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高中数学复习学(教)案(第60讲)棱锥

时间:2017-08-10


题目 第九章(B)直线、平面、简单几何体 棱锥 高考要求 1 要使学生理解棱锥、正棱锥的意义,掌握棱锥、正棱锥的性质,会求 其侧面积及体积 结合例题讲清求体积的常用方法 2 以棱锥为载体,训练计算能力、想象能力和逻辑推理能力 知识点归纳 1 棱锥的概念:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形, 这样的多面体叫棱锥 其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面;多边形叫棱

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锥的底面或底;各侧面的公共顶点 ( S ) ,叫棱锥的顶点,顶点到底面所在平 面的垂线段 ( SO ) ,叫棱锥的高(垂线段的长也简称高) . 2.棱锥的表示:棱锥用顶点和底面各顶点的字母,或用顶点和底面一条对 角线端点的字母来表示 如图棱锥可表示为 S ? ABCDE ,或 S ? AC . 3.棱锥的分类: (按底面多边形的边数) 分别称底面是三角形,四边形,五边形……的棱锥为三棱锥,四棱锥,五棱 锥……(如图) 4.棱锥的性质: 定理:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截 面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比. 中截面:经过棱锥高的中点且平行于底面的截面,叫棱锥的中截面 5.正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫 正棱锥. (1)正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形,各等腰三角形 底边上的高相等(叫正棱锥的斜高) . (2)正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形;正棱 锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形
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题型讲解 例 1 如图所示, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA=AB=2, BC=a,又侧棱 PA⊥底面 ABCD (1)当 a 为何值时,BD⊥平面 PAC?试证明你的结论 (2)当 a=4 时,求 D 点到平面 PBC 的距离 (3)当 a=4 时,求直线 PD 与平面 PBC 所成的角 分析:本题主要考查棱锥的性质,直线、平面所成的角的计算和点到平 面的距离等基础知识 同时考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力
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本题主要是在有关的计算中, 推理得到所求的问题, 因而尽量选择用坐 标法计算 z 解: (1)以 A 为坐标原点,以 AD、AB、AP 所在直 P 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 当 a=2 时,BD⊥AC, B A 又 PA⊥BD, y D 故 BD⊥平面 PAC C x 故 a=2 (2)当 a=4 时, D(4,0,0) 、C(0,2,0) 、C(4,2,0) 、P(0,0,2) 、
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??? ? ??? ? FB =(0,2,-2) , BC =(4,0,0)
? ?

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设平面 PBC 的法向量为 n ,则 n · PB =0, n · BC =0, 即(x,y,z) · (0,2,-2)=0, (x,y,z) · (4,0,0)=0, 得 x=0,y=z,取 y=1, ? 故 n =(0,1,1)
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??? ?

?

??? ?

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? ???? | n ? DC | 则 D 点到平面 PBC 的距离 d= = 2 ? |n|

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??? ? ? ??? ? ??? ? ? DP ? n 10 ? ? = (3) DP =(4,0,2) ,cos〈 DP , n 〉= ??? >0, | DP || n | 10
证〈 DP , n 〉=α ,设直线 PD 与平面 PBC 所成的角为θ , 则 sinθ =sin(

?

10 π -α )=cosα = 10 2

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10 10 例 2 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形,侧面 PAD 是正三角形, 且侧面 PAD⊥底面 ABCD,E 为侧棱 PD 的中点 P ⑴求证:AE⊥平面 PCD; ⑵若 AD=AB,试求二面角 A-PC-D 的正切值; E
所以直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 arcsin
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⑶当

AD 为何值时,PB⊥AC ? AB

D A B

⑴证: 设 N 为 AD 中点,Q 为 BC 中点,则因为 ? PAD 是正三角形,底面 ABCD 是矩形,

C

z
所以, PN ? AD , QN ? AD , 又因为侧面 PAD⊥底面 ABCD, 所以, PN ? 面ABCD , QN ? 面PAD , 以 N 为坐标原点,NA、NQ、NP 所在直线分别 x 为 , y, z 轴如图建立空间直角坐标系
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P E D A N F C B Q

y

x

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设 AD ? 1, AB ? a , 则 P ? 0, 0, ?

? ?

