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3.1.1方程的根与函数的零点(一)


复习引入
观察下列三组方程与相应的二次函数 方 程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 函 数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3

练习1. 利用函数图象判断下列方程有没 有根,有几个根: (1) -x2+3x+5=0; (2) 2x(x+2)=-3; (3) x2=4x-4;

/>(4) 5x2+2x=3x2+5.

讲授新课
函数零点的概念: 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0

的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

探究1 如何求函数的零点?

探究2 零点与函数图象的关系怎样?

方程f (x)=0有实数根
?函数y=f (x)的图象与x轴有交点

?函数y=f (x)有零点

探究3 二次函数的零点如何判定? 对于二次函数y=ax2+bx+c与二次方程 ax2+bx+c=0 ,其判别式?=b2-4ac.

方程 函数 判别式 ax2+bx+c=0 y=ax2+bx+c 的根 的零点 ?>0 两不相等实根 两个零点 ? =0 两相等实根 一个零点 ? <0 没有实根 0个零点

练习

2. 求函数y=-x2-2x+3的零点.
零点为-3,1.

练习 3. 判断下列函数有几个零点

a
a

b

a
b

b

a

b

练习 4. 求函数y=x3-2x2-x+2

y
4 2

的零点,并画出它的图象.
-2

O
-2
-4

2

x

零点为-1,1,2.

拓展
考察函数 ①y=lgx ②y=log2(x+1)

③y=2x
的零点.

④y=2x-2

探究4
观察二次函数 f(x)=x2―2x― 3 的图象, 2 如右图,我们发现函数 f(x)=x ―2x―3 在 y 区间[―2, 1]上有零点. 计算 f(― 2)f(1)的乘积, 你能发现这个乘积有什么 特点?在区间[2, 4]上是否 x 也具有这种特点呢? O

结论
如果函数y=f(x)在区间[a, b]上的 图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区 间(a, b)内有零点,即存在c∈(a, b), 使得f(c)=0, 这个c也就是方程f(x)=0 的根.

例 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.

播放几何画板

练习

5. 若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一
解,则a的取值范围是 ( B ) A. a<-1 C. -1<a<1 B. a>1 D. 0<a<1

练习

5. 若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一
解,则a的取值范围是 ( B ) A. a<-1 C. -1<a<1 B. a>1 D. 0<a<1

练习 2.函数y=f(x)在区间[a, b]上的图象是 连续不断的曲线,且f(a) f(b)<0,则函 数y=f(x)在区间(a, b)内 (A)

A. 至少有一个零点 B. 至多有一个零点 C. 只有一个零点 D. 有两个零点

课堂小结
1. 知识方面:
零点的概念、求法、判定; 2. 数学思想方面: 函数与方程的相互转化,即转化思想 借助图象探寻规律,即数形结合思想.

课后作业
1. 阅读教材P.86~ P.88. 2. 《习案》3.1第一课时.

思考题 若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是 2和3,求loga25+b2.

y
A O

C B x


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