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山东省威海市乳山一中2013届高三12月月考 数学理试题


山东省威海市乳山一中 2013 届高三 12 月月考 数学理试题
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x 3 ? x ? 7 ? , B ? ? x x 2 ? 7 x ? 1 0 ? 0 ? ,则 ?U ( A ? B ) ? A. ? ? ? ,3 ? ? ?5 , ?? ? B. ? ?

? ,3 ? ? ?5 , ?? ? C. ? ? ? ,3 ? ? ?5 , ?? ? D. ? ? ? ,3 ? ? ?5 , ?? ?

2.在 ? A B C 中,“ A ? B ”是“ tan A ? tan B ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集) : ①“若 a,b ? R , 则 a ? b ? 0 ? a ? b ”类比推出“若 a,b ? C , 则 a ? b ? 0 ? a ? b ”; ②“若 a,b,c,d ? R , 则复数 a ? bi ? c ? di ? a ? c , b ? d ”类比推出“若 a,b,c,d ? Q , 则a ? b 2 ? c ? d
2 ? a ? c , b ? d ”;

③“若 a,b ? R , 则 a ? b ? 0 ? a ? b ” 类比推出“若 a,b ? C , 则 a ? b ? 0 ? a ? b ”; 其中类比结论正确的个数是 (A).0 ( ) (B).1

(C).2

(D).3

4.已知等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ? 3 n ? 1 ? a , n ? N * ,则实数 a 的值是 A. ? 3 B. 3 C. ? 1 D. 1 ? ? ? ? ? ? 5.已知非零向量 a 、 b ,满足 a ? b ,则函数 f ( x ) ? ( a x ? b ) 2 ( x ? R ) 是 A. 既是奇函数又是偶函数 6.已知函数 f ( x ) ? A. ?
2 1 x

B. 非奇非偶函数
?
2 ) ?

C. 偶函数 D. 奇函数

c o s x ,则 f ( ? ) ? f ? ( 3

?

B.

?

C. ?

1

?

D. ?

3

?

7.已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S 1 0 ? A.
12 5

?

3 0

(1 ? 2 x )d x ,则 a 5 ? a 6 ?

B. 1 2

C. 6

D.
?
2

6 5

8.已知函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0 , ? ? A. f ( x ) ? s in ( 2 x ? C. f ( x ) ? s in ( 2 x ?
?
3

)的图象如图所示,则函数 f ( x ) 的解析式为

)

B. f ( x ) ? s in ( 2 x ?

?
6

)

?
3

)

D. f ( x ) ? s in ( 4 x ?

?
6

)

9.已知 O 是 △ A B C 所在平面内一点, D 为 B C 边中点,且 2 O A ? O B ? O C ? 0 ,则 A. A O ? 2 O D

??? ?

??? ?

????

?

????

????

1

B. A O ? O D

????

????

C. A O ? 3 O D

????

????

D. 2 A O ? O D

????

????

10.若函数 f ( x ) ? 3 ax ? 1 ? 2 a 在区间 ( ? 1,1) 上存在一个零点,则 a 的取值范围是 A. a ?
1 5

B. a ?

1 5

或 a ? ?1

C. ? 1 ? a ?

1 5

D. a ? ? 1

11.已知函数 f ( n ) ? n 2 cos( n? ) ,且 a n ? f ( n ) ? f ( n ? 1) ,则 a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a100 ? A. 0 B. ? 100 C. 100 D. 10200

12.已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x ) ,且 x ? ? 0,2 ? 时, f ( x ) ? log 2 ( x ? 1) ,甲、 乙、丙、丁四位同学有下列结论:甲: f ? 3 ? ? 1 ;乙:函数 f ( x ) 在 ? ? 6, ? 2 ? 上是减函数;丙:函数 f ( x ) 关于直线 x ? 4 对称;丁:若 m ? ? 0,1 ? ,则关于 x 的方程 f ( x ) ? m ? 0 在 ? ? 8, 8 ? 上所有根之和为 ? 8 , 其中正确的是 A.甲、乙、丁

B.乙、丙

C.甲、乙、丙

D.甲、丙

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.已知复数 z 满足 ? 2 ? i ? z ? 1 ? i , i 为虚数 单位,则复数 z ? .

? 1 x ?( ) , x ? 4 14.已知函数 f ( x ) ? ? 2 ,则 f (1 ? log 2 5) 的值为 ? f ( x ? 1 ), x ? 4 ?



15 . 设 正 项 等 比 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 为 S n , 若
S 3 ? 3 , S 9 ? S 6 ? 12 ,则 S 6 ?


2 2

16. 已知某棱锥的三视图如右图所示,则该棱锥
1
1 2

的体积为

.
2

正 视
2

侧 视 图



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分, 17. (本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中 , a , b , c 分 别 是 角 A , B , C 的 对 边 , 已 知 (Ⅰ)若 sin B ? 3 ( b ? c ) ? 3 a ? 2 bc .
2 2 2

1

俯 视 图

2 cos C ,求 tan C 的大小;

(Ⅱ)若 a ? 2 , ? ABC 的面积 S ? 18. (本小题满分 12 分)

2 2

,且 b ? c ,求 b , c .

