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高中数学复习学(教)案(第60讲)棱锥


题目 第九章(B)直线、平面、简单几何体 棱锥 高考要求 1 要使学生理解棱锥、正棱锥的意义,掌握棱锥、正棱锥的性质,会求 其侧面积及体积 结合例题讲清求体积的常用方法 2 以棱锥为载体,训练计算能力、想象能力和逻辑推理能力 知识点归纳 1 棱锥的概念:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形, 这样的多面体叫棱锥 其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面;多边形叫棱

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锥的底面或底;各侧面的公共顶点 ( S ) ,叫棱锥的顶点,顶点到底面所在平 面的垂线段 ( S O ) ,叫棱锥的高(垂线段的长也简称高) . 2.棱锥的表示:棱锥用顶点和底面各顶点的字母,或用顶点和底面一条对 角线端点的字母来表示 如图棱锥可表示为 S ? A B C D E ,或 S ? A C . 3.棱锥的分类: (按底面多边形的边数) 分别称底面是三角形,四边形,五边形……的棱锥为三棱锥,四棱锥,五棱 锥……(如图) 4.棱锥的性质: 定理:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截 面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比. 中截面:经过棱锥高的中点且平行于底面的截面,叫棱锥的中截面 5.正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫 正棱锥. (1)正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形,各等腰三角形 底边上的高相等(叫正棱锥的斜高) . (2)正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形;正棱 锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形
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题型讲解 例 1 如图所示, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA=AB=2, BC=a,又侧棱 PA⊥底面 ABCD (1)当 a 为何值时,BD⊥平面 PAC?试证明你的结论 (2)当 a=4 时,求 D 点到平面 PBC 的距离 (3)当 a=4 时,求直线 PD 与平面 PBC 所成的角 分析:本题主要考查棱锥的性质,直线、平面所成的角的计算和点到平 面的距离等基础知识 同时考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力
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本题主要是在有关的计算中, 推理得到所求的问题, 因而尽量选择用坐 标法计算 z 解: (1)以 A 为坐标原点,以 AD、AB、AP 所在直 P 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 当 a=2 时,BD⊥AC, B A 又 PA⊥BD, y D 故 BD⊥平面 PAC C x 故 a=2 (2)当 a=4 时, D(4,0,0) 、C(0,2,0) 、C(4,2,0) 、P(0,0,2) 、
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??? ? ???? F B =(0,2,-2) B C =(4,0,0) ,
? ?

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设平面 PBC 的法向量为 n ,则 n · P B =0, n · B C =0, 即(x,y,z)(0,2,-2)=0, · (x,y,z)(4,0,0)=0, · 得 x=0,y=z,取 y=1, ? 故 n =(0,1,1)
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??? ?

?

????

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? ???? | n ? DC | 则 D 点到平面 PBC 的距离 d= = 2 ? |n|

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???? ? ???? ???? DP ?n ? 10 (3) D P =(4,0,2) ,cos〈 D P , n 〉= ???? ? = >0, 10 | D P || n |

证〈 DP , n 〉=α ,设直线 PD 与平面 PBC 所成的角为θ , 则 sinθ =sin(
π 2

?

-α )=cosα =

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10 10
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所以直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 arcsin

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例 2 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形,侧面 PAD 是正三角形, 且侧面 PAD⊥底面 ABCD,E 为侧棱 PD 的中点 P ⑴求证:AE⊥平面 PCD; ⑵若 AD=AB,试求二面角 A-PC-D 的正切值; E
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⑶当

AD AB

为何值时,PB⊥AC ?

D A B

⑴证: 设 N 为 AD 中点,Q 为 BC 中点,则因为 ? PAD 是正三角形,底面 ABCD 是矩形,

C

z
所以, P N ? A D , Q N ? A D , 又因为侧面 PAD⊥底面 ABCD, 所以, P N ? 面 A B C D , Q N ? 面 P A D , 以 N 为坐标原点,NA、NQ、NP 所在直线分别 为 x , y , z 轴如图建立空间直角坐标系
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P E D A N F C B Q

y

x

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设 AD ? 1 , AB ? a , 则 P ? 0, 0, ?
? ? 3 ? ?1 ? ?1 ? ? 1 ? ? , B ? , a, 0 ? , A ? , 0, 0 ? , C ? ? , a, 0 ? , ? 2 ? ?2 ? ?2 ? ? 2 ?
? 1 3 ? ? ? , 0, ? ? 4 4 ? ? ?

