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2017届辽宁省沈阳铁路实验中学高三上学期假期作业验收测试数学(理)试题

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2016-2017 学年度沈阳铁路实验中学高三暑假作业验收考试

高三数学(理)
一、选择题(每题 5 分) 1.函数 y ? A. ? ??, 2?

2? x 的定义域为( 2 x ? 3x ? 2
2



B. ? ??,1?

C. ? ??, ?

? ?

? ?

1? 2?

?1 ? , 2? ?2 ?

D. ? ??, ? ? ? )

? ?

1? 2?

?1 ? , 2? ?2 ?

2.若 a 为实数且 (2 ? ai)(a ? 2i) ? ?4i ,则 a ? ( A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2

3.设函数 f ( x) ? ? A.3 4. ( x ? A.252 B.6

?1 ? log 2 (2 ? x), x ? 1,
x ?1 ?2 , x ? 1,

, f (?2) ? f (log2 12) ? (



C.9

D.12 ) D.-160

1 ? 2) 5 展开式中常数项为( x
B.-252 C.160

5.已知 f (n) ? 1 ? 当 n≥2 时,有( A. f (2n) ?

1 1 1 3 5 ? ? ? ? ( n ? N * ) , f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , f (16) ? 3 ,由此推算: 2 3 n 2 2


2n ? 1 (n ? N * ) 2 2 n ?1 n (n ? N * ) C. f (2 ) ? 2

2n ? 1 (n ? N * ) 2 n ? 2 n (n ? N * ) D. f (2 ) ? 2
B. f (2n) ? )

6.设曲线 y= ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= ( A.0 B.1 C.2 D.3

7.已知 f ( x) ? 4 ? x 2 , g ( x) ?| x ? 2 | ,则下列结论正确的是( A. h( x) ? f ( x) ? g ( x) 是偶函数 C. h( x) ?



B. h( x) ? f ( x) g ( x) 是奇函数 D. h( x) ?

f ( x) g ( x) 是偶函数 2? x

f ( x) 是奇函数 2 ? g ( x)

8.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的概率 是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )

第 1 页 共 17 页

A.0.8

B.0.75

C.0.6

D.0.45 ) D. 3 )

1 2 27 9. 1 ? C 27 除以 3 所得余数为( ? C 27 ? .......... ? C 27

A. 0 10.设 f ? x ? ? ? A.

B. 1
2 ? ? 1 ? x , x ? ? ?1,1? 2 ? ? x ? 1, x ? ?1, 2?

C. 2 ,则

? f ? x ?dx 的值为(
?1

2

?
2

?

4 3

B.

?
2

?3

C.

?
4

?

4 3

D.

?
4

?3

11.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为 1,2?? 9 的 9 个小正方形,使得任意相邻(有公共边) 的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂 法共有( 1 4 7 2 5 8 )种 3 6 9

A.18
'

B.36

C.72

D.108
'

12.设函数 f ( x) 是奇函数 f ( x)( x ? R) 的导函数, f (?1) ? 0 ,当 x ? 0 时, xf ( x) ? f ( x) ? 0 , 则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是( A. (??, ?1) ? (0,1) B. (?1, 0) ? (1, ??) ) C. (??, ?1) ? (?1,0) D. (0,1) ? (1, ??)

二、填空题(每题 5 分) 13.函数 y ?

x 的值域为_____________. x ?1
2

14.将一颗骰子先后抛掷两次,得到的点数之和是 3 的倍数的概率是
4

.

15. (a ? x)(1 ? x) 的展 开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a ? __________. 16.设点 P 是曲线 y=2x 上的一个动点,曲线 y=2x 在点 P 处的切线为 l,过点 P 且与直线 l 垂直 的直线与曲线 y=2x 的另一交点为 Q,则 PQ 的最小值为_____________
2 2 2

三、解答题(17-19 题 10 分,20-26 题 12 分) 请考生在 17-19 三体中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题记分

第 2 页 共 17 页

17.选修 4—1:几何证明 选讲:如图,在正方形 ABCD 中,E,G 分别在边 DA,DC 上(不与端点重合) , 且 DE=DG,过 D 点作 DF⊥CE,垂足为 F.

