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长春二中高一作业5


长春二中高一年级假期作业(数学)
专题五
一、选择题 1.函数 f ( x) ? lg x ? A.0 B.1

1 的零点个数为 x
C.2 D.3 )

2.函数 f ( x) ? ln x ? A. (1, 2)

2 的零点所在的大致区间是( x
C. (e,3) D. (

3, ??)

B. (2, e)

2 3.不等式 ax 2 ? x ? c ? 0 的解集为 x ?2 ? x ? 1 ,则函数 y ? ax ? x ? c 的零点为

?

?

A. ? ?1,0? 和 ? 2, 0 ?

B. ? ?1,0?

C. ? 2, 0 ?

D. ?1 和 2

4.设 f ( x) ? 1 ? ( x ? a)( x ? b) (a ? b), m, n 为 y ? f ( x) 的两个零点,且 m ? n ,则 a, b, m, n 的大小关 系是 A、 a ? m ? n ? b B、 m ? a ? b ? n C、 a ? b ? m ? n D、 m ? n ? a ? b

5. 已知函数 f (x)在区间[a, b]上单调, 且 f (a) ? f (b) ? 0 , 则函数 f ( x) 的图象与 x 轴在区间[a, b] 内( ) A.至多有一个交点 B.必有唯一个交点 C.至少有一个交点 D.没有交点

6.方程 A. (0,1)

ln ? x ? 1? ?

2 ? 0, ? x ? 0 ? x 的根存在的大致区间是(
B. (1,2) C. ( 2, e)

) D. (3,4) )

2 7. y ? x ? 2 x ? 3 与 y ? k 有 4 个不同的交点,则 k 的范围(

A、 (-4,0)

B、[0,4]

C、[0,4)

D、 (0,4)
2

8.已知函数 y ? f ( x ) 的周期为 2,当 x ?[?1,1] 时 f ( x) ? x ,那么函数 y ? f ( x ) 的图象与函数

y ?| lg x | 的图象的交点共有( )
A.10 个 9.函数 f ( x) ? B.9 个 C.8 个 D.1 个 )

5 ?? sin ? 2 ?2

? x ? ? log 2 x 的零点个数为( ?
(C)3 (D)4

(A)1

(B)2

教师寄语:愿你像颗种子,勇敢地冲破泥沙,将嫩绿的幼芽伸出地面,指向天空

1

10.设函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? bx ? c x ? 0 ,若 f (?4) ? f (0) , f (?2) ? ?2 ,则关于 x 的方程 f ( x) ? x 的 x ? 0 2 ?

解的个数为( (A)1 二、选择题

) (C)3 (D)4

(B)2

11.若一次函数 f ( x) ? ax ? b 有一个零点 2,那么函数 g ( x) ? bx2 ? ax 的零点是 12.已知函数 f (x) ? ?

.

? x ? 2, x ? 0
2 ?? x ? bx ? c, x ? 0

满足 f(0)=1,且有 f(0)+2f(-1)=0,那么函数 g(x)

=f(x)+x 的零点有___个. 13.已知关于 x 的方程 x ? x ? k 有两个不同的实数根,则实数 k 的取值范围是
|1? x| ? m 的图像与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是_______. 14.若函数 y ? ( )

.

1 2

三、简答题 15.已知函数 f ( x) ? 2a ? 4 ? 2 ?1.
x x

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在 x ? [?3,0] 的值域; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? 0 有解,求 a 的取值范围

16. 已知二次函数 y ? f ( x) ,当 x ? 2 时函数取最小值 ?1 ,且 f (1) ? f ? 4? ? 3 . (1) 求 f ( x) 的解析式; (2) 若 g ( x) ? f ( x) ? kx 在区间 [1, 4] 上不单调,求实数 k 的取值范围。

教师寄语: 黎明即起, 孜孜为善。

2

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参考答案 1.B 【解析】 试题分析:由题意函数的定义域为 (0,??) ,且函数 f ( x) ? lg x ?

1 在 (0,??) 单调递增,又 x

f (1) ? ?1 ? 0 , f (10) ?

9 ? 0 ,所以由零点存在性定理及函数单调递增,存在唯一 10

x0 ? (1,10) ,使得 f ( x0 ) ? 0
考点:函数的零点 2.B 【解析】 试 题 分 析 : ∵

f (1) ? ln1 ?

2 ? ?2 ? 0 , 1

f (2) ? ln 2 ?

2 ? ln 2 ? 1 ? 0 , 2

f (e) ? lne?

2 2 ? 1? ? 0 , e e 2 的零点所在的大致区间是 ( 2, e) x

∴ f (2) ? f (e) ? 0 ,∴函数 f ( x) ? ln x ?

