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【黄金考卷】2016年高考模拟最后一卷---文科数学(全国卷)

时间:2016-05-25


2016 高考模拟最后一卷---文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 考生作答时, 将答案答在答题卡 上,在本试卷上答题无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上 的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 目涂黑。

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在 每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.若(a ? 2i )i A.0 2.已知 a ? 0.5
? 1 3

2013

? b ? i ,其中 a, b ? R ,i 是虚数单位,则 a 2 ? b 2 等于(
B.2 C.



5 2

D.5

,b ? ( )

3 5

?

1 3

, c ? log 2.5 1.5 ,则 a, b, c 的大小关系( C. a ? b ? c



A. c ? a ? b

B. c ? b ? a

D. b ? a ? c

3.已知命题 p :“ ?x ? R, x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? 1 ? 0 ”; 命题 q :函数 y ? x 是幂函数,则下列命题为真命题的是( A. p ? q 4.若数列 {a n } 满足 a1 ? B. p ? q C. ?q
?3

) D. p ? ? ?q ? ) ,则 a2013 等于( )

1 1 , an ? 1 ? (n ? 2 , 2 a n ?1 1 2
C.1 D.2

A.-1

B.

5.已知平面向量 a ? (2m ? 1,3), b ? ? 2, m ? ,且 a 与 b 反向,则 b 等于(

?

?

?

?

?



1

A.

10 2 7

B.

5 或2 2 2 1 , 2

C.

5 2

D. 2 2

6.阅读右面的程序框图,若输出的 y ? 则输入的 x 的值可能为( A. ?1 C. 1 B. 0 D. 5 )

开 始

输入整数x

x?2




y ? sin(

? x) 6
y

y ? 2x

输出

结束 束束 束 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )
2

A. 8 ? 2 2

B. 11 ? 2 2

C. 14 ? 2 2

D. 15
1

1

1

正视图

侧视图

俯视图

8.已知圆 C 方程为 ? x ? 1? ? y 2 ? r 2 ? r ? 0 ? ,若 p :1 ≤ r ≤ 3 ; q :圆 C 上至多有 3 个点到
2

直线 x ? 3 y +3 ? 0 的距离为 1,则 p 是 q 的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件
3



B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

9.已知函数 f ? x ? ? x ? 3 x ,若 ?ABC 中,角 C 是钝角,那么( ) A. f ? sin A ? ? f ? cos B ? C. f ? sin A ? ? f ? sin B ? B. f ? sin A ? ? f ? cos B ? D. f ? sin A ? ? f ? sin B ? (小于)

10.已知三棱锥 P ? ABC ,在底面 ?ABC 中, ?A ? 600 , BC ?

3 , PA ? 面ABC ,

PA ? 2 3 ,则此三棱锥的外接球的表面积为(



2

A.

16 ? 3

B. 4 3?

C.

32? 3

D. 16?

11. 设函数 f ? x ? 在 R 上可导,其导函数为 f ? ? x ? ,且函数 f ? x ? 在 x ? ?2 处取得极小值, 则函数 y ? xf ? ? x ? 的图象可能是( )

(A)

(B)

(C)

(D)

12.已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b e x , 当 b ? 1 时, 函数 f ( x) 在 ? ??, ?2 ? ,?1, +? ? 上均为增函数, 则
a?b 的取值范围是( a?2

?

?


2? ? C. ? ??, ? 3? ? ? 2 ? D. ? ? , 2 ? ? 3 ?

2? ? A. ? ?2, ? 3? ?

? 1 ? B. ? ? , 2 ? ? 3 ?

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分
13. 函数

f ( x) ? log a ( x ? 2) 必过定点



14 设等比数列 ?a n ? 的公比为 q ,若 S n , S n ?1 , S n ?1 成等差数列,则

a5 ? a7 等于 a3 ? a5

?x ? y ? 1 ? 若z ? kx ? y 的最大值为 5,且 k 为负整数,则 15.已知变量 x, y 满足约束条件 ? y ? 3, ? x ? y ? 1, ?
k=____________.

