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【金版学案】2016高考数学二轮复习 专题6 解析几何 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线课件 文


随堂讲义
专题六 解析几何 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线

栏 目 链 接

高考热 点突破

突破点1 圆锥曲线的定义、几何性质与标准方程问题
x2 y2 如图,F1、F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点, a b A 是椭圆 C 的顶点,B 是直线 AF2 与椭圆 C

的另一个交点, ∠F1AF2 =60°. (1)求椭圆 C 的离心率. (2)已知△AF1B 的面积为 40 3,求 a, b 的值.

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1 = . 2

解析:(1)由题意可知,△AF1F2 为等边三角形,a=2c,所以 e

(2)解法一

a2=4c2,b2=3c2,

直线 AB 的方程为 y=- 3(x-c),
?8 3 3 ? ? 将其代入椭圆方程 3x +4y =12c ,解得 B c,- c?, 5 5 ? ?
2 2 2

?8 ? 16 所以|AB|= 1+3·?5c-0?= c. ? ? 5

1 1 16 3 2 3 2 由 S△AF1B= |AF1|·|AB|·sin∠F1AB= a· c· = a 2 2 5 2 5 =40 3,解得 a=10,b=5 3.

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解法二

设|AB|=t,

因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a, 由椭圆定义 |BF1|+|BF2|=2a 可知,|BF1|=3a-t. 再由余弦定理 8 (3a-t) =a +t -2atcos 60°可得,t= a. 5
2 2 2

1 8 3 2 3 2 由 S△AF1B= a· a· = a =40 3知, 2 5 2 5 a=10,b=5 3.

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(1)已知离心率,就是知道一个a,b,c的等式.
(2)与焦点相关的问题注意运用圆锥曲线的定义求解.

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?跟踪训练 x2 y2 1.如图,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),F1,F2 分别为椭圆的左、 a b 右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线 AF2 交椭圆于另一点 B. (1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率; → =2F → → ·AB → =3,求椭圆的方程. (2)若AF B , AF 2 2 1 2

主干考 点梳理

解析:(1)若∠F1AB=90°,则△AOF2 为等腰直角三角形,所以 有 OA=OF2,即 b=c.所以 a= 2c, c 2 e= = . a 2 (2)由题知 A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0), 其中,c= a2-b2,设 B(x,y). → =2F → 由AF 2 2B,得(c,-b)=2(x-c,y), 3c b 3c b 解得 x= ,y=- ,即 B( ,- ). 2 2 2 2 9 2 b2 c 4 4 x2 y2 将 B 点坐标代入 2+ 2=1,得 2 + 2=1, a b a b

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9c2 1 即 2+ =1,解得 a2=3c2.① 4a 4 3c 3b 3 → → 又由AF1·AB=(-c,-b)· ( ,- )= ,得 b2-c2=1,即有 2 2 2 a2-2c2=1.② 由①②解得 c2=1,a2=3,从而有 b2=2. x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 3 2

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突破点2 最值和定值问题

? 3? 已知,椭圆 C 过点 A?1,2?,两个焦点分别为(-1,0),(1,0). ? ?

(1)求椭圆 C 的方程. (2)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的 斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值.

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x2 y2 解析:(1)由题意,c=1,可设椭圆方程为 + 2=1. 1+b2 b 1 9 4 2 2 因为点 A 在椭圆上,所以 + = 1 ,解得 b = 3 或 b =- 2 3 1+b2 4b (舍去). x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 4 3 3 x2 y2 (2)证明:设直线 AE 的方程为 y=k(x-1)+ ,代入 + =1, 2 4 3
?3 ?2 ? 得(3+4k )x +4k(3-2k)x+4 2-k? -12=0. ? ?
2 2

? 3? ? 设 E(xE,yE),F(xF,yF).因为点 A 1,2?在椭圆上,所以 xE+1 ? ?

4k(3-2k) =- . 3+4k2

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所以 xE=

?3 ?2 4?2-k? -12 ? ?

3+4k

2

3 ,yE=kxE+ -k. 2

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以-k 代 k,可得
?3 ?2 4?2+k? -12 ? ? xF= , 3+4k2

3 yF=-kxF+ +k. 2 所以直线 EF 的斜率 kEF= = -k(xF+xE)+2k xF-xE yF-yE xF-xE

1 = . 2 1 即直线 EF 的斜率为定值,其值为 . 2

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解析几何中的最值问题涉及的知识面较广,解法灵活多样,

但最常用的方法有以下几种:
(1)利用函数,尤其是二次函数求最值.

(2)利用三角函数,尤其是正、余弦函数的有界性求最值.
(3)利用不等式,尤其是均值不等式求最值. (4)利用判别式法求最值. (5)利用数形结合,尤其是切线的性质求最值.