(Ⅰ) 证明:B,C,G,F 四点共圆; (Ⅱ)若 AB=1,E 为 DA 的中点,求四边形 BCGF 的面积. 18.选修 4?4:坐标系与参数方程:在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x+6) +y =25. (Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的参数方程是错误!未找到引用源。 (t 为参数) ,l 与 C 交于 A,B 两点,∣AB∣= 10 错误!未找到引用源。 ,求 l 的斜率.
1 1 19.选修 4?5:不等式选讲:已知函数 f ( x) = x - 2 + x + 2 ,M 为不等式 f(x) <2 的解集.
2 2

(Ⅰ)求 M; (Ⅱ)证明:当 a,b∈M 时,∣a+b∣<∣1+ab∣. 20.为加快新能源汽车产业发展,推进节能减排,国家对消费者购买新能源汽车给予补贴,其中对 纯电动乘用车补贴标准如下表: 新能源汽车补贴标准 车辆类型 纯电动乘用车 续 驶 里 程 R (公 里 )

80 ≤ R ? 150

150 ≤ R ? 250

R ≥ 250

3.5 万 元 / 辆

5 万 元 /辆

6 万 元 /辆

某 校 研 究 性 学 习 小 组 ,从 汽 车 市 场 上 随 机 选 取 了 M 辆纯 电 动 乘 用 车 ,根 据 其 续 驶 里 程 R (单 次 充 电 后 能 行 驶 的 最 大 里 程 )作 出 了 频 率 与 频 数 的 统 计 表 : 分组 频数 频率

80 ≤ R ? 150
150 ≤ R ? 250

2

0.2
x
z

5
y

R ≥ 250
合计

M

1
第 3 页 共 17 页

(1)求 x , y , z , M 的 值 ; (2)若从这 M 辆纯电动乘用车中任选 2 辆,求选到的 2 辆车续驶里程都不低于 150 公里的概率; ( 3 ) 若以频率作为概率,设 X 为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴,求 X 的分布列和数学期望

EX .
21. (本小题满分 13 分)2008 年 5 月 12 日 14 时 28 分 04 秒,四川省阿坝藏族羌族自治州汶川县发 生里氏 8.0 级地震,地震造成 69227 人遇难,374643 人受伤,17923 人失踪。重庆众多医务工作者 和志愿者加入了抗灾救援行动。其中重庆三峡中心医院外科派出由 5 名骨干医生组成的救援小组, 奔赴受灾第一线参与救援。现将这 5 名医生分别随机分配到受灾最严重的汶川县、北川县、绵竹三 县中的某一个。 (1)求每个县至少分配到一名医生的概率。 (2)若将随机分配到汶川县的人数记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列,期望和方差。 22.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? a ln x(a ? R) . (1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若函数 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,且不等式 f ( x1 ) ? mx2 恒成立,求实数 m 的取值 范围. 23.设函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? (2 ? a)( x ? 1) ? 2 f ( x) . (1)当 a ? 1 时,求函数 g ( x) 的单调区间和极值; (2)设 F ( x) ? f ( x) ? 求实数 b 的取值范围.

F ( x1 ) ? F ( x2 ) b ? ?1 , (b ? 0) .对任意 x1 , x2 ? (0, 2], x1 ? x2 ,都有 x1 ? x2 x ?1

第 4 页 共 17 页

请考生在 24-26 三体中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题记分 24.选修 4—1:几何证明选讲:如图, O 为等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与 ?ABC 的底边 BC 交 于 M 、 N 两点与底边上的高 AD 交于点 G ,与 AB 、 AC 分别相切于 E 、 F 两点. A

G E O B M D N C F

(Ⅰ)证明: EF / / BC ; (Ⅱ) 若 AG 等于圆 O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积. 25. 选修 4-4: 坐标系与参数方程: 在直角坐标系 xoy 中, 曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , ( t 为参数,t ? 0 ) , ? y ? t sin ? ,

其中 0 ? ? ? ? ,在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? ,曲线

C3 : ? ? 2 3 cos? .
(Ⅰ) .求 C2 与 C1 交点的直角坐标; (Ⅱ) .若 C2 与 C1 相交于点 A , C3 与 C1 相交于点 B ,求 AB 的最大值. 26.选修 4-5 不等式选讲:设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d ,证明: (Ⅰ)若 ab ? cd ,则 a ? b ? c ? d ; (Ⅱ) a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条 件.

第 5 页 共 17 页

参考答案 1.C 【解析】试题分析:由函数表达式可得 ? 选 C. 【考点】函数的定义域. 2.B 【解析】由已知得 4a ? (a2 ? 4)i ? ?4i ,所以 4a ? 0, a2 ? 4 ? ?4 ,解得 a ? 0 ,故选 B. 【考点】复数的运算. 3.C 【解析】由已知得 f (?2) ? 1 ? log 2 4 ? 3 ,又 log 2 12 ? 1 ,所以 f (log2 12) ? 2log2 12?1 ? 2log2 6 ? 6 , 故 f (?2) ? f (log2 12) ? 9 ,故选 C. 【考点】分段函数. 4.B 【解析】试题分析: Q ( x ?