?? 1 ? x ?? ? ,0 ? x ? 2 16.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? ?? 2 ? , ?log x, x ? 2 ? 16
若y? f
2

?x ? ? af ?x ? ? a ? 1 的零点个数为 7,则实数 a 的取值范围

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字 说明,证明过程或演算步骤.

3

17 .( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为

a, b, c, f ? x ? ? 2sin ? x ? A ? cos x ? sin ? B ? C ? ? x ? R ?
?? ? ? , 0 ? 对称. ?6 ?
(I)当 x ? ? 0,

,函数

f ? x?

的图象关于点

? ?

??

? 时,求 f ? x ? 的值域; 2?

(II)若 a ? 7 且 sin B ? sin C ?

13 3 ,求△ ABC 的面积. 14

18. (本小题满分 12 分) 十八届五中全会公报指出:努力促进人口均衡发展,坚持计划生育的基本国策,完善人 口发展战略,全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策,提高生殖健康、妇幼保健、托幼等 公共服务水平.为了解适龄公务员对放开生育二胎政策的态度,某部门随机调查了 200 位 30 到 40 岁的公务员,得到情况如下表: 男公务员 生二胎 不生二胎 80 40 女公务员 40 40

(1)是否有 99%以上的把握认为“生二胎与性别有关”,并说明理由; (2)把以上频率当概率,若从社会上随机抽取甲、乙、丙 3 位 30 到 40 岁的男公务员,求这 三人中至少有一人要生二胎的概率.

n(ad ? bc) 2 附: k ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

19. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , ?ABC 是正三角形, AC 与 BD 的交点 又 PA ? AB ? 4 ,?CDA ? 120? , 点 N 在线段 PB 上, 且 PN ? 2 . M 恰好是 AC 中点, (Ⅰ)求证: MN // 平面 PDC ; (Ⅱ)求点 C 到平面 PBD 的距离.
4

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ln x ( a ? R ).
2

(Ⅰ)若 f ( x) 在区间 ?1,

2? 上是单调函数,求实数 a 的取值范围;

(Ⅱ)函数 g ( x) ? (1 ? a ) x ,若 ?x0 ? [1, e] 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取值范围.

x2 y2 21. (本题满分 12 分) 如图,椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的上、下顶点分别为 A、B,已知点 B a b 在直线 l:y=-1 上,且椭圆的离心率 e= (1)求椭圆的标准方程; (2)设 P 是椭圆上异于 A、B 的任意一点,PQ⊥y 轴, Q 为垂足,M 为线段 PQ 的中 3 . 2

点,直线 AM 交直线 l 于点 C,N 为线段 BC 的中点,求证:OM⊥MN.

选做题:考生在第 22、23、24 题中任选一道作答,并用 2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑,按所 涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分 .

5

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AF 是圆 E 切线, F 是切点, 割线 ABC BM 是圆 E 的直径,

EF 交 AC 于 D , AB ?

1 AC , ?EBC ? 30 0 , MC ? 2 . 3

(1)求线段 AF 的长; (2)求证: AD ? 3ED .

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程
在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系 .已知曲线

? x ? 4 ? cos t , ? x ? 6 cos ? , ( t 为参数), C2 : ? ( ? 为参数). C1 : ? ? y ? ?3 ? sin t , ? y ? 2sin ? ,
(Ⅰ)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ? ? 线 C3 : ? cos ? ? 3? sin ? ? 8 ? 2 3

?
2

,Q 为 C2 上的动点,求线段 PQ 的中点 M 到直

距离的最小值.

24. (本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 m ? | x ? 2 | ? 1 ,其解集为 [0, 4] . (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a , b 均为正实数,且满足 a ? b ? m ,求 a 2 ? b 2 的最小值.