3? ?1 ? ?1 ? ? 1 ? , B ? , a,0 ? , A ? , 0, 0 ? , C ? ? , a,0 ? , ? ? 2 ? ?2 ? ?2 ? ? 2 ?
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? 1 3? ? 1 ? ? , 0, D ? ? ,0,0 ? , E ? ? ? 4 ? ? 2 ? ? 4 ?
∴ AE ? ? ?

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??? ?

? ? 1 ? 3 3 ? ??? 3 ? ???? , 0, , PD ? ? ? , 0, ? ? ? , DC ? ? 0, a,0 ? , ? 4 ? 2 4 ? 2 ? ? ? ? ?

? 3? ? 1? ? 4? ? 2? ??? ? ??? ? ??? ? ???? 所以, AE ? PD, AE ? DC

∴ AE ? PD ? ? ? ? ? ? ? ? ?

??? ? ??? ?

??? ? ???? 3 3 ? ? 0 , AE ? DC ? 0 4 2

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又 PD ? DC ? D , PD, DC ? 面PDC ,所以,AE⊥平面 PCD ⑵当 a ? 1 时,由(2)可知: AE ? ? ?

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? 3 3? , 0, ? 是平面 PDC 的法向量; ? 4 4 ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??? 设平面 PAC 的法向量为 n1 ? ? x, y, z ? ,则 n1 ? PA , n1 ? AC , ??? ?

?1 3 3 z?0 ? x? 即 ?2 ,取 x ? 1 ,可得: y ? 1, z ? 2 3 ?? x ? y ? 0 ?
所以, n1 ? ? 1,1,

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?

? ? ?

3? ? 3 ? ?

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向量 AE 与 n1 所成角 ? 的余弦值为:

??? ?

?

3 1 ? ? ??? |? ? | | n ? AE | 7 cos ? ? ? 1 ???? ? 4 4 ? 7 3 7 n1 ? AC ? 2 3
所以, tan ? ?

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6

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又由图可知,二面角 A-PC-D 的平面角为锐角, 所以,二面角 A-PC-D 的平面角的正切值等于 6 ⑶ PB ? ?
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??? ?

?1 3 ? ???? , a , ? ? , AC ? ? ?1, a,0 ? , ?2 2 ? ? ?
2

令 PB ? AC ? 0 ,得 a ? 所以,当

??? ? ??? ?

1 2 ? 0 ,所以, a ? 2 2
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AD ? 2 时,PB⊥AC AB

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例 3 如图,四棱锥 P—ABCD 中,PB⊥底面 ABCD,CD⊥PD.底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3.点 E 在棱 PA 上, 且 PE=2EA. (Ⅰ)求异面直线 PA 与 CD 所成的角; (Ⅱ)求证:PC∥平面 EBD; z P (Ⅲ)求二面角 A—BE—D 的大小. 解: (Ⅰ)建立如图所示的直角坐标系 B—xyz
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E A

设BC ? a, 则A(0,3,0), P(0,0,3), D(3,3,0)C(a,0,0),
??? ? ??? ? CD ? (3 ? a,3,0), PD ? (3,3, ?3), ??? ? ??? ? ?CD ? PD,?CD ? PD ? 0,即3(3 ? a) ? 9 ? 0.?a ? 6. ??? ? ??? ? ?CD ? (?3,3,0), PA ? (0,3, ?3),
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CD ? PA 9 1 ? ??? ? ? ? cos ? PA, CD ?? ??? ? . | CD | ? | PA | 3 2 ? 3 2 2
?异面直线CD与AP所成的角为60?.
C

B
G

y

D

x

(Ⅱ)连结 AC 交 BD 于 G,连结 EG,

?

AG AD 1 AE 1 AG AE ? ? ,又 ? ,? ? .? PC // EG. GC BC 2 EP 2 GC EP 又EG ? 平面EBD, PC ? 平面EBD ? PC // 平面EBD.

??? ? ??? ? ? (Ⅲ)设平面 BED 的法向量为 n1 ? ( x, y,1),因为BE ? (0,2,1), BD ? (3,3,0),由

1 ? ?? ??? ? x? , ?? 1 1 ? ? n ? BE ? 0, 2 y ? 1 ? 0, ? ? 1 ? 2 得? 所以, ? 于是, n1 ? ( , ? ,1). ? ? ?? ??? 2 2 ?n1 ? BD ? 0, ?3x ? 3 y ? 0, ?y ? ? 1 . ? ? ? 2
又因为平面 ABE 的法向量 n2 ? (1,0,0)

?

