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2015届黄石二中、鄂南高中、鄂州高中三校高三上学期期中联考数学(文)试题


2015 届黄石二中、鄂南高中、鄂州高中三校高三上学期期中联考

文科数学
一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分,下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序 号填涂在答题卡上) 1. 已知集合 A ? {?1,1} , B ? {x ? R |1 ? 2 ? 4} ,则 A ? B 等于( )
x

A

. ??1, 0,1?

B. ?1? )

C. ??1,1?

D. ?0,1?

2. 复数 z 满足 (2 ? i ) z ? ?3 ? i ,则 z ? ( A. 2 ? i B. 2 ? i

C. ? 1 ? i

D. ? 1 ? i )

3. 已知向量 a ? (2,3), b ? ( ?1, 2) , ,若 ma ? 4b 与 a ? 2b 共线,则 m 的值为( A.

1 2

B. 2

C. ?

1 2

D. ?2

4. 定义在 R 上的偶函数 f (x)满足:对任意的 x1 , x2 ? (??, 0]( x1 ? x2 ) , A.f (-3)<f (-2)<f (1) C.f (-2)<f (1)<f (-3) 5. 已知函数 f ( x) ? sin 2 x 向左平移 确的是( ) B.f (1)<f (-2)<f (-3) D.f (-3)<f (1)<f (-2)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,则( x2 ? x1

)

?
6

个单位后,得到函数 y ? g ( x ) ,下列关于 y ? g ( x ) 的说法正

A.图象关于点 ( ? C.在区间 [?

?
3

, 0) 中心对称

B.图象关于 x ? ? D.在 [ ?

?
6

轴对称

5? ? , ? ] 单调递增 12 6

? ?

, ] 单调递减 6 3
) .

6. 设已知数列 ?a n ? 对任意的 m, n ? N ,满足 a m ? n ? a m ? a n ,且 a 2 ? 1 ,那么 a10 等于( A.3 B.5 C.7 D.9

7. 已知 [ x] 表示不超过实数 x 的最大整数, 如 [1.8] ? 1,[ ?1.2] ? ?2 . 点,则 [ x0 ] 等于( A.2
x

x0 是函数 f ( x) ? ln x ?
D.-2. )

2 的零 x

).. B.1 C.0

?log 2 , x ? 0 ? 8. 设函数 f ( x) ? ? log 1 ( ? x ) , x ? 0 ,若 f (a) ? f (?a ) ,则实数 a 的取值范围是( ? ? 2 A. (?1, 0) (0,1) B. (??, ?1) (1, ??) C. (?1, 0) (1, ??) D. (??, ?1) (0,1)
·1 ·

9. 已知 f ( x) ? ?

?x ? 1
2 ?x ? 1

x ? [?1,0) x ? [0,1]

,则下列函数的图象错误 的是( ..

).

10. 已知函数

f (x ) ?

x 3 mx 2 ? (m ? n ? 3 2

的两个极值点分别为 x1 , x2 ,且 x1 ? (0, 1) , x2 ? (1, ? ?) ,点 P (m, n) 表示的平面区域为 D ,若函 数 y ? log a ( x ? 4)(a ? 1) 的图像上存在区域 D 内的点,则实数 a 的取值范围是( A. ( 1,3] )

1,3) B. (

+?) C. [3,

D. (3, +?)

二、填空题(每小题 5 分,共 35 分. 每小题的答案填在答题纸的相应位置)
11.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos ? ?

3 ,则 cos 2? =___________; 3

12. 已知函数 y=f(x)的图象在点 M 1, f ?1? 处的切线方程是 y ? x ? 3, 则: f ?1? ? f 13.若函数 f ( x) ? A sin(? x ? 离为

?

?

?
6

1 2

/

?1? ? ___

) ? 1( A ? 0, ? ? 0) 的最大值为 3,其图像相邻两条对称轴之间的距

?
2

,则 f ( ) =________________;

?

3

14. 已知向量 a, b 的夹角为
x

?
3

, | a |? 2,| b |? 1 ,则 | a ? b || a ? b | 的值是

_____;

15.函数 f ( x) ?| 2 ? 1| 在区间 (k ? 1, k ? 1) 内不单调,则 k 的取值范围是________; 16.如图,互不相同的点 A1 , A2 , K ..., An , K ... 和 B1 , B2 , L L , Bn , L L 分别在角 O 的 两条边上,所有 An Bn 相互平行,且所有梯形 An Bn Bn ?1 An ?1 的面积均相等.设

OAn ? an ,若 a1 ? 1, a2 ? 2 ,则 a9 =________________;
17.在平面直角坐标系中,若 A、B 两点同时满足:①点 A、B 都在函数 y=f(x)图像上;②点 A、B 关 于原点对称,则称点对(A、B)是 y=f(x)的一对“姊妹点对” (注;规定(A、B) (B、A)为同一 点对) 。已知函数 g ( x) ? a ? x ? a (a ? 0, a ? 1) ;
x

·2 ·

⑴当 a=2 时,g(x)有________个“姊妹点对” ; ⑵当 g(x)有“姊妹点对”时,实数 a 的取值范围是________________

三、 解答题 (本大题共 5 小题, 共 65 分, 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.)
18.(本题满分 12 分) 设命题 p : ?x0 ? R, x0 2 ? 2ax0 ? a ? 0 ;命题 q : ?x ? R, ax 2 ? 4 x ? a ? ?2 x 2 ? 1. . 如果命题“ p ? q 为真命题,“ p ? q ”为假命题,求实数 a 的取值范围. 19. (本题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin x, ?1), b ? ( 3 cos x, ? ) ,函数 f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 。 (1)求函数 f(x)的最小正周期 T; (2)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,其中 A 为锐角,a= 2 3 ,c=4, 且 f(A)=1,求△ABC 的面积 S.

