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2015-2016学年高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式讲末检测 新人教A版选修4-5


2015-2016 学年高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式讲末检测 新人教 A 版选修 4-5
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1 1 1 1 1.用数学归纳法证明不等式 1+ 3+ 3+?+ 3<2- (n≥2,n∈N+)时,第一步应验 2 3 n n 证不等式( ) 1 1 A.1+ 3<2- 2 2 1 1 1 B.1+ 3+ 3<2- 2 3 3

1 1 C.1+ 3<2- 2 3 1 1 1 D.1+ 3+ 3<2- 2 3 4 答案: A 2. 用数学归纳法证明“对任意 x>0 和正整数 n, 都有 x +x
n n-2

+x

n-1

+?+

1

xn-1 xn-2 xn



1



1

≥n+1”时,需要验证的使命题成立的最小正整数值 n0 应为( ) A.n0=1 B.n0=2 C.n0=1,2 D.以上答案均不正确 答案: A 2 2 3.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,x +y 能被 x+y 整除”的第二步是( ) A.假设当 n=2k+1(k∈N+)时正确,再推当 n=2k+3 时正确 B.假设当 n=2k-1(k∈N+)时正确,再推当 n=2k+1 时正确 C.假设当 n=k(k∈N+)时正确,再推当 n=k+1 时正确 D.假设当 n≤k(k∈N+,k≥1)时正确,再推当 n=k+2 时正确 解析:因为 n 为正奇数,根据数学归纳法的证明步骤,第二步应先假设第 k 个正奇数也 成立,本题即假设当 n=2k-1 时正确,再推第(k+1)个正奇数,即当 n=2k+1 时正确. 答案:B 1 1 1 3 5 4. 设 n 为正整数, f(n )=1+ + +?+ , 计算得 f(2)= , f(4)>2, f(8)> , f(16) 2 3 n 2 2 7 >3,f(32)> ,观察上述结果,可推测出一般结论( 2 2n+1 n+2 2 A.f(2n)> B.f(n )≥ 2 2 C.f(2 )≥
n

)

n+2
2

D.以上都不对

答案:C n 3 5.欲用数学归纳法证明:对于足够大的正整数 n,总有 2 >n ,n0 为验证的第一个值, 则( ) A.n0=1 B.n0 为大于 1 小于 10 的某个整数

1

C.n0≥10 D.n0=2 答案:C 1 6. 如果 1×2×3+2×3×4+3×4×5+?+n(n+1)(n+2)= n(n+1)(n+a)(n+b)对 4 一切正整数 n 都成立,a,b 的值应该为( A.a=1,b=3 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=2 D.a=2,b=3 答案:D 7.用数字归纳法证明不等式 1 )

n+1 n+2



1

1 1 +?+ > (n≥2)的过程中,由 n=k 递推到 2n 2

n=k+1 时,不等式左边(
1 A.增加了一项 2(k+1)

)

1 1 B.增加了两项 , 2k+1 2k+2 C.增加了 B 中两项,但减少了一项 D.以上各种情况均不对 1 1 1 解析:由 n=k 到 n=k+1,左边多了两项 , ,但也少了一项 . 2k+1 2k+2 k +1 答案:C 8.用数学归纳法证明 1+2+3+?+n = 上加上( ) 2 A.k +1 2 B.(k+1) (k+1) +(k+1) C. 2
2 2 4 2 2

1

k+1

n4+n2
2

,当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础

D.(k +1)+(k +2)+(k +3)+?+(k+1) 2 解析:当 n=k 时,等式左端=1+2+?+k ; 当 n=k+1 时, 2 2 2 等式左端=1+2+?+k + (k +1)+?+(k+1) . 答案:D 9.平面内有 n 个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点, 这 n 个圆把平面分成 f(n)个部分,则满足上述条件的 n+1 个圆把平面分成的部分 f(n+1) 与 f(n)的关系是( ) A.f(n+1)=f(n)+n+2 B.f(n+1)=f(n)+2n C.f(n+1)=f(n)+n+1 D.f(n+1)=f(n)+n 答案:B 10.平面内原有 k 条直线,它们的交点个数记为 f(k),则增加一条直线 l 后,它们的 交点个数最多为( )

