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2013高考数学 易错题 失分点+补救训练 直线斜率

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失分点 18 忽视对直线斜率为零或,斜率不存在等 特殊情况的讨论 致误 例 18 a 为何值时,(1)直线 l1:x+2ay-1=0 与直线 l2:(3a-1 )x-ay-1=0 平行? (2)直线 l3: 2x+ay=2 与直线 l4:ax+2y=1 垂直? 正解 (1)①当 a=0 时,两直线的斜率不存在,直线 l1:x-1=0,直线 l2:x+1=0,此时, l1∥l2. 1 1 ②当 a≠0 时,l1:y=- x+ , 2a 2a l2:y= 3a-1 x- , a a 1 1 直线 l1 的斜率为 k1=- , 2a 3a-1 直线 l2 的斜率为 k2= , a ?-21a=3a-1, ? a 要使两直线平行,必须? 1 1 ?2a≠-a, ? 1 解得 a= . 6 1 综合①②可得当 a=0 或 a= 时,两直线平行. 6 (2)方法一 ①当 a=0 时,直线 l3 的斜率不存在,直线 l3: x-1=0,直线 l4:y- =0,此时,l3⊥l4. 2 2 a 1 2 ②当 a≠0 时,直线 l3:y=- x+ 与直线 l4:y=- x+ ,直线 l3 的斜率为 k 3=- ,直 a a 2 2 a 线 l4 的斜率为 k4=- ,要使两直线垂直 ,必 须 k3·k4=-1, 2 1 2 a 1 2 ? a? 即- ·?- ? =-1,不存在实数 a 使得方程成立. a ? 2? 综合①②可得当 a=0 时,两直线垂直. 方法二 要使 直线 l3: x+ay=2 和直线 l4: +2y=1 垂直, 2 ax 根据两直线垂直的充要条件, 必须 A1A 2+B1B2=0,即 2a+2a=0,解 得 a=0,所以,当 a=0 时,两直线垂直. 补 救 训 练 21 与 抛 物线 y = 2x 有且 仅 有 一个 交 点 , 并 且 过点 (0 ,1) 的 直 线 方 程为 2 _____________________. 解析 ①当所求直线斜率不存在时,即直线垂直 x 轴 时. 因为过点(0,1),所以 x=0,即 y 轴,它正好与抛物线 y =2x 相切. 2 ②当所求直线斜率为零时,直线为 y=1,平行 x 轴,它正好与抛物线 y =2x 只有一个交点. 2 ③当直线与 x 轴不平行也不垂直时,设所求的过点(0,1)的直线为 y=kx+1 (k≠0),则 ? ?y=kx+1, ? 2 ? ?y =2x. 故有 k x +(2k-2)x+1=0 . 1 令 Δ =0,解得 k= ,所以,所求直线为 x-2y+2=0. 2 2 2 综上,满足条件的直线为:y=1、x=0 和 x-2y+2=0. 2

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