nbhkdz.com冰点文库

0401概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结:四、三角函数1


高考数学必胜秘诀在哪? ――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
四、三角函数
1、 角的概念的推广: 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角, 一条射线没有 作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。 2、象限角的概念:在直角坐标系中,

使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负 半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示: (1) ? 终边与 ? 终边相同( ? 的终边在 ? 终边所在射线上) ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) ,注 意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.如与角 ? 1825 的终边相同,且
?

绝对值最小的角的度数是___,合___弧度。 (答: ?25 ; ?
?

5 ?) 36 (2) ? 终边与 ? 终边共线( ? 的终边在 ? 终边所在直线上) ? ? ? ? ? k? (k ?Z) . (3) ? 终边与 ? 终边关于 x 轴对称 ? ? ? ?? ? 2k? (k ? Z) . (4) ? 终边与 ? 终边关于 y 轴对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ?Z) . (5) ? 终边与 ? 终边关于原点对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ?Z) . (6) ? 终边在 x 轴上的角可表示为: ? ? k? , k ? Z ; ? 终边在 y 轴上的角可表示为: ? k? ? ? ? k? ? , k ? Z ; 终边在坐标轴上的角可表示为: ? ? , k ? Z .如 ? 的终边与 的 ? 2 2 6

终边关于直线 y ? x 对称,则 ? =____________。 (答: 2k? ?

?

2 ? 则 是第_____象限角(答:一、三) 2

4、 ? 与 ? 的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若 ? 是第二象限角,

3

, k ?Z )

? 2 5.弧长公式: l ?| ? | R ,扇形面积公式: S ? 1 lR ? 1 | ? | R ,1 弧度(1rad) ? 57.3 .

2

2

如已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。 (答:2 cm ) 6、 任意角的三角函数的定义: ? 是任意一个角, ( x, y ) 是 ? 的终边上的任意一点 设 P (异 于 原 点 ), 它 与 原 点 的 距 离 是 r ?

2

x 2 ? y 2 ? 0 , 那 么 sin ? ?

y x , cos ? ? , r r

tan ? ?

数值只与角的大小有关,而与终边上点 P 的位置无关。如(1)已知角 ? 的终边经过点 P(5,

y r x r , ? x ? 0 ? , cot ? ? ( y ? 0) , sec ? ? ? x ? 0 ? , csc ? ? ? y ? 0 ? 。三角函 x x y y

7 ) (2)设 ? 是第三、四象限角, ; 13 2m ? 3 3 | sin ? | cos? sin ? ? ? ? 0, , m 的取值范围是_______ 则 (答: (-1, ) ) ; 若 (3) 4?m 2 sin ? | cos? | ? 试判断 cot(sin? ) ? tan(cos ) 的符号(答:负) y
- 12) , 则 si n? ? cos? 的 值 为 _ _ 。 答 : ? ( 7.三角函数线的特征是: 正弦线 MP “站在 x 轴上(起点在 x 轴上)” 余弦线 OM 、 “躺在 x 轴上(起点是原点)” 正切线 AT 、 “站 A )”.三角函数线的重要应用是比较三 在点 A(1, 0) 处(起点是
B P α O M A x S T

1

角函数值的大小和解三角不等式。如(1)若 ?

?
8

? ? ? 0 ,则 sin ? ,cos ? ,tan ? 的大小关系

为_____(答: tan? ? sin? ? cos? ); (2)若 ? 为锐角,则 ? ,sin ? , tan ? 的大小关系为 _______ (答: sin ? ? ? ? tan ? )(3)函数 y ? 1 ? 2 cos x ? lg(2 sin x ? 3) 的定义域 ; 是_______(答: (2k? ?

?
3

, 2 k? ?

2? ](k ? Z ) ) 3
90° 1 180° 0 270° -1 15° 75°

8.特殊角的三角函数值: 30° 45° 60°

0° 0

sin ?

1 2

2 2

3 2
1 2

6? 2 4

6? 2 4

cos?
tan ? cot ?

