宜昌调研)若实数 x,y 满足等式(x-2) +y =3,那么
1 2
2 2

y 的最大值为 x



)?

? A.

B.

3 ? 3

? C.

3 2

D. 3 ?

答案? D ?? 3.(1)求经过点 A(-5,2)且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程; (2)过点 A(8,6)引三条直线 l1,l2,l3,它们的倾斜角之比为 1∶2∶4,若直线 l2 的方程是 y= 线 l1,l3 的方程. 解 (1)①当直线 l 在 x、y 轴上的截距都为零时, 设所求的直线方程为 y=kx, 将(-5,2)代入 y=kx 中, 得 k=2 2 ,此时,直线方程为 y=- x, 5 5 3 x,求直 4

即 2x+5y=0. ②当横截距、纵截距都不是零时, 设所求直线方程为
y x ? =1, 2a a

将(-5,2)代入所设方程, 解得 a=1 , 2

此时,直线方程为 x+2y+1=0. 综上所述,所求直线方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0. (2)设直线 l2 的倾斜角为 ? ,则 tan ? =
3 . 4

? 1 ? cos? 于是 tan = = 2 sin ?

1?

4 5 ?1, 3 3 5

3 4 ? 24 , ? tan2 ? = 2 3 7 1 ? tan ? 1 ? ( ) 2 4 2 tan ? 2?

所以所求直线 l1 的方程为 y-6= 即 x-3y+10=0,l3 的方程为 y-6= 即 24x-7y-150=0.

1 (x-8), 3
24 (x-8), 7

4.直线 l 经过点 P(3,2)且与 x,y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,△OAB 的面积为 12,求直线 l 的方程. 解 方法一 设直线 l 的方程为
x y ? ? 1 (a>0,b>0), a b

∴A(a,0),B(0,b),
?ab ? 24, ?a ? 6, ? ∴ ?3 2 解得 ? ? ? 1 . ?b ? 4. ?a b ?

∴所求的直线方程为 即 2x+3y-12=0. 方法二

x y ? =1, 6 4

设直线 l 的方程为 y-2=k(x-3),
2 , k

令 y=0,得直线 l 在 x 轴上的截距 a=3-

令 x=0,得直线 l 在 y 轴上的截距 b=2-3k.
2 2? ? ∴ ? 3 ? ? (2-3k)=24.解得 k=- . 3 k ? ?

∴所求直线方程为 y-2=即 2x+3y-12=0.

2 (x-3). 3

一、选择题 1.直线 xcos ? +y-1=0 ( ? ∈R)的倾斜角的范围是 A. ?0, ? ? ( ) ?

?? 3 ? B. ? , ? ? ? ?4 4 ?

? ? ?? C. ?? , ? ? 4 4?
答案? D ?? 2.已知直线 l 过点(a,1), (a+1,tan ? +1),则 ? A. ? 一定是直线 l 的倾斜角? ? B. ? 一定不是直线 l 的倾斜角? ? C. ? 不一定是直线 l 的倾斜角? ? D.180°- ? 一定是直线 l 的倾斜角? 答案? C ??

? ? ? ?3 ? D. ?0, ? ? ? ? , ? ? 4 4 ? ? ? ?
( )?

3.已知直线 l 经过 A(2,1) ,B(1,m ) (m∈R)两点,那么直线 l 的倾斜角的取值范围是( A. ?0, ? ?

2

) ?

? ? ? ?? ? B. ?0, ? ? ? , ? ? ? ? 4? ? 2 ? ?? ? ? ? ? ? D. ? , ? ? ? , ? ? 4 2 2 ? ? ? ?
* *

? ?? C. ?0, ? ? 4?
答案 ? A.1 答案? B ?? B

4.过点(1,3)作直线 l,若经过点(a,0)和(0,b) ,且 a∈N ,b∈N ,则可作出的 l 的条数为( B.2 C.3 D.4 ? )?



5.经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方程为( ? A.x+2y-6=0 ? C.x-2y+7=0 答案? B ?? B.2x+y-6=0 ? D.x-2y-7=0 ?

6.若点 A(2,-3)是直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的公共点,则相异两点(a1,b1)和(a2,b2)所确定的 直线方程是 ? A.2x-3y+1=0 ? C.2x-3y-1=0 答案? A ?? 二、填空题 7.(2008?浙江理,11)已知 a>0,若平面内三点 A(1,-a) ,B(2,a ) ,C(3,a )共线,则 a= 答案 1+ 2 .
1 3
2 3

( B.3x-2y+1=0 ? D.3x-2y-1=0 ?

)?

.

8.已知两点 A(-1,-5) ,B(3,-2) ,若直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半,则 l 的斜率是 答案

三、解答题 9.已知线段 PQ 两端点的坐标分别为(-1,1) 、 (2,2) ,若直线 l:x+my+m=0 与线段 PQ 有交点,求 m 的取值 范围. 解 kAP= 则∴方法一 直线 x+my+m=0 恒过 A(0,-1)点.
?1 ? 1 ?1 ? 2 3 =-2,kAQ= = , 0 ?1 0?2 2 1 3 1 ≥ 或- ≤-2, m m 2

2 1 ≤m≤ 且 m≠0. 3 2

又∵m=0 时直线 x+my+m=0 与线段 PQ 有交点, ∴所求 m 的取值范围是方法二 y-1=
2 1 ≤m≤ . 3 2

过 P、Q 两点的直线方程为

2 ?1 1 4 (x+1),即 y= x+ , 2 ?1 3 3

代入 x+my+m=0, 整理,得 x=7m . m?3

由已知-1≤解得-

7m ≤2, m?3

2 1 ≤m ≤ . 3 2

10.已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满足下列条件的直线 l 的方程: (1)过定点 A(-3,4) ; (2)斜率为 解
1 . 6
4 -3,3k+4, k

(1)设直线 l 的方程是 y=k(x+3)+4,它在 x 轴,y 轴上的截距分别是4 +3)=±6, k

由已知,得(3k+4) ( 解得 k1=2 8 或 k2=- . 3 3

直线 l 的方程为 2x+3y-6=0 或 8x+3y+12=0. (2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b,则直线 l 的方程是 y= 由已知,得|-6b?b|=6,∴b=±1. ∴直线 l 的方程为 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0. 11.已知两点 A(-1,2) ,B(m,3). (1)求直线 AB 的方程;
? ? 3 ? 1, 3 ? 1? ,求直线 AB 的倾斜角 ? 的取值范围. (2)已知实数 m∈ ?? ? ? ? 3 ?

1 x+b,它在 x 轴上的截距是-6b, 6



(1)当 m=-1 时,直线 AB 的方程为 x=-1,
1 (x+1). m ?1

当 m≠-1 时,直线 AB 的方程为 y-2= (2)①当 m=-1 时, ? =

? ; 2

? 3 ? ,0 ? ? 0, 3 , ②当 m≠-1 时,m+1∈ ?? ? ? ? 3 ?
? 3 ? 1 ,?? ? , ∈(-∞,- 3 ]∪ ? ? m ?1 ? ? 3 ?

?

?

∴k=

? ? ? ? ? ? 2? ? ∴? ∈ ? , ??? , ? . ?6 2? ? 2 3 ?
? ? 2? ? 综合①②知,直线 AB 的倾斜角 ? ∈ ? , ?. ?6 3 ?
12.过点 P(3,0)作一直线,使它夹在两直线 l1:2x-y-2=0 与 l2:x+y+3=0 之间的线段 AB 恰被点 P 平分,求 此直线的方程. 解 方法一 设点 A(x,y)在 l1 上,

? x ? xB ?3 ? ? 由题意知 ? 2 ,∴点 B(6-x,-y) , ? y ? yB ? 0 ? ? 2

?2x ? y ? 2 ? 0 解方程组 ? , ?(6 ? x) ? (? y) ? 3 ? 0
11 ? ?x ? 3 ? 得? ,∴k= ? y ? 16 ? 3 ?
16 ?0 3 ?8. 11 ?3 3

∴所求的直线方程为 y=8(x-3), 即 8x-y-24=0. 方法二 设所求的直线方程为 y=k(x-3),

3k ? 2 ? x ? ? ? y ? k ( x ? 3) ? A k ?2 则? ,解得 ? , ?2 x ? y ? 2 ? 0 ? y ? 4k A ? k ?2 ? 3k ? 3 ? x ? ? ? y ? k ( x ? 3) ? B k ?1 由? ,解得 ? . ? x ? y ? 3 ? 0 ? ? y ? 6k B ? k ?1 ?

∵P(3,0)是线段 AB 的中点, ∴yA+yB=0,即
2

4k ?6k + =0, k ? 2 k ?1

∴k -8k=0,解得 k=0 或 k=8. 又∵当 k=0 时,xA=1,xB=-3, 此时
x A ? xB 1? 3 ? ? 3 ,∴k=0 舍去, 2 2

∴所求的直线方程为 y=8(x-3), 即 8x-y-24=0.

§7.2 两直线的位置关系

基础自测
1.如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,那么实数 a 等于 A.-3 答案? B ?? 2.已知直线 2x+y-2=0 和 mx-y+1=0 的夹角为 A.C.1 或-3 3 1 或3 3

( D.

)?
2 ? 3

B.-6

C.-

3 2

? ,那么 m 的值为 4
B. D.
1 ? 3 1 或-3 ? 3



)?

答案? C ?

3.已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y=1 平行,则 m 的值为( ? A.0 ? B.-8 ? C.2 答案? B ??

)? D.10 ? ( D.2 ? )?

4.已知直线 l1:y=2x+3,直线 l2 与 l1 关于直线 y=x 对称,直线 l3⊥l2,则 l3 的斜率为 ? A.
1 2

? B.-

1 2

C.-2 ?

答案? C ?? 5.(2009?岳阳模拟)若直线 l 经过点(a-2,-1)和(-a-2,1)且与经过点(-2,1) ,斜率为直,则实数 a 的值为 答案 2 3 2 的直线垂 3

.

例 1 已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a -1=0, (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2)l1⊥l2 时,求 a 的值. 解 (1)方法一 当 a=1 时,l1:x+2y+6=0, l2:x=0,l1 不平行于 l2; 当 a=0 时,l1:y=-3, l2:x-y-1=0,l1 不平行于 l2; 当 a≠1 且 a≠0 时,两直线可化为 l1:y=a 1 x -3,l2:y= x -(a+1), 2 1? a

2

1 ? a ?? ? l1∥l2 ? ? 2 1 ? a ,解得 a=-1, ?? 3 ? ?(a ? 1) ?

综上可知,a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. 方法二 由 A1B2-A2B1=0,得 a(a-1)-1?2=0,
2

由 A1C2-A2C1≠0,得 a(a -1)-1?6≠0,
? ?a (a ? 1) ? 1 ? 2 ? 0 ∴l1∥l2 ? ? 2 ? ?a (a ? 1) ? 1 ? 6 ? 0
2 ? ?a ? a ? 2 ? 0 ? ? ? a=-1, 2 ? ?a(a ? 1) ? 6

故当 a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. (2)方法一 当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0, l1 与 l2 不垂直,故 a=1 不成立. 当 a≠1 时,l1:y=l2:y=
a x-3, 2

1 x -(a+1), 1? a

1 2 ? a? 由 ?? ? ? =-1 ? a= . 3 ? 2 ? 1? a

方法二

由 A1A2+B1B2=0,得 a+2(a-1)=0 ? a=

2 . 3

例 2 求过两直线 l1:x+y+1=0,l2:5x-y-1=0 的交点,且与直线 3x+2y+1=0 的夹角为

? 的直线方程.? 4

例 3 (12 分)已知直线 l 过点 P(3,1)且被两平行线 l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0 截得的线段长为 5,求直线 l 的方程. 例 4 求直线 l1:y=2x+3 关于直线 l:y=x+1 对称的直线 l2 的方程. 解 方法一

? y ? 2x ? 3 由? ?y ? x ?1

知直线 l1 与 l 的交点坐标为(-2,-1) , ∴设直线 l2 的方程为 y+1=k(x+2), 即 kx-y+2k-1=0. 在直线 l 上任取一点(1,2) , 由题设知点(1,2)到直线 l1、l2 的距离相等, 由点到直线的距离公式得
k ? 2 ? 2k ? 1 1 ?k
2 2

=

2?2?3 2 2 ? (?1) 2



解得 k=

1 (k=2 舍去), 2

∴直线 l2 的方程为 x-2y=0. 方法二 设所求直线上一点 P(x,y), 则在直线 l1 上必存在一点 P1(x0,y0)与点 P 关于直线 l 对称. 由题设:直线 PP1 与直线 l 垂直,且线段 PP1 的中点

? x ? x0 y ? y 0 P2 ? ? , 2 ? 2

? ? 在直线 l 上. ? ?