1 6 ? ? 所以,cos ? n1 , n2 ?? ? . 6 6
所以所求二面角 A—BE—D 的大小为 arccos

6 6

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例 4 如图,正四棱锥 P—ABCD 中,AB=2,侧棱 PA 与底面 ABCD 所成的 角为 60° (1)求侧面与底面所成的二面角(锐角)的大小; (2)在线段 PB 上是否存在一点 E,使得 AE⊥PC,若存在,试确定点 E 的位 置,并加以证明,若不存在,请说明理由 z 解(1)如图 O 为底面 ABCD 的中心 P 则∠PAO 为 PA 与底面所成的角, ∴∠PAO=60°
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∵ AO ?

2

∴ PO ? 6, PA ? 2 2.

D A x B
O M

过 O 作 OM⊥BC 于 M,连 PM 由三垂线定理得 BC⊥PM ∴∠PMO 为侧面与底面所成二面角平面角. ∵OM=1,PO= 6 ,

C

y

? tan ?PMO ? 6,即侧面与底面所成角为arctan 6.
(2)如图,建立空间直角坐标系,

则 A(0, ? 2,0)C(0, 2,0), P(0,0, 6), B( 2,0,0).
??? ? 2? 6 假设在PB上存在一点E, 满足条件, 设E分PB的比为? , 则 E ( ,0, ). 1? ? 1? ? ??? ? ? 2? 6 ??? ? AE ? ( , 2, ), PC ? (0, 2, ? 6). 1? ? 1? ?

??? ? ??? ? ? AE ? PC,? AE ? PC ? 0,
6 ? 0, 解得? ? 2. 1? r ??? ? ?存在点E, 且点E分PB的比为2时, 满足AE ? PC ?2 ?

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例 5 四棱锥 P—ABCD 中,PC⊥平面 ABCD,PC=2,在四边形 ABCD 中, ∠B=∠C=90°,CD∥AB,AB=4,CD=1,点 M 在 PB 上,且 MB=3PM,PB 与 平面 ABC 成 30°角, (1)求证:CM∥面 PAD; z (2)求证:面 PAB⊥面 PAD; P (3)求点 C 到平面 PAD 的距离 M 分析:本题主要考查空间直角坐标系的概念、空 间点和向量的坐标表示以及用向量法证明平行关系, E C 同时考查向量研究空间图形的数学思想方法 D o 如下图,建立空间直角坐标系 O—xyz,C 为坐标 x 原点 O,突破点在于求出相关的向量所对应的坐标 A (1)证明:如图,建立空间直角坐标系 ∵PC⊥平面 ABCD, ∴∠PBC 为 PB 与平面 ABC 所成的角,即∠PBC=30°
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B

y

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∵|PC|=2,∴|BC|=2 3 ,|PB|=4

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得 D(1,0,0) 、B(0,2 3 ,0) 、A(4,2 3 ,0) 、P(0,0,2) ∵|MB|=3|PM|, ∴|PM|=1,M(0,

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3 3 , ) , 2 2 ???? ? ??? ? ??? ? 3 3 CM =(0, , ) , DP =(-1,0,2) , DA =(3,2 3 ,0) 2 2

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设 CM =x DP +y DA (x、y∈R) ,

???? ?

??? ?

??? ?

3 3 3 1 , )=x(-1,0,2)+y(3,2 3 ,0) ? x= 且 y= , 2 2 4 4 ???? ? 3 ??? ? 1 ??? ? ∴ CM = DP + DA 4 4
则(0,
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∴ CM 、 DP 、 DA 共面

???? ?

??? ?

??? ?

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又∵C ?平面 PAD,故 CM∥平面 PAD (2)证明:过 B 作 BE⊥PA,E 为垂足 ∵|PB|=|AB|=4,∴E 为 PA 的中点
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∴E(2, 3 ,1) , BE =(2,- 3 ,1)

??? ?