3 2
3 3

2 2
1

1

0

-1

0

6? 2 4
2- 3

6? 2 4
2+ 3

3
3 3
2 2

0

0

3

1

0

0

2+ 3

2- 3

9. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1,1 ? tan ? ? sec ? ,1 ? cot (2)倒数关系:sin ? csc ? =1,cos ? sec ? =1,tan ? cot ? =1,
2 2 2

? ? csc2 ?

(3)商数关系: tan ? ?

sin ? cos ? , cot ? ? cos ? sin ?

同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三 角函数值。在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩 角的范围, 以便进行定号; 在具体求三角函数值时, 一般不需用同角三角函数的基本关系式, 而是先根据角的范围确定三角函数值的符号, 再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对 值。如(1)函数 y ?

sin ? ? tan ? 的值的符号为____(答:大于 0)(2)若 0 ? 2 x ? 2? , ; cos ? ? cot ?

则使 1 ? sin 2 2x ? cos2x 成立的 x 的取值范围是____(答: [0,

?

3 m?3 4 ? 2m ? [ ? , ? ] )(3)已知 sin ? ? ( ? ? ? ? ) ,则 tan ? =____(答: ; , cos ? ? m?5 m?5 2 4 5 tan ? sin ? ? 3 cos ? 2 ? ?1 ,则 ? ) (4)已知 ; =____; sin ? ? sin ? cos? ? 2 = tan ? ? 1 sin ? ? cos ? 12 5 13 a ? ? _________(答: ? ; )(5)已知 sin 200 ? a ,则 tan160 等于 ; A、 ? 3 5 1? a2
B、

4

]?

a

1? a2 ? 则 f (sin 30 ) 的值为______(答:-1) 。 k 10.三角函数诱导公式( ? ? ? )的本质是:奇变偶不变(对 k 而言,指 k 取奇数或 2

C、?

1? a 2 a

D、

1? a 2 (答:B)(6)已知 f (cos x) ? cos3x , ; a

偶数) ,符号看象限(看原函数,同时可把 ? 看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的

2

三角函数值,其一般步骤: (1)负角变正角,再写成 2k ? + ? , 0 ? ? ? 2? ;(2)转化为锐角

9? 7? 2 3 ? tan(? ) ? sin 21? 的值为________(答: )(2) ; ? 4 6 2 3 4 ? 已 知 sin( 540 ? ? ) ? ? , 则 c o s ( ? 2 7 ? ) ? ______ , 若 ? 为 第 二 象 限 角 , 则 ? 0 5 4 3 [sin( ? ? ? ) ? cos(? ? 360? )]2 180 (答: ? ; ? ) ? ________。 ? 5 100 tan( 180 ? ? )
三角函数。如(1) cos 11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
令? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ??? sin 2? ? 2sin ? cos ? ?
令? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ??? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ?

                        2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ? ? tan ? ? tan ? 1+cos2?         cos 2 ?= ? 1 ? tan ? tan ? 2 1 ? cos2?                      2 ?= ? sin 2 2 tan ?     2? ? tan 1 ? tan 2 ? 1 ? 2 ? ? ? ? sin 2 如(1)下列各式中,值为 的是 A、sin15 cos 15 B、cos 2 12 12   ?? ? ? ? ? tan
tan 22.5? 1 ? cos 30? D、 (答:C)(2)命题 P: tan( A ? B ) ? 0 ,命题 ; 1 ? tan 2 22.5? 2 Q: tan A ? tan B ? 0 ,则 P 是 Q 的 A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要
C、 不 充 分 条 件 D 、 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 ( 答 : C );( 3 ) 已 知

s i n (? ? ?

) c? s ?o

??o s ( c ?