2? x ? 0 1? ?1 ? ? ,解得 x ? ? ??, ? ? ? , 2 ? .故本题答案 2 2? ?2 ? ? ?2 x ? 3x ? 2 ? 0 ?

1 1 25 1 10 ? 2)5 ? [( x ? ) ] ?( x? ) , x x x

而( x ?

1 10 ) 展开式的通项公式为: x
1 r r 5? r ) ? (?1)r C10 x , r ? 0,1, 2,L ,10 , x

r Tr ?1 ? C10 ( x )10?r (?

令 5 ? r ? 0 ,得: r ? 5 ,常数项为:
5 T5?1 ? (?1)5 C10 ??

10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? ?252 , 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1

故选 B. 【考点】二项式定理. 5.D 【解析】试题分析:观察已知的等式: f (2) ?

3 2?2 5 2 ,f(4)>2,即 f ? 2 ? ? , f (8) ? ,即 2 2 2 n?2 2?3 2?4 4 n (n ? N * ) f ? 23 ? ? ,f(16)>3,即 f ? 2 ? ? ,?,归纳可得: f (2 ) ? 2 2 2

【考点】归纳推理 第 6 页 共 17 页

6.B 【解析】画出不等式组表示的平面区域,可知区域为三角形,平移直线 z ? 2 x ? y ,可知当经过两条 直线

x ? 3 y ? 1 ? 0 与 x ? y ? 7 ? 0 的交点 A(5,2)时,取得最大值 8,故选 B.
【考点】本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题,正确画图与平移直线是解答 这类问题的关键. 7.D 【解析】 试题分析: 因 ? 2 ? x ? 2 ,故 g ( x) ? 2 ? x ? 2 ? g ( x) ? x ,故 h( x) ? 应选 D. 【考点】函数的奇偶性及判定. 8.A 【 解 析 】 设 A= “ 某 一 天 的 空 气 质 量 为 优 良 ” , B= “ 随 后 一 天 的 空 气 质 量 为 优 良 ” ,则

f ( x) ? 2 ? g ( x)

4 ? x2 , x

P( B | A) ?

P( A ? B) 0.6 ? ? 0.8 ,故选 A. P( A) 0.75

【考点】本小题主要考查条件概率的求法,熟练概率的基础知识是解答好本类题目的关键. 9.C 【 解 析 】
27






26





1 2 27 1 26 26 1 在展开式中除了 1? C27 ? C27 ??? C27 ? 227 ? ?3 ?1? ? 327 ? C27 3 ??1? ??? C27 3 ??1? ?1 ,

最后一项 ? 1 外,其余式子中都是 3 的倍数,除以 3 所得余数为 2 .故选 C. 【考点】二项式定理的应用. 10. A 【解析】试题分析:由已知得:
2 2

?

2

?1

f ( x)dx ? ?

1

?1

1 ? x 2 dx ? ? ( x 2 ? 1)dx ,
1

2

令 y ? 1 ? x 2 ,得: x ? y ? 1? y ? 0? ,知:曲线 y ? 1 ? x 2 是以坐标原点为圆心,1 为半径的 圆处在 x 轴上方部分的半圆,由定积分的几何意义知:

1 1 1 ? x 2 dx ? ? ? 12 ? ? , ?1 2 2 2 1 3 1 3 1 3 4 2 2 又 ? ( x ? 1)dx ? ( x ? x) |1 ? ( ? 2 ? 2) ? ( ?1 ? 1) ? , 1 3 3 3 3

?

1

第 7 页 共 17 页

? ? f ( x)dx ? ?
?1

2

1

?1

1 ? x 2 dx ? ? ( x 2 ? 1)dx ?
1

2

?
2

?

4 3

故选 A. 【考点】定积分. 11.D 【解析】试题分析:把区域分为三部分,第一部分 3、5、7,有 3 种涂法.第二部分 6、8、9,当 5、 9 同色时,6、8 各有 2 种涂法,共 4 种涂法;当 5、9 异色时,1 有 2 种涂法,2、4 均只有 1 种涂法, 故第二部分共 4+2=6 种涂法.第三部分与第二部分一样,共 6 种涂法.由分步计数原理,可得共 有 3×6×6=108 种涂法. 【考点】涂色问 题与分类和分步计数原理。 12.A

