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等比数列练习题

时间:2015-11-20


等比数列练习题 1.公比为 2 的等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3 ? a11 =16 ,则 a6 = ( (A) 1 (B) 2 (C) 4 )

(D) 8

2.已知数列{an } 是首项为 a1 ,公差为 d (0 ? d ? 2? ) 的等差数列,若数列 {cos an } 是 等比数列,则其公比为( A. 1 B. ) C. ?1 D. ?1

2

3. 在各项均为正数的等比数列 ?bn ? 中, 若 b7 ? b8 等于( A.5 ) B. 6 C. 7

o g 3b o ? g 则l ? 3, 1 l
D.8

3 2

b ?? l o ? g

3 1 4

b

4.等比数列 ?an ? 中, a2 ? 9, a5 ? 243 , 则 ?an ? 的前 4 项和为( A. 81 B.120 C.168 D.192



5.若等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 满足 a1 ? b1 ? 1, a2 ? b2 ? 2 , 则 a5b5 ? ( A.5 B.16 C.80 6.若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,前 100 项和 S100=( 101 101 100 100 A.2 B.2 +2 C.2 -2 D.2 7.已知等比数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 ? 3 列的前 n 项和 Sn ? ( )
n A. 3 ? 1

)

D.160 )

n?1

,则由此数列的偶数项所组成的新数

B. 3(3n ? 1)

C.

9n ? 1 4

D.

3(9 n ? 1) 4

8.设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 0 .若 S2 ? 2a3 ,则 q 的取值范围 是( ) A.? ?1, 0 ? ? ? 0, ? B.? ? , 0 ? ? ? 0,1? C.? ??, ?1? ? ( , ??) D.? ??, ? ? ?1, ?? ?

? ?

1? 2?

? 1 ? 2

? ?

1 2

? ?

1? 2?

9 . 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 Sn ? 2an ? 3 n ( ?N

*

, 则 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 为 )

an ?

.

10 . 公 比 为 正 数 的 等 比 数 列 {an } 中 , a5 ? 2 , lg a1 ? lg a3 ? lg a5 ? lg a7 ? 0 , 则 ________________. a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a1 0 ? 11.在正项数列{an}中,a1=2,an+1=2an+3×5 ,则数列{an}的通项公式为________.
n

1

12.在公差不为 0 的等差数列 {an } 中, a3 ? a10 ? 15 ,且 a2 , a5 , a11 成等比数列. (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 1 1 1 ,证明: ? bn ? 1 . ? ??? 2 an an ?1 a2n ?1

13.设正项数列{an}的前 n 项和是 Sn,若{an}和{ Sn }都是等差数列,且公差相等. (1)求{an}的通项公式; (2)若 a1, a2,a5 恰为等比数列{bn}的前三项,记数列 cn= 列{cn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn.

1 ,数 log 3 4bn+1 ? log 3 4bn+2

14 . 已 知 数 列 {an } 的 各 项 均 为 正 数 , S n 是 数 列 {an } 的 前 n 项 和 , 且

4S n ? an ? 2an ? 3 .
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)已知bn ? 2 n , 求Tn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ?a n bn 的值.

2

2

15.等差数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2n ? 2an ? 1 ( n ? N * ) , S n 是数列 {an } 的前 n 项和. (1)求 an,Sn ; (2)设数列 {bn } 满足
b b1 b2 1 ? ? ? ? n ? 1 ? n ( n ? N* ) ,求 {bn } 的前 n 项和 Tn . a1 a2 an 2

16.已知数列{ an }的前 n 项和 S n ? ? an ? ( )

1 2

n ?1

? 2 (n 为正整数)。

(1)令 bn ? 2n an ,求证数列{ bn }是等差数列,并求数列{ an }的通项公式; (2)令 cn ?

n ?1 an , Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn ,求 Tn 并证明: Tn <3. n

3

{cos an }

参考答案 1. (B) 【解析】
2 试题分析:由等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3 ? a11 =16 .所以 a7 =16, ? a7 ? 4 .又公比

为 2 即 a6 ? 2 ? 4,? a6 ? 2 .故选(B) 考点:1.等比数列的性质.2.等比数列的通项公式. 2.B 【解析】 试题分析:因为数列
2 是等比数列,所以 cos (a1 ? d ) ? cos a1 ? cos(a1 ? 2d ),

cos2 (a1 ? d ) ? cos(a1 ? d ? d ) ? cos(a1 ? d ? d ) ? cos2 (a1 ? d )cos2 d ? sin 2 (a ? d )sin 2 d ,
q? cos(a1 ? d ) cos(a1 ? ? ) ? ? ?1. cos a1 cos a1

sin d ? 0,sin d ? 0, 因为 0 ? d ? 2? ,所以 d ? ? . 公比
2

考点:等比数列 3.C 【解析】

log3 b1 ? log3 b2 ? ? ? log3 b14 = log3 b1b2b3b4 ...b13b14 .又 b1b14 ? b2b13 ? .. ? b7 b8 , 试题分析:
所以

log3 b1 ? log3 b2 ? ? ? log3 b14 = log3 b1b2b3b4 ...b13b14 = log3 37 ? 7 .
考点:等比数列的性质,对数运算. 4.B 【解析】本题考查等比数列的通项公式和求和公式.