3 7 ? ,那么ncos2? 的值为____(答: ?) si ) (4) ; 5 25

1 3 0 0 的值是______(答:4) ;(5)已知 tan110 ? a ,求 tan 50 的值(用 a 表 ? ? ? sin10 sin 80 1 ? a2 a? 3 示)甲求得的结果是 ,乙求得的结果是 ,对甲、乙求得的结果的正确性你的 2a 1 ? 3a
判断是______(答:甲、乙都对) 12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首 先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第 二看函数名称之间的关系,通常“切化弦” ;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: (1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、 两角与其和差角的变换. 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ? ? ? 2 ?
已知 tan(? ? ? ) ?

? ??
2



???
2

? ??

?

?
2

? ?? ? ?
? 2 ?

等) ,如(1)

2 ? 1 ? 3 , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____(答: )(2) ; 5 4 4 4 22 ? ? 1 ? 2 sin( ? ? ) ? , c ? ) ? 的值 ( s ? 已知 0 ? ? ? ? ? ? ? , cos( ? ? ) ? ? , 且 求o (答: 2 2 9 2 3 490 3 )(3)已知 ? , ? 为锐角, sin ? ? x,cos ? ? y , cos(? ? ? ) ? ? ,则 y 与 x 的函 ; 5 729
3

3 4 3 1 ? x 2 ? x( ? x ? 1) ) 5 5 5 (2)三角函数名互化(切割化弦),如(1)求值 sin50? (1 ? 3 tan10? ) (答:1)(2) ; sin ? cos ? 2 1 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan( ? ? 2? ) 的值(答: ) 已知 1 ? cos 2? 3 8 (3)公式变形使用( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? 。如(1)已知 A、B
数关系为______(答: y ? ? 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos( A ? B =_____(答: ? ) 设 ?ABC 中,tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B ,sin Acos A ? 三角形(答:等边)

2 ) ;(2) 2

3 , 则此三角形是____ 4

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? 与升幂 2 2 3 2 2 公式: 1 ? cos 2? ? 2cos ? , 1 ? cos 2? ? 2sin ? )。如(1)若 ? ? ( ? , ? ) ,化简 2
(4)三角函数次数的降升(降幂公式: cos ? ?
2

? 1 1 1 1 ; ? ? cos 2? 为_____(答:sin )(2)函数 f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3cos 2 x 2 2 2 2 2 5 ? 5? ? 3( x ? R ) 的单调递增区间为___________(答: [ k? ? ,k? ? ]( k ? Z ) ) 2 12 12 (5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如(1) tan ? (cos ? ? sin ? ) ? 1 ? tan sin ? ? tan ? 1 ? sin ? 2; ? (答: sin ? )(2)求证: ; (3)化简: ? ? ? cot ? ? csc ? 2 1 ? 2sin 1 ? tan 2 2 1 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ? 2 (答: 1 cos 2 x ) ? ? 2 2 tan( ? x)sin 2 ( ? x) 4 4 2 2 2 2 (6)常值变换主要指“1”的变换( 1 ? sin x ? cos x ? sec x ? tan x ? tan x ? cot x 3 2 2 ? tan ? ? sin ? ?? 等) ,如已知 tan ? ? 2 ,求 sin ? ? sin ? cos ? ? 3cos ? (答: ). 4 2 5 sin x ? cos x、sin x cos x ”的内存联系――“知一求二” (7)正余弦“三兄妹— ,如(1) 2 t ?1 o 若 sin x ? cos x ? t , sn c s x ? 则i x __ (答:? ), 特别提醒: 这里 t ?[? 2, 2] ; 2 4? 7 (2)若 ? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 1 ,求 tan ? 的值。 (答: ? )(3)已知 ; 2 3 ? ? sin 2? ? 2sin 2 ? ? k ( ? ? ? ) ,试用 k 表示 sin ? ? cos ? 的值(答: 1 ? k ) 。 4 2 1 ? tan ?
13、辅助角公式中辅助角的确定: a sin x ? b cos x ? 在的象限由 a, b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? ?

a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? (其中 ? 角所

b 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 a

如 (1) 若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解, c 的取值范围是___________. 则 (答: [-2,2]) ;

4

(2)当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______(答: ?