xf ' ( x) ? f ( x) f ( x) ' 【解析】 记函数 g ( x ) ? ,则 g ( x) ? ,因为当 x ? 0 时, xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 ,故 2 x x
当 x ? 0 时, g ' ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0, ??) 单调递减;又因为函数 f ( x)( x ? R) 是奇函数,故函 数 g ( x) 是 偶 函 数 , 所 以 g ( x) 在 ( ??, 0) 单 调 递 减 , 且 g (?1) ? g (1) ? 0 . 当 0 ? x ? 1 时 ,

g ( x ) ? 0,则 f ( x ) ? 0 ;当 x ? ?1 时, g ( x ) ? 0 ,则 f ( x ) ? 0 ,综上所述,使得 f ( x ) ? 0 成立
的 x 的取值范围是 (??, ?1) ? (0,1) ,故选 A. 【考点】导数的应用、函数的图象与性质. 13. [ ?

1 1 , ] 2 2
2

【解析】试题分析: y ?

x ? yx 2 ? x ? y ? 0 ,当 y ? 0 时方程有解,当 y ? 0 时由 ? ? 0 可得 x ?1 1 1 1 ? 4 y 2 ? 0 ?? 1 ? y ? 1 ,综上可知值域为 [ ? , ] 2 2 2 2
1 3

【考点】函数值域 14.

【解析】试题分析:由分步计数原理知基本事件的总数为 6 ? 6 ? 36 ,通过枚举法可知符合点数之 和的有 ?1, 2? , ? 2,1? , ?1,5? , ? 5,1? , ? 2, 4? , ? 4, 2? , ? 3,3? , ?3,6 ? , ? 6,3? , ? 4,5? , ? 5, 4? , ? 6,6? ,一共有 12 种,所以概率为

12 1 ? . 36 3

【考点】古典概型. 第 8 页 共 17 页

15. 3 【解析】试题分析:由已知得 (1 ? x)4 ? 1 ? 4 x ? 6 x2 ? 4 x3 ? x4 ,故 (a ? x)(1 ? x)4 的展开式中 x 的 奇数次幂项分别为 4ax , 4ax3 , x , 6 x 3 , x5 ,其系数之和为 4a ? 4a ? 1+6+1=32 ,解得 a ? 3 . 【考点】二项式定理. 16.

3 3 4
2

2 a ), 【解析】 试题分析: 设 P 的坐标为(a, 由 y‘=4x 得 l 的斜率为 4a, 所以, 直线 PQ 的斜率为= ?
1 (x-a), 4a
2

1 , 4a

所以,PQ 的方程为:y- 2 a = ?
2

与 y = 2x2 联 立 , 整 理 得 , 2 x ?

1 1 x ? 2a 2 ? ? 0 , 所 以 , 由 韦 达 定 理 , 4a 4

x1 ? x2 ? ?

1 1 , x1 x2 ? ?a 2 ? , 8a 8

由弦长公式得, PQ= 1 ? (?

1 2 1 1 1 1 9 ) (? )2 ? 4(?a 2 ? ) ? ? 2 ? 4a 2 ? ,利用导数研 4 4a 8a 8 1024a 8a 4
3 3 。 4

究此函数的最值,知,PQ 的最小值为

【考点】导数的几何意义,直线的垂直,直线方程,直线与抛物线的位置关系,弦长公式。 点评:难题,本题综合性较强,考查知识覆盖面广,总体看解答思路比较明确,但计算繁琐,对学 生能力要求较高。曲线切线的斜率,等于函数在切点的导函数值。 17. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)

1 . 2

∽△ C B,F 【解析】试题分析: ( Ⅰ ) 证 △D G F 再 证 B, C , G, F四 点 共 圆 ; (Ⅱ)证明
Rt△BCG≌Rt△BFG, 四边形 BCGF 的面积 S 是 △GCB 面积 S△GCB 的 2 倍.
试题解析: (Ⅰ)因为 DF ? EC ,所以 △DEF∽△CDF , 则有 ?GDF ? ?DEF ? ?FCB,

DF DE DG ? ? , CF CD CB

所以 △DGF∽△CBF , 由此可得 ?DGF ? ?CBF , 第 9 页 共 17 页

因此 ?CGF ? ?CBF ? 180? , 所以 B, C , G, F 四点共圆. (Ⅱ)由 B, C , G, F 四点共圆, CG ? CB 知 FG ? FB ,连结 GB , 由 G 为 Rt△DFC 斜边 CD 的中点,知 GF ? GC ,故 Rt△BCG≌Rt△BFG, 因此四边形 BCGF 的面积 S 是 △GCB 面积 S△GCB 的 2 倍,即