1 2

20 、 (本题满分 13 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a2 ? 3, S10 ? 100 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? ? ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn
n

?1? ?3?

21. (本题满分 14 分) 为改善购物环境,提高经济效益,某商场决定投资 800 万元改造商场内部环境,据调查,改造好 购物环境后,任何一个月内(每月按 30 天计算)每天的顾客人数 f ?x ? 与第 x 天近似地满足
f ?x ? ? 8 ? 8 (千人) ,且每位顾客人均购物金额数 g ?x ? 近似地满足 g ?x ? ? 143 ? x ? 22 (元) . x

(1)求该商场第 x 天的销售收入 p?x ? (单位千元,1≤x≤30, x ? N ? )的函数关系; (2)若以最低日收入的 20%作为每一天纯收入的计量依据,商场决定以每日纯收入的 5%收回投资 成本,试问商场在两年内能否收回全部投资成本.

22. (本题满分 14 分)
·3 ·

已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? (? x 2 ? ax ? 3)e x (a 为实数) . (1) 当 a=5 时,求函数 y ? g ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2) 求 f ( x) 在区间 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (3) 若存在两不等实数 x1, x2 ? [ ,e ] ,使方程 g ( x) ? 2e x f ( x) 成立,求实数 a 的取值 范围.

1 e

·4 ·

文科参考答案
一.选择题
1--5 BCDBC 6--10 BACDB

二.填空题

19、解: (Ⅰ)f ( x ) = ( a + b )? a -2 = a ? a b ? 2 =sin x +1+ 3 sin x cos x +
2

2

3 1 1 ? cos 2 x 1 ? 2= + sin2 x ? 2 2 2 2
(4 分) (6 分)

=

3 1 ? sin2 x ? cos2 x =sin(2 x ? ) 2 2 6

因为 ω =2,所以 T = π (Ⅱ)f ( A ) = sin(2 A ? 因为 A ∈ (0 ,

?
6

)= 1 ∈ (?

5? ? ? ? ) ,所以 2 A ? = ,A = (8 分) 2 6 6 6 6 2 3 1 2 2 2 2 2 则 a =b +c -2bccosA,所以 12 = b +16 ? 2×4 b × ,即 b -4b+4=0 则 b=2 ---(10 分) 2 1 1 ? 从而 S = bc sin A = ×2×4× sin = 2 3 (12 分) 2 2 3

?

), 2A?

?

?



a1+d=3, ? ? 20.解:(1)设{ ?an ? }的公差为 d,有? 10×9 10a1+ d=100, ? 2 ?
·5 ·

解得 a1=1,d=2,∴an=a1+(n-1)d=2n-1. -------------------------6 分 1 ?1?2 ?1?3 ?1?n (2) Tn = +3×? ? +5×? ? +?+(2n-1)×? ? , 3 ?3? ?3? ?3? 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? Tn=? ?2+3×? ?3+5×? ?4+?+(2n-1)×? ?n+1, 3 ?3? ?3? ?3? ?3? 相减,得 2 1 2 2n+2 ?1?n ?1? ?1? ?1? ?1? Tn= +2×? ?2+2×? ?3+?+2×? ?n-(2n-1)×? ?n+1= - ×? ? . 3 3 3 3 3 3 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?3? ∴ Tn =1-

n ?1 -------------------13 分 3n

22.



:(



)



a?5



g ( x ) ? ( ? x 2 ? 5 x ? 3) ? e x

,

g (1) ? e

.

g ?( x ) ? ( ? x 2 ? 3 x ? 2) ? e x ,故切线的斜率为 g ?(1) ? 4e .
所以切线方程为: y ? e ? 4e( x ? 1) ,即 y ? 4ex ? 3e . (Ⅱ) f ?( x ) ? ln x ? 1 ,

???2 分 ???4 分

·6 ·

x
f ?( x) f ( x)

1 (0, ) e

1 e

1 ( , ??) e

?
单调递减

0
极小值(最小值)

?
单调递增 分 ① 当t ?

??? 6

间 ( t , t ? 2) 上 f ( x ) 为增函数, ② 所以 f ( x )min ? f ( t ) ? t ln t ②当 0 ? t ?

1 时,在区 e

???8 分

1 1 时,在区间 ( t , ) 上 f ( x ) 为减函数,在区间 ? 1 , t ? 2 ? 上 f ( x ) 为增函数, ? ? e e ?e ?
???10 分

1 1 所以 f ( x )min ? f ( ) ? ? e e

(Ⅲ) 由 g ( x ) ? 2e x f ( x ) ,可得: 2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3 , 令 h( x) ? x ? 2 ln x ?

a ? x ? 2 ln x ?

3 , x

2 3 ( x ? 3)( x ? 1) 3 , h ?( x) ? 1 ? ? 2 ? . x x x x2

x
h ?( x) h( x)

1 ( ,1) e

1

(1,e)

?
单调递减

0
极小值(最小值)

?
单调递增 ???12 分

1 1 3 h( ) ? ? 3e ? 2 , h(1) ? 4 , h(e) ? ? e ? 2 . e e e 1 2 h(e) ? h( ) ? 4 ? 2e ? ? 0. e e
? 实数 a 的取值范围为 4 ? a ? e ? 2 ?

3 . e

???14 分

·7 ·


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