? 1 ? D ? ? , 0, 0 ? , E ? 2 ?
??? ? ? ? 3 4

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∴ AE ? ? ? ?
??? ???? ?

, 0,

???? ???? ? 1 3 ? 3 ? ? , P D ? ? ? , 0, ? ? , D C ? ? 0, a , 0 ? , ? 2 4 ? 2 ? ? ? ?

∴ AE ? PD ? ? ?
?

?

??? ???? ? 3? ? 1? 3 3 ? ? 0 , AE ? DC ? 0 ???? ? ? 4? ? 2? 4 2
????
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所以, A E ? P D , A E ? D C

??? ?

???? ??? ?

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又 P D ? D C ? D , P D , D C ? 面 P D C ,所以,AE⊥平面 PCD
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⑵当 a ? 1 时,由(2)可知: A E ? ? ? ?
?

, 0,

3 ? ? 是平面 PDC 的法向量; 4 ? ?

设平面 PAC 的法向量为 n1 ? ? x , y , z ? ,则 n1 ? P A , n1 ? A C ,
?1 3 z ? 0 ? x? 即? 2 ,取 x ? 1 ,可得: y ? 1, z ? 2 ?? x ? y ? 0 ?

?

??? ?

?

????

3
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3

所以, n 1 ? ? 1,1, ?
?

?

?

3 ? ? 3 ? ?

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向量 A E 与 n1 所成角 ? 的余弦值为:

??? ?

?

3 ? ? ??? |? ? | n ? AE | 4 co s ? ? ? 1 ???? ? 3 n1 ? A C ? 2

1

| 4 ? 7 7 7 3

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所以, tan ? ?

6

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又由图可知,二面角 A-PC-D 的平面角为锐角, 所以,二面角 A-PC-D 的平面角的正切值等于 6 ⑶ PB ? ? ?
??? ? ?1 ?2 , a, ?
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???? 3 ? ? , A C ? ? ? 1, a , 0 ? , 2 ? ?
1 2

令 P B ? A C ? 0 ,得 a ?
2

??? ???? ?

? 0 ,所以, a ?

2
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2
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所以,当

AD AB

?

2 时,PB⊥AC

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例 3 如图,四棱锥 P—ABCD 中,PB⊥底面 ABCD,CD⊥PD.底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3.点 E 在棱 PA 上, 且 PE=2EA. (Ⅰ)求异面直线 PA 与 CD 所成的角; (Ⅱ)求证:PC∥平面 EBD; z P (Ⅲ)求二面角 A—BE—D 的大小. 解: (Ⅰ)建立如图所示的直角坐标系 B—xyz
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E A

B

设 B C ? a , 则 A (0, 3, 0 ), P (0, 0, 3), D (3, 3, 0 ) C ( a , 0, 0 ),
???? ???? C D ? (3 ? a , 3, 0 ), P D ? (3, 3, ? 3), ???? ???? ? C D ? P D ,? C D ? P D ? 0, 即 3(3 ? a ) ? 9 ? 0 . ? a ? 6 . ???? ??? ? ? C D ? ( ? 3, 3, 0 ), P A ? (0, 3, ? 3),
???? ??? ? ??? ???? ? CD ? PA 9 1 ??? ? ? ? c o s ? P A , C D ? ? ???? ? . 2 | CD | ? | PA | 3 2 ? 3 2
C

y

G

D

x

? 异 面 直 线 C D与 AP所 成 的 角 为 60 .

?

(Ⅱ)连结 AC 交 BD 于 G,连结 EG,
? AG GC ? AD BC ? 1 2 ,又 AE EP ? 1 2 ,? AG GC ? AE EP . ? P C // E G .

又 E G ? 平 面 E B D , P C ? 平 面 E B D ? P C // 平 面 E B D .

(Ⅲ)设平面 BED 的法向量为 n1

?

??? ? ???? ? ( x , y ,1), 因 为 B E ? (0, 2,1), B D ? (3, 3, 0 ), 由

1 ? ?? ??? ? x ? , ?? ? n1 ? B E ? 0, ? ? 2 y ? 1 ? 0, 1 1 ? ? 2 得? 所 以, ? 于 是 , n1 ? ( , ? ,1). ? ?? ???? 2 2 ? 3 x ? 3 y ? 0, ? n1 ? B D ? 0, ?y ? ? 1. ? ? ? 2

又因为平面 ABE 的法向量 n 2 ? (1, 0, 0 )
1 6 ? ? 所 以 , c o s ? n1 , n 2 ? ? ? . 6 6
6
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?