1 1 1 S ? 2 S△GCB ? 2 ? ? ? 1 ? . 2 2 2

【考点】三角形相似、全等,四点共圆 【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理,特别要注意对应角和对 应边.相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等,也可间接证明线段相等. 18. (Ⅰ) ? 2 ? 12? cos? ? 11 ? 0 ; (Ⅱ) ?
2 2 2

15 . 3

【解析】试题分析: (Ⅰ)利用 ? ? x ? y , x ? ? cos ? 可得 C 的极坐标方程; (Ⅱ)先将直线 l 的 参数方程化为极坐标方程,再利用弦长公式可得 l 的斜率. 试题解析: (Ⅰ)由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 可得圆 C 的极坐标方程 ? ? 12? cos ? ? 11 ? 0.
2

(Ⅱ)在(Ⅰ)中建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? R) . 设 A, B 所对应的极径分别为 ?1 , ?2 , 将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得

? 2 ? 12? cos ? ? 11 ? 0.
于是 ?1 ? ?2 ? ?12cos ? , ?1?2 ? 11,

| AB |?| ?1 ? ?2 |? ( ?1 ? ?2 ) 2 ? 4 ?1 ?2 ? 144cos 2 ? ? 44,
由 | AB |? 10 得 cos 2 ? ?

3 15 , , tan ? ? ? 8 3

第 10 页 共 17 页

所以 l 的斜率为

15 15 或? . 3 3

【考点】圆的极坐标方程与普通方程互化, 直线的参数方程,弦长公式 【名师点睛】极坐标方程与直角坐标方程互化时注意:在将点的直角坐标化为极坐标时,一定要注 意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一;在将曲线的方程进行互化时,一定要注 意变量的范围,注意转化的等价性. 19. (Ⅰ) M ? {x | ?1 ? x ? 1} ; (Ⅱ)详见解析. 【解析】试题分析: (Ⅰ)先去掉绝对值,再分 x ? ?

1 1 1 1 , ? ? x ? 和 x ? 三种情况解不等式, 2 2 2 2

即可得 Μ ; (Ⅱ)采用平方作差法,再进行因式分解,进而可证当 a , b ? Μ 时, a ? b ? 1? ab .

1 ? ? ?2 x , x ? ? 2 , ? 1 ? 1 试题解析: (Ⅰ) f ( x ) ? ?1, ? ? x ? , 2 ? 2 1 ? ? 2 x, x ? 2 . ?
1 时,由 f ( x) ? 2 得 ?2 x ? 2, 解得 x ? ?1 ; 2 1 1 当 ? ? x ? 时, f ( x) ? 2 ; 2 2 1 当 x ? 时,由 f ( x) ? 2 得 2 x ? 2, 解得 x ? 1 . 2
当x?? 所以 f ( x) ? 2 的解集 M ? {x | ?1 ? x ? 1} . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a, b ? M 时, ?1 ? a ? 1, ?1 ? b ? 1 ,从而

(a ? b)2 ? (1 ? ab)2 ? a2 ? b2 ? a2b2 ?1 ? (a2 ?1)(1 ? b2 ) ? 0 ,
因此 | a ? b |?|1 ? ab | . 【考点】绝对值不等式,不等式的证明 【名师点睛】形如 | x ? a | ? | x ? b |? c (或 ? c )型的不等式主要有两种解法: (1)分段讨论法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为 ( ??, a ] , ( a, b] , (b, ??) (此处 设 a ? b )三个部分,在每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解,然后取各个不等式解集的 并集. 第 11 页 共 17 页

(2)图像法:作出函数 y1 ?| x ? a | ? | x ? b | 和 y2 ? c 的图像,结合图像求解.

C82 28 5 3 y ? 10 ? 2 ? 5 ? 3 ? 0.5 , ? 0.3 .(2) P ? A? ? 2 ? 20. (1) M ? 10 , x ? ,z ? ; (3) 10 10 C10 45
所以 X 的分布列为

X

3.5
0.2

5
0.5

6
0.3

P

EX ? 3.5 ? 0.2 ? 5 ? 0.5 ? 6 ? 0.3 ? 5 .
【解析】试题分析: (1)根据频率之和为 1,可得 M ? 10 , x ?

5 ? 0.5 , y ? 10 ? 2 ? 5 ? 3 , 10

z?

3 ? 0.3 ; (2) 10

由古典概型的利用“从这 10 辆纯电动车中任选 2 辆,选到的 2 辆车的续驶里程都不低于 150 公里” 为事件 A ,P ? A? ?