? y0 ? y ? x ? x ? 1 ? ?1 ?x ? y ? 1 ? ∴? 0 ,变形得 ? 0 , ? y0 ? x ? 1 ? y ? y 0 ? x ? x0 ? 1 ? 2 2 ?
代入直线 l1:y=2x+3,得 x+1=2?(y-1)+3, 整理得 x-2y=0. 所以所求直线方程为 x-2y=0.

1.已知两条直线 l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当 m 分别为何值时,l1 与 l2: (1)相交?(2)平行?(3)垂直? 解 当 m=-5 时,显然,l1 与 l2 相交; 当 m≠-5 时,易得两直线 l1 和 l2 的斜率分别为

k1=-

3? m 2 ,k2=, 4 5?m 5 ? 3m 8 ,b2= . 4 5?m

它们在 y 轴上的截距分别为 b1= (1)由 k1≠k2,得m≠-7 且 m≠-1.

3? m 2 ≠, 4 5?m

∴当 m≠-7 且 m≠-1 时,l1 与 l2 相交.
2 ? 3? m ? ?? ? ?k1 ? k 2 , ? 4 5?m (2)由 ? ,得 ? ,m=-7. ?b1 ? b2 , ? 5 ? 3m ? 8 ? 5?m ? 4

∴当 m=-7 时,l1 与 l2 平行. (3)由 k1k2=-1, 得3? m 13 2 ? ? ? ?? . ? =-1,m=4 3 5 ? m ? ?

∴当 m=-

13 时,l1 与 l2 垂直. 3

2.某人在一山坡 P 处观看对面山顶上的一座铁塔,如图所示,塔高 BC=80(米) ,塔所在的山高 OB=220(米) , OA=200(米) ,图中所示的山坡可视为直线 l,且点 P 在直线 l 上,l 与水平地面的夹角为 ? ,tan ? = 问,此人距水平地面多高时,观看塔的视角∠BPC 最大(不计此人的身高)??
1 .试 2

解 如图所示,建立平面直角坐标系,?

则 A(200,0) ,B(0,220) ,C(0,300).? 直线 l 的方程为 y=(x-200)tan ? ,则 y= 设点 P 的坐标为(x,y) ,则 P(x, 由经过两点的直线的斜率公式?
x ? 200 .? 2

x ? 200 )(x>200).? 2

x ? 200 ? 300 x ? 800 2 ? kPC= ,? x 2x

x ? 200 ? 220 x ? 640 2 kPB= .? ? x 2x

由直线 PC 到直线 PB 的角的公式得?
k ? k PC ? ? tan∠BPC= PB 1 ? k PB · k PC 160 2x x ? 800 x ? 640 1? · 2x 2x

=

64 x 64 (x>200).? ? x ? ? 288x ? 160 ? 640 x ? 160 ? 640 ? 288 x
160 ? 640 -288 达到最小,由均值不等式? x

要使 tan∠BPC 达到最大,只需 x+ x+

160 ? 640 -288≥2 160 ? 640 -288,? x 160 ? 640 时上式取得等号.? x

当且仅当 x=

故当 x=320 时,tan∠BPC 最大.? 这时,点 P 的纵坐标 y 为 y= 由此实际问题知 0<∠BPC< 看铁塔的视角∠BPC 最大. 3.已知三条直线 l1:2x-y+a=0(a>0),直线 l2:4x-2y-1=0 和直线 l3:x+y-1=0,且 l1 与 l2 的距离是 (1)求 a 的值; (2)能否找到一点 P,使得 P 点同时满足下列三个条件: ①P 是第一象限的点;②P 点到 l1 的距离是 P 点到 l2 的距离的
1 ;③P 点到 l1 的距离与 P 点到 l3 的距离之 2
7 5. 10
320 ? 200 =60.? 2

? ,所以 tan∠BPC 最大时,∠BPC 最大.故当此人距水平地面 60 米高时,观 2

比是 2 ∶ 5 .若能,求 P 点坐标;若不能,说明理由. 解 (1)l2 即为 2x-y1 =0, 2

∴l1 与 l2 的距离 d=
1 2

1 a ? (? ) 2 2 ? (?1)
2 2

?

7 5 , 10

a?



5

=

7 5 1 7 ,∴ a ? = , 10 2 2

∵a>0,∴a=3. (2)假设存在这样的 P 点. 设点 P(x0,y0),若 P 点满足条件②,则 P 点在与 l1、l2 平行的直线 l′:2x-y+C=0 上,



C ?3

1 = 2 5

C? 5

1 2

,即 C=

13 11 或 C= , 2 6

∴2x0-y0+

13 11 =0 或 2x0-y0+ =0; 2 6

若 P 点满足条件③,由点到直线的距离公式 即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|, ∴x0-2y0+4=0 或 3x0+2=0;

2 x0 ? y0 ? 3 5

=

2 5

?

x0 ? y 0 ? 1 2



由于 P 点在第一象限,∴3x0+2=0 不满足题意.
13 ? ?0 ?2 x ? y 0 ? 联立方程 ? 0 , 2 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 0 ? 0 ? x0 ? ?3, ? 解得 ? 1 (舍去). ? y0 ? , 2 ?

1 ? 11 ? ? x0 ? 9 ? 0, ?2 x0 ? y 0 ? ? 由? 解得 ? 6 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? y ? 37 0 ? 0 0 ? 18 ?

? 1 37 ? ∴假设成立,点 P ? , ? 即为同时满足三个条件的点. ? 9 18 ?
4.光线沿直线 l1:x-2y+5=0 射入,遇直线 l:3x-2y+7=0 后反射,求反射光线所在的直线方程. 解 方法一

? x ? 2 y ? 5 ? 0, 由? ?3x ? 2 y ? 7 ? 0.

? x ? ?1, 得? ? y ? 2.
∴反射点 M 的坐标为(-1,2). 又取直线 x-2y+5=0 上一点 P(-5,0) ,设 P 关于直线 l 的对称点 P P ? ⊥l 可知, kPP′=? x0 , y 0 ) , 由 P (

y0 2 = . 3 x0 ? 5

? x ? 5 y0 ? 而 PP′的中点 Q 的坐标为 ? 0 , ?, 2? ? 2
Q 点在 l 上,∴3?

y x0 ? 5 -2? 0 +7=0. 2 2

2 ? y0 17 ? x ?? , ?x ?5 ? ? 3 , ? ? 0 ? 0 13 由? 得? 3 ? ( x ? 5) ? y ? 7 ? 0. ? y ? ? 32 . 0 0 ? ?2 0 13 ? ?
根据直线的两点式方程可得 l 的方程为 29x-2y+33=0. 方法二 则 设直线 x-2y+5=0 上任意一点 P(x0,y0)关于直线 l 的对称点为 P′(x,y),

y0 ? y 2 ?? , x0 ? x 3

? x ? x0 y ? y0 ? 又 PP′的中点 Q ? , ? 在 l 上, 2 ? ? 2
∴3?

x ? x0 y ? y0 -2? +7=0, 2 2

2 ? y0 ? y ?x ?x ??3 ? 由? 0 ?3 ? x0 ? x ? ( y ? y ) ? 7 ? 0 0 ? 2 ?
可得 P 点的坐标为 x0=
?5 x ? 12 y ? 42 12 x ? 5 y ? 28 ,y0= , 13 13

代入方程 x-2y+5=0 中, 化简得 29x-2y+33=0, 即为所求反射光线所在的直线方程.

一、 选择题 1.(2008?全国Ⅱ文)原点到直线 x+2y-5=0 的距离为 A.1 B. 3 C.2 D. 5 ( )

2.A、B 是 x 轴上两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x-y+1=0,则直线 PB 的方程为 ( A.2x-y-1=0 C.2x+y-7=0 l2 的方程为 A.x+3y-5=0 C.x-3y+5=0 B.x+3y-15=0 D.x-3y+15=0 B.x+y-5=0 D.2y-x-4=0 ( ) )

3.已知直线 l1 的方向向量 a=(1,3),直线 l2 的方向向量 b=(-1,k),若直线 l2 经过点(0,5) ,且 l1⊥l2,则直线

4.已知三条直线 l1:y= 3 x-1,l2:y=1,l3:x+y+1=0,l1 与 l2 的夹角为 ? ,l2 与 l3 的夹角为 ? ,则 ? + ? 的值为 ( )? A.75°? ? B.105° C.165° B.f(x-2,y)=0 ? D.f(y-2,x+2)=0 ? ) B.y=2x+3 D.y=1 5 x+ ? 2 2

D.195°?? ( )?

5.曲线 f(x,y)=0 关于直线 x-y-2=0 对称的曲线方程是 ? A.f(y+2,x)=0 ? C.f(y+2,x-2)=0 A.y=2x+5 C.y=3x+5 ? 二、填空题 7.设直线 l 经过点 A(-1,1) ,则当点 B(2,-1)与直线 l 的距离最远时,直线 l 的方程为 8.直线 2x+3y-6=0 关于点 M(1,-1)对称的直线方程是 三、解答题 9.已知直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求 m 的值,使得:? (1)l1 与 l2 相交; (2)l1⊥l2;(3)l1∥l2;(4)l1,l2 重合.? 解(1)由已知 1?3≠m(m-2),? 即 m -2m-3≠0,? 解得 m≠-1 且 m≠3.?
2

6.设△ABC 的一个顶点是 A(3,-1) ,∠B,∠C 的平分线方程分别为 x=0,y=x,则直线 BC 的方程是(

.?

.

故当 m≠-1 且 m≠3 时,l1 与 l2 相交.? (2)当 1? (m-2)+m?3=0, 即 m=
1 时,l1⊥l2.? 2

(3)当

1 m 6 = ≠ , m?2 3 2m

即 m=-1 时,l1∥l2.? (4)当
1 m 6 = = ,? m ? 2 3 2m

即 m=3 时,l1 与 l2 重合. 10.已知 A(0,3) 、B(-1,0) 、C(3,0) ,求 D 点的坐标,使四边形 ABCD 为直角梯形(A、B、C、D 按逆时 针方向排列). 解 设所求点 D 的坐标为(x,y) ,如图所示,由于 kAB=3,kBC=0, ∴kAB?kBC=0≠-1, 即 AB 与 BC 不垂直,故 AB、BC 都不可作为直角梯形的直角边. (1)若 CD 是直角梯形的直角边,则 BC⊥CD,AD⊥CD, ∵kBC=0,∴CD 的斜率不存在,从而有 x=3. 又 kAD=kBC,∴
y ?3 =0,即 y=3. x

此时 AB 与 CD 不平行. 故所求点 D 的坐标为(3,3). (2)若 AD 是直角梯形的直角边, 则 AD⊥AB,AD⊥CD, kAD=
y ?3 y ,kCD= . x x?3 y ?3 ?3=-1. x

由于 AD⊥AB,∴ 又 AB∥CD,∴

y =3. x?3

18 ? x? , ? ? 5 解上述两式可得 ? 9 ?y ? , ? 5 ?

此时 AD 与 BC 不平行.

? 18 9 ? 故所求点 D 的坐标为 ? , ? , ? 5 5? ? 18 9 ? 综上可知,使 ABCD 为直角梯形的点 D 的坐标可以为(3,3)或 ? , ? . ? 5 5?
11.一条光线经过 P(2,3)点,射在直线 l:x+y+1=0 上,反射后穿过 Q(1,1). (1)求光线的入射方程; (2)求这条光线从 P 到 Q 的长度. 解 (1)设点 Q ?( x ?, y ?) 为 Q 关于直线 l 的对称点且 QQ? 交 l 于 M 点,∵kl=-1,∴kQQ′=1. ∴ QQ? 所在直线方程为 y-1=1? (x-1) 即 x-y=0.