所以所求二面角 A—BE—D 的大小为 a rc c o s

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6

例 4 如图,正四棱锥 P—ABCD 中,AB=2,侧棱 PA 与底面 ABCD 所成的 角为 60° (1)求侧面与底面所成的二面角(锐角)的大小; (2)在线段 PB 上是否存在一点 E,使得 AE⊥PC,若存在,试确定点 E 的位 置,并加以证明,若不存在,请说明理由 z 解(1)如图 O 为底面 ABCD 的中心 P 则∠PAO 为 PA 与底面所成的角, ∴∠PAO=60°
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∵ AO ?

2

∴ PO ?

6 , PA ? 2

2.

D A x B
O M

过 O 作 OM⊥BC 于 M,连 PM 由三垂线定理得 BC⊥PM ∴∠PMO 为侧面与底面所成二面角平面角. ∵OM=1,PO= 6 ,
? tan ? P M O ? 6 , 即 侧 面 与 底 面 所 成 角 为 arctan 6.

C

y

(2)如图,建立空间直角坐标系,

则 A (0, ?

2 , 0 ) C (0,

2 , 0 ), P (0, 0,

6 ), B ( 2 , 0, 0 ).
2? 1? ? 6 1? ?

??? ? 假 设 在 P B 上 存 在 一 点 E , 满 足 条 件 , 设 E 分 P B的 比 为 ? , 则 E (

, 0,

).

??? ? ? AE ? (

2? 1? ?

,

2,

6 1? ?

???? ), P C ? (0 ,

2,?

6 ).

??? ??? ? ? ? A E ? P C ,? A E ? P C ? 0,
?2? 6 1? r ? 0, 解 得 ? ? 2.

??? ? ? 存 在 点 E , 且 点 E 分 P B的 比 为 2时 , 满 足 A E ? P C

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例 5 四棱锥 P—ABCD 中,PC⊥平面 ABCD,PC=2,在四边形 ABCD 中, ∠B=∠C=90°,CD∥AB,AB=4,CD=1,点 M 在 PB 上,且 MB=3PM,PB 与 平面 ABC 成 30°角, (1)求证:CM∥面 PAD; z (2)求证:面 PAB⊥面 PAD; P (3)求点 C 到平面 PAD 的距离 M 分析:本题主要考查空间直角坐标系的概念、空 间点和向量的坐标表示以及用向量法证明平行关系, E C 同时考查向量研究空间图形的数学思想方法 D o 如下图,建立空间直角坐标系 O—xyz,C 为坐标 x 原点 O,突破点在于求出相关的向量所对应的坐标 A (1)证明:如图,建立空间直角坐标系 ∵PC⊥平面 ABCD, ∴∠PBC 为 PB 与平面 ABC 所成的角,即∠PBC=30°
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B

y

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∵|PC|=2,∴|BC|=2 3 ,|PB|=4

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得 D(1,0,0) 、B(0,2 3 ,0) 、A(4,2 3 ,0) 、P(0,0,2) ∵|MB|=3|PM|, ∴|PM|=1,M(0,
???? ? C M =(0,
3 2 3 2

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3 2

) ,
??? ?
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3 2

) D P =(-1,0,2) D A =(3,2 3 ,0) , ,

????

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设 C M =x D P +y D A (x、y∈R) , 则(0, ∴CM =
???? ?
3 2

???? ?

????

??? ?

, )=x(-1,0,2)+y(3,2 3 ,0) ? x=
2

3

3 4

且 y=

1 4



???? ?

3 ???? 4

DP +

? 1 ???
4

DA

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∴ C M 、 D P 、 D A 共面

????

??? ?

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又∵C ? 平面 PAD,故 CM∥平面 PAD (2)证明:过 B 作 BE⊥PA,E 为垂足 ∵|PB|=|AB|=4,∴E 为 PA 的中点
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∴E(2, 3 ,1) B E =(2,- 3 ,1) ,
??? ?

??? ?

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又∵ B E · D A =(2,- 3 ,1)(3,2 3 ,0)=0, · ∴ B E ⊥ D A ,即 BE⊥DA
??? ?