C82 28 根据题意,X 的可能取值为 3.5 ,5 ,6 ; 则 P ? X ? 3.5? ? 0.2 ? . (3) 2 C10 45

P ? X ? 5? ? 0.5 , P ? X ? 6? ? 0.3 ,所以 EX ? 3.5 ? 0.2 ? 5 ? 0.5 ? 6 ? 0.3 ? 5 .
试题解析: (1) 由表格可知

2 5 ? 0.2 ,所以 M ? 10 , x ? ? 0.5 , y ? 10 ? 2 ? 5 ? 3 , M 10
4分

z?

3 ? 0.3 . 10

(2)设“从这 10 辆纯电动车中任选 2 辆,选到的 2 辆车的续驶里程都不低于 150 公里” 为事件 A ,则 P ? A? ?

C82 28 ? . 2 C10 45

4分 1分

(3) X 的可能取值为 3.5 , 5 , 6

P ? X ? 3.5? ? 0.2 P ? X ? 5? ? 0.5 P ? X ? 6? ? 0.3
所以 X 的分布列为

X
P
3分

3.5
0.2

5
0.5

6
0.3

第 12 页 共 17 页

EX ? 3.5 ? 0.2 ? 5 ? 0.5 ? 6 ? 0.3 ? 5 .

5分

【考点】1.频率与频数的应用;2.古典概型的应用;3.分布列及期望. 21. (1)

50 5 10 ; (2) E? ? , D? ? . 81 3 9

【解析】试题分析: (1)5 名医生分 3 组共有 2,2,1 和 1,1,3 两种分法,然后再将三组随机分到三个县
3 3 1 共有 C5 A3 ? C5 2 2 C4 C2 3 A3 种安排方法;若 5 名医生随机安排共 35 种安排方法,根据古典概型概率公 2 A2

式可求得所求概率. (2)每名医生被分到汶川县的概率都相等都等于

1 ,所以分配到汶川的医生人数 3

? 服从二项分布,根据二项分布概率公式可求其分布列及期望和方差.
1 2 C5 C4 3 C A ? A3 2 A2 50 试题解析:解: (1) P ? ? 5 81 3 3 5 3 3

6分

i (2)由条件可知, ? ~ B (5, ) ,故 P(? ? i) ? C5 ? ?? ?

1 3

?1? ? 2? , (i ? 0,1,2,?,5) ? 3? ? 3?

i

5 ?i

故 ? 的分布列为:

? E? ? np ? 5 ?

1 5 ? 3 3 1 2 10 D? ? np (1 ? p ) ? 5 ? ? ? 3 3 9

13 分

【考点】1 排列组合;2 古典概型概率;3 二项分布. 22. (1)若 a ? 0,

f ( x) 在 (0, x2 ) 单调递减,在 ( x2 , ??) 单调递增;若 0 ? a ?

1 , f ( x) 在 (0, x1 ) , 2

3 (2) (??, ? ? ln 2] . ( x2 , ??) 单调递增,在 ( x1 , x2 ) 单调递减; 2
2 【解析】试题分析: (1)求出 f(x)的导数,令 f'(x)=0,得 2 x ? 2 x ? a ? 0 ,对判别式讨论,

即当时,令导数大于 0,得增区间,令导数小于 0,得减区间; (2)函数 f(x)在(0,+∞)上有两个极值点,由(1)可得 0 ? a ?

1 , 不等式 f ( x1 ) ? mx2 恒成 2

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f ( x1 ) ?m x2







f ( x1 ) 1 ? 1 ? x1 ? ? 2 x ln x 1 x2 x1 ? 1

,1



g ( x) ? 1 ? x ?

1 1 ? 2 x ln x(0 ? x ? ) ,求出导数,判断单调性,即可得到 g(x)的范围,即可 x ?1 2

求得 m 的范围. 试题解析: (1) f ?( x) ? 2 x ? 2 ? 当? ? 0即a ?

a 2x2 ? 2x ? a ? ( x ? 0) ,记 ? ? 4 ? 8a , x x

1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, ??) 单调递增; 2 1 2 当 ? ? 0 即 a ? 时,由 2 x ? 2 x ? a ? 0 得 x1 ? 1 ? 1 ? 2a , x2 ? 1 ? 1 ? 2a , 2
若 a ? 0, 则 x1 ? 0 , x2 ? 0 , f ( x) 在 (0, x2 ) 单调递减,在 ( x2 , ??) 单调递增 若0 ? a ?