? x ? y ? 1 ? 0, 由? ? x ? y ? 0,
? 1 1? 解得 l 与 QQ′的交点 M 的坐标为 ? ? ,? ? . ? 2 2?
又∵M 为 QQ′的中点,
?1 ? x ' 1 ?? ? ? 2 2 由此得 ? . ' 1 ?1 ? y ?? ? 2 ? 2
' ? ? x ? ?2, 解之得 ? ∴ Q? (-2,-2). ' ? ? y ? ?2 .

设入射线与 l 交点 N,且 P,N, Q? 共线. 则 P(2,3) , Q? (-2,-2) ,得入射线方程为
y?2 x?2 ? ,即 5x-4y+2=0. 3? 2 2? 2

(2)∵l 是 QQ′的垂直平分线,因而|NQ|= | NQ ? | . ∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|= | PQ? | = (3 ? 2) 2 ? (2 ? 2) 2 = 41 , 即这条光线从 P 到 Q 的长度是 41 . 12.已知直线 l 经过两条直线 l1:x+2y=0 与 l2:3x-4y-10=0 的交点,且与直线 l3:5x-2y+3=0 的夹角为 线 l 的方程.?

? ,求直 4

?x ? 2 y ? 0 解 由? , ?3x ? 4 y ?10 ? 0
解得 l1 和 l2 的交点坐标为(2,-1).? 设所求直线 l 的方程为 y+1=k(x-2).? 又 kl ?
3

? 5 ,由 l 与 l3 的夹角为 4 2
k ? kl ? , ,? = 4 1 ? k· kl
3 3

得 tan

5 2 ? 2k ? 5 ? ?1 ? k ? ? 7 或 k= 3 .? 即 1= 5 7 5k ? 2 3 1? k 2 k?

故所求的直线 l 的方程为? y+1=7 3 (x-2)或 y+1= (x-2),? 7 3

即 7x+3y-11=0 或 3x-7y-13=0.

§7.3 简单的线性规划

基础自测
1.已知点 A(1,-1) ,B(5,-3) ,C(4,-5) ,则表示△ABC 的边界及其内部的约束条件是 答案 .?

?x ? 2 y ? 1 ? 0 ? ?2 x ? y ? 13 ? 0 ? ?4 x ? 3 y ? 1 ? 0 ?
)?

? x ? y ? 0, ? 2.(2008?天津理,2)设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则目标函数 z=5x+y 的最大值为( ? x ? 2 y ? 1, ?
A.2 答案? D ?? 3.若点(1,3)和(-4,-2)在直线 2x+y+m=0 的两侧,则 m 的取值范围是 ? A.m<-5 或 m>10 ? C.-5<m<10 答案? C ?? B.m=-5 或 m=10 ? D.-5≤m≤10 ? ( )? ? B.3 ? C.4 ? D.5 ?

? x ? y ? 1 ? 0, ? x+2y 4.(2008?北京理,5)若实数 x,y 满足 ? x ? y ? 0, 则 z=3 的最小值是 ? x ? 0, ?
? A.0 ? 答案? B ?? B.1 ? C. 3 ? D.9 ?



)?

?x ? y ? 1 ? 0 y 5.(2008?福建理,8)若实数 x、y 满足 ? , 则 的取值范围是 x ?x ? 0
? A.(0,1) 答案? C ?? B.(0,1] C.(1,+∞)



)?

D.[1,+∞)?

?x ? y ? 5 ? 0 ? 例 1 画出不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域,并回答下列问题:? ?x ? 3 ?
(1)指出 x,y 的取值范围;? (2)平面区域内有多少个整点?? 解 (1)不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及右下方的点的集合.x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及右上方的点 的集合, x≤3 表示直线 x=3 上及左方的点的集合.?

?x ? y ? 5 ? 0 ? 所以,不等式组 ? x ? y ? 0 . ?x ? 3 ?
表示的平面区域如图所示.? 结合图中可行域得

? 5 ? x ? ?? , 3? ,y ? [-3,8].? ? 2 ?
(2)由图形及不等式组知

?? x ? y ? x ? 5 ? ?? 2 ? x ? 3, 且x ? Z

当 x=3 时,-3≤y≤8,有 12 个整点;? 当 x=2 时,-2≤y≤7,有 10 个整点;? 当 x=1 时,-1≤y≤6,有 8 个整点;? 当 x=0 时,0≤y≤5,有 6 个整点;? 当 x=-1 时,1≤y≤4,有 4 个整点;? 当 x=-2 时,2≤y≤3,有 2 个整点;? ∴平面区域内的整点共有? 2+4+6+8+10+12=42(个).?

?x ? 1 ? 例 2 (2008?湖南理,3)已知变量 x、y 满足条件 ? x ? y ? 0 , 则 x+y 的最大值是 ?x ? 2 y ? 9 ? 0 ?
? A.2 ? 答案? C ? B.5 ? C.6 ? D.8 ?



)?

例 3 (12 分)某工厂生产甲、乙两种产品,计划每天每种产品的生产量不少于 15 吨,已知生产甲产品 1 吨,需煤 9 吨,电力 4 千瓦时,劳力 3 个;生产乙产品 1 吨,需煤 4 吨,电力 5 千瓦时,劳力 10 个;甲 产品每吨的利润为 7 万元,乙产品每吨的利润为 12 万元;但每天用煤不超过 300 吨,电力不超过 200 千瓦 时,劳力只有 300 个.问每天生产甲、乙两种产品各多少吨,才能使利润总额达到最大?? 解 设每天生产甲、乙两种产品分别为 x 吨、y 吨,利润总额为 z 万元, 1 分?

?9 x ? 4 y ? 300 ? 4 x ? 5 y ? 200 ? ? 则线性约束条件为 ?3 x ? 10 y ? 300, ? x ? 15 ? ? ? y ? 15
目标函数为 z=7x+12y, 作出可行域如图,

4 分?

6 分? 8 分?

? 作出一组平行直线 7x+12y=t,当直线经过直线 4x+5y=200 和直线 3x+10y=300 的交点 A(20,24)时,利 润最大. 答 每天生产甲产品 20 吨、乙产品 24 吨,才能使利润总额达到最大. 10 分? 12 分? 即生产甲、乙两种产品分别为 20 吨、24 吨时,利润总额最大,zmax=7?20+12?24=428(万元).?

?x ? 0 ? 1.(2008?浙江理,17)若 a≥0,b≥0,且当 ? y ? 0, 时,恒有 ax+by≤1,则以 a,b 为坐标的点 P(a, ?x ? y ? 1 ?
b)所形成的平面区域的面积等于 答案 1? .? .?

?x ? y ? 0 ? 2.(2008?全国Ⅰ理,13)若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0, 则 z=2x-y 的最大值为 ?0 ? x ? 3 ?
答案 9

3.某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具,需要木工和漆工两道工序,已知木工平均四个小时做一把椅 子,八个小时做一张书桌,该公司每星期木工最多有 8 000 个工作时;漆工平均两小时漆一把椅子,一个 小时漆一张书桌,该公司每星期漆工最多有 1 300 个工作时.又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是 15 元和 20 元,根据以上条件,怎样安排生产能获得最大利润?? 解 依题意设每星期生产 x 把椅子,y 张书桌,? 那么利润 p=15x+20y.?
?4 x ? 8 y ? 8 000 ? ?2 x ? y ? 1 300 其中 x,y 满足限制条件 ? . * ? x ? 0, x ? N ? y ? 0, y ? N * ?

?即点(x,y)的允许区域为图中阴影部分,它们的边界分别为 4x+8y=8 000 (即 AB),2x+y=1 300(即 BC), x=0(即 OA)和 y=0(即 OC).?

对于某一个确定的 p = p 0 满足 p 0 =15x+20y,且点(x,y)属于 解 x,y 就是一个能获得 p 0 元利润的生产方案.? 对于不同的 p,p=15x+20y 表示一组斜率为3 的平行线,且 p 越大,相应的直线位置越高;p 越小,相应的 4

直线位置越低.按题意,要求 p 的最大值,需把直线 p=15x+20y 尽量地往上平移,又考虑到 x,y 的允许范 围,? 当直线通过 B 点时,处在这组平行线的最高位置,此时 p 取最大值.?

?4 x ? 8 y ? 8 000 由? ,得 B(200,900) ,? ?2 x ? y ? 1 300
当 x=200,y=900 时,p 取最大值,? 即 pmax=15?200+20?900=21 000,? 即生产 200 把椅子、900 张书桌可获得最大利润 21 000 元.?

一、选择题?

?y ? x ? 1.(2008?全国Ⅱ理,5)设变量 x,y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 2, 则 z=x-3y 的最小值为 ? x ? ?2 ?
? ? A.-2 答案? D
? x ? y ? 0, ? ? 2 x ? y ? 2, 2.若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是 ? y ? 0, ? ? x ? y ? a,





? B.-4 ?

C.-6

? D.-8 ?

(

)?

? A.a≥

4 3 4 ? 3

B.0<a≤1 ? D.0<a≤1 或 a≥
4 ? 3

? C.1≤a≤

答案? D ?? 3.已知平面区域 D 由以 A(1,3) 、B(5,2) 、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域 D 上有无 穷多个点(x,y)可使目标函数 z=x+my 取得最小值,则 m 等于 ? A.-2 ? 答案? C ?? B.-1 ? C.1 D.4 ? ( )?

? x ? 2 y ? 19 ? 0 ? x 4.(2008?山东理,12)设二元一次不等式组 ? x ? y ? 8 ? 0 , 所表示的平面区域为 M,使函数 y=a (a>0,a≠ ?2 x ? y ? 14 ? 0 ?
1)的图象过区域 M 的 a 的取值范围是 ? A.[1,3]? 答案? C ?? B.[2, 10 ] C.[2,9]? ( D.[ 10 ,9]? )?

?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 5.(2009?武汉模拟)如果实数 x,y 满足 ?3x ? 5 y ? 25 ? 0, 目标函数 z=kx+y 的最大值为 12,最小值为 3,那 ?x ? 1 ?
么实数 k 的值为 ? A.2 ? 答案? A ? 6.(2007?江苏,10)在平面直角坐标系 xOy 中,已知平面区域 A={(x,y)|x+y≤1,且 x≥0,y≥0},则平面区 域 B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为 ? A.2 答案? B ?? 二、填空题 B.1 C.
1 2

( B.-2 ? C.
1 ? 5

)?

D.不存在?

( D.
1 ? 4

)?

?x ? 0 ? 7.(2008?安徽理,15)若 A 为不等式组 ? y ? 0 , ,表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直 ?y ? x ? 2 ?
线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为 答案
7 4

.?

8.设集合 A={(x,y)|y≥|x-2|,x≥0},B={(x,y)|y≤-x+b},A∩B≠ ? .? (1)b 的取值范围是 ;? .? (2)若(x,y)∈A∩B,且 x+2y 的最大值为 9,则 b 的值是 答案 (1) [2,+∞) (2) 三、解答题
9 ?? 2

?2 x ? y ? 2 ? 0 y ?1 ? 9.已知实数 x、y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, ,试求 z= 的最大值和最小值.? x ?1 ?3x ? y ? 3 ? 0 ?
解 由于 z=
y ? 1 y ? (?1) = ,? x ? 1 x ? (?1)

所以 z 的几何意义是点(x,y)与点 M(-1,-1)连线的斜率,因此 M(-1,-1)连线的斜率的最值,?

y ?1 的最值就是点(x,y)与点 x ?1

结合图可知:直线 MB 的斜率最大,直线 MC 的斜率最小,即 zmax=kMB=3,此时 x=0,y=2;? zmin=kMC=
1 ,此时 x=1,y=0. 2

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 10.已知变量 x,y 满足的约束条件为 ? x ? 3 y ? 3 ? 0. 若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在点(3,0)处取得最大 ? y ?1 ? 0 ?
值,求 a 的取值范围.? 解 依据约束条件,画出可行域.? ∵直线 x+2y-3=0 的斜率 k1=即1 1 >-a,得 a> . 2 2 1 ,目标函数 z=ax+y (a>0)对应直线的斜率 k2=-a,若符合题意,则须 k1>k2, 2

11.两种大小不同的钢板可按下表截成 A,B,C 三种规格成品:?

规 格 钢 板 类 类 型
A 规格 B 规格 C 规格


2 1 1 2 1 3

第一种钢板 第二种钢板

某建筑工地需 A,B,C 三种规格的成品分别为 15,18,27 块,问怎样截这两种钢板,可得所需三种规格成 品,且所用钢板张数最小.? 解 设需要第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,钢板总数为 z 张,z=x+y,?