??? ?

??? ?

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而 BE⊥PA,∴BE⊥面 PAD ∵BE ? 面 PAB,∴面 PAB⊥面 PAD (3)解:由 BE⊥面 PAD 知,
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??? ? BE ? 1 ? 平面 PAD 的单位向量 n 0 = ??? = (2,- 3 ,1) | BE | 2 2

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∴ C D =(1,0,0)的点 C 到平面 PAD 的距离 d=| n 0 · C D |=|
?

????

????

1 2 2

(2,- 3 ,1)(1,0,0)|= ·

2
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2

例 6 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD P ⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F E F (1)证明:PA∥平面 EDB; C (2)证明:PB⊥平面 EFD; D (3)求二面角 C—PB—D 的大小 A B 解法一: (向量法) 如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点 设 DC=a (1)证明:连结 AC 交 BD 于 G 连结 EG
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依题意得 A(a,0,0) ,P(0,0,a) ,E(0, ∵底面 ABCD 是正方形, ∴G 是此正方形的中心, 故点 G 的坐标为(
??? ?
a 2

a 2



a 2



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a 2

,0)
a 2

z
P

且 P A =(a,0,-a) E G =( ,
???? ??? ? ∴ P A =2 E G 这表明 PA∥EG
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????

,0,-

a 2



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F D

E C G B

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A

y

而 EG ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB, ∴PA∥平面 EDB
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x

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(2)证明:依题意得 B(a,a,0) P B =(a,a,-a) , 又 D E =(0,
??? ?
????
a 2

??? ?

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a

a 2
2

) , -
a
2

故 P B · D E =0+
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????

=0

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2
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2

∴PB⊥DE 由已知 EF⊥PB,且 EF∩DE=E,∴PB⊥平面 EFD
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(3)解:设点 F 的坐标为(x0,y0,z0) P F =λ P B , , 则(x0,y0,z0-a)=λ (a,a,-a) 从而 x0=λ a,y0=λ a,z0=(1-λ )a
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??? ?

??? ?

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??? ? a a ∴ F E =(-x0, -y0, -z0)
2 2

=[-λ a, (

1 2

-λ )a, - (λ
??? ?

1 2

)a]

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由条件 EF⊥PB 知 F E · P B =0,即 -λ a2+( 解得λ =
1
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??? ?

1 2
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-λ )a2-(λ -

1 2

)a2=0,

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3

∴点 F 的坐标为( 且 F E =(-
??? ?
a 3

a 3



a 3 a 6



2a 3

) ,
a 3



a 6

,-

) F D =(- ,

????

,-

a 3

,-

2a 3



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∴ P B · F D =-

??? ?

????

a

2



a

2

+

2a 3

2

=0,即 PB⊥FD
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3

3

故∠EFD 是二面角 C—PB—D 的平面角 ∵ F E ·F D =
??? ?

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????

a

2



a

2

+

a

2

=

a

2

,且| F E |=

??? ?

1 6

·a,| F D |=

????

2 3

·a,

9

18

9

6

1

a

2

∴cos∠EFD=
1 6

6 ? 2 3 a
2

=

1
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2

∴∠EFD=

π
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∴二面角 C—PB—D 为

π
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3

3
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解法二: (几何法) (1)证明:连结 AC 交 BD 于 O 连结 EO ∵底面 ABCD 是正方形,∴点 O 是 AC 的中点 在△PAC 中,EO 是中位线,∴PA∥EO 而 EO ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB,∴PA∥平面 EDB (2)证明:∵PD⊥底面 ABCD 且 DC ? 底面 ABCD,∴PD⊥DC ∵PD=DC,可知△PDC 是等腰直角三角形 而 DE 是斜边 PC 的中线, ∴DE⊥PC ① P 同样由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC ∵底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC, E F ∴BC⊥平面 PDC C 而 DE ? 平面 PDC,∴BC⊥DE ② D 由①和②推得 DE⊥平面 PBC O A B 而 PB ? 平面 PBC,∴DE⊥PB 又 EF⊥PB 且 DE∩EF=E,所以 PB⊥平面 EFD (3)解:由(2)知 PB⊥DF,故∠EFD 是二面角 C—PB—D 的平面
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由(2)知,DE⊥EF,PD⊥DB

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设正方形 ABCD 的边长为 a,则 PD=DC=a,BD= 2 a, PB= PD
2

? BD

2

= 3 a, PC= PD
PD ? BD PB

2

? DC

2

= 2 a, DE=

1 2

PC=

2 2

a

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在 Rt△PDB 中,DF=

=

a?