( 答 : - 2) ; 4 ) 求 值 : ( f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ?) 是奇函数,则 tan ? = 3 1 ? ? 64 sin 2 20? ? ________(答:32) 2 2 sin 20? cos 20? 14、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数 y ? sin x 和余弦函数 y ? cos x 图象的作图 ? 3? , 2? 的五点,再用光滑的曲线把这五点连接 方法:五点法:先取横坐标分别为 0, , ? , 2 2 起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 15、正弦函数 y ? sin x( x ? R) 、余弦函数 y ? cos x( x ? R) 的性质: (1)定义域:都是 R。 (2)值域:都是 ??1,1? ,对 y ? sin x ,当 x ? 2k ? ?

3 ); (3)如果 2

?

x ? 2k ? ?

3? ?k ? Z ? 时, y 取最小值-1;对 y ? cos x ,当 x ? 2k? ? k ? Z ? 时, y 取最 2

2

?k ? Z ? 时, y 取最大值 1;当
?

大值 1,当 x ? 2k? ? ? ?k ?Z ? 时, y 取最小值-1。如(1)若函数 y ? a ? b sin(3 x ? 的最大值为

6

)

1 3 1 ,最小值为 ? ,则 a ? __, b ? _(答: a ? , b ? 1 或 b ? ?1 )(2)函数 ; 2 2 2

f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ? [ ?

? ?

则 y ? cos ? ? 6 sin ? 的最大值和最小值分别是____ 、_____(答:7;-5) (4)函数 ;

, ]) 的值域是____ (答: [-1, 2]) ; 若 2? ? ? ? ? , (3) 2 2

f ( x) ? 2 cos x sin(x ?
(答:2;k? ?

?
3

)?

2 3 sin x ? sin x cos x 的最小值是_____,此时 x =__________

?
12

(k ? Z ) )(5)己知 sin ? cos ? ? ;

1 ,求 t ? sin ? cos ? 的变化范围 (答: 2

1 [0, ] )(6)若 sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 2 cos? ,求 y ? sin 2 ? ? sin 2 ? 的最大、最小值(答: ; 2 。特别提醒:在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余 ymax ? 1 , ymin ? 2 2 ? 2 )
弦函数的有界性了吗?

5


三角函数【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】[1]

――概念方法题型、 ――概念方法题型易误点及应试技巧总结 概念三角函数角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图 1...

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(4)三角函数

(答:负)概念方法题型易误点及应试技巧总结(4) 第 1 页共 10 页 概念方法题型易误点及应试技巧总结( ) 及应试技巧总结 三角函数线的特征是: ...

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结4:三角函数 (2)

中小学 11 课外辅导专家 ――概念方法题型、易误点 ――概念方法题型易误点及应试技巧总结 概念四三角函数 角的概念的推广:平面内一条射线绕...

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(四)三角函数

――概念方法题型易误点及应试技巧总结四三角函数 1、 角的概念的推广: 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。 按逆时针方向...

三角函数【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】

――概念方法题型易误点及应试技巧总结三角函数 4、? 与 ? 的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若 ? 是第二象限角, 2 则 ? 2 是第_...

三角函数----概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

三角函数---概念方法题型易误点及应试技巧总结三角函数诱导公式( ? ? ?...两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式: (1)下列各式中,值为 A、 ...

高中数学概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(四)三角函数1

高中数学概念方法题型易误点及应试技巧总结(四)三角函数1 非常实用和高水平的复习资料非常实用和高水平的复习资料隐藏>> 四、三角函数角的概念的推广: 1、...

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结——三角函数

概念方法题型易误点及应试技巧总结四三角函数与恒等变形 1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆 时针方向...

课题:三角函数概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

课题:三角函数概念方法题型易误点及应试技巧总结_数学_高中教育_教育专区。...__, b ? _(1)若函数 ? ? x ? [? , ] 2 2 )的值域是___ (2)...