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甘肃省永昌县第一中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题

时间:2016-07-23


永昌一中 2014—2015 年度第二学期高二期末考试试卷 数学试题(理) (时间 120 分钟,满分 150 分) 第一卷 一、选择题(每题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合

A ? {x ? R x 2 ? 4}, B ? {x ? Z x ? 4}, 则A ? B ? (
A.(0,2) B.[0,2] C.{0,2} D.{0,1,2}

)

2x ? 1 ? 0 的解集是 ( ) 2. 不等式 3x ? 1 1 1 1 1 A. {x | x ? ? 或x ? } B. {x | ? ? x ? } 3 2 3 2 1 1 C. { x | x ? } D. { x | x ? ? } 2 3
3.函数 f ( x) ? log2 x ? 2 x ? 1的零点必落在区间 ( A. ? , 1? ) D. ? , ?

?1 ? ?2 ?

B. ? , ?

?1 1? ?4 2?
的定义域为(

C. ?1 , 2?

?1 1? ?8 4?

4.函数 y ?

ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

)

A. (?4, ? 1)

B. (?4, 1)

C. (?1, 1)

D. (?1,1]

5.已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻 交点的距离等于 ? ,则 f ( x ) 的单调递增区间是( A. [k? ? ? , k? ? 5? ], k ? Z 12 12 C. [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z 3 6 6.若 3sin ? ? cos ? ? 0 ,则 A. -2 B.
2



B. [k? ? 5? , k? ? 11? ], k ? Z 12 12 D. [k? ? ? , k? ? 2? ], k ? Z 6 3

5 3

1 的值为( ) cos ? ? sin 2? 2 10 C. D. 3 3


7.已知向量 a ? (1,2),b ? (2,?3) 若向量 c 满足, (c ? a) // b, c ? (a ? b) ,则 c =( A. ( , )

7 7 9 3

B (?

7 7 ,? ) 3 9

C ( , )

7 7 3 9

D. ( ?

7 7 ,? ) 9 3

8.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感 染的标志为“连续 10 天,每天新增疑似病例不超过 7 人” 。根据过去 10 天甲、乙、丙、丁

四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是( ) (A)甲地:总体均值为 3,中位数为 4 (C)丙地:中位数为 2,众数为 3 9.已知 g ( x) ? 1 ? 2 x, f [ g ( x)] ? (B)乙地:总体均值为 1,总体方差大于 0 (D)丁地:总体均值为 2,总体方差为 3 )

1? x2 1 ( x ? 0), 那么f ( ) ? ( 2 2 x
D.

A. 3

B. 15

C. 0

2


10.某几何题的三视图如图(1)所示,则它的体积是( A. 8 ?

2? 3

B. 8 ? D.

?
3

C. 8 ? 2?

2? 3

11.圆的方程是(x-cos?) +(y-sin?) =
2 2

1 ,当?从 0 变化到 2?时, 2
(1 ? 2 2 ) ? 2

动圆所扫过的面积是 ( A. ? B.


2 2?

C. (1 ? 2 )?

D.

12.甲、 乙两人从 4 门课程中各选修 2 门, 则甲、 乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有( (A)6 种 (B)12 种 (C)24 种 第二卷 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分) 13.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ?[0, ? ])的值域是 __________ ____. (D)30 种

)

14.某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样 法,将全体职工随机按 1-200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1-5 号,6-10 号?, 196-200 号).若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是 方法,则 40 岁以下年龄段应抽取 人. 。若用分层抽样

图 2 15. 设 l、 m、 n 是三条不同的直线, ?、? 、? 是三个不同的平面,下面有四个命题:

① 若l ∥ ? , ? ∥ ? ,则l ∥?; ③ 若? ? ? , l ∥? ,则l ? ?; 其中假命题的题号为 ;

② 若l ∥ n, m ∥ n,则l ∥ m; ④ 若l ? ? , m ? ? , ? ? ? , 则l ? m.

16.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1, 对于满足0 ? x1 ? x2 ? 2的任意x1 , x2 , 给出下列结论: ① ( x2 ? x1 )[ f ( x2 ) ? f ( x1 )] ? 0 ; ③ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ; ④ ② x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ;

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x ? x2 ? f( 1 ) 2 2

其中正确结论的序号是___________ 三、解答题(满分 70 分)

?? ? 17.(本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? 2 sin? x ? ? ? 2 cos x, 6? ?
(1)若 sin x ?