2a 3a

=

6 3

a

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2

在 Rt△EFD 中,sin∠EFD=

DE DF

a

= 2
6 3 a

=

3 2



∴∠EFD=

π
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3

∴二面角 C—PB—D 的大小为

π
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3

小结: 1 空间向量是是立体几何问题代数化的桥梁,学习时,要给予重视 2 在解答棱锥的综合练习时,要善于联想,灵活运用柱、锥的性质和线 面关系,善于揭示一类问题的共同特征,掌握基本方法,对于正棱柱问题借 助空间坐标系或向量的运算或许更容易理解、掌握 学生练习 1 棱锥的底面积为 S,高位 h,平行于底面的截面面积为 S',则截面与底 面的距离为( A )
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A

( S- S')h
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S
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B

( S+ S')h
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S

C

(S-S')h
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S

D

(S+S')h
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S

2 三棱锥 P-ABC 的三条侧棱长相等,则顶点在底面上的射影是底面三角 形的( B ) A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心 3 三棱锥 P-ABC 的三条侧棱与底面所成的角相等,则顶点在底面上的射 影是底面三角形的(B ) A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心 4 三棱锥 P-ABC 的三个侧面与底面所成的二面角相等,则顶点在底面上 的射影是底面三角形的( A ) A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心 5 三棱锥 P-ABC 的三条侧棱两两垂直,则顶点在底面上的射影是底面三 角形的( C ) A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心
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6 三棱锥 V-ABC 中,VA=BC,VB=Ac,VC=Ab,侧面与底面 ABC 所成 的二面角分别为 α、β、γ(都是锐角),则 cosα+cosβ+cosγ=(A )
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A1
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B2
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C

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1 2 )

D

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1 3

7 四面体的四个面中,下列说法错误的是( C
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A 可以都是直角三角形 B 可以都是等腰三角形 C 不能都是顿角三角形 D 可以都是锐角三角形 8 正 n 棱锥侧棱与底面所成角为 α, 侧面与底面所成角为 β, tanα∶tanβ 则 =( B )
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A sin
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π n
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π B cos n
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2π C sin n
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2π D cos n
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9 若正三棱锥底面边长为 4,体积为 1,则侧面和底面所成二面角的大 小等于_______ (结果用反三角函数值表示) 解析:取 BC 的中点 D,连结 SD、AD,则 SD⊥BC,AD⊥BC ∴∠SDA 为侧面与底面所成二面角的平面角,设为α 在平面 SAD 中, 作 SO⊥AD 与 AD 交于 O,则 SO 为棱锥的高
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AO=2DO,∴OD= 又 VS—ABC=
1 3

2 3

3

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·

1 2

AB·BC·sin60°·h=1,
3

∴h=

3
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∴tanα =

SO DO

=

4 2 3 3

=

3
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4

8

∴α =arctan

3
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8

答案:arctan
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3 8

10 过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面,它们将棱锥的侧面 分成三部分的面积的比(自上而下)为__________ 解析:由锥体平行于底面的截面性质知,自上而下三锥体的侧面积之比, S 侧 1∶S 侧 2∶S 侧 3= 1∶4∶9,所以锥体被分成三部分的侧面积之比为 1∶3∶5 答案:1∶3∶5 11 已知正四面体 ABCD 的表面积为 S,其四个面的中心分别为 E、F、
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G、H 设四面体 EFGH 的表面积为 T,则
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T S

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等于
1
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A

1
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B

4
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C

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D

1
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9

9

4

3

解析:如图所示,正四面体 ABCD 四个面的中心分别为 E、F、G、H, ∴四面体 EFGH 也是正四面体 连结 AE 并延长与 CD 交于点 M, 连结 AG 并延长与 BC 交于点 N
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∵E、G 分别为面的中心, ∴
AE AM

=

AG AN 1 2

=

2
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GE MN

= =
1

2
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3

3
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又∵MN=

BD,∴

GE BD

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3 T S

∵面积比是相似比的平方,∴

=

1
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9

答案:A 12 在三棱锥 S—ABC 中,∠ASB=∠ASC=∠BSC=60°,则侧棱 SA 与侧 面 SBC 所成的角的大小是_____________
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答案:arccos
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3 3