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又∵ BE · DA =(2,- 3 ,1) · (3,2 3 ,0)=0, ∴ BE ⊥ DA ,即 BE⊥DA

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

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而 BE⊥PA,∴BE⊥面 PAD ∵BE ? 面 PAB,∴面 PAB⊥面 PAD (3)解:由 BE⊥面 PAD 知,
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??? ? ? BE 1 ? = 平面 PAD 的单位向量 n0 = ??? (2,- 3 ,1) | BE | 2 2
∴ CD =(1,0,0)的点 C 到平面 PAD 的距离 d=| n0 · CD |=|

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??? ?

?

??? ?

1 2 2

(2,- 3 ,1) · (1,0,0)|=

2 2

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例 6 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD P ⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F E F (1)证明:PA∥平面 EDB; C (2)证明:PB⊥平面 EFD; D (3)求二面角 C—PB—D 的大小 A B 解法一: (向量法) 如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点 设 DC=a (1)证明:连结 AC 交 BD 于 G 连结 EG
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依题意得 A(a,0,0) ,P(0,0,a) ,E(0, ∵底面 ABCD 是正方形, ∴G 是此正方形的中心, 故点 G 的坐标为(

a a , ) 2 2

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且 PA =(a,0,-a) , EG =(

??? ?

a a , ,0) 2 2

z
P

??? ?

a a ,0,- ) 2 2

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F D

E C G B

? ??? ? ??? ∴ PA =2 EG 这表明 PA∥EG
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A

y

而 EG ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB, ∴PA∥平面 EDB
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x

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(2)证明:依题意得 B(a,a,0) , PB =(a,a,-a)

??? ?

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a a , ) , 2 2 ??? ? ???? a2 a2 故 PB · DE =0+ - =0 2 2
又 DE =(0,
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????

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∴PB⊥DE 由已知 EF⊥PB,且 EF∩DE=E,∴PB⊥平面 EFD
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(3)解:设点 F 的坐标为(x0,y0,z0) , PF =λ PB , 则(x0,y0,z0-a)=λ (a,a,-a) 从而 x0=λ a,y0=λ a,z0=(1-λ )a
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??? ?

??? ?

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??? ? a a ∴ FE =(-x0, -y0, -z0)
2 2
=[-λ a, (

1 1 -λ )a, (λ - )a] 2 2

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由条件 EF⊥PB 知 FE · PB =0,即 -λ a2+( 解得λ =

??? ?

??? ?

1 1 -λ )a2-(λ - )a2=0, 2 2
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1 3

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a a 2a , , ) , 3 3 3 ??? ? ??? ? a a a a a 2a 且 FE =(- , ,- ) , FD =(- ,- ,- ) 3 6 6 3 3 3
∴点 F 的坐标为(

a2 a 2 2a 2 - + =0,即 PB⊥FD 3 3 3 故∠EFD 是二面角 C—PB—D 的平面角
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∴ PB · FD =-

??? ?

??? ?

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∵ FE · FD =

??? ?

??? ? a2
9



??? ? ??? ? a2 a2 a2 1 2 + = ,且| FE |= ·a,| FD |= ·a, 18 9 6 6 3

1 2 a 1 6 ∴cos∠EFD= = 1 2 2 2 ? a 6 3
∴∠EFD=
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π π ∴二面角 C—PB—D 为 3 3
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解法二: (几何法) (1)证明:连结 AC 交 BD 于 O 连结 EO ∵底面 ABCD 是正方形,∴点 O 是 AC 的中点 在△PAC 中,EO 是中位线,∴PA∥EO 而 EO ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB,∴PA∥平面 EDB (2)证明:∵PD⊥底面 ABCD 且 DC ? 底面 ABCD,∴PD⊥DC ∵PD=DC,可知△PDC 是等腰直角三角形 而 DE 是斜边 PC 的中线, ∴DE⊥PC ① P 同样由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC ∵底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC, E F ∴BC⊥平面 PDC C 而 DE ? 平面 PDC,∴BC⊥DE ② D 由①和②推得 DE⊥平面 PBC O A B 而 PB ? 平面 PBC,∴DE⊥PB 又 EF⊥PB 且 DE∩EF=E,所以 PB⊥平面 EFD (3)解:由(2)知 PB⊥DF,故∠EFD 是二面角 C—PB—D 的平面
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由(2)知,DE⊥EF,PD⊥DB

