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高中数学奥林匹克竞赛讲座:22因式分解

时间:2010-12-14


竞赛讲座 22
-因式分解 因式分解
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,具有一定的灵活性和技巧性,下面我 们在初中教材已经介绍过基本方法的基础上,结合竞赛再补充介绍添项、拆项法,待 定系数法、换元法、对称式的分解等有关内容和方法. 1.添项.拆项法 添项、 拆项的目的是在各项间制造公因式或便于利用公式分解因式, 解题时要注意观 察分析题目的特点. 例

1 (1986 年扬州初一数学竞赛题)分解因式 (1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2 解:原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1+y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2) =[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2) =[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2 =[(1+y)+x2(1-y)+2x]·[(1+y)+x2(1-y)-2x] =(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1) =[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 例 2(第 11 届国际数学竞赛题)证明:具有如下性质的自然数 a 有无穷多个,对于 任意的自然数 m.z=n4+a 都不是素数. 证明 设 a=4k4(k 为大于 1 的自然数) ,则 z=n4+a =n4+4k4 =n4+4n2k2+4k4-4n2k2 =(n2+2k2)2-4n2k2 =(n2+2k2+2nk)(n2+2k2-2nk) =[(n+k)2+k2][(n-k)2+k2]. ① ∵k 为大于 1 的自然数, ∴(n+k)2+k2>1, (n-k)2+k2>1 故①的右边两个因子都大于 1,故当 k>1 时,z 是合数. 由于大于 1 的自然数 k 有无穷多个, 故有无穷多个自然数 a, n4+a 对一切自然数 n 使 总非素数 2.待定系数法 若两多项式 f(x)=g(x),则它们同次的对应项系数一定相等,利用这条结论可将某些因 式分解的问题转化为解方程组的问题来解决. 例 3 分解因式 3x2+5xy-2y2+x+9y-4. 解 由于 3x2+5xy-2y2=(3x-y)(x+2y),故可设 3x2+5xy-2y2+x+9y-4 =(3x-y+a)(x+2y+b) =3x2+5xy-2y2+(a+3b)x+(2a-b)y+ab. ①②③ 比较两边系数得 由①,②联立得 a=4,b=-1,代入③式适合.

∴原式=(3x-y+4)(x+2y-1). 例4 (1963 年北京中学生数学竞赛试题)已知多项式 x3+bx2+cx+d 的系数都是整 数,若 bd+cd 是奇数,,证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积. 证明 设 x3+bx2+cx+d=(x+p)(x2+qx+r) =x3+(p+q)x2+(pq+r)x+pr (其中 p、q、r 均为整数) 比较两边系数得 pr=d. 又 bd+cd=d(b+c)是奇数,故 b+c 与 d 均为奇数,那么 pr 也是奇数,即 p 与 r 也是奇数.今 以 x=1 代入(因为它是恒等式)得 1+b+c+d=(1+p)(1+q+r). ① ∵b+c,d 为奇数,∴1+b+c+d 也为奇数,而 p 为奇数,∴1+p 为偶数. ∴(1+p)(1+q+r)为偶数.这说明等式①的左端为奇数,右端为偶数,这是不可能的. 所以,所述多项式不能分解成两个整系数多项式的乘积. 3.换元法 例 5 分解因式 (x2+3x+2)(x2+7x+12)-120. 解 原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120 =(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120 =(x2+5x+6)(x2+5x+4)-120 令 x2+5x=A, 代入上式,得 原式=(A+6)(A+4)-120=A2+10A-96 =(A+16)(A-6)=(x2+5x+16)(x2+5x-6)=(x2+5x+16)(x+6)(x-1) 例 6 证明 a(a+1)(a+2)(a+3)+1 必为完全平方数 解 原式=a(a+3)(a+1)(a+2)+1 =(a2+3a)(a2+3a+2)+1 =(a2+3a)2+2(a2+3a)+1 =(a2+3a+1)2 ∴a(a+1)(a+2)(a+3)+1 为完全平方数. 说明:这里未设新元,但在思想上把 a2+3a 看作一个新元素. 4.对称式的因式分解 在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多 项式叫做对称多项式. 例 7 分解因式 x4+(x+y)4+y4 分析 这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是 x+y,xy 任何二元对称多项式都 可用 x+y,xy 表示,如 x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用 xy,x+y 表示,再行分解. 解 ∵x4+y4 =(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2 =(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2. ∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4 =2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2 =2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2] =2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2, 例 8 分解因式 a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).