1 , 则 x1 ? 0 , x2 ? 0 , f ( x) 在 (0, x1 ) , ( x2 , ??) 单调递增,在 ( x1 , x2 ) 单调递减 2

(2) f ( x1 ) ? mx2 恒成立等价于 m ? [

f ( x1 ) ]min x2
1 ,且 2

由(1)可知,若函数 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则 0 ? a ?

x1 , x2 是方程 2 x 2 ? 2 x ? a ? 0 的两个根,故 x1 ? x2 ? 1, x1 ? x2 ?

a 1 1 ,? 0 ? x1 ? , ? x2 ? 1 2 2 2

?

f ( x1 ) x12 ? 2 x1 ? a ln x1 x12 ? 2 x1 ? 2 x1 (1 ? x1 ) ln x1 1 ? ? ? 1 ? x1 ? ? 2 x1 ln x1 x2 x2 1 ? x1 x1 ? 1
1 1 ? 2 x ln x(0 ? x ? ) , x ?1 2

令 g ( x) ? 1 ? x ? 则 g ?( x) ? ?1 ?

1 1 x( x ? 2) ? 2ln x ? 2 ? 1 ? ? 2ln x ? ? 2ln x 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1) ( x ? 1)2

?0 ? x ?

1 , ? x( x ? 2) ? 0, 2ln x ? 0 , x( x ? 2) ? 0 ,? g ?( x) ? 0 , 2 1 3 3 g ( x) 在上单调递减, g ( x) ? g ( ) ? ? ? ln 2,? m ? ? ? ln 2 2 2 2 3 故实数 m 的取值范围是 (??, ? ? ln 2] . 2
【考点】1. 利用导数研究函数的单调性;2. 利用导 数求闭区间上函数的最值. 【方法点睛】本题考查导数的运用:求单调区间、极值,同时考查函数的单调性的应用,以及不等 式恒成立问题转化为求函数的最值或范围,第(1)问对 a 大于零与小于零以及对判别式的讨论是其

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难点,第(2)问将不等式 f ( x1 ) ? mx2 等价转化为 m ? [

f ( x1 ) ]min ,进而利用韦达定理转化为函数 x2

1 1 ? 2 x ln x(0 ? x ? ) 的最值来加以解决是其关键. x ?1 2 27 【答案】 (1)见解析; (2) b ? 2 g ( x) ? 1 ? x ?
【解析】试题分析: (1)由题已知 a ? 1 ,可得函数 g ( x) 解析式,求函数的单调区间和极值。可先 求函数的导数,令 g ?( x) ? 0 ,为增区间,反之为减区间,再判断出极值。 (2)由条件

F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F ( x) ? x ,问题 ? ?1 变形(联想函数的单调性),然后构造函数 G( x) x1 ? x2

转化为求 G ( x) 在 (0, 2] 上单调递减,得分段函数,需分情况讨论,可得 b 的取值范围。 分别根据单调性和极值情况解出 a 的值,最后取它们的并集得出。

(0, ? ?) 试题解析: (1)当 a ? 1 时, g ( x) ? x ? 1 ? 2ln x ,定义域为 , g ?( x) ? 1 ?

2 x?2 ? , x x

当 x ? (0, 2) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减,当 x ? (2, ? ?) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增, 综上, g ( x) 的单调递增区间为 (2, ? ?) ,单调递减区间为 (0, 2) , 所以. y极小值 ? g (2) ? 1 ? 2ln 2 (2)由题意得

F ( x1 ) ? F ( x2 ) F ( x1 ) ? x1 ? [ F ( x2 ) ? x2 ] ? 1 ? 0 ,即 ?0, x1 ? x2 x1 ? x2

若设 G( x) 在 (0, 2] 上单调递减, ? F ( x) ? x ,则 G ( x)

b ? ln x ? ? x,1 ? x ? 2 ? ? x ?1 G ( x) ? ? ?? ln x ? b ? x,0 ? x ? 1 又 ? x ?1 ?

? ln x ? ①当 x ? (1,2] 时, G ( x)

b 1 b ? x , G?( x) ? ?1 ? 0 , 2 x ?1 x (x ? 1)

( x ? 1)2 1 b? ? ( x ? 1)2 ? x 2 ? 3x ? ? 3 在 (1, 2] 上恒成立, x x
2 设 G1 ( x) ? x ? 3 x ?

1 1 ? 3 ,则 G1? ( x) ? 2 x ? 3- 2 ,当 x ? (1,2] 时, G1? ( x ) ? 0 , x x 27 27 ( ? ,∴ b ? . G1 ( x) 在 (1, 2] 上单调递增, G1 ( x) ? G 1 2) 2 2

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? ? ln x ? ②当 x ? (0,1] 时, G ( x)

1 b b ?? ?1 ? 0 , ? x , G?( x) 2 x (x ? 1) x ?1

b??