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设正方形 ABCD 的边长为 a,则 PD=DC=a,BD= 2 a, PB= PD 2 ? BD 2 = 3 a, PC= PD 2 ? DC 2 = 2 a, DE= 在 Rt△PDB 中,DF=

2 1 PC= a 2 2

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6 PD ? BD a ? 2 a = = a 3 PB 3a

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2 a 3 DE 在 Rt△EFD 中,sin∠EFD= = 2 = , 2 DF 6 a 3 π ∴∠EFD= 3 π ∴二面角 C—PB—D 的大小为 3
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小结: 1 空间向量是是立体几何问题代数化的桥梁,学习时,要给予重视 2 在解答棱锥的综合练习时,要善于联想,灵活运用柱、锥的性质和线 面关系,善于揭示一类问题的共同特征,掌握基本方法,对于正棱柱问题借 助空间坐标系或向量的运算或许更容易理解、掌握 学生练习 1 棱锥的底面积为 S,高位 h,平行于底面的截面面积为 S',则截面与底 面的距离为( A )
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A

( S- S')h
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S
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B

( S+ S')h
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S

C

(S-S')h
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S

D

(S+S')h
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S

2 三棱锥 P-ABC 的三条侧棱长相等,则顶点在底面上的射影是底面三角 形的( B ) A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心 3 三棱锥 P-ABC 的三条侧棱与底面所成的角相等,则顶点在底面上的射 影是底面三角形的(B ) A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心 4 三棱锥 P-ABC 的三个侧面与底面所成的二面角相等,则顶点在底面上 的射影是底面三角形的( A ) A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心 5 三棱锥 P-ABC 的三条侧棱两两垂直,则顶点在底面上的射影是底面三 角形的( C ) A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心
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6 三棱锥 V-ABC 中,VA=BC,VB=Ac,VC=Ab,侧面与底面 ABC 所成 的二面角分别为 α、β、γ(都是锐角),则 cosα+cosβ+cosγ=(A )
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A1
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B2
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C

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1 2 )

D

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1 3

7 四面体的四个面中,下列说法错误的是( C
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A 可以都是直角三角形 B 可以都是等腰三角形 C 不能都是顿角三角形 D 可以都是锐角三角形 8 正 n 棱锥侧棱与底面所成角为 α, 侧面与底面所成角为 β, 则 tanα∶tanβ =( B )
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A sin
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π n
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π B cos n
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2π C sin n
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D cos
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2π n

9 若正三棱锥底面边长为 4,体积为 1,则侧面和底面所成二面角的大 小等于_______ (结果用反三角函数值表示) 解析:取 BC 的中点 D,连结 SD、AD,则 SD⊥BC,AD⊥BC ∴∠SDA 为侧面与底面所成二面角的平面角,设为α 在平面 SAD 中, 作 SO⊥AD 与 AD 交于 O,则 SO 为棱锥的高
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AO=2DO,∴OD= 又 VS—ABC=

2 3

3

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1 1 · AB·BC·sin60°·h=1, 3 2

3 3 SO 3 ∴h= ∴tanα = = 4 = 4 DO 2 3 8 3 3 ∴α =arctan 8 3 答案:arctan 8 10 过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面,它们将棱锥的侧面 分成三部分的面积的比(自上而下)为__________ 解析:由锥体平行于底面的截面性质知,自上而下三锥体的侧面积之比, S 侧 1∶S 侧 2∶S 侧 3= 1∶4∶9,所以锥体被分成三部分的侧面积之比为 1∶3∶5 答案:1∶3∶5 11 已知正四面体 ABCD 的表面积为 S,其四个面的中心分别为 E、F、 T G、H 设四面体 EFGH 的表面积为 T,则 等于 S 1 4 1 1 A B C D 9 9 4 3 解析:如图所示,正四面体 ABCD 四个面的中心分别为 E、F、G、H, ∴四面体 EFGH 也是正四面体 连结 AE 并延长与 CD 交于点 M, 连结 AG 并延长与 BC 交于点 N
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∵E、G 分别为面的中心,