2

设 { a n } 是公差大于零的等差数列,已知 a1 ? 2 , a 3 ? a 2 2 ? 10 . (Ⅰ)求 { a n } 的通项公式;
2 (Ⅱ)设 { b n } 是以函数 y ? 4 s in ( ? x ?

1 2

) ? 1 的最小正周期为首项,以 3 为公比的等比数列,求数列

?an

? b n ? 的前 n 项和 S n .

19. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos 2 ? x ? sin 2 ? x , sin ? x ) , b ? ( 3 , 2 cos ? x ) , 设函数 f ( x ) ? a ? b ( x ? R ) 的图象关于直线 x ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ) 若将 y ? f ( x ) 图象上各点的横坐标变为原来的
1 6

?

?

? ?

?
2

对称,其中 ? 为常数,且 ? ? (0,1) .

, 再将所得图象向右平移
?
2

?
3

个单位, 纵坐标不变,

得到 y ? h ( x ) 的图象, 若关于 x 的方程 h ( x ) ? k ? 0 在区间 [ 0 , 取值范围. 20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
( x ? 1 )( x ? a ) x
2

] 上有且只有一个实数解,求实数 k 的

为偶函数. (Ⅰ)求实数 a 的值;
1 4

2 (Ⅱ)记集合 E ? { y y ? f ( x ), x ? { ? 1,1, 2}} , ? ? lg 2 ? lg 2 lg 5 ? lg 5 ?

,判断 ? 与 E 的关系;

(Ⅲ)当 x ? [

1 m

,

1 n

] ? m ? 0 , n ? 0 ? 时,若函数 f ( x ) 的值域为 [ 2 ? 3 m , 2 ? 3 n ] ,求 m , n 的值.

21. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD, ∠BAD=60°,E,F 分别是 AP,AD 的中点.求证: (1)直线 EF∥平面 PCD;

(2)平面 BEF⊥平面 PAD

.
,当 x ?
2 3

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ?
? ? x 3 ? x 2 ? bx ? c , x ? 1 ? a ln x , x ? 1

时,函数 f ( x ) 有极大值

4 27

.

(Ⅰ)求实数 b 、 c 的值; (Ⅱ)若存在 x 0 ? [ ? 1, 2 ] ,使得 f ( x 0 ) ? 3 a ? 7 成立,求实数 a 的取值范围. 23.附加题(见答题纸,不计总分)

3

高三数学答案

13.

1 ? 3i 5

16.2

2 2 2 即 2 ? b ? c ? 2 bc ?

1 3

4

由直线 x ? 图象的一条对称轴,可得 2 s in ( ? ? ? 所以 ? ? ?
?
3 ? k? ?

?
2

是 y ? f ( x)

?
3

) ? ?2 , 1 6 1 6 (k ? z ) .

?
2

( k ? z ) ,即 ? ? k ?

又 ? ? (0,1) , k ? z ,所以 k ? 0 ,故 ? ?

.

5

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? f ( x ) 为偶函数 ? f ( x ) ? f ( ? x ) ?
? 2 ( a ? 1) x ? 0 ,? x ? R 且 x ? 0 ,? a ? ? 1
2

( x ? 1 )( x ? a ) x
2

?

( ? x ? 1 )( ? x ? a ) x
2

………………………………………4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知: f ( x ) ?

x

?1
2

x

当 x ? ? 1 时, f ( x ) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ( x ) ?

? 3? ? E ? ?0, ? , 4 ? 4?
3

………………6 分

6

21. (本小题满分 13 分) (1)在△PAD 中,因为 E, F 分别为 AP,AD 的中点, 所以 EF∥PD. 又因为 EF?平面 PCD,PD?平面 PCD, 所以直线 EF∥平面 PCD (2)连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60°, 所以△ABD 为正三角形.因为 F 是 AD 的 中点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF?平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PAD.

7

①当

8

2 ? 1 ? x ? 1 时, f ? ( x ) ? ? 3 x ? 2 x ? ? 3 x ( x ?

2 3

) ,令 f ? ( x ) ? 0 得 x ? 0 或 x ?

2 3

当 x 变化时, f ? ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:
x
f ?( x )

(? 1, 0 )

0
0

(0,

2 3

)

2 3

(

2 3

,1 )

单调递减
2

+ 单调递增 , f (0) ? 0

0

单调递减

f ( x)

极小值
4 27

极大值

根据表格,又 f ( ? 1) ? 2 , f ( ) ?
3

23.(Ⅰ)取 PC 的中点 G,连结 EG,GD,则 EG //
?

1 2

BC ,所以 GE // DF .
?

由(Ⅰ)知 FD⊥平面 PDC, DG ? 面 PDC,所以 FD⊥DG。
9

所以四边形 FEGD 为矩形,因为 G 为等腰 Rt△RPD 斜边 PC 的中点,所以 DG⊥PC, 又 DG⊥GE,PC∩EG=E, 所以 DG⊥平面 PBC. 因为 DG//EF,所以 EF⊥平面 PBC。 (Ⅱ) V B ? AEF
? V E ? ABF ? 1 3 S ? ABF ? OE ? 1 3 ? 1 4 a
2

?

1 2

a ?

1 24

a

3

10


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