13 三棱锥一条侧棱长是 16 cm,和这条棱相对的棱长是 18 cm,其余四 条棱长都是 17 cm,求棱锥的体积 解:取 AD 的中点 E,连结 CE、BE,
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∵AC=CD=17,DE=8,CE2=172-82=225,BE=CE, ∴ 取 BC 的 中 点 F , 连 结 EF , EF 为 BC 边 上 的 高 , EF= CE
2

? CF

2

= 15 2 ? 9 2 =12
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∴S ? BCE =108

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∵AC=CD=17cm,E 为 AD 的中点,CE⊥AD,同理 BE⊥AD, ∴DA⊥平面 BCE ∴三棱锥可分为以底面 BCE 为底,以 AE、DE 为高的两个三棱锥
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∴VA-BCD=VA—BCE+VD—BCE=2· S ? BCE ·AE=2×
3
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1

1 3

×108×8=576(cm3)

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14 如图,正三棱锥 S—ABC 中,底面的边长是 3,棱锥的侧面积等于底 面积的 2 倍,M 是 BC 的中点 求:
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(1)

AM SM

的值;

(2)二面角 S—BC—A 的大小; (3)正三棱锥 S—ABC 的体积 解: (1)∵SB=SC,AB=AC,M 为 BC 的中点,∴SM⊥BC,AM⊥BC 由棱锥的侧面积等于底面积的 2 倍,即
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1 2

BC×SM=2×

1 2

BC×AM,得

AM SM

=

3
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2

(2)作正三棱锥的高 SG,则 G 为正三角形 ABC 的中心,G 在 AM 上, GM=
1 3

AM

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∵SM⊥BC,AM⊥BC,∴∠SMA 是二面角 S—BC—A 的平面角 在 Rt△SGM 中, ∵SM=
2 3

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AM=

2 3

×3GM=2GM,∴∠SMA=∠SMG=60°,
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即二面角 S—BC—A 的大小为 60° (3)∵△ABC 的边长是 3, ∴AM=
3 3 2

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,GM=

3 2

,SG=GMtan60°=
1 3

3 2

· 3=
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3
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2
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∴VS—ABC=
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1 3

S ? ABC ·SG=

·

9 3 4

·

3 2

=

9 3
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8

? PA 15 已知四边形 ABCD 中, BAD ? ? ABC ? 90 ? , ? 平面 ABCD,
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PA=AD=3BC=3, AB=2(1)求点 D 到平面 PAC 的距离; (2)若点 M 分 P A
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??? ?

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的比为 2,求二面角 M—CD—A 的正切值

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??? ???? ??? ? ? 解:以 A 为坐标原点,分别以 A B , A D , A P 所在直线为 x、y、z 轴建立

坐标系

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(1)过 D 作 D Q ? A C 于 Q ,? P A ? D Q ,? D Q ? 平 面 P A C ,
? D Q 就是 D 到平面 PAC 的距离
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z P
M

设 A Q ? m A C ? m ( A B ? B C ) ? m ( 2,1, 0 ),
???? ??? ???? ? ? D Q ? D A ? A Q ? (0, ? 3, 0 ) ? m ( 2,1, 0 ) ? ( 2 m , m ? 3, 0 ),

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A x B C

D y

???? ???? ???? ???? 3 2 由 D Q ? A Q , 得 D Q ? A Q ? 4 m ? m ( m ? 3) ? 0 ,? m ? 5

???? | D Q |?

6 2 12 2 6 5 ( ) ?( ) ? . 5 5 5
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(2)过 A 作 A K ? D C 于 K 点 , 设 D K ? ? D C ? ? ( 2, ? 2, 0 ).

则 A K ? A D ? D K ? ( 2 ? , 3 ? 2 ? , 0 ).
???? ???? ???? ???? 3 ? A K ? A D , ? A K ? D K ? 0 ,? ? ? , 4

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???? ?| A K | ?

3 2 3 2 3 ( ) ?( ) ?0 ? 2 2 2

2.

? M A ? 平 面 A B C D ,? M K ? C D . ? ? M K A 就是 M—CD—A 的平面角
???? | MA | ? ta n ? M K A ? ???? ? | AK | 2 3

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