考点:零点的存在性定理. 3.D. 【解析】
2 试 题 分 析 : 因 为 不 等 式 ax ? x ? c ? 0 的 解 集 为 x ?2 ? x ? 1 , 所 以 ? 2,1 是

?

?

ax2 ? x ? c ? 0 的两根,



?1 ? ?1 ? ?a ? ? ? c ? ?2 ? ? a







?a ? ?1 ? ?c ? ?2





y?

2

a

? x

可 ? x

化c 为

y ? ? x 2 ? x ? 2 ? ?( x 2 ? x ? 2) ? ?( x ? 2)(x ? 1) ,
所以函数 y ? ax ? x ? c 的零点为 ?1 和 2.
2

考点:三个二次的关系、函数的零点.
答案第 1 页,总 7 页

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4.B 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 函 数 f ( x) ? 1 ? ( x ? a)( x ? b) 的图象抛物线开口向下,且

f ? a ? ? f ?b? ? 1 ? 0

所 以 在 区 间 ? a, b ?

, f ? x? ? 0 恒 成 立 , 所 以 函 数

f ( x) ? 1 ? ( x ? a)( x ? b) 的两个零点在区间 ? a, b? 的两侧,即有 m ? a ? b ? n ,故选 B.
考点:方程的根与函数的零点. 5.B 【解析】

f(b)<0 ,得出 f(a)>0,f(b)<0;或者 f(a)<0,f(b)>0, 试题分析: 根据条件 f(a)
结合函数的单调性,从而得出结论.

f(a)f(b)<0 ,

? f(a)与 f(b)异号,即:f(a)>0,f(b)<0;
或者 f(a)<0,f(b)>0,显然,在[a,b]内,必有一点,使得 f(x)=0. 又 f(x)在区间[a,b]上单调,所以,这样的点只有一个 故选:B. 考点:函数的零点与方程根的关系 6.B 【解析】

f x) ? ln (x ? 1 ) ? (x>0)在其定义域(0,+∞)上是增函数,f(1) 试题分析:由于函数 ( f x) ? ln (x ? 1 ) ? =ln2-2<0,f(2)=ln3-1>0,∴f(1)?f(2)<0,故函数 ( 2 (x>0) x

2 x

(1, 2) 的零点所在的大致区间是 ,故选 B.
考点:函数零点的判定定理. 7.D 【解析】
2 试题分析:由题意可得:函数 y ? x ? 2 x ? 3 的图像为:

答案第 2 页,总 7 页

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2 所以要使 y ? x ? 2 x ? 3 与 y ? k 有 4 个不同的交点则应满足 0 ? k ? 4 .

考点:函数图像的应用. 8.A. 【解析】 试题分析:∵ y ? f ( x ) 的 周 期 为 2 , ∴ y ? f ( x ) 在 区 间 [ 0, 10] 上有 5 次周期性变化, 画出两个函数的 草 图 , 可 得 两 图 象 的 交 点 一 共 有 10 个 .

考点:1.对数函数的图象和性质;2.数形结合的数学思想. 9.C 【解析】 试题分析:函 数 f ( x ) ? 即函数 y ? 如图所示:

5 ?? sin ? 2 ?2

? x ? ? lo2g x 的零点个数, ?

5 ?x s i n( ) 的 图 象 与 函 数 y=log 2 x 的 图 象 交 点 的 个 数 . 2 2

答案第 3 页,总 7 页

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由于函数 y ?

5 ?x s i n( ) 的 图 象 与 函 数 y=log 2 x 的 图 象 的 交 点 的 个 数 为 3 ,故 选 :C . 2 2

考点:函 数 的 零 点 与 方 程 的 根 的 关 系 . 10. 【解析】

4) ? f(0),f(﹣ 2) ?﹣ 2 得关于 b 和 c 的两个方程,求出 b、c,再分 试题分析:由 f(﹣ x ? 0 和 x>0 两段,分别解方程 f(x)=x 即可.
2 ? ? x 2 ? 4 x ? 2, x ? 0 ? ? ?4 ? ? b ? (?4) ? c ? c 由题 ? ,解得 b=4 , c=2 故 , f x ? ? ? ? 2 2, x ? 0 ? 2 ? b ? ( ? 2) ? c ? ? 2 ? ? ?? ?
2 当 x ? 0 时,由 f(x)=x 得 x ? 4x ? 2 ? x ,

解得 x=﹣1,或 x=﹣2,即 x ? 0 时,方程 f(x)=x 有两个解. 又当 x>0 时,有 x=2 适合,故方程 f(x)=x 有三个解. 考点:分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的图象 11. 0 和 ? 【解析】 试题分析:因为一次函数 f ( x) ? ax ? b 有一个零点 2 ,所以 2a ? b ? 0 ( a ? 0 ) ,即

1 2

1 1 b ? ?2a ,所以 g ( x) ? bx2 ? ax ? ?2 ax( x ? ) ,由 g ( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? ? ,故答案 2 2 1 为0 和? . 2
考点:函数 y ? f ( x) 的零点与方程 f ( x) ? 0 的根的关系. 12.2
答案第 4 页,总 7 页

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【解析】 试题分析:由 f(0)=1,且有 f(0)+2f(-1)=0,得 c=1,b=

1 2

当 x>0 时,有一个零点 x=2 当 x≤0 时,f(x)是开口向下的抛物线,且与 y 轴交于(0,1)点,故在 x 轴的负半轴有 且只有一个零点. 考点:分段函数,函数的零点 13. 0 ? k ? 【解析】 试题分析:首先利用换元法令 t ?