2

2

2

A.f(k)+1 B.f(k)+k C.f(k)+k+1 D.k·f(k) 答案:B n 11.用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)?(n+n)=2 ×1×3×?×(2n-1)时,从“k 到 k+1”左边需增乘的代数式是( ) 2k+1 A.2k+1 B. k+1 2k+2 C.2(2k+1) D. k+1 答案:C 1 1 1 127 12.用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ n-1> 成立,起始值至少应取为( 2 4 2 64 A.7 B.8 C.9 D.10 答案:B 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) sin 2nα 13.用数学归纳法证明 cos α +cos 3α +?+cos(2n-1)α = (sin α ≠0, 2sin α )

n∈N),在验证 n=1 时,等式右边的式子是________.
答案:cos α 1 1 1 1 1 14.设 f(n)=1- + - +?+ - ,则 f(k+1)=f(k)+________. 2 3 4 2n-1 2n 答案: 1 1 - 2k+1 2k+2

15. 观察 1=1, 1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16, ?, 猜想一般规律是________. 2 答案:1+3+5+?+(2n-1)=n 16.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)·?·(n+n)=2 ×1×3×?×(2n-1),n∈N+, 从 n=k 到 n=k+1,左边需乘的代数式是______. 解析:当 n=k 时,左边=(k+1)·?·(k+k), 当 n=k+1 时,左边=(k+2)(k+3)·?·(2k+2)=2(k+1)(k+2)·?·[k+(k+ 1)], ∴左边需乘的代数式为 2(2k+1). 答案:2(2k+1) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 11 分)用数学归纳法证明: 1 1 1 1 1 1 1 1 * 1- + - +?+ - = + +?+ ( n∈N ). 2 3 4 2n-1 2n n+1 n+2 2n 证明:(1)当 n=1 时, 1 1 1 左边=1- = = =右边,∴等式成立 ; 2 2 1+1 (2)假设 n=k(k≥1,k∈N )时等式成立,即
*

n

3

1 1 1 1 1 1 1 1 1- + - +?+ - = + +?+ , 2 3 4 2k-1 2k k+1 k+2 2k 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 + 1 +?+ 1 ?+ 1 左边= 1- + - +?+ - + - =? ? 2k? 2k+1 2 3 4 2k-1 2k 2k+1 2k+2 ?k+1 k+2 - 1 1 1 1 1 1 = + +?+ + + =右边, 2k+2 k+2 k+3 2k 2k+1 2k+2 ∴n=k+1 时,命题成立,根据(1)、(2)可知,对一切 n∈N ,命题都成立.
*

18.(本小题满分 11 分)用数学归纳法证明:x -y (n∈N ) 能被 x+y 整除. 2 2 解析:(1)当 n=1 时,x -y =(x+y)(x-y)能被(x+y)整除. * 2k 2k (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N )时,x -y 能被(x+y)整除. 那么当 n=k+1 时, x2(k+1)-y2(k+1)=x2x2k-y2y2k=x2x2k-x2y2k+x2y2k-y2y2k=x2 (x2k-y2k)+y2k(x2-y2). 2k 2k 2 2 由于(x -y )和(x -y )都能被(x+y)整除, 2 2k 2k 2k 2 2 所以 x (x -y )+y (x -y )能被(x+y)整除, 故 n=k+1 时, x2n-y2n 能被(x+y)整除. * 2n 2n 由(1)、(2)知 n∈N 时,x -y 都被(x+y)整除.

2n

2n

*

19.(本小题满分 12 分)在数列{an}中,已知 a1=a(a>1),且 an +1= 证:an>1(n∈N ). 证明:(1)当 n=1 时,a1=a>1,不等式成立.
*

a2 n+ 1 * (n∈N ),求 2a n

(2)假设 n=k(k≥1, k∈N )时, 不等式成立, 即 ak>1, 则当 n=k+1 时, ak+1-1= (ak-1) -1= . 2ak (ak-1) 由 ak>1,∴ >0.∴ak+1>1. 2 ak 即 n=k+1 时,不等式也成立. * 综合(1)、(2)知,对一切 n∈N ,都有 an>1.
2 2

*

a2 k+1 2ak

20.(本小题满分 12 分)用数学归纳法证明:3 -8n-9(n∈N )能被 64 整除. 证明:(1)当 n=1 时,命题显然成立. * 2k+2 (2)假设 n=k(k≥1,k∈N )时,命题成立,即 3 -8k-9=64m(m∈Z),则当 n=k+1 2k+4 2k+2 2k+2 时,3 -8(k+1)-9=9×3 -8k-17=9(3 -8k-9)+64k+64=64(9m+k+1). * 2k+4 而 k∈N , m∈Z, ∴9m+k+1∈Z, 即当 n=k+1 时, 3 -8(k+1)-9 也能被 64 整除. 据 * (1)(2)可知,命题对一切 n∈N 均成立.