?2 x ? y ? 15 ? x ? 2 y ? 18 ? ? 约束条件为: ? x ? 3 y ? 27 . ? x ? 0, x ? Z ? ? ? y ? 0, y ? Z
作出可行域如图所示:? 令 z=0,作出基准直线 l:y=-x,平行移动直线 l 发现在可行域内,经过直线 x+3y=27 和直线 2x+y=15 的交点
18 39 ? 18 39 ? A ? , ? 可使 z 取最小,由于 , 都不是整数,而最优解(x,y)中,x,y 必须都是整数,可行域内点 5 5 ? 5 5 ?

? 18 39 ? A ? , ? 不是最优解;? ? 5 5 ? ? 18 39 ? 通过在可行域内画网格发现, 经过可行域内的整点且与 A ? , ? 点距离最近的直线是 x+y=12,经过的整点 ? 5 5 ?
是 B(3,9)和 C(4,8) ,它们都是最优解.? 答 要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种:? 第一种截法是截第一种钢板 3 张,第二种钢板 9 张;? 第二种截法是截第一种钢板 4 张,第二种钢板 8 张;? 两种方法都最少要截两种钢板共 12 张. 12.在 R 上可导的函数 f(x)=
1 3 1 2 x + ax +2bx+c,当 x∈(0,1)时取得极大值,当 x∈(1,2)时取得极小值,求点 3 2
b?2 的取值范围. a ?1
2 2

(a,b)对应的区域的面积以及

解 函数 f(x)的导数为 f′(x)=x +ax+2b,当 x∈(0,1)时,f(x)取得极大值,当 x∈(1,2)时,f(x)取得极小值,则 方程 x +ax+2b=0 有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,由二次函数 f′(x)=x +ax+2b 的图
2

? f ?(0) ? 0 ?b ? 0 ? ? 2 象与方程 x +ax+2b=0 根的分布之间的关系可以得到 ? f ?(1) ? 0 ? ?a ? 2b ? 1 ? 0, ? f ?(2) ? 0 ?a ? b ? 2 ? 0 ? ?
在 aOb 平面内作出满足约束条件的点(a,b)对应的区域为△ABD(不包括边界), 如图阴影部分,其中点 A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0),? △ABD 的面积为? S△ABD=
1 1 |BD|?h= (h 为点 A 到 a 轴的距离).? 2 2

点 C(1,2)与点(a,b)连线的斜率为

b?2 ,? a ?1

显然 即

b?2 ? (kCA,kCB),? a ?1

b?2 ?1 ? ? ? ,1?. a ?1 ? 4 ?

§7.4 曲线与方程

基础自测
1.已知坐标满足方程 F(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,那么 ? A.曲线 C 上的点的坐标都适合方程 F(x,y)=0 ? ? B.凡坐标不适合 F(x,y)=0 的点都不在 C 上? ? C.不在 C 上的点的坐标有些适合 F(x,y)=0,有些不适合 F(x,y)=0 ? ? D.不在 C 上的点的坐标必不适合 F(x,y)=0 ? 答案? D ?? 2.到两定点 A(0,0) ,B(3,4)距离之和为 5 的点的轨迹是 ? A.椭圆 ? C.线段 AB ? 答案? C ?? 3.动点 P 到两坐标轴的距离之和等于 2,则点 P 的轨迹所围成的图形面积是 ? A.2 答案? C ?? 4.(2008?北京理,4)若点 P 到直线 x=-1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1,则点 P 的轨迹为( ? A.圆 ? C.双曲线 答案? D ?? 5.已知直线 l 的方程是 f(x,y)=0,点 M(x0,y0)不在 l 上,则方程 f(x,y)-f(x0,y0)=0 表示的曲线 是 ? A.直线 l ? C.与 l 平行的一条直线 答案? C ?? B.与 l 垂直的一条直线? D.与 l 平行的两条直线? ( )? ? B.椭圆 ? D.抛物线? ) B.4 C.8 ( )? ? D.不存在? ? B.AB 所在的直线? D.无轨迹? ( )? ( )?

例 1 如图所示,过点 P(2,4)作互相垂直的直线 l1、l2.若 l1 交 x 轴于 A,l2 交 y 轴于 B,求线段 AB 中点 M 的轨迹方程.? 解 设点 M 的坐标为(x,y), ∵M 是线段 AB 的中点,? ∴A 点的坐标为(2x,0) ,B 点的坐标为(0,2y).? ∴ PA =(2x-2,-4) , PB =(-2,2y-4).? 由已知 PA ? PB =0,∴-2(2x-2)-4(2y-4)=0,?

即 x+2y-5=0.? ∴线段 AB 中点 M 的轨迹方程为 x+2y-5=0.?
1 ? a ? ?a ? 例 2(5 分)在△ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B ? ? ,0 ? ,C ? ,0 ? 且满足条件 sinC-sinB= sinA,则动点 2 ? 2 ? ?2 ?

A 的轨迹方程是 ? A. ? C.
16 x 16 y ? =1 (y≠0) a2 15a 2
2 2 2 2

( B. D.

)?

16 y 16 x ? =1 (x≠0)? a2 3a 2 16 x 2 16 y 2 ? =1(y≠0)的右支? a2 3a 2

16 x 2 16 y 2 ? =1(y≠0)的左支?? a2 15a 2
2 2

答案? D ?? 例 3 如图所示,已知 P(4,0)是圆 x +y =36 内的一点,A、B 是圆上两动点, 且满足∠APB=90°,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程.? 解 设 AB 的中点为 R,坐标为(x1,y1) ,Q 点坐标为(x,y) ,? 则在 Rt△ABP 中, |AR|=|PR|,? 又因为 R 是弦 AB 的中点,依垂径定理有?
2 2 2 ? Rt△OAR 中,|AR| =|AO| -|OR| =36-( x12 ? y12 ).?

又|AR|=|PR|= ( x1 ? 4) 2 ? y12 ,?
2 所以有(x1-4) + y 12 =36-( x12 ? y12 ).?

即 x12 ? y12 -4x1-10=0.? 因为 R 为 PQ 的中点,? 所以 x1=
y?0 x?4 ,y1= .? 2 2

代入方程 x12 ? y12 -4x1-10=0,得?
x?4 ? x?4? ? y? -10=0.? ? ? ?? ? ?4? 2 2 2 ? ? ? ?
2 2

整理得 x +y =56.? 这就是 Q 点的轨迹方程.?

2

2

1.已知两点 M(-2,0) 、N(2,0) ,点 P 为坐标平面内的动点,满足| MN || MP |+ MN ? NP =0,求动点 P (x,y)的轨迹方程.? 解 由题意: MN =(4,0) , MP =(x+2,y),? ? NP =(x-2,y), ∵| MN || MP |+ MN ? NP =0,? ∴ 4 2 ? 0 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 +(x-2) ?4+y?0=0,? 两边平方,化简得 y =-8x.
2

2.已知圆 C1:(x+3) +y =1 和圆 C2: (x-3) +y =9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程. ? 解 如图所示,设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和点 B,根据两圆外切的充要条件,得? |MC1|-|AC1|=|MA|,? |MC2|-|BC2|=|MB|.? 因为|MA|=|MB|,? 所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.? 这表明动点 M 到两定点 C2,C1 的距离之差是常数 2. 根据双曲线的定义,动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 到 C2 的距离大,到 C1 的距离小) ,这里 a=1,c=3, 则 b =8,设点 M 的坐标为(x,y),其轨迹方程为 x 2 2

2

2

2

2

y2 =1 (x≤-1). 8

3.(2009?宜昌模拟)设 F(1,0) ,M 点在 x 轴上,P 点在 y 轴上,且 MN =2 MP , PM ⊥ PF ,当点 P 在 y 轴上运动时,求点 N 的轨迹方程.? 解 设 M(x0,0) ,P(0,y0) ,N(x,y) ,? 由 MN =2 MP 得(x-x0,y)=2(-x0,y0) ,?
? x0 ? ? x ? x ? x0 ? ?2 x0 ? ,即? ∴? 1 . ? y ? 2 y0 ? y0 ? 2 y ?

∵ PM ⊥ PF , PM =(x0,-y0), PF =(1,-y0),? ∴(x0,-y0)? (1,-y0)=0,∴x0+ y 02 =0.? ∴-x+
y2 2 2 =0,即 y =4x.故所求的点 N 的轨迹方程是 y =4x. 4

一、选择题? 1.方程 x +y =1 (xy<0)的曲线形状是
2 2



)?

答案? C 2.已知两定点 A(-2,0) ,B(1,0) ,如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 ( ? A. ? 答案? B ?? 3.长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移动, AC =2 CB ,则点 C 的轨迹是( ? A.线段 答案? C ?? 4.平面直角坐标系中,已知两点 A(3,1) ,B(-1,3) ,若点 C 满足 OC =λ 1 OA +λ 2 OB (O 为原点) ,其中 ? B.圆? C.椭圆 )? ? B.4 ? C.8 ? )? ? D.9 ? ?

? D.双曲线?

λ 1,λ 2∈R,且λ 1+λ 2=1,则点 C 的轨迹是 ? A.直线 答案? A ?? B.椭圆? C.圆?



)? D.双曲线?

5.(2008?成都质检)F1、F2 是椭圆的两个焦点,M 是椭圆上任一点,从任一焦点向△F1MF2 顶点 M 的外角平分 线引垂线,垂足为 P,则 P 点的轨迹为 ? A.圆 答案? A ? 6.(2008?潍坊模拟)一圆形纸片的圆心为 O,点 Q 是圆内异于 O 的一个定点,点 A 是圆周上一动点,把 纸片折叠使点 A 与点 Q 重合,然后抹平纸片,折痕 CD 与 OA 交于点 P,当点 A 运动时,点 P 的轨 迹为 A.椭圆? 答案? A ?? 二、填空题? 7.已知△ABC 的顶点 B(0,0) ,C(5,0) ,AB 边上的中线长|CD|=3,则顶点 A 的轨迹方程为 答案 (x-10) +y =36 (y≠0) ? 8.平面上有三点 A(-2,y) ,B(0, 答案 y =8x ?
2 2 2

( C.双曲线

)?

? B.椭圆?

? D.抛物线?

( B.双曲线 ? C.抛物线? D.圆?

)?

.?

y ) ,C(x,y) ,若 AB ⊥ BC ,则动点 C 的轨迹方程为 2

.?

三、解答题? 9.如图所示,已知点 C 的坐标是(2,2) ,过点 C 的直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的 直线 CB 与 y 轴交于点 B.设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的轨迹方程.? 解 方法一(参数法) :设 M 的坐标为(x,y).? 若直线 CA 与 x 轴垂直,则可得到 M 的坐标为(1,1).? 若直线 CA 不与 x 轴垂直,设直线 CA 的斜率为 k,则直线 CB 的斜率为令 y=0 得 x=22 2 ? ? ,则 A 点坐标为 ? 2 ? ,0 ? .? k k ? ?

1 ,故直线 CA 方程为:y=k(x-2)+2, k

CB 的方程为:y=-

1 2 (x-2)+2,令 x=0,得 y=2+ ,? k k

2? ? 则 B 点坐标为 ? 0,2 ? ? ,由中点坐标公式得 M 点的坐标为 k? ?

2 ? 2? ?0 ? 1 k ? 1? ?x ? ? 2 k ? 2 ? 2? ?0 1 ? k y ? ? 1? ? 2 k ?
消去参数 k 得到 x+y-2=0 (x≠1),? 点 M(1,1)在直线 x+y-2=0 上,? 综上所述,所求轨迹方程为 x+y-2=0.?



方法二 (直接法)设 M(x,y) ,依题意 A 点坐标为(2x,0),B 点坐标为(0,2y).? ∵|MA|=|MC|,∴ ( x ? 2 x)2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 , 化简得 x+y-2=0.? 方法三 (定义法)依题意|MA|=|MC|=|MO|,? 即:|MC|=|MO|,所以动点 M 是线段 OC 的中垂线,故由点斜式方程得到:x+y-2=0.

