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高中数学奥赛系列辅导资料:函数通行训练题


函数通性训练题
【能力训练】 A级 选择题 ★★1.若 a>0,a≠1,F(x)是一奇函数,则{ EMBED Equation.3 1 1 | G(x) ? F(x)( x ? )是 ( ) a ?1 2 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数 (D)奇偶性与 a 有关

★★2.设 f(x)是定义在实数集上的周期为 2 的周期函数,且是偶函

数。已知当 x∈[2, 3] 时,f(x)=x,则当 x∈[-2,0]时,f(x)的解析式是( ) (A)f(x)=x+4 (C)f(x)=3-|x+1| (B)f(x)=2-x (D)f(x)=2+|x+1|

★★★3.设 f(x),g(x)是定义在(-∞,+∞)上的两个函数,对任意实数 x,y 满足 f(x+y)+(x-y)=2f(x)g(x),若 f(0)=0,但 f(x)不恒等于 0,则 (A)f(x),g(x)都是奇函数 (B)f(x),g(x)都是偶函数 (C)f(x)是偶函数,g(x)是奇函数 (D)f(x)是奇函数,g(x)是偶函数。 ★★4.奇函数 y=f(x)有反函数,函数在[0,+∞]上是减函数,则上是 ( ) (A)是增函数 (B)是减函数 (C)有时是增函数,有时是减函数 (D)有时是增函数,有时是减函数,有时是常数函数。 ★★5.函数 y=f(x-a)与函数 y=f(a-x)的图象间的关系是 ( ) (A)关于 y 轴对称 (C)关于直线 x=2a 对称 填空题 ★★6.函数 f(x)对一切实数 x 都满足,并且方程 f(x)=0 有三个实根,这三个实根的 和是________. ★★★★7.设奇函数 y=f(x)的定义域为 R,f(1)=2,且对任意,都有当 x>0 时,f(x) 是增函数,则函数在这间[-3,-2]上的最大值是______. ★★8.定义域是实数域的奇函数 f(x),对任意实数 x 都有 f(x)=f(x+2)则 f(2)+f(4)+f(6)+…+f(1992)+f(1994)=_____。 ★★★★9.设函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且单调递增,满足 f(2)=1, f(xy)=f(x)+f(y) (1)证明:f(1)=0 f(1)=0。 (2)求 f(4)。 (3)若 f(x)+f(x-3)≤2,求 x 的范围。 (4)举出一个符合上述要求的函数 f(x)。 B级 (B)关于 x 轴对称 (D)关于直线 x=a 对称

★★★10. 设函数 f(x)对任一实数 x 满足 f(2-x)=f(2+x), f(7-x)=f(7+x), f(0)=0。 且 求证:f(x)在[-30,30]上至少有 13 个零点,且 f(x)是以 10 为周期的函数。 ★★★★11. 函数的最小正周期分别为 2π 和 2。 证明 f(x)=sinx+sinπ x 不是周期函数。 ★★★★12.证明:若函数 y=f(x)在 R 上的图解关于点和直线 x=b(b>a)皆对称,则 f(x)为周期函数。 ★★★★13.设 f 是一个从实数集 R 映射到自身的函数,并且对任何 x∈R 均有|f(x)| ≤1,以及 证明:f 是周期函数,即存在一个非零实数 C,使得对任何 x∈R,成立 f(x+C)=f(x).

参考答案 【能力训练】 A级 ★1.B。 ,故 G(x)是偶数。 2.C。当 x∈[-2,-1]时,x+4∈[2,3].f(x)=f(x+2·2)=f(x+4);当 x∈[-3,-2]时, 由于 f(x)为偶函数∴f(x)=-x,∴当 x∈[-1,0]时,f(x)=f(x-2)= -(x-2)= -x+2. 3.D。令 x=0,f(-y)=-f(y);又将-y 代换成 y,f(x-y)+f(x+y)=2f(x)g(-y),∴ g(-y)=g(y) 4.A。如果一个函数存在反函数,那么它们的单调状况相同。 5.D。设图 象上任意一点,则

6.y=f(x)的图象关于对称,其中一根必是,另两根之和是。故所有实根之和是 1.5。 7.令由 f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,故在(-∞,0)上也为增函数,且 f(2)=f(1+1)=2f(1)=4,用定义易知,上为增函数。故[-3,-2]上的最大值是 8.f(x)为 R 上的奇函数, f(0)=0,且 f(0)=f(2)=f(4)=…=f(1994)=0,故原式为 0。 9.(1)取 x=1,y=2,得 f(2)=f(1·2)=f(1)+f(2).∴f(1)=0 (2)f(4)=f(2)+f(2)=2. (3)f(x)+f(x+3)=f[x(x-3)]≤2=f(4), 所以

(4)可取.

B级 10.f(x)关于 x=2 和 x=7 对称。 f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)=0,f(10)=f(7+3)=f(7-3)=f(4)=0,于是(0,10]上至少有 两个零点。 f(x+10)=f(7+3+x)=f(7-3-x)=f(4-x)=f(2+2-x)=f(2-2+x)=f(x),∴f(x)以 10 为周期。f(-30)=f(-30+3×10)=f(0)=0.综上,f(x)在[-30,30]上至少有 13 个零点。 11.反证,若周期为 T,则 sin(x+T)+sin(π (x+T))=sinx+sinπ x

存在使得将代入①,于是对每个 x∈R,由于,故,于是 kπ =m,矛盾。 12.提示 4(b-a)是它的一个周期,由已知有① 反复利用①、②,可证 f[x+4(b-a)]=f(x) 13. ① 同样,有 ② 由①、② f(b+x)=f(b-x)②,

即 对所有π ∈N 成立。 又∵f(x)有界,故只有 f(x+1)-f(x)=0. ∴f(x+1)=f(x),f(x)为周期函数。

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