3(1 ? 34 ) ? 120. 故选 B 设公比为 q, 则 a5 ? a2q ,即243 ? 9q ,?q ? 3; 则 a1 ? 3, 所以 S ? 1? 3
3 3

5.C 【解析】 试题分析:因为 ?an ? 是等差数列, a1 ? 1, a2 ? 2 ,所以 an ? 1 ? ? n ?1? ?1 ? n , ?bn ? 是等 比数列, b1 ? 1, b2 ? 2 ,所以 bn ? 2
n ?1

,所以 a5b5 ? 5 ? 2 ? 80 .
4

考点:等差数列,等比数列. 6.C 2 2 【解析】∵a2+a4= a2(1+q )=20,a3(1+q )=40 ∴ ∴a2(1+4)=20 q=2 a2=4 a1=2 4

∴S100=2 -2 7.D 【解析】 试题分析:由等比数列的通项公式可得,公比为 3,又第二项为 6,则此数列的偶数项所组 成的新数列是以 9 为公比,以 6 为首项的等比数列,则前项和公式

101

6(1 ? 9 ) 3(9 ? 1) S Sn ? . ? (1 ? 9) 4
考点:等比数列的基本概念和前 n 项和公式. 8.B 【解析】试题分析:由 S2 ? 2a3 即 解得 x ? (? ,0) ? (0,1) . 考点:本题考查等比数列的前 n 项和公式. 9. an ? 3 ? 2 【解析】 试题分析: 当 n ? 1 时,Sn ? Sn?1 ? 2an ? 3 ? 2an?1 ? 3 ? an , 可得 an ? 2an?1 , 则数列 ?an ? 是以 2 为公比的等比数列,首项 a1 ? S1 ? 2a1 ? 3 ,得 a1 ? 3 ,所以 an ? 3 ? 2 考点:等比数列的概念与通项公式. 10. 2
10

n

n

a1 ?1 ? q 2 ? 1? q

? 2a1 q 2 ,又 a1 ? 0 ,可化为 2q2 ? q ? 1 ? 0 ,

1 2

n?1

n?1

.

【解析】
4 试题分析: 公比为正数的等比数列中, lg a1 ? lg a3 ? lg a5 ? lg a7 ? lg a1a3 a5 a7 ? lg a4 ?0 5 a4 ? 1 ,又 a5 ? 2 ,则 a6 ? 22 , a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ?? a6 ? 210 .

,

所以

考点:等比数列的性质:当 m+n=p ? q(m, n, p, q ? N ) 时有 am ? an ? a p ? aq . 11.an=5 -3×2
n n-1

?

【解析】在递推公式 a

n+1

=2an+3×5 的两边同时除以 5

n

n+1

,得

an+1 2 an 3 = ? + ,① 5n+1 5 5n 5



2 3 2 an =bn,则①式变为 bn+1= bn+ ,即 bn+1-1= (bn-1),所以数列{bn-1}是等比 5 5 5 5n a1 3 2 ? 3 ? ? 2 ? n-1 -1=- ,公比为 所以 bn-1= ? ? × ? ? ,即 bn=1- 5 5 5 ?5? ? 5?

数列,其首项为 b1-1=

5

3 ? 2 ? n-1 an n n-1 × ? = ,故 an=5 -3×2 . 5 ? 5 5 ? ? n
12. (1)an=n+1; (2)证明过程详见解析. 试题解析: (1)设等差数列{an}的公差为 d.由已知得

a1 ? 2d ? a1 ? 9d ? 15 ? , ? 2 ?(a1 ? 4d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 10d )
注意到 d≠0,解得 a1=2,d=1. 所以 an=n+1. 4分 (2)由(1)可知

1 1 1 1 1 1 + ?? ? + ?? ? , bn ?1 ? , n+2 n ? 3 2n ? 2 n+1 n ? 2 2n 1 1 1 + ? 因为 bn ?1 ? bn ? , 2n +1 2n ? 2 n ? 1

bn ?

所以数列{bn}单调递增.