6

文科数学试题参考答案
一、 选择题:
题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 D 5 D 6 C 7 B 8 A 9 A 10 D 11 C 12 A

18. (本小题满分 12 分)

7

.解: (1)由于 k ?
2

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
200 ? (80 ? 40 ? 40 ? 40) 2 50 <6.635, ?????? ? 120 ? 80 ?120 ? 80 9
4分

=

故没有 99%以上的把握认为“生二胎与性别有关”. (2)题意可得,一名男公务员要生二胎的概率为

?????? 6 分

80 2 = , 120 3 40 1 一名男公务员不生二胎的概率为 = , 120 3 1 1 1 26 ? 3 3 3 27

?????? 8 分

记事件 A:这三人中至少有一人要生二胎 则 P ( A) ? 1 ? P ( A) ? 1 ? ? ? 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 在 ?ACD 中,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC , 所以 AD ? CD , ?CDA ? 120? ,所以 DM ? 所以 BM : MD ? 3 : 1 在等腰直角三角形 PAB 中, PA ? AB ? 4, PB ? 4 2 , 所以 BN : NP ? 3 : 1 , BN : NP ? BM : MD , 所以 MN // PD . 又 MN ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC ,所以 MN // 平面 PDC …………6 分 .………………5 分

?????? 12 分

2 3 , 3
.………………3 分

(2)方法一: VC ? PBD ? V P ? BCD

.………………8 分

1 1 4 32 3 VP ? BCD ? ? ? 4 ? ?4 ? 3 2 9 3
∴ S ?PBD ?

………………10 分

1 64 80 8 5 ?4 2? ?8 ? 2 ? 2 3 3 3

8

h?

4 5 5

.………………12 分

方法二:C 到平面 PBD 距离等于 A 到 PBD 距离,即 A 到 PM 距离 d, ∴d ?

4? 2 4 ?2
2 2

?

4 5 5

20. (本小题满分 12 分) 解:⑴ f ' ( x) ?

(2 x ? 1)( x ? a ) x

?????? 2 分

' 当导函数 f ( x) 的零点 x ? a 落在区间 (1, 2) 内时,

函数 f ( x) 在区间 ?1,

2? 上就不是单调函数,

所以实数 a 的取值范围是: a ? 1, 或a ? 2 ; (也可以转化为恒成立问题。酌情给分。 )

?????? 6 分

(还可以对方程 (2 x ? 1)( x ? a ) ? 0 的两根讨论,求得答案。酌情给分) ⑵ 由题意知,不等式 f ( x) ? g ( x) 在区间 [1, e] 上有解, 即 x ? 2 x ? a (ln x ? x) ? 0 在区间 [1, e] 上有解.
2

?????? 7 分

当 x ? [1, e] 时, ln x ? 1 ? x (不同时取等号) ,? ln x ? x ? 0 ,

?

a?

x 2 ? 2x 在区间 [1, e] 上有解. x ? ln x
,则 h ' ( x) ?

?????? 8 分 ?????? 9 分



x 2 ? 2x h( x ) ? x ? ln x

( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) ( x ? ln x) 2

? x ? [1, e]

? x ? 2 ? 2 ? 2 ln x

? h ' ( x) ? 0

h( x) 单调递增,

? x ? [1, e] 时, h( x) max ? h(e) ?

? a?

e(e ? 2) e ?1

e(e ? 2) e ?1

?????? 11 分
e(e ? 2) ] …………12 分 e ?1

所以实数 a 的取值范围是 ( ? ? ,
2

(也可以构造函数 F ( x) ? x ? 2 x ? a (ln x ? x) ,分类讨论。酌情给分)
9

21.(本小题满分 12 分) 解:(1)依题意,得 b=1. c 3 ∵e= = ,a2-c2=b2=1,∴a2=4. a 2 x2 ∴椭圆的标准方程为 +y2=1. 4 x2 0 2 (2)证明:设 P(x0,y0),x0≠0,则 Q(0,y0),且 +y0 =1. 4 x0 ∵M 为线段 PQ 中点,∴M( ,y0). 2 2?y0-1? 又 A(0,1),∴直线 AM 的方程为 y= x+1. x0 x0 ∵x0≠0,∴y0≠1,令 y=-1,得 C( ,-1). 1-y0 又 B(0,-1),N 为线段 BC 的中点, x0 ∴N( ,-1). 2? 1 -y0? x0 x0 x0 → → → x0 x0 ∴NM=( - ,y +1).∴OM· NM= ( - )+y0· (y0+1) 2 2? 1 2 2 2? 1 -y0? 0 -y0?
2 2 x0 x2 x0 x2 0 0 2 = - +y0 +y0=( +y2 +y =1-(1+y0)+y0=0, 0)- 4 4? 1 4 -y0? 4? 1 -y0? 0