10. 如图所示,线段 AB 与 CD 互相垂直平分于点 O , |AB|=2a ( a > 0 ) ,|CD|=2b (b > 0) ,动点 P 满足 |PA|?|PB|=|PC|?|PD|.求动点 P 的轨迹方程.? 解 以 O 为坐标原点,直线 AB、CD 分别为 x 轴、y 轴建立直角坐标系,? 则 A(-a,0) ,B(a,0) ,C(0,-b) ,D(0,b),? 设 P(x,y) ,由题意知|PA|?|PB|=|PC|?|PD|,? ∴ ( x ? a)2 ? y 2 ? ( x ? a)2 ? y 2 ? = x2 ? ( y ? b)2 ? x 2 ? ( y ? b)2 ,? 化简得 x -y =
2 2

a2 ? b2 .? 2
2 2

故动点 P 的轨迹方程为 x -y =

a2 ? b2 . 2

11.已知两条直线 l1:2x-3y+2=0 和 l2:3x-2y+3=0,有一动圆(圆心和半径都动)与 l1、l2 都相交,且 l1、l2 被圆截得的弦长分别是定值 26 和 24,求圆心的轨迹方程.? 解 设动圆的圆心为 M(x,y),半径为 r,点 M 到直线 l1,l2 的距离分别为 d1 和 d2.? 由弦心距、半径、半弦长间的关系得,?

?2 r 2 ? d 2 ? 26, ?r 2 ? d 2 ? 169, 1 ? 1 即? 2 ? ? 2 2 2 r ? d ? 144, 2 ? 2 r ? d ? 24 , ? 2 ?
消去 r 得动点 M 满足的几何关系为 d 22 ? d 12 =25,? 即
(3x ? 2 y ? 3) 2 (2 x ? 3 y ? 2) 2 ? =25.? 13 13
2 2

化简得(x+1) -y =65.? 此即为所求的动圆圆心 M 的轨迹方程. 12.已知椭圆
x2 y2 ? =1 上任意一点 P, 由 P 向 x 轴作垂线段 PQ, 垂足为 Q, 点 M 在线段 PQ 上, 且 PM =2 MQ , 2 9

点 M 的轨迹为曲线 E.? (1)求曲线 E 的方程;? (2)若过定点 F(0,2)的直线 l 交曲线 E 于不同的两点 G,H(点 G 在点 F,H 之间) ,且满足 FH =2 FG , 求直线 l 的方程.? 解 (1)设 M(x,y),P(x0,y0),?

?x ? x ∵ PM =2 MQ ,∴ ? 0 ,? ? y0 ? 3 y
将其代入椭圆方程得
x02 y02 ? =1 ? 2 9
x2 2 +y =1. ? 2

得曲线 E 的方程为:

(2)设 G(x1,y1) 、H(x2,y2) ,? ∵ FH =2 FG ,∴x2=2x1 ①?

依题意,当直线 l 斜率不存在时,G(0,1) ,H(0,-1) ,不满足 FH =2 FG .故设直线 l:y=kx+2,代入曲线 E 的方程并整理得(1+2k )x +8kx+6=0,
2 2

(*)?

∴x1+x2=-

8k 6 ,x1?x2= 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

②?

联立①②解得 k=±

3 30 ,此时(*)中Δ >0.? 10 3 30 x+2. 10

所以直线 l 的方程为:y=±

§7.5 圆的方程

基础自测
1.方程 x +y +ax+2ay+2a +a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是 ? ? A.a<-2 或 a> ? C.-2<a<0 ? 答案? D ?? 2.(2009?河南新郑模拟)圆 x +y +2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0(a、b∈R)对称,则 ab 的取值范围是 ( )?
2 2 2 2 2





2 3

B.-

2 <a<0 ? 3 2 ? 3

D.-2<a<

1? ? ? A. ? ? ?, ? 4? ?
答案? A ?

? 1? B. ? 0, ? ? 4?

? 1 ? C. ? ? ,0 ? ? ? 4 ?

1? ? D. ? ? ?, ? ? 4? ?

2 2

3.过点 A(1,-1) ,B(-1,1) ,且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是 ? A.(x-3) +(y+1) =4 ? ? C.(x-1) +(y-1) =4 ? 答案? C ?? 4.以点(2,-1)为圆心且与直线 3x-4y+5=0 相切的圆的方程为 ? A.(x-2) +(y+1) =3 ? C.(x-2) +(y+1) =9 答案? C ??
2 2 2 2 2 2 2 2

)?

B.(x+3) +(y-1) =4 ? D.(x+1) +(y+1) =4 ? (
2 2 2 2

2

)?

B.(x+2) +(y-1) =3 ? D.(x+2) +(y-1) =9 ?
2 2 2

2

5.(2009?宜昌模拟)直线 y=ax+b 通过第一、三、四象限,则圆(x+a) +(y+b) =r (r>0)的圆心位于( ? A.第一象限 ? C.第三象限 答案? B ?? ? B.第二象限? D.第四象限?



例1

已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x+4y+4=0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为(
2 2 2 2



? A.x +y -2x-3=0 ? ? C.x +y +2x-3=0 答案? D ?? 例2
2 2

B.x +y +4x=0 ? ? D.x +y -4x=0 ?
2 2

2

2

已知圆 x +y +x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ(O 为坐标原点) ,求该圆的圆心坐

标及半径.? 解 方法一
2 2

将 x=3-2y,?
2

代入方程 x +y +x-6y+m=0,? 得 5y -20y+12+m=0.? 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1、y2 满足条件:? y1+y2=4,y1y2=
12 ? m . 5

∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.? 而 x1=3-2y1,x2=3-2y2.? ∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.?
5 ? 1 ? ∴m=3,此时Δ >0,圆心坐标为 ? ? , 3 ? ,半径 r= .? 2 ? 2 ?

方法二 如图所示,设弦 PQ 中点为 M,? ∵O1M⊥PQ,∴ kO
1M

? 2 .?

1? ? ∴O1M 的方程为:y-3=2 ? x ? ? ,? 2? ?
即:y=2x+4.?

? y ? 2x ? 4 由方程组 ? .? ?x ? 2 y ? 3 ? 0
解得 M 的坐标为(-1,2).? 则以 PQ 为直径的圆可设为(x+1) +(y-2) =r .? ∵OP⊥OQ,∴点 O 在以 PQ 为直径的圆上.? ∴(0+1) +(0-2) =r ,即 r =5,MQ =r .? 在 Rt△O1MQ 中,O1Q =O1M +MQ .?
1 ? (?6) 2 ? 4m ? 1 ? 2 ∴ ? ? ? 1? ? (3-2) +5= ? 4 ? 2 ?
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∴m=3.∴半径为

5 ? 1 ? ,圆心为 ? ? ,3? .? 2 ? 2 ?

方法三 设过 P、Q 的圆系方程为? x +y +x-6y+m+ ? (x+2y-3)=0.?
2 2

由 OP⊥OQ 知,点 O(0,0)在圆上.? ∴m-3 ? =0,即 m=3 ? .? ∴圆的方程可化为? x +y +x-6y+3 ? + ? x+2 ? y-3 ? =0 ?
2 2 2

即 x +(1+ ? )x+y +2( ? -3)y=0.?
2

? 1 ? ? 2(3 ? ? ) ? ∴圆心 M ? ? , ? ,又圆在 PQ 上.? 2 2 ? ?
∴1? ? +2(3- ? )-3=0, 2

∴ ? =1,∴m=3.?
5 ? 1 ? ∴圆心为 ? ? ,3? ,半径为 .? 2 ? 2 ?

例 3 (12 分)已知实数 x、y 满足方程 x +y -4x+1=0.?

2

2

(1)求 y-x 的最大值和最小值;? (2)求 x +y 的最大值和最小值.? 解 (1)y-x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的截距,当直线 y=x+b 与圆相切时,纵截距 b 取得最大值或最小 值,此时
2 2

2?0?b 2

? 3 , ,解得 b=-2± 6 .

5分

所以 y-x 的最大值为-2+ 6 ,最小值为-2- 6 .
2 2

6分

(2)x +y 表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取 得最大值和最小值.
( 0 ? 0)2 =2,? 又圆心到原点的距离为 ( 2 ? 0)2 ?
2 2 2 所以 x +y 的最大值是(2+ 3 ) =7+4 3 ,?

8 分?

2 2 2 x +y 的最小值是(2- 3 ) =7-4 3 .

12 分?

1.(2008?山东文,11)若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的 标准方程是 ? A.(x-3) +(y2 2 2

(
7 2 ) =1 3

)?

B.(x-2) +(y-1) =1 ?

2

2

? C.(x-1) +(y-3) =1 答案? B ??

3? ? 2 D. ? x ? ? +(y-1) =1 ? 2? ?
2

2

2.已知圆 C: (x-1) +(y-2) =25 及直线 l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R).? (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交;? (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.? (1)证明 直线 l 可化为 x+y-4+m(2x+y-7)=0,? 即不论 m 取什么实数,它恒过两直线 x+y-4=0 与 2x+y-7=0 的交点.? 两方程联立,解得交点为(3,1) ,? 又有(3-1) +(1-2) =5<25, ∴点(3,1)在圆内部,? ∴不论 m 为何实数,直线 l 与圆恒相交.? (2)解 从(1)的结论和直线 l 过定点 M(3,1)且与过此点的圆 C 的半径垂直时,l 被圆所截的弦长|AB| 最短,由垂径定理得
2 2

2

[ 3 ?1 )2 ? ( 1 ? 2)2 ] ? 4 5. |AB|=2 r 2 ? CM 2 = 2 25 ?(

此时,kt=-

1 1 ,从而 kt==2.? 2 ?1 kC M 1? 3

∴l 的方程为 y-1=2(x-3),即 2x-y=5. 3.已知点 P(x,y)是圆(x+2) +y =1 上任意一点.? (1)求 P 点到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值和最小值;?
2 2

(2)求 x-2y 的最大值和最小值;? (3)求
y?2 的最大值和最小值.? x ?1

解 (1)圆心 C(-2,0)到直线 3x+4y+12=0 的距离为? d=

3 ? (?2) ? 4 ? 0 ? 12 3 ?4
2 2

?

6 .? 5

∴P 点到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值为? d+r=
6 11 6 1 +1= ,最小值为 d-r= -1= .? 5 5 5 5
2 2

(2)设 t=x-2y, ? 则直线 x-2y-t=0 与圆(x+2) +y =1 有公共点.? ∴

?2 ? t 12 ? 2 2

≤1.∴- 5 -2≤t≤ 5 -2,?

∴tmax= 5 -2,tmin=-2- 5 .? (3)设 k=
y?2 ,? x ?1
2 2

则直线 kx-y-k+2=0 与圆(x+2) +y =1 有公共点,? ∴

?3k ? 2 k 2 ?1

≤1.∴

3? 3 3? 3 ≤k≤ ,? 4 4

∴kmax=

3? 3 3? 3 ,kmin= . 4 4

一、选择题? 1.圆 x +y -2x+4y+3=0 的圆心到直线 x-y=1 的距离为 ? A.2 答案? D ?? 2.两条直线 y=x+2a,y=2x+a 的交点 P 在圆(x-1) +(y-1) =4 的内部,则实数 a 的取值范围是( ? A.? C.1 <a<1 ? 5 1 ≤a<1 ? 5
2 2 2 2 2 2

( C.1 ? D. 2

)?

B.

2 ? 2

)?

B.a>1 或 a<D.a≥1 或 a≤-

1 ? 5 1 ? 5

答案? A ?? 3.已知 A(-2,0) ,B(0,2) ,C 是圆 x +y -2x=0 上任意一点,则△ABC 面积的最大值是( ? A.3+ 2 答案? A ?? 4.圆心在抛物线 y =2x 上且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 ? A.x +y -x-2y2 2 2 2 2

)?

?

B.3- 2

?

C.6

? D.4 ? ( )?

1 =0 4

?

B.x +y +x-2y+1=0 ? D.x +y -x-2y+
2 2

2

2

? C.x +y -x-2y+1=0 ??

1 =0 ? 4

答案? D ?? 5.若直线 2ax-by+2=0 (a>0,b>0)始终平分圆 x +y +2x-4y+1=0 的周长,则
1 ? 4
2 2

1 1 ? 的最小值是( a b

)?

? A.

B.2

C.4 ?

D.

1 ? 2

答案? C ?? 6.从原点 O 向圆: x +y -6x+ ? A.
2? 3
2 2

27 =0 作两条切线, 切点分别为 P、 Q, 则圆 C 上两切点 P、 Q 间的劣弧长为 ( 4



? B. ? ?