8分

1 . 9分 2 1 1 1 1 1 1 n ? ?? ? ? ? ??? ? ?1, 又 bn ? n ?1 n ? 2 2n n ? 1 n ? 1 n ?1 n ?1 1 因此 ? bn ? 1 . 12 分 2 bn ? b1 ?
考点:等差数列的通项公式、等比中项、放缩法、数列的单调性. 13. (1)

2n ? 1 n (2) 4 n+1

【解析】(1)设{an}的公差为 d,则 Sn=na1+

n(n ? 1)d d 2 ? d? ,即 Sn = n +? a1- ? n , 2 2 2? ?

d ? a1- =0 ? 2 d 1 ? 由 Sn 是等差数列得到: ? ,则 d= 且 d=2a1>0,所以 d= , 2 2 ?S = d ? n n ? 2 ?
d 1 1 1 2n ? 1 = ,an= +(n-1)· = . 2 4 4 2 4 1 3 9 (2)由 b1=a1= ,b2=a2= ,b3=a5= ,得等比数列{bn}的公比 q=3, 4 4 4 1 n-1 所以 bn= ×3 , 4
所以 a1= 所以 cn=

1 1 1 1 = - = , n ?1 n(n+1) n n+1 log3 3 ? log3 3
n

Tn=1- + - +?+ -

1 2

1 2

1 3

1 n

1 1 n =1- = . n+1 n+1 n+1
6

14. (1) an ? 2n ? 1. (2) Tn ? (2n ?1)2n?1 ? 2 。 试题解析: (1)当 n = 1 时, a1 ? s1 ? a12 ? a1 ? , 解出 a1 = 3, (a1 = 0 舍) 又 4Sn = an2 + 2an-3 当n?2时 ①-② ① ②

1 4

1 2

3 4

1分

2 4sn-1 = a n ?1 + 2an-1-3

2 2 2 2 4an ? an ? an ?1 ? 2(an ? an ?1 ) , 即 an ? an?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 0 ,

∴ (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 , , ? an ? an?1 ? 0 ? an ? an?1 ? 2 ( n ? 2 )

4分

? 数列 {an } 是以 3 为首项,2 为公差的等差数列, ? an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1.
(2) Tn ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n 又 2Tn ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? (2n ? 1) ? 2n ? (2n ? 1)2n?1 6分 ③ ④

④-③ Tn ? ?3 ? 21 ? 2(2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ) ? (2n ? 1)2 n?1

? ?6 ? 8 ? 2 ? 2 n?1 ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ? (2n ? 1)2 n?1 ? 2
12 分

考点:等差数列及其求和,等比数列的求和, “错位相减法”. 15. (1) an ? 2n ? 1 , Sn ? n2 ; (2) Tn ? 3 ?
2n ? 3 . 2n

试题解析: (1)设 {an } 的公差为 d .由 a2n ? 2an ? 1 知,
a1 ? (2n ? 1)d ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? 1 ? d ? a1 ? 1 ? 2 ,

2分

∴ an ? 2n ? 1 , Sn ? n2 ; (2)由

4分 5分

b b1 b2 b 1 1 1 ? ? ? ? n ? 1 ? n ,可知 1 ? 1 ? ,∴ b1 ? , a1 a2 an 2 2 a1 2

b 1 ? b1 b2 ? ??? n ?1? n , ? b 1 1 1 ?1 3 2n ? 1 2 ? n ? 1 ? n ? (1 ? n ?1 ) ? n , 当 n ? 2 时, ? 2n ? 1 2 2 2 ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? 1 ? 1 n ?1 ?1 3 2n ? 3 2 ?

当 n ? 1 时,也符合 a1 ?

1 1 2n ? 1 ? 1 ,综上, bn ? n ( n ? N * ) , 2 2 2
7

8分

1 3 2n ? 3 2n ? 1 ? Tn ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n , ? 1 1 2 2 2 2n ? 1 ? 2 2 2 2 ∴? ? Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 ? 1 T ? 1 ? 3 ? ? ? 2n ? 3 ? 2n ? 1 n 2 3 n n ?1 ? ?2 2 2 2 2

12 分

1 1 ? n ?1 1 1 2n ? 1 2 ? 2 n ? 1 ? 3 ? 1 ? 2 n ? 1 ? 3 ? 2n ? 3 , ? Tn ? 1 ? 1 ? ? ? ? n ? 2 ? n ? 1 ? 1 2 2 2 2n 2n ? 2 2n 2n 1? 2
即 Tn ? 3 ?
2n ? 3 . 2n

13 分

考点:1.等差数列的通项公式及其前 n 项和;2.数列的通项公式与错位相减法求数列的和.

16. (1)

an ?

n , 2 n (2)详见解析.

1 1 Sn ? ?an ? ( ) n ?1 ? 2 a1 ? S ? ? a ? 1 ? 2 ? a 2 2 n 1 ,即 试题解析: (1)在 中,令 n=1,可得 1
1

1 1 Sn ?1 ? ?an ?1 ? ( ) n ? 2 ? 2, ? an ? Sn ? Sn ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) n ?1 2 2 当 n ? 2 时, ,

4 5

?bn ? 2n an ,?bn ? bn?1 ?1,即当n ? 2时,bn ? bn?1 ? 1


6 7

b1 ? 2a1 ? 1,?数列 ?bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列
bn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 2n an ,? an ? n 2n

于是

9

(2)由(1)得

cn ?

n ?1 1 an ? (n ? 1)( ) n n 2 ,所以

10

由①-②得

8

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n 2
? n?3 ?0 2n
所以

Tn ? 3

14

考点:等差数列定义,错位相减法求和

9


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