AE AG 2 GE 2 = = ∴ = AM AN 3 MN 3 1 GE 1 又∵MN= BD,∴ = 2 BD 3

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∵面积比是相似比的平方,∴

T 1 = S 9

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答案:A 12 在三棱锥 S—ABC 中,∠ASB=∠ASC=∠BSC=60°,则侧棱 SA 与侧 面 SBC 所成的角的大小是_____________
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3 3 13 三棱锥一条侧棱长是 16 cm,和这条棱相对的棱长是 18 cm,其余四 条棱长都是 17 cm,求棱锥的体积 解:取 AD 的中点 E,连结 CE、BE,
答案:arccos
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∵AC=CD=17,DE=8,CE2=172-82=225,BE=CE, ∴ 取 BC 的 中 点 F , 连 结 EF , EF 为 BC 边 上 的 高 , EF= CE 2 ? CF 2 = 152 ? 9 2 =12 ∴S ?BCE =108
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∵AC=CD=17cm,E 为 AD 的中点,CE⊥AD,同理 BE⊥AD, ∴DA⊥平面 BCE ∴三棱锥可分为以底面 BCE 为底,以 AE、DE 为高的两个三棱锥
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∴VA-BCD=VA—BCE+VD—BCE=2· S ?BCE ·AE=2×
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1 3

1 ×108×8=576(cm3) 3

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14 如图,正三棱锥 S—ABC 中,底面的边长是 3,棱锥的侧面积等于底 面积的 2 倍,M 是 BC 的中点 求:
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(1)

AM 的值; SM
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(2)二面角 S—BC—A 的大小; (3)正三棱锥 S—ABC 的体积 解: (1)∵SB=SC,AB=AC,M 为 BC 的中点,∴SM⊥BC,AM⊥BC 由棱锥的侧面积等于底面积的 2 倍,即
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1 1 AM 3 BC×SM=2× BC×AM,得 = 2 2 SM 2

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(2)作正三棱锥的高 SG,则 G 为正三角形 ABC 的中心,G 在 AM 上, GM=

1 AM 3

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∵SM⊥BC,AM⊥BC,∴∠SMA 是二面角 S—BC—A 的平面角 在 Rt△SGM 中, ∵SM=

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2 2 AM= ×3GM=2GM,∴∠SMA=∠SMG=60°, 3 3
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即二面角 S—BC—A 的大小为 60° (3)∵△ABC 的边长是 3, ∴AM=

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3 3 3 3 3 ,GM= ,SG=GMtan60°= · 3= 2 2 2 2 9 3 9 3 1 1 3 ∴VS—ABC= S ?ABC ·SG= · · = 4 8 3 3 2 ?BAD ? ?ABC ? 90? ,PA ? 平面 ABCD, 15 已知四边形 ABCD 中,
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PA=AD=3BC=3, AB=2(1)求点 D 到平面 PAC 的距离; (2)若点 M 分 PA
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??? ?

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的比为 2,求二面角 M—CD—A 的正切值

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??? ? ???? ??? ? 解:以 A 为坐标原点,分别以 AB, AD, AP 所在直线为 x、y、z 轴建立
坐标系
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(1)过 D 作 DQ ? AC于Q,? PA ? DQ,? DQ ? 平面PAC,

? DQ 就是 D 到平面 PAC 的距离

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z P
M

设 AQ ? mAC ? m( AB ? BC) ? m(2,1,0),

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

???? ??? ? ??? ? ? DQ ? DA ? AQ ? (0, ?3,0) ? m(2,1,0) ? (2m, m ? 3,0),

A x B C

D y

???? ???? ???? ???? 3 2 由 DQ ? AQ, 得 DQ ? AQ ? 4m ? m(m ? 3) ? 0,? m ? 5

???? 6 12 6 5 | DQ |? ( )2 ? ( )2 ? . 5 5 5
(2)过 A 作 AK ? DC于K点, 设DK ? ? DC ? ?(2, ?2,0).

????

????

则 AK ? AD ? DK ? (2?,3 ? 2?,0).

????

??? ? ????

???? ???? ???? ???? 3 ? AK ? AD,? AK ? DK ? 0,? ? ? , 4

???? 3 3 3 ? | AK |? ( )2 ? ( )2 ? 0 ? 2. 2 2 2
? MA ? 平面ABCD,? MK ? CD. ??MKA 就是 M—CD—A 的平面角
???? | MA | 2 ? tan ?MKA ? ???? ? . | AK | 3
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