?? ? x?? ,? ? . ?2 ?

4 ,求函数 f ( x) 的值; 5

(2)求函数 f ( x) 的值域.

18 (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,A、B 为锐角, 角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 且 sin A ?

5 10 .(1)求 A ? B 的值;(2)若 a ? b ? 2 ? 1 ,求 a、b、c 的值. ,sin B ? 5 10

19.(本小题满分12分)根据空气质量指数API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下 表:

对某城市一年 (365 天) 的空气质量进行监测, 获得的 API 数据按照区间 [0,50] ,(50,100] ,

(100,150] , (150,200] , (200,250] , (250,300] 进行分组,得到频率
分布直方图如图 5. (1)求直方图中 x 的值;

(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数; (3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. ( 结 果 用 分 数 表 示 . 已 知 5 ? 78125 , 2 ? 128 ,
7 7

3 2 7 ? ? 1825 365 1825

?

3 8 123 ? ? , 365 ? 73 ? 5 ) 1825 9125 9125

P

20.(本小题满分 12 分) 四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA=AB=1,BC=2, PA⊥底面 ABCD. (1)求证:平面 PDC⊥平面 PAD (2)在边 BC 上是否存在一点 G,使得 PD 与平面 PAG 所 成的角的正弦是

A B C

D

5 . 5

21. (满分 12 分)已知椭圆 C 的焦点 F1(- 2 2 ,0)和 F2( 2 2 ,0) ,长轴长 6,设直 线 y ? x ? 2 交椭圆 C 于 A、B 两点。 求(1)求椭圆的标准方程; (2)求线段 AB 的中点坐标。
F1 ? 2, 0 , F2

22. (满分 12 分)已知两定点

?

? ?

2, 0

? ,满足条件 PF

???? ?
2

???? ? PF1 ? 2

的点 P 的

轨迹是曲线 E ,直线 y ? kx ? 1 与曲线 E 交于 A, B 两点,如果

AB ? 6 3

??? ? ??? ? ??? ? 在点 C ,使 OA ? OB ? mOC 。
(1)求曲线 E 的方程; (2)求 m 的值; (3)求 ?ABC 的面积

,且曲线 E 上存

S? 。

永昌一中 2014—2015 年度第二学期高二期中考试试卷 数学试题参考答案(理) 一、选择题 1.D 2. A 3.A 二、填空题 13. [? 3,2] 三、解答题
4 3 ?? ? 17. [ 解 ] ( 1 )? sin x ? , x ? ? , ? ? , ? cos x ? ? , 5 5 ?2 ? 分

4.C

5.C 6.D 7.D 8.D 9.B 10.A 11.B 12.C 20; 15. ①③;16.②④。

14. 37,

?? 2

? 3 ? 1 ? ? 3 sin x ? cos x f ( x) ? 2? ? 2 sin x ? 2 cos x ? ? 2 cos x ? ? 4 3 ? 3? . 5 5

??5

分 (2) f ( x) ? 2 sin? x ? 分
?
? ?

??

?, 6?

??7
?
6 5? , 6

?
2

? x ?? ,

?

?
3

?x?

?

??8


1 ?? ? ? sin? x ? ? ? 1 , 2 6? ?

? 函数 f ( x) 的值域为 [1, 2 ] .

??10 分

18.解:(1)由已知: cos A ?

2 5 3 10 cos B ? 5 10 2 2

cos(A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?

因为 0 ? A ? B ? ? ? A ? B ? ???????????????????????5 分 4 (2) 由 a ? b ? 2 ?1

得 2RsinA-2RsinB= 2 ? 1 ,得:2R= 10 C=
3? 4

c=2RsinC= 5 b=2RsinB=1?????????????12 分

a=2RsinA= 2

19. 解: (1)由图可知
3 2 7 3 8 123 ? ? ? ? ) ? 50 ? 1 ? ? 50 , 1825 365 1825 1825 9125 9125 119 解得 x ? ;------------------------------------3分 18250 119 2 ? 50 ? ? 50) ? 219 ;---------------6 分 (2) 365 ? ( 18250 365
50 x ? 1 ? (

(3)该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为:
119 2 219 3 ? 50 ? ? 50 ? ? , 18250 365 365 5

则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为:
1? 3 2 ? ---------------------------------9 分 5 5

一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为
76653 7 2 7 3 0 6 2 6 3 1 1 ? C7 ( ) ( ) ? C7 ( ) ( ) ? .-------------------12 分 5 5 5 5 78125

20. (1)证明略???????????????????????6 分 (2)假设存在 G 点,设 BG=x 则 AG= 1 ? x 2

再设 D 到面 PAG 的距离是 h 1 1 1 1 ? AD ? AB ? PA ? ? ? AP ? AG ? h 由 VP-AGD=VD-PGA 得 3 2 3 2

h?