( x ? 1)2 1 ? ( x ? 1)2 ? x 2 ? x ? ? 1 在 (0,1] 上恒成立, x x
1 1 -1 ,则 G2? ( x) ? 2 x ? 1 ? 2 ? 0 , x x 27 . 2

2 设 G2 ( x) ? x ? x -

b ? 0 . 综上,由①②可得 b ? 即 G2 ( x) 在 (0,1] 上单调递增, G2 ( x) ? G () 2 1 ? 0 ,∴

【考点】 (1)运用导数求函数的单调区间和极值; (2)代数变形和函数构造能力及分类思想。 24. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)

16 3 . 3

【解析】 (Ⅰ) 由于 ?ABC 是等腰三角形, AD ? BC ,所以 AD 是 ?CAB 的平分线.又因为 ? O 分 别与 AB 、 AC 相切于 E 、 F 两点, 所以 AE ? AF ,故 AD ? EF .从而 EF / / BC . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, AE ? AF , AD ? EF ,故 AD 是 EF 的垂直平分线,又 EF 是 ? O 的弦,所 以 O 在 AD 上.连接 OE , OM ,则 OE ? AE .由 AG 等于 ? O 的半径得 AO ? 2OE ,所以

?OAE ? 300 .所以 ?ABC 和 ?AEF 都是等边三角形.因为 AE ? 2 3 ,所以 AO ? 4 , OE ? 2 .
因为 OM ? OE ? 2 , DM ?

1 10 3 MN ? 3 ,所以 OD ? 1 .于是 AD ? 5 , AB ? .所以四边 2 3

形 EBCF 的面积

1 10 3 2 3 1 3 16 3 . ?( ) ? ? ? (2 3)2 ? ? 2 3 2 2 2 3

【考点】1.等腰三角形的性质;2、圆的切线长定理;3、圆的切线的性质. 25. (Ⅰ) (0, 0) 和 (

3 3 (Ⅱ) 4 . , ); 2 2
2 2

【解析】 ( Ⅰ ) 曲 线 C2 的 直 角 坐 标 方 程 为 x ? y ? 2 y ? 0 , 曲 线 C3 的 直 角 坐 标 方 程 为

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? 2 2 x? ? x ? y ? 2 y ? 0, ? x ? 0, ? ? ? 2 2 解得 ? 或? x ? y ? 2 3x ? 0 .联立 ? 2 2 ? ? y ? 0, ? y ? ? x ? y ? 2 3x ? 0, ? ?
角坐标为 (0, 0) 和 (

3 , 2 所以 C 与 C 交点的直 2 1 3 , 2

3 3 , ). 2 2

( Ⅱ ) 曲 线 C1 的 极 坐标 方程 为 ? ? ? ( ? ? R, ? ? 0) , 其 中 0 ? ? ? ? . 因 此 A 得 到极 坐 标 为 所以 AB ? 2sin ? ? 2 3 cos ? ? 4 s in(? ? ) , 当 (2sin ? , ? ) ,B 的极坐标为 (2 3 cos ? , ? ) . 3

?

??

5? 时, AB 取得最大值,最大值为 4 . 6

【考点】1、极坐标方程和直角坐标方程的转化;2、三角函数的最大值. 26. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)详见解析. 【解析】 (Ⅰ) 因为 ( a ? b )2 ? a ? b ? 2 ab , 由题设 a ? b ? c ? d , ( c ? d )2 ? c ? d ? 2 cd ,

ab ? cd ,得 ( a ? b )2 ? ( c ? d )2 .因此 a ? b ? c ? d .
(Ⅱ) (ⅰ)若 a ? b ? c ? d ,则 (a ? b)2 ? (c ? d )2 .即 (a ? b)2 ? 4ab ? (c ? d )2 ? 4cd .因为

a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd ,由(Ⅰ)得 a ? b ? c ? d .
(ⅱ) 若 a? b? c? d , 则 ( a ? b )2 ? ( c ? d ) 2 , 即 a ?b ? 2 a b ? c ?d ? 2 c d
2 2 2 2

. 因

为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd ,于是 (a ? b) ? (a ? b) ? 4ab ? (c ? d ) ? 4cd ? (c ? d ) .因此

a ? b ? c ? d ,综上, a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件.
【考点】推理证明.

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[首发]辽宁省沈阳铁路实验中学2016-2017高二上学期假期作业验收测试物理试题.doc_教学计划_教学研究_教育专区。沈阳铁路实验中学 2016-2017 学年度上学期假期作业...