∴OM⊥MN. 选做题 22.(本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)因为 BM 是圆 E 直径
B A

所以, ?BCM ? 90 0 ,又 MC ? 2 , ?EBC ? 30 0 , 所以 BC ? 2 3 ,…………………………………2 分
E D H F

1 1 又 AB ? AC , 可 知 AB ? BC ? 3 , 所 以 3 2

M C

AC ? 3 3
根据切割线定理得: AF ? AB ? AC ?
2

3 ?3 3 ? 9,
… …………………………………5 分

即 AF ? 3 (Ⅱ)过 E 作 EH ? BC 于 H , 则 ?EDH~?ADF , 从而有

ED EH ,………………………………………8 分 ? AD AF

10

又由题意知 CH ? 因此

1 BC ? 3, EB ? 2 所以 EH ? 1 , 2
…………………………………10 分

ED 1 ? ,即 AD ? 3ED AD 3

23.解:(Ⅰ) C1 : ( x ? 4) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1, ,

C2 :

x2 y 2 ? ?1 36 4

C1 为圆心是 (4, ?3) ,半径是 1 的圆.

………………………………………3 分

C2 为中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 6 ,短半轴长是 2 的椭圆.
(Ⅱ)当 t ?

?
2

时, P (4, ?4) ,………………………………………………………5 分 则 M (2 ? 3cos ? , ?2 ? sin ? ) ,

设 Q (6 cos ? , 2sin ? )

C3 为直线 x ? 3 y ? (8 ? 2 3) ? 0 ,……………………………………7 分
M 到 C3 的距离 d ?

(2 ? 3cos ? ) ? 3( ?2 ? sin ? ) ? (8 ? 2 3) 2
2 3 cos(? ? ? 2

?

3cos ? ? 3 sin ? ? 6 2

?
6

)? 6
? 3 ? 3 cos(? ?

?
6

)

从而当 cos(? ?

?
6

) ? 1, 时, d 取得最小值 3 ? 3

………………………………10 分

24.解: (Ⅰ)不等式 m ? | x ? 2 | ? 1 可化为 | x ? 2 | ? m ? 1 , ∴ 1 ? m ? x ? 2 ? m ? 1 ,即 3 ? m ? x ? m ? 1 , ……………………………2 分

∵其解集为 [0, 4] ,∴ ?

?3 ? m ? 0 , m ? 3 . …………………………………5 分 ?m ? 1 ? 4

(Ⅱ)由(Ⅰ) a ? b ? 3 , ∵ (a ? b) ? a ? b ? 2ab ? (a ? b ) ? (a ? b ) ? 2(a ? b ) ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴ a 2 ? b2 ?

9 3 9 ,∴当且仅当 a ? b ? 时, a 2 ? b 2 取最小值为 .…………10 分 2 2 2
2 2 2 2 2 2

(方法二: )∵ (a ? b ) ? (1 ? 1 ) ? ( a ? 1 ? b ? 1) ? ( a ? b) ? 9 , ∴ a 2 ? b2 ?

9 3 9 ,∴当且仅当 a ? b ? 时, a 2 ? b 2 取最小值为 .……………10 分 2 2 2 3 2 9 9 ? , 2 2

(方法三: )∵ a ? b ? 3 ,∴ b ? 3 ? a , ∴ a 2 ? b 2 ? a 2 ? (3 ? a ) 2 ? 2a 2 ? 6a ? 9 ? 2(a ? ) 2 ?
11

∴当且仅当 a ? b ?

3 9 时, a 2 ? b 2 取最小值为 .………………………10 分 2 2

12


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