2 1? x2
2

PD= 5

G

由已知:

5 1? x2 得x ? 3 ? 5 5

故存在点 G, 使得 PD 与平面 PAG 所成的角的正弦是

5 ??????12 分 5

21.(1)解:由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上,其中 c= 2 2 ,a=3,从而 b=1,所 以其标准方程是: x2 ? y 2 ? 1 .------------4 分 9

? x2 2 ? ? y ?1 (2)联立方程组 ? 9 ,消去 y 得, 10 x 2 ? 36 x ? 27 ? 0 .----6 分 ? ? y ? x?2 设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),AB 线 段 的 中 点 为 M( x0 , y0 ) 那 么 : 18 x ? x2 9 x1 ? x2 ? ? , x0 = 1 ? ------------------------------8 分 2 5 5 1 所以 y0 = x0 +2= . 5 9 1 也就是说线段 AB 中点坐标为(- , ).-----------------12 分 5 5
22.本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距 离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分 14 分。 解: (1)由双曲线的定义可知,曲线 E 是以 的左支,且 c ? 2, a ? 1 ,易知 b ? 1 故曲线 E 的方程为
F1 ? 2, 0 , F2

?

? ?

2, 0

? 为焦点的双曲线

-------------------4 分 ? y ? kx ? 1 ? 2 2 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? (2)设 ,由题意建立方程组 ? x ? y ? 1 ?1 ? k 2 ? x 2 ? 2kx ? 2 ? 0 消去 y ,得 又已知直线与双曲线左支交于两点 A, B ,有
? 1? k 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? ? 2k ? ? 8 ?1 ? k ? ? 0 ? ? ? x ? x ? ?2k ? 0 1 2 ? 1? k 2 ? ?2 ? x1 x2 ? ?0 ? 1? k 2 ?

x2 ? y 2 ? 1? x ? 0?

解得 ? 2 ? k ? ?1

又∵

2 AB ? 1 ? k 2 ? x1 ? x2 ? 1 ? k ?

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2
2 2

?2 ? 2 ? ?2k ? ? 1? k 2 ? ? ? 4? 2 ? 1 ? k 1 ? k2 ? ?
2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ?1 ? k ?
2 2

2

4 2 整理后得 28k ? 55k ? 25 ? 0 5 5 5 k2 ? k2 ? k ?? 7或 4 但 ? 2 ? k ? ?1 2 ∴ ∴ 5 x ? y ?1 ? 0 故直线 AB 的方程为 2 ??? ? ??? ? ??? ? C ? xc , yc ? x , y ? x , y ? mx , myc ? OA ? OB ? mOC 设 ,由已知 ,得 ? 1 1 ? ? 2 2 ? ? c

依题意得

?1 ? k ?? 2 ? k ? ? 6 ?1 ? k ?
2 2 2 2

3

∴ 又

? mxc , myc ? ? ? ?

x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ? m ? , ? m ? 0? ? m

x1 ? x2 ?

2k 2k 2 2 ? ? 4 5 y ? y ? k x ? x ? 2 ? ?2? 2 ?8 ? ? 1 2 1 2 2 2 k ?1 k ?1 k ?1 ,

? ?4 5 8 ? C? ? m ,m? ? ? ∴点 ?

80 64 ? 2 ?1 2 将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程,得 m m 得 m ? ?4 ,但当 m ? ?4 时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意 ∴ m ? 4 。---------------------------------------10 分

(3) C 点的坐标为

??

5, 2

?

5 ? ? 5 ? 2 ?1 2 ? 5? 2 ? ? ?1 2 ? ?
2

?

?

?

1 3

C 到 AB 的距离为:

∴ ?ABC 的面积

S?

1 1 ?6 3? ? 3 2 3 -------------12 分

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