1 . 4

x (t ? 0) ,则问题“方程 x ? x ? k 有两个不同的实数

根” 转化为 “方程 t 2 ? t ? k ? 0 有两个不同的正实数根” , 然后根据二次函数的根的分布知, 应满足条件: ? ? 1 ? 4k ? 0 且 t1t 2 ? k ? 0 ,解之得: 0 ? k ? 考点:一元二次方程的根的判断. 14. [?1,0) . 【解析】
|1? x| ? m 的图像与 x 轴有交点 ? 方程 ( )|1? x| ? m ? 0 有解, 试题分析:由题意得: y ? ( ) |1? x| ∴ m ? ?( ) , |1? x| ? 1 ,∴ m 的取值范围是 [?1,0) . ∵ | 1 ? x |? 0 ,∴ 0 ? ( )

1 .即为所求. 4

1 2

1 2

1 2

1 2

考点:1.函数零点的概念;2.指数函数的性质. 15. (1) [ ? 【解析】
x 2 x 试 题 分 析 :( 1 ) 当 a ? 1 时 , 函 数 f ( x) ? 2(2 ) ? 2 ? 1 采 用 换 元 法 得 ,

9 ,0] ;(2) a ? 0 . 8

1 9 y ? 2t 2 ? t ? 1 ? 2(t ? ) 2 ? , 由 x ? [?3,0] ,确定 t 的范围,进而确定其值域. (2)关于 4 8

x 的方程 2a(2 x ) 2 ? 2 x ? 1 ? 0 有解,等价于方程 2ax2 ? x ? 1 ? 0 在 (0,??) 上有解,再分

答案第 5 页,总 7 页

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别讨论 a ? 0 、 a ? 0 、 a ? 0 的情况. 试题解析: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 2 ? 4 x ? 2 x ? 1 ? 2(2 x ) 2 ? 2 x ? 1, 令 t ? 2 x , x ? [?3,0] ,则 t ? [ ,1] ,
2 2 故 y ? 2t ? t ? 1 ? 2(t ? ) ?

1 8

1 4

9 1 , t ? [ ,1] , 8 8

故值域为 [ ?

9 ,0 ] . 8

(2)关于 x 的方程 2a(2 x ) 2 ? 2 x ? 1 ? 0 有解,等价于方程 2ax2 ? x ? 1 ? 0 在 (0,??) 上有 解 记 g ( x) ? 2ax2 ? x ? 1 当 a ? 0 时,解为 x ? ?1 ? 0 ,不成立;

1 ? 0 ,过点 (0,?1) ,不成立; 4a 1 ? 0 ,过点 (0,?1) ,必有一个根为正, 当 a ? 0 时,开口向上,对称轴 x ? 4a
当 a ? 0 时,开口向下,对称轴 x ? 所以, a ? 0 . 考点:1、函数的定义域、值域;2、换元法. 16. (1) f ? x ? ? x ? 4x ? 3 ; (2) ?2 ? k ? 4 .
2

【解析】 试题分析: 解题思路: ( 1 )根据题意,设出二次函数的顶点式方程 f ( x) ? a ? x ? 2 ? ? 1 ,再利用
2

f (1) ? f ? 4? ? 3 求 a 值;
(2)利用二次函数的对称轴与区间 [1, 4] 的关系进行求解. 规律总结:已知函数类型(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函 数、三角函数等) ,求解析式一般利用待定系数法,特别要注意的是二次函数的解析式的三 种形式(一般式、顶点式、两根式) ,要根据题意合理选择. 试题解析: (1) 由条件, 设 f ( x) ? a ? x ? 2 ? ? 1 ;
2

又 f (1) ? f ? 4? ? 3 , 则 a ? 1
答案第 6 页,总 7 页

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所以 f ? x ? ? x ? 4x ? 3
2

(2)当 x ? [1, 4] 时,由题意, g ( x) ? x2 ? (k ? 4) x ? 3 ,因其在区间 [1, 4] 上不单调, 则有 1 ?

k?4 ? 4 ,解得 ?2 ? k ? 4 . 2

考点:1.二次函数的解析式;2.二次函数的单调性.

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