C.

3? ? 2

D.

4? ? 3

答案? B ?? 二、填空题? 7.(2008?四川理,14)已知直线 l:x-y+4=0 与圆 C: (x-1) +(y-1) =2,则 C 上各点到 l 距离的最小值 为 答案
2 ?
2 2

.? .?

8.以直线 3x-4y+12=0 夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为 答案

3 ? 25 2 ? (x+2) + ? y ? ? ? ? 2? 4 ?

2

三、解答题? 9.根据下列条件求圆的方程:? (1)经过坐标原点和点 P(1,1) ,并且圆心在直线 2x+3y+1=0 上;? (2)已知一圆过 P(4,-2) 、Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ,求圆的方程.? 解 (1)显然,所求圆的圆心在 OP 的垂直平分线上,OP 的垂直平分线方程为:?

x 2 ? y 2 ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ,即 x+y-1=0.?

?x ? y ?1 ? 0 解方程组 ? , 得圆心 C 的坐标为(4,-3).? ?2 x ? 3 y ? 1 ? 0
又圆的半径 r=|OC|=5,? 所以所求圆的方程为(x-4) +(y+3) =25.? (2)设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0 将 P、Q 点的坐标分别代入①得:?
?4 D ? 2 E ? F ? ?20 ? ? D ? 3E ? F ? 10 ② ③
2 2 2 2

①?

令 x=0,由①得 y +Ey+F=0 由已知|y1-y2|=4 3 ,其中 y1、y2 是方程④的两根,? 所以(y1-y2) =(y1+y2) -4y1y2=E -4F=48 解②、③、⑤组成的方程组得? D=-2,E=0,F=-12 或 D=-10,E=-8,F=4,? 故所求圆的方程为? x +y -2x-12=0 或 x +y -10x-8y+4=0.
2 2 2 2 2 2 2

2

④?

⑤?

10.已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA、PB 是圆 x +y -2x-2y+1=0 的两条切线,A、B 是切点,C 是圆心, 求四边形 PACB 面积的最小值.?

2

2



将圆方程化为(x-1) +(y-1) =1,其圆心为 C(1,1) ,半径 r=1,如图,由于四边形 PACB 的面积等于?
1 ?|PA|?r= 2

2

2

Rt△PAC 面积的 2 倍,所以 SPACB=2?

PC ?1 .?

2

∴要使四边形 PACB 面积最小,只需|PC|最小.? 当点 P 恰为圆心 C 在直线 3x+4y+8=0 上的正射影时,? |PC|最小,由点到直线的距离公式,得? |PC|min=
3? 4?8 =3,? 5
2 2

故四边形 PACB 面积的最小值为 2 2 . 11.已知圆 x +y =4 上一定点 A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q 为圆上的动点.? (1)求线段 AP 中点的轨迹方程;? (2)若∠PBQ=90°,求线段 PQ 中点的轨迹方程.? 解 (1)设 AP 中点为 M(x,y),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x-2,2y).? ∵P 点在圆 x +y =4 上,∴(2x-2) +(2y) =4.? 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x-1) +y =1.? (2)设 PQ 的中点为 N(x,y),在 Rt△PBQ 中,? |PN|=|BN|,设 O 为坐标原点,连结 ON,则 ON⊥PQ,? 所以|OP| =|ON| +|PN| =|ON| +|BN| ,? 所以 x +y +(x-1) +(y-1) =4.? 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x +y -x-y-1=0. 12.已知半径为 5 的动圆 C 的圆心在直线 l:x-y+10=0 上.? (1)若动圆 C 过点(-5,0),求圆 C 的方程;? (2)是否存在正实数 r,使得动圆 C 中满足与圆 O:x +y =r 相外切的圆有且仅有一个,若存在,请求出来;若不 存在,请说明理由.? 解 (1)依题意,可设动圆 C 的方程为?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(x-a) +(y-b) =25,? 其中圆心(a,b)满足 a-b+10=0.? 又∵动圆过点(-5,0),? 故(-5-a) +(0-b) =25.
?a ? b ? 10 ? 0 ,? 解方程组 ? 2 2 ?( ?5 ? a ) ? (0 ? b) ? 25
2 2

?a ? ?10 ?a ? ?5 可得 ? 或? , ?b ? 0 ?b ? 5
故所求圆 C 的方程为? (x+10) +y =25 或(x+5) +(y-5) =25.? (2)圆 O 的圆心(0,0)到直线 l 的距离 d=
2 2 2 2

10 1?1

? 5 2 .?
2 2 2

当 r 满足 r+5<d 时,动圆 C 中不存在与圆 O:x +y =r 相外切的圆;? 当 r 满足 r+5>d 时,r 每取一个数值,动圆 C 中存在两个圆与圆 O:x +y =r 相外切;?
2 2 2 当 r 满足 r+5=d,即 r=5 2 -5 时,动圆 C 中有且仅有 1 个圆与圆 O:x +y =r 相外切. 2 2 2

§7.6 直线、圆的位置关系
基础自测
1.若直线 ax+by=1 与圆 x +y =1 相交,则 P(a,b)
2 2



)?

? A.在圆上? ? C.在圆内? 答案? B ??
2 2 2

B.在圆外? D.以上都有可能?

2.(2009?岳阳模拟)若直线 4x-3y-2=0 与圆 x +y -2ax+4y+a -12=0 总有两个不同交点,则 a 的取值范围 是 ? A.-3<a<7 ? C.-7<a<3 ? 答案? B ?? 3.两圆 x +y -6x+16y-48=0 与 x +y +4x-8y-44=0 的公切线条数为 ? A.1 答案? B ?? 4.若直线 y=k(x-2)+4 与曲线 y=1+ 4 ? x 2 有两个不同的交点,则 k 的取值范围是 ( )? ? B.2 C.3 ?
2 2 2 2

( ? B.-6<a<4 ? D.-21<a<19 ? ( D.4 ?

)?

)?

? 5 3? ? A. ? , ? ? 12 4 ?
答案? A ??

? 5 ? ? B. ? ,?? ? ? ? 12 ?
2 2

? 1 3? C. ? , ? ? ? 2 4?

? 5 ? D. ? 0, ? ? 12 ?

5.(2008?重庆理,15)直线 l 与圆 x +y +2x-4y+a=0 (a<3)相交于两点 A,B,弦 AB 的中点为(0,1),则直线 l 的 方程为 答案 .? x-y+1=0 ?

例 1 已知圆 x +y -6mx-2(m-1)y+10m -2m-24=0(m∈R). ? (1)求证:不论 m 为何值,圆心在同一直线 l 上;? (2)与 l 平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离;? (3)求证:任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.? (1)证明 配方得: (x-3m) +[y-(m-1) ] =25,?
2 2

2

2

2

? x ? 3m 设圆心为(x,y) ,则 ? , 消去 m 得? ? y ? m ?1
l:x-3y-3=0,则圆心恒在直线 l:x-3y-3=0 上.? (2)解 设与 l 平行的直线是 l1:x-3y+b=0,? 则圆心到直线 l1 的距离为? d=

3m ? 3(m ? 1) ? b 10

?

3? b 10

.?

∵圆的半径为 r=5,? ∴当 d<r,即-5 10 -3<b<5 10 -3 时,直线与圆相交;? 当 d=r,即 b=±5 10 -3 时,直线与圆相切;? 当 d>r,即 b<-5 10 -3 或 b>5 10 -3 时,直线与圆相离.? (3)证明 对于任一条平行于 l 且与圆相交的直线 l1:x-3y+b=0,由于圆心到直线 l1 的距离 d=

3?b 10

,?

弦长=2 r 2 ? d 2 且 r 和 d 均为常量.?

∴任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.? 例2 从点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 x +y -4x-4y+7=0 相
?3 ,根据光的反射定律, b?3
2 2

切,求光线 l 所在直线的方程.? 解 方法一 如图所示,设 l 与 x 轴交于点 B(b,0),则 kAB=
3 .? b?3

反射光线的斜率 k 反=

∴反射光线所在直线的方程为? y=
3 (x-b),? b?3
2 2

即 3x-(b+3)y-3b=0.? ∵已知圆 x +y -4x-4y+7=0 的圆心为 C(2,2) ,? 半径为 1,? ∴
6? ( b ? 3) ? 2 ? 3b 9 ? (b ? 3)
2

=1,解得 b1=-

3 ,b2=1.? 4

∴kAB=-

3 4 或 kAB=- .? 4 3
2 2 2 2

∴l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.? 方法二 已知圆 C:x +y -4x-4y+7=0 关于 x 轴对称的圆为 C1:(x-2) +(y+2) =1,其圆心 C1 的坐标为(2,-2) , 半径为 1,由光的反射定律知,入射光线所在直线方程与圆 C1 相切.? 设 l 的方程为 y-3=k(x+3),则 即 12k +25k+12=0.? ∴k1=3 4 ,k2=- .? 4 3
2

5k ? 5 12 ? k 2

=1,?

则 l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.? 方法三 设入射光线方程为 y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为 y=-kx+b,由于二者横截距相等,且后 者与已知圆相切.?
? ?3 ? 3k b ? ? k k 5k ? 5 ? , 消去 b 得 ∴? =1.? 2k ? 2 ? b 1? k 2 ? ?1 ? 1? k 2 ?

即 12k +25k+12=0,∴k1=-

2

3 4 ,k2=- .? 4 3

则 l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.? 例3 已知圆 C1:x +y -2mx+4y+m -5=0,圆 C2:x +y +2x-2my+m -3=0,m 为何值时, (1)圆 C1 与圆 C2 相外切; (2)
2 2 2 2 2 2

圆 C1 与圆 C2 内含?? 解 对于圆 C1 与圆 C2 的方程,经配方后? C1:(x-m) +(y+2) =9; C2:(x+1) +(y-m) =4.? (1)如果 C1 与 C2 外切,则有 ( m ? 1)2 ? (m ? 2) 2 =3+2.? (m+1) +(m+2) =25.? m +3m-10=0,解得 m=-5 或 m=2.? (2)如果 C1 与 C2 内含,则有 ( m ? 1)2 ? (m ? 2) 2 <3-2.?
2 2 2 2 2 2 2

(m+1) +(m+2) <1,m +3m+2<0,? 得-2<m<-1,? ∴当 m=-5 或 m=2 时,圆 C1 与圆 C2 外切;? 当-2<m<-1 时,圆 C1 与圆 C2 内含.? 例 4(12 分)已知点 P(0,5)及圆 C:x +y +4x-12y+24=0.? (1)若直线 l 过 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3 ,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程.? 解 (1)方法一
2 2 2 如图所示,AB=4 3 ,D 是 AB 的中点,CD⊥AB,AD=2 3 ,圆 x +y +4x-12y+24=0 可化 2 2

2

2

2

为(x+2) +(y-6) =16,圆心 C(-2,6) ,半径 r=4,故 AC=4,? 在 Rt△ACD 中,可得 CD=2. 设所求直线的斜率为 k,则直线的方程为 y-5=kx, 即 kx-y+5=0.? 由点 C 到直线 AB 的距离公式:
?2k ? 6 ? 5 k 2 ? (?1) 2

2

2 分?

=2,得 k=

3 . 4

此时直线 l 的方程为 3x-4y+20=0. 又直线 l 的斜率不存在时,此时方程为 x=0.
2 则 y -12y+24=0,∴y1=6+2 3 ,y2=6-2 3 ,?

4 分? 6 分?

∴y2-y1=4 3 ,故 x=0 满足题意.? ∴所求直线的方程为 3x-4y+20=0 或 x=0. 方法二 设所求直线的斜率为 k,则直线的方程为? y-5=kx,即 y=kx+5,?
? y ? kx ? 5 ,? 联立直线与圆的方程 ? 2 2 ? x ? y ? 4 x ? 12 y ? 24 ? 0

8 分?

消去 y 得(1+k )x +(4-2k)x-11=0 设方程①的两根为 x1,x2,?
2k ? 4 ? x ? x2 ? ? ? 1 1? k 2 由根与系数的关系得 ? ? x x ? ? 11 1 2 ? 1? k 2 ?

2

2



2 分?



4 分?