此题中若将式中的 b 换成 a,c 换成 b,a 换成 c,即为 c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变, 这类多项式称为关于 a、b、c 的轮换对称式,轮换对称式的因式分解,用因式定理及 待定系数法比较简单,下面先粗略介绍一下因式定理,为了叙述方便先引入符号 f(x)、 f(a)如对一元多项式 3x2-5x-2 可记作 f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当 x=a 时多项式的值,如 x=1 时多项式 3x2-5x-2 的值为 f(1)=3×12-5×1-2=-4,当 x=2 时多项式 3x2-5x-2 的值为 f(2)=3×22-5×2-2=0. 因式定理 如果 x=a 时多项式 f(x)的值为零,即 f(a)=0,则 f(x)能被 x-a 整除(即含有 x-a 之 因式). 如 多 项 式 f(x)=3x2-5x-2, 当 x=2 时 ,f(2)=0, 即 f(x) 含 有 x-2 的 因 式 , 事 实 上 f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2). 证明 设 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, 若 f(a)=0,则 f(x)=f(x)-f(a) =(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0) =(anan+an-1an-1+…+a1a+a0) =an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a), 由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a), ∴(x-a)|f(x), 对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来 处理. 现在我们用因式定理来解例 8. 解 这是一个含有 a、b、c 三个字母的三次多项式,现以 a 为主元,设 f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知当 a=b 和 a=c 时,都有 f(a)=0,故 a-b 和 a-c 是多项式的 因式,而视 b 为主元时,同理可知 b-c 也是多项式的因式,而三次多项式至多有三个 因式故可设 a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中 k 为待定系数,令 a=0,b=1,c=-1 可得 k=-1. ∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) =-(a-b)(b-c)(c-a). 例 9 分解因式 a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b). 分析 这是一个关于 a、 c 的四次齐次轮换多项式, b、 可用因式定理分解, 易知 a-b,b-c,c-a 是多项式的三个因式,而四次多项式还有一个因式,由轮换对称性可知这个一次因式 应是 a+b+c, 故可设 a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) (其中 k 为待定系数) , 取,a=0,b=1,c=-1 可得 k=-1,所以 原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c). 因式定理使用得更多的还是一元 n 次多项式的因式分解. 例 10 (1985 年武汉市初中数学竞赛题)证明:2x+3 为多项式 2x4-5x3-10x2+15x+18 的因式. 证明 以 f(x)记多项式. +15∴2x+3 是 f(x)的因式. 例 11 分解因式 x3-19x-30. 分析 这里常数项是 30,如果多项式 f(x)=x3-19x-30 有 x-a 这种形式的因式,那么 a 一定 是 30 的因数,这是因为 f(a)=a3-19a-30=0 即 a3-19a=30.

∵a|(a3-19a), ∴a|30 解 30 的因数为±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±15,±30. ∵f(1)=-48,f(-1)=-12,f(2)=-60,f(-2)=0,f(3)=-60,f(-3)=0,f(5)=0.(这里已有 f(-2)、f(-3)、f(5)等 于零了,三次多项式只有三个一次因式,所以不必再计算了.) ∴x3-19x-30=k(x+2)(x+3)(x-5), ∴x3 的系数为 1,∴k=1, 故 x3-19x-30=(x+2)(x+3)(x-5). 练习 1.选择题 (1)在 1 到 100 之间若存在整数 n,使 x2+x-n 能分解为两个整系数一次式的乘积,这样的 n 有( )个 (A) 0 (B)1 (C)2 (D)9 (E)10 (2)二次多项式 x2+2kx-3k2 能被 x-1 整除,那么 k 值是( ) (A)1 或 (B)-1 或 (C)0 (D)1 或-1 (3)如果 100x2-kxy+49y2 是一个完全平方式,那么 k=( ) (A)4900 (B)9800 (C)140 (D)70 2.填空 (1)多项式 6x2+mxy-3y2+3x+10y-3 能分解成关于 x、y 的一次多项式,则 m=____. (2)已知 x2+x-1=0,则 x3+2x2+1985=____. 3.(1)分解因式 a2-b2+4a+2b+3 (2)分解因式(x2+x+1)(x2+x+2)-12. 4.(1)分解因式 a3b-ab3+a2+b2+1 (2) (1989 年广州等五市联赛)分解因式(x+y)(x-y)+4(y-1). 5.(1986 年全国初中数学知识竞赛)分解因式(x+y)3+2xy(1-x-y)-1. 6.证明是合数. 7.分解因式(x+y)3-x3-y3+3xy. 8.分解因式(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc. 9.(1986 年五城市联赛试题)若 a 为自然数,则 a4-3a2+9 是质数,还是合数?给出 你的证明. 10.(1985 年北京市初中数学竞赛题)若 a 为自然数,证明 10|(a1985-a1949). 练习 1.D.A.C. 2. (1)m=7. (2)1986 3. (1) (a+b+1) (a-b+3) . (2) (x+2) (x-1) (x2+x+5) 4. (1) (a2-ab+1) (ab+b2+1) (2) (x-y+2) (x+y-2) 5. (x+y-1) (x2+y2+x+y+1) . 6.A=101986+1=(10662)8+1=…分角为两因数之积,且两因 数均大于1即可得证.

7.原式=(x+y)3-(x3+y3)+3xy=…=3xy(x+y+1) . 8. (a+b) (b+c) (c+a) . 9.原式=(a2-3a+3) (a2+3a+3) . 再讨论:a=1或2时,知为质数,a>2为合数. 10.∵a1985-a1949=a1949(a2+1) (a4-a2+1) (a 12-a6+1) (a+1) (a2-a+1) (a6-a3+1) (a6+a3+1) (a2+a+1) (a-1) .当a的个位数字分别为 0~9 时,上式右端总含有因数 2 和 5, ∴10|(a1985-a1949) .


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