2n+2

*

21.(本小题满分 12 分)设数列{an}满足 an+1=an-nan+1,n=1,2,3?.

2

4

(1)当 a1=2,求 a2,a3,a4,并由此猜想出 an 的一个通项公式; (2)当 a1≥3 时,求证对所有的 n≥1,有: ①an≥n+2; ② 1 1 1 1 + +?+ ≤ . 1+a1 1+a2 1+an 2
2

解析:(1)由 a1=2,得 a2=a1-a1+1=3; 2 由 a2=3,得 a3=a2-2a2+1=4; 2 由 a3=4,得 a4=a3-3a3+1=5. 由此猜想 an=n+1(n∈N+). (2)证明:①用数学归纳法证明: 当 n=1 时,a1≥1+2=3,不等式成立. 假设当 n=k 时,不等式成立, 即 ak≥k+2. 2 当 n=k+1 时,ak+1=ak-kak+1=ak(ak-k)+1≥ (k+2)(k+2-k)+1=2(k+2)+1≥k+3=(k+1)+2,也就是说,当 n=k+1 时,ak +1≥(k+1)+2. 综上可得,对所有的 n≥1,有 an≥n+2. ②由 an+1=an(an-n)+1 及①,对 k≥2,有 ak=ak-1(ak-1-k+1)+1≥ak -1(k-1+2-k 2 3 2 k-1 +1)+1=2ak-1+1≥2(2ak-2+1)+1=2 ak-2+2+1≥2 ak-3+2 +2+1≥?.所以 ak≥2 a1 +2
k-2

+?+2+1=2

k-1

-1=2

k-1

· (a1+1)-1, 于是 1+ak≥2

k-1

1 1 1 (a1+1), ≤ · k-1, 1+ak 1+a1 2

k≥2.
所以 1 ? 1 1 1 1 1 1 ?1 1 + +?+ ≤ + · ? + 2+?+ n-1? = 2 ? 1+a1 1+a2 1+an 1+a1 1+a1 1+a1 ?2 2

1 ? 2 2 2 1 ?1+1+ 12+?+ n ? 1? ·?1- n?< ≤ = . -1?= ? 2 2 2 ? 1+a1 ? 2 ? 1+a1 1+3 2 ? 因此原不等式成立.

22.(本小题满分 12 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 n∈N ,点(n,Sn) x 均在函数 y=b +r(b>0 且 b≠1,b,r 均为常数)的图象上. (1)求 r 的值; * * (2) 当 b = 2 时 , 记 bn = 2(log2an + 1)(n∈N ) . 证 明 : 对 任 意 的 n∈N , 不 等 式

*

b1+1 b2+2 bn+1 · ·?· > n+1成立. b1 b2 bn
(1)解析:因为对任意的 n∈N ,点(n,Sn)均在函数 y=b +r(b>0 且 b≠1,b,r 均为常 n 数)的图象上,所以得 Sn=b +r. 当 n=1 时,a1=S1=b+r, n n-1 n n-1 n-1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=b +r-(b +r)=b -b =(b-1)b , 又因为{an}为等比数列, n-1 所以 r=-1,公比为 b,an=(b-1)b , n-1 n-1 n-1 (2)证明:当 b=2 时,an=(b-1)b =2 ,bn=2(log2an+1)=2(log22 +1)=2n, 则
*

r

bn+1 2n+1 = , bn 2n
5

所以

b1+1 b2+1 bn+1 3 5 7 2n+1 · ·?· = · · ·?· . b1 b2 bn 2 4 6 2n b1+1 b2+1 bn+1 3 5 7 2n+1 · ·?· = · · ·?· > n+1成 b1 b2 bn 2 4 6 2n

下面用数学归纳法证明不等式 立,

3 3 ①当 n=1 时,左边= ,右边= 2,因为 > 2, 2 2 所以不等式成立, ②假设当 n=k(k≥1)时不等式成立, 即 成立. 则 当 n = k + 1 时 , 左 边 = 3 5 7 2k+1 2k+3 2k+3 ··· ?· · > k+1· = 2 4 6 2k 2k+2 2k+2 =

b1+1 b2+1 bk+1 3 5 7 2k+1 · · ?· = ··· ?· > k+1 b1 b2 bk 2 4 6 2k b1+1 b2+1 bk+1 bk+1+1 · · ? · · = b1 b2 bk bk+1
(2k+3) = 4(k+1)
2

4(k+1) +4(k+1)+1 4(k+1)

2

1 (k+1)+1+ > (k+1)+1. 4(k+1) 所以当 n=k+1 时不等式也成立. 由①②可得不等式恒成立.

6


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