由弦长公式得 1 ? k 2 |x1-x2|= (1 ? k 2 )[(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 4 3 , ? 将②式代入,解得 k=
3 ,? 4

此时直线的方程为 3x-4y+20=0. 又 k 不存在时也满足题意,此时直线方程为 x=0.? ∴所求直线的方程为 x=0 或 3x-4y+20=0. (2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x,y),? 则 CD⊥PD,即 CD ? PD =0, (x+2,y-6) ?(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为? x +y +2x-11y+30=0.
2 2

6 分? 8 分?

10 分? 12 分?

1.m 为何值时,直线 2x-y+m=0 与圆 x +y =5.? (1)无公共点;? (2)截得的弦长为 2;? (3)交点处两条半径互相垂直.? 解 (1)由已知,圆心为 O(0,0) ,半径 r= 5 ,? 圆心到直线 2x-y+m=0 的距离? d=
m 2 ? (?1)
2 2

2

2

?

m 5

,

∵直线与圆无公共点,∴d>r,即 ∴m>5 或 m<-5.?

m 5

? 5 , ,?

故当 m>5 或 m<-5 时,直线与圆无公共点.? (2)如图所示,由平面几何垂径定理知? r -d =1 ,即 52 2 2

m2 =1.? 5

得 m=±2 5 ,? ∴当 m=±2 5 时,直线被圆截得的弦长为 2.? (3)如图所示,由于交点处两条半径互相垂直,? ∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形,? ∴d=

m 2 2 r,即 = ? 5 ,? 2 2 5
5 2 .? 2 5 2 时,直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直. 2
2 2

解得 m=± 故当 m=±

2.从圆 C:x +y -4x-6y+12=0 外一点 P(a,b)向圆引切线 PT,T 为切点,且|PT|=|PO| (O 为原点). 求|PT|的最小值及此时 P 的坐标.? 解 已知圆 C 的方程为 (x-2) +(y-3) =1,? ∴圆心 C 的坐标为(2,3) ,? 半径 r=1.? 如图所示,连结 PC,CT,? 由平面几何知,? PT =PC -CT
2 2 2 2 2 2 2

=(a-2) +(b-3) -1.? 由已知,PT=PO,∴PT =PO ,? 即(a-2) +(b-3) -1=a +b .? 化简得 2a+3b-6=0.?
2 2 2 2 2 2

得 PT =a +b = 当 a=

2

2

2

1 2 (13a -24a+36).? 9

12 时,? 13
1 12 6 ? 12 ? 13 ? ? ? ? 24 ? ? 36 ? 13. 3 13 13 ? 13 ?
2

PTmin=

|PT|的最小值为

6 13 , 13

? 12 18 ? 此时点 P 的坐标是 ? , ? . ? 13 13 ?
3.求过点 P(4,-1)且与圆 C:x +y +2x-6y+5=0 切于点 M(1,2)的圆的方程.? 解 方法一 设所求圆的圆心为 A(m,n),半径为 r,? 则 A,M,C 三点共线,且有|MA|=|AP|=r,? 因为圆 C:x +y +2x-6y+5=0 的圆心为 C(-1,3) ,?
2 2 2 2

?n ?2 2?3 ? ? 则 ? m ?1 1 ? 1 , ? (m ? 1) 2 ? (n ? 2) 2 ? (m ? 4) 2 ? (n ? 1) 2 ? r ?
解得 m=3,n=1,r= 5 ,? 所以所求圆的方程为(x-3) +(y-1) =5.? 方法二
2 2 2 2

因为圆 C:x +y +2x-6y+5=0 过点 M(1,2)的切线方程为 2x-y=0,?

2

2

所以设所求圆 A 的方程为? x +y +2x-6y+5+ ? (2x-y)=0,? 因为点 P(4,-1)在圆上,所以代入圆 A 的方程,? 解得 ? =-4,? 所以所求圆的方程为 x +y -6x-2y+5=0. 4.圆 x +y =8 内一点 P(-1,2) ,过点 P 的直线 l 的倾斜角为 ? ,直线 l 交圆于 A、B 两点.?
2 2 2 2

(1)当 ? =

3? 时,求 AB 的长;? 4

(2)当弦 AB 被点 P 平分时,求直线 l 的方程.? 解 (1)当 ? =
3 ? 时,kAB=-1,? 4

直线 AB 的方程为 y-2=-(x+1) , 即 x+y-1=0.? 故圆心(0,0)到 AB 的距离 d=

0 ? 0 ?1 2

?

2 ,? 2
1 ? 30 .? 2

从而弦长|AB|=2 8 ?

(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 x1+x2=-2,y1+y2=4.?
? x12 ? y12 ? 8, 由? 2 2 ? x2 ? y 2 ? 8,

两式相减得(x1+x2) (x1-x2)+(y1+y2) (y1-y2)=0,? 即-2(x1-x2)+4(y1-y2)=0,? ∴kAB=

y1 ? y 2 1 ? .? x1 ? x2 2
1 (x+1) , 2

∴直线 l 的方程为 y-2= 即 x-2y+5=0.

一、选择题? 1.(2008?辽宁理,3)圆 x +y =1 与直线 y=kx+2 没有公共点的充要条件是 ? A. k ? ? 2 , 2 ? ? C. k ? ? 3 , 3 ? 答案? C ?? 2.(2008?重庆理,3)圆 O1:x +y -2x=0 和圆 O2:x +y -4y=0 的位置关系是 ? A.相离 答案? B ??
2 2 3.已知圆 C: (x-a) +(y-2) =4 (a>0)及直线 l:x-y+3=0,当直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 3 时,则 a 2 2 2 2 2 2



)?

?

?

B. k ? ? ?,? 2 ?

?

? ? 2 ,???
? ? 3,??? ?
( ? D.内切? )?

?

?

D. k ? ? ?,? 3 ?

?

? B.相交

? C.外切

等于 A. 2 ? 答案? C ?? 4.(2008?全国Ⅰ文,10)若直线 A.a +b ≤1 答案? D ?? 5.能够使得圆 x +y -2x+4y+1=0 上恰有两个点到直线 2x+y+c=0 距离等于 1 的 c 的一个值为 ? A.2 答案? C ?? ? B. 5 ? C.3 ?
2 2 2 2 2 2

( B.2- 2 ? C. 2 -1 ? D. 2 +1 ?

) ?

x y ? =1 与圆 x2+y2=1 有公共点,则 a b

( ? D.
1 1 ? ≥1 ? a2 b2

)?

B.a +b ≥1 ?

C.

1 1 ? ≤1 a2 b2



)?

D.3 5 ?

6.(2008?湖北理,9)过点 A(11,2)作圆 x +y +2x-4y-164=0 的弦,其中弦长为整数的共有( A.16 条 答案? C ?? 二、填空题?
2 2 7.设直线 ax-y+3=0 与圆(x-1) +(y-2) =4 相交于 A、B 两点,且弦 AB 的长为 2 3 ,则 a=

2

2

)?

B.17 条??

C.32 条

? D.34 条?

.?

答案 0 ? 8.(2008?湖南文,14)将圆 x +y =1 沿 x 轴正向平移 1 个单位后得到圆 C,则圆 C 的方程是 若过点(3,0)的直线 l 和圆 C 相切,则直线 l 的斜率是 .?
2 2



答案

(x-1) +y =1

2

2

3 3 或? 3 3

三、解答题? 9.已知圆 C:x +y +2x-4y+3=0.若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距的绝对值相等,求此切线的方程.? 解 ∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等,? ∴切线的斜率是±1 或过原点.? 切线不过原点时,设切线方程为 y=-x+b 或 y=x+c,分别代入圆 C 的方程得 2x -2(b-3)x+(b -4b+3)=0 或 2x +2(c-1)x+(c -4c+3)=0,? 由于相切,则方程有等根,∴Δ 1=0,? 即[2(b-3)] -4?2?(b -4b+3)=-b +2b+3=0,? ∴b=3 或-1,? ?Δ 2=0,? 即[2(c-1)] -4?2?(c -4c+3)=-c +6c-5=0.? ∴c=5 或 1,? 当切线过原点时,设切线为 y=kx,即 kx-y=0.? 由
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?k ? 2 k 2 ?1

? 2 ,得 k=2± 6 .?

∴y=(2± 6 )x,? 故所求切线方程为:? x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0,y=(2± 6 )x. 10.已知曲线 C:x +y -4ax+2ay-20+20a=0.? (1)证明:不论 a 取何实数,曲线 C 必过定点;? (2)当 a≠2 时,证明曲线 C 是一个圆,且圆心在一条直线上;? (3)若曲线 C 与 x 轴相切,求 a 的值.? (1)证明
2 2 2 2

曲线 C 的方程可变形为?

(x +y -20)+(-4x+2y+20)a=0,?
? x 2 ? y 2 ? 20 ? 0 ?x ? 4 , 解得 ? 由? ,? ?? 4 x ? 2 y ? 20 ? 0 ? y ? ?2

点(4,-2)满足 C 的方程,故曲线 C 过定点(4,-2).? (2)证明 原方程配方得(x-2a) +(y+a) =5(a-2) ,?
2 2 2 2

∵a≠2 时,5(a-2) >0,? ∴C 的方程表示圆心是(2a,-a),半径是 5 |a-2|的圆.?

? x ? 2a 设圆心坐标为(x,y) ,则有 ? , ? y ? ?a
消去 a 得 y=1 1 x,故圆心必在直线 y=- x 上.? 2 2

(3)解 由题意得 5 |a-2|=|a|,解得 a=
2 2

5? 5 2

11.已知圆 C:x +y -2x+4y-4=0,问是否存在斜率是 1 的直线 l,使 l 被圆 C 截得的弦 AB,以 AB 为直径的圆经 过原点,若存在,写出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.? 解 假设存在直线 l 满足题设条件,设 l 的方程为 y=x+m,圆 C 化为(x-1) +(y+2) =9,圆心 C(1,-2) ,则
2 2

? m ? 1 m ?1 ? AB 中点 N 是两直线 x-y+m=0 与 y+2=-(x-1)的交点即 N ? ? , ? ,以 AB 为直径的圆经过原点, 2 2 ? ?
∴|AN|=|ON|,又 CN⊥AB,|CN|= ∴|AN|= 9 ?

1? 2 ? m 2

,?

(3 ? m) 2 .? 2
2 2

? m ? 1 ? ? m ?1 ? 又|ON|= ? ? ? ?? ? ,? 2 ? ? 2 ? ?

由|AN|=|ON|,解得 m=-4 或 m=1.? ∴存在直线 l,其方程为 y=x-4 或 y=x+1.
OQ =0. 12.设 O 为坐标原点, 曲线 x +y +2x-6y+1=0 上有两点 P、 Q, 满足关于直线 x+my+4=0 对称, 又满足 OP ?
2 2

? (1)求 m 的值;? (2)求直线 PQ 的方程.? 解 (1)曲线方程为(x+1) +(y-3) =9 表示圆心为? (-1,3) ,半径为 3 的圆.? ∵点 P、Q 在圆上且关于直线 x+my+4=0 对称,? ∴圆心(-1,3)在直线上,代入得 m=-1.? (2)∵直线 PQ 与直线 y=x+4 垂直,? ∴设 P(x1,y1) 、Q(x2,y2),PQ 方程为 y=-x+b.? 将直线 y=-x+b 代入圆的方程,? 得 2x +2(4-b)x+b -6b+1=0.? ?Δ =4(4-b) -4?2?(b -6b+1)>0,? 得 2-3 2 <b<2+3 2 .? 由根与系数的关系得? x1+x2=-(4-b),x1?x2=
2 2 2 2 2 2 2

b 2 ? 6b ? 1 .? 2 b 2 ? 6b ? 1 +4b.? 2

y1?y2=b -b(x1+x2)+x1?x2=

∵ OP ? OQ =0,? ∴x1x2+y1y2=0,即 b -6b+1+4b=0,? 解得 b=1 ? (2-3 2 ,2+3 2 ),? ∴所求的直线方程为 y=-x+1.
2

章末检测七
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.(2008?福建文,2) “a=1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 答案 C ? ? B.必要而不充分条件? D.既不充分也不必要条件? ( )

2.过点(-1,3)且平行于直线 x-2y+3=0 的直线方程为 A.x-2y+7=0 C.x-2y-5=0 答案 为 A. [ ? 3 , 3 ]
? 3 3? C. ? ? , ? ? ? 3 3 ? ?

( B.2x+y-1=0 ? D.2x+y-5=0
2 2



A ( B. ? 3, 3
? 3 3? ? , D. ? ? ? 3 3 ? ? ?

3.(2008?安徽理,8)若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线(x-2) +y =1 有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围 )

?

?

答案

C ( ) B.2x-y-3=0 ? D.x+2y-4=0 ?
2 2

4.过点 M(2,1)的直线 l 与 x 轴,y 轴分别交于 P、Q 两点且|MP|=|MQ|,则 l 的方程是 A.x-2y+3=0 C.2x+y-5=0 答案 D

5.直线 x-2y-3=0 与圆 C:(x-2) +(y+3) =9 交于 E、F 两点,则△ECF 的面积为 A. 答案
3 2

( D.

)

B. C

3 4

C. 2 5

3 5 ? 5

6.若 a,b,c 分别是△ABC 中角 A,B,C 所对边的边长,则直线 sinA?x+ay+c=0 与 bx-sinB?y+c=0 的 置关系是 A.平行 答案 C
3? ,则 b、c、m 的值分别 4

( ? B.重合? ? C.垂直

)

? D.相交但不垂直?

7.已知直线 l1:bx-2y+2=0 和 l2:2x+6y+c=0 相交于点(1,m) ,且 l1 到 l2 的角为 为 ? A.1,
3 ,-11 ? 2 3 2

( B.
3 ,1,-11 ? 2 3 ,1 ? 2

)?

? C.1,-11,

D.-11,

答案 C ?? 8.已知 A (-3, 8) 和B (2, 2) , 在 x 轴上有一点 M, 使得|AM|+|BM|为最短, 那么点 M 的坐标为 ( ? 答案? B ?? B.(1,0) ) A.(-1,0)

? 22 ? C. ? , 0? ? 5 ?

? 22 ? D. ? 0, ? ? 5 ?

?x ? 0 ? 9.设 x,y 满足约束条件 ? y ? x ,则 z=x+y 的最小值是 ?4 x ? 3 y ? 12 ?
A.0 ? 答案? A ? B.1 ? C. 3 ? D.9 ?





?1 ? x ? 4 ? 10.不等式组 ? y ? 0 所表示的平面区域的面积是 ?2 x ? y ? 0 ?
A.30 答案? B ? B.15 C.12 ? D.8 ?





?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 11.如果点 P 在平面区域 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 上,点 Q 在曲线 x +(y+2) =1 上,那么|PQ|的最小值为( ?x ? y ? 2 ? 0 ?
? A. 5 -1 ? 答案? A ?? 12.过点 C(6,-8)作圆 x +y =25 的切线于切点 A、B,那么 C 到两切点 A、B 连线的距离为( ? A.15 答案? C ?? 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)? 13.设直线 2x+3y+1=0 和 x +y -2x-3=0 相交于点 A、B,则弦 AB 所在直线的垂直平分线方程是 ? 答案 3x-2y-3=0 ?
2 2 2 2

)?

B.

4 5

-1 ?

C.2 2 -1

D. 2 -1 ?

)?

?

B.1 ?

C.

15 ? 2

D.5 ?

.

? ?y ? 0 ? ? ? ? 14.在坐标平面上有两个区域 M 和 N,其中区域 M= ?( x, y ) | ? y ? x ? ,区域 N={(x,y)|t≤x≤t+1,0≤t≤ ? ? y ? 2 ? x? ? ? ?
1},区域 M 和 N 公共部分的面积用函数 f(t)表示,则 f(t)的表达式为 答案 f(t)=-t +t+
2

.?

1 ? 2

15.已知点 P(m,n)位于第一象限,且在直线 x+y-1=0 上,则使不等式 是 答案 .? (-∞,9]?
2 2

1 4 ? ≥a 恒成立的实数 a 的取值范围 m n

16.(2008?上海扬浦测试)若直线 ax+by=1 与圆 x +y =1 相切,则实数 ab 的取值范围是 答案

.?

? 1 1? ?? 2 ,2 ? ? ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.(12 分)过点 M(0,1)作直线,使它被直线 l1:x-3y+10=0 和 l2:2x+y-8=0 所截得的线段恰好被 M 平分, 求此直线方程. 解 方法一

? 10 ? 过点 M 且与 x 轴垂直的直线是 y 轴,它和两已知直线的交点分别是 ? 0, ? 和(0,8),显然不 ? 3?

满足中点是点 M(0,1)的条件. 故可设所求直线方程为 y=kx+1,与已知两直线 l1,l2 分别交于 A、B 两点,联立方程组

? y ? kx ? 1, ? ? x ? 3 y ? 10 ? 0, ? y ? kx ? 1, ? ?2 x ? y ? 8 ? 0,
由①解得 xA=
7 7 ,由②解得 xB= . k ?2 3k ? 1

① ②

∵点 M 平分线段 AB, ∴xA+xB=2xM,即 解得 k=方法二
7 7 + =0. 3k ? 1 k ? 2

1 ,故所求直线方程为 x+4y-4=0. 4

设所求直线与已知直线 l1,l2 分别交于 A、B 两点.

∵点 B 在直线 l2:2x+y-8=0 上, 故可设 B(t,8-2t),M(0,1)是 AB 的中点. 由中点坐标公式得 A(-t,2t-6). ∵A 点在直线 l1:x-3y+10=0 上, ∴(-t)-3(2t-6)+10=0,解得 t=4. ∴B(4,0) ,A(-4,2) ,故所求直线方程为 x+4y-4=0. 18.(12 分)已知方程 x +y -2x-4y+m=0. (1)若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x+2y-4=0 相交于 M、N 两点,且 OM⊥ON(O 为坐标原点) ,求 m; (3)在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程. 解 (1) (x-1) +(y-2) =5-m,∴m<5.
2 2 2 2

(2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 则 x1=4-2y1,x2=4-2y2, 则 x1x2=16-8(y1+y2)+4y1y2 ∵OM⊥ON,∴x1x2+y1y2=0 ∴16-8(y1+y2)+5y1y2=0
? ?x ? 4 ? 2 y 由? 2 2 ? ?x ? y ? 2x ? 4 y ? m ? 0



得 5y -16y+m+8=0 ∴y1+y2=
8? m 16 8 ,y1y2= ,代入①得,m= . 5 5 5

2

(3)以 MN 为直径的圆的方程为 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 即 x +y -(x1+x2)x-(y1+y2)y=0 ∴所求圆的方程为 x +y 2 2 2 2

8 16 xy=0. 5 5

19.(12 分)A、B、C 三城市分别有某种机器 10 台、10 台、8 台,支援 D 市 18 台、E 市 10 台.从 A 市调一台 机器到 D、E 两市的运费分别为 200 元和 800 元;从 B 市调一台机器到 D、E 两市的运费分别为 300 元和 700 元;从 C 市调一台机器到 D、E 两市的运费分别为 400 元和 500 元.? (1)若从 A、B 两市各调 x 台到 D 市,当三市 28 台机器全部调运完毕后,求总运费 P(x)关于 x 的函数 表达式,并求 P(x)的最大值和最小值;? (2)若从 A 市调 x 台到 D 市,从 B 市调 y 台到 D 市,当 28 台机器全部调运完毕后,用 x、y 表示总运费 P, 并求 P 的最大值和最小值.? 解 (1)机器调运方案如下表:?

运 费 需 方
D E 供量

供 方
A B C 需量

200x 800(10-x) 10

300x 700(10-x) 10

400(18-2x) 500(2x-10) 8

18 10

总运费 P(x)=200x+300x+400(18-2x)+800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)=17 200-800x,? 又由 0≤x≤10,0≤18-2x≤8,得定义域 5≤x≤9,? 所以 P(x)max=P(5)=13 200(元),? P(x)min=P(9)=10 000(元) ,? (2)机器调运方案如下表:?

运 需 费 方
D E 供量

供 方
A B C 需量

200x 800(10-x) 10

300y 700(10-y) 10

400(18-x-y) 500(x+y-10) 8

18 10

总运费 P=200x+300y+400(18-x-y)+800(10-x)+700(10-y)+500(x+y-10)=17 200-100(5x+3y) , ? 其中 0≤x≤10,0≤y≤10,0≤18-x-y≤8.? 在 xOy 平面内作出上述不等式的可行域 (如图中阴影部分) .其中 l1:x+y=18,l2:x+y=10.可见, 当 x=10,y=8 时,Pmin=9 800;当 x=0,y=10 时,Pmax=14 200. 20.(12 分)已知圆 M:x +y -2mx-2ny+m -1=0 与圆 N:x +y +2x+2y-2=0 交于 A、B 两点,且这两点平分圆 N 的圆周,求圆 M 的圆心的轨迹方程,并求其中半径最小时圆 M 的方程.? 解
2

2

2

2

2

2

由圆 M 的方程知 M(m,n).又由方程组?

? x ? y 2 ? 2mx ? 2ny ? m 2 ? 1 ? 0, 2 得直线 AB 的方程为 2(m+1)x+2(n+1)y-m -1=0.? ? 2 2 ? x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0,

又 AB 平分圆 N 的圆周,? 所以圆 N 的圆心 N(-1,-1)在直线 AB 上.? ∴2(m+1) (-1)+2(n+1) (-1)-m -1=0.? ∴m +2m+2n+5=0,即(m+1) =-2(n+2). ∴(x+1) =-2(y+2)即为点 M 的轨迹方程.? 又由题意可知当圆 M 的半径最小时,点 M 到 AB 的距离最小,即 MN 最小. d= ( m ? 1)2 ? (n ? 1) 2 ? ? 2(n ? 2) ? (n ? 1) 2 ? n 2 ? 3. 由(*)可知 n≤-2,∴d≥1.? 即最小值为 1,此时 m=-1,n=-2,? 故此时圆 M 的方程为(x+1) +(y+2) =5.?
2 2 2 2 2 2

(*)?

?1 1? 21.(12 分)将一块直角三角板 ABO 置于平面直角坐标系中(如图所示).已知 AB=OB=1,AB⊥OB,点 P ? , ? ?2 4?
是三角板内一点.现因三角板中阴影部分受到损坏,要把损坏部分锯掉,可用经过点 P 的任一直线 MN 将三 角板锯成△AMN.问应如何确定直线 MN 的斜率,可使锯成的△AMN 的面积最大?

解 由题意可知 B(1,0) ,A(1,1) ,? kOP=
1 1 ,kPB=- ,? 2 2

? 1 1? ∴kMN∈ ?? , ? ,lAO:y=x;lAB:x=1.? ? 2 2?
设 lMN:y=kx+b,?

?1 1? ∵直线 MN 过 P ? , ? ? ?2 4?
∴b=
1 1 ?1 1 ? ? k,∴y=kx+ ? ? k ? .? 4 2 ?4 2 ?

? 1 ? 2k 1 ? 2k ? ? k 1 ? ∴M ? , ? ,N ?1, ? ? ? ? 4 ? 4k 4 ? 4k ? ? 2 4 ?
S△AMN=

1 ? 1 k ? ? 1 ? 2k ? (3 ? 2k ) 2 ,? ?? ?1 ? ? ? ? ?1 ? 2 ? 4 2 ? ? 4 ? 4k ? 32(1 ? k )

?1 3? 设 t=1-k∈ ? , ? .? ?2 2?
S△AMN=
4t 2 ? 4t ? 1 ?1 3? 在 t∈ ? , ? 时,函数单调递增.? 32t ?2 2?
3 1 1 ,即 k=- 时,S△AMN(max)= . 2 2 3

∴当 t=

22.(14 分)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x- 3 y=4 相切.? (1)求圆 O 的方程;? (2)圆 O 与 x 轴相交于 A、B 两点,圆内的动点 P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,求 PA ? PB 取值范 围.? 解 (1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x- 3 y=4 的距离,即 r=
2 2

4 1? 3

=2.?

所以圆 O 的方程为 x +y =4.? (2)不妨设 A(x1,0),B(x2,0),且 x1<x2,由 x =4,? 得 A(-2,0),B(2,0).? 设 P(x,y) ,由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,? 得 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 =x +y ,?
2 2 2

即 x -y =2.? 所以 PA ? PB =(-2-x,-y)?(2-x,-y)? =x -4+y =2(y -1).?
? x 2 ? y 2 ? 4, 由于点 P 在圆 O 内,故 ? 2 ? 2 ? x ? y ? 2,
2 2 2

2

2

由此得 0≤y <1.? 所以 PA ? PB 的取值范围为[-2,0).

2


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