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?跟踪训练 x2 y2 2.(2015· 新课标Ⅱ卷)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 a b 为 2 ,点(2, 2)在 C 上. 2 (1)求 C 的方程; (2)直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M,证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率 乘积为定值.

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a2-b2 2 4 2 分析:(1) = , 2+ 2=1,求得 a2=8,b2=4,由此可 a 2 a b 得 C 的方程. (2)把直线方程与椭圆方程联立得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0, x1+x2 -2kb b yM 1 所以 xM= = 2 , yM=kxM+b= 2 于是 kOM= =- 2 xM 2k 2k +1 2k +1 1 ?kOM·k=- . 2

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a2-b2 2 4 2 解析:(1)由题意有 = , 2+ 2=1,解得:a2=8,b2 a 2 a b x2 y 2 =4,所以椭圆 C 的方程为 + =1. 8 4 (2)设直线 l: y=kx+b(k≠0, b≠0), A(x1, y1), B(x2, y2), M(xM, x2 y2 yM)把 y=kx+b 代入 + =1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0. 8 4 故 xM= x1+x2 -2kb b = 2 ,yM=kxM+b= 2 ,于是直线 OM 2 2k +1 2k +1 yM 1 1 =- ;即 kOM·k=- ,所以直线 OM 的斜率与 xM 2k 2

的斜率 kOM=

直线 l 的斜率乘积为定值.

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突破点3 求参数范围问题

如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直
线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.

(1)求轨迹 C 的方程. (2)设直线 y=x+m(m>0)与 y 轴相交于点 P,与轨迹 C 相交于 |PR| 点 Q,R,且|PQ|<|PR|,求 的取值范围. |PQ|

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解析:(1)设 M 的坐标为(x,y),当 x=-1 时,直线 MA 的斜率 不存在; 当 x=1 时, 直线 MB 的斜率不存在. 于是 x≠1 且 x≠-1.此时, MA 的斜率为 y y ,MB 的斜率为 . x+1 x-1

y y 由题意,有 · =4. x+1 x-1 化简可得,4x2-y2-4=0. 故动点 M 的轨迹 C 的方程为 4x2-y2-4=0(x≠± 1).

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? ?y=x+m, (2)由? 2 消去 y, 2 ? ?4x -y -4=0

可得 3x2-2mx-m2-4=0.① 对于方程①,其判别式

Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,
而当 1 或-1 为方程①的根时,m 的值为-1 或 1. 结合题设(m>0)可知,m>0 且 m≠1. 设 Q,R 的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),则 xQ,xR 为方程① 的两根. 因为|PQ|<|PR|,所以|xQ|<|xR|. m-2 m2+3 m+2 m2+3 xQ= ,xR= . 3 3

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|PR| ?xR? 所以 =? ?= |PQ| ?xQ? 2 2 此时

2 2 .

3 +1 m2 3 1+ 2-1 m 1+

=1+

3 1+ 2-1 m 1+

3 >1, 且 m2 2

1+

3 ≠2, 所以 1<1+ m2

2

< 3 1+ 2-1 m

2

3,且 1+ 2

5 ≠ , 3 3 1+ 2-1 m

|PR| ?xR? |PR| ?xR? 5 所以 1< =? ?<3,且 =? ? ≠ . |PQ| ?xQ? |PQ| ?xQ? 3 综上所述,
? 5? ?5 ? |PR| 的取值范围是?1,3?∪?3,3?. |PQ| ? ? ? ?

高考热 点突破 与圆锥曲线相关的参数问题是高考考查的热点问题.解决这类 问题常用以下方法: (1)根据题意建立参数的不等关系式,通过解不等式求出范围. (2)用其他变量表示该参数,建立函数关系,然后利用求值域的 相关方法求解. (3)建立某变量的一元二次方程,利用判别式求该参数的范围. (4)研究该参数所对应的几何意义,利用数形结合法求解.

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?跟踪训练 3.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,以两个焦点和短 轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为 8 的正方形(记为 Q). (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 P 是椭圆 C 的左准线与 x 轴的交点,过点 P 的直线 l 与 椭圆 C 相交于 M,N 两点,当线段 MN 的中点落在正方形 Q 内(包 括边界)时,求直线的斜率的取值范围.

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x2 y2 解析: (1)依题意,设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),焦 a b 1 距为 2c,由题设条件知,a2=8,b=c,所以 b2= a2=4. 2 x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 8 4 (2)椭圆 C 的左准线方程为 x=-4,所以点 P(-4,0). 显然直线 l 的斜率 k 存在,所以直线 l 的方程为 y=k(x+4). 如图,设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段 MN 的 中点为 G(x0,y0),

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?y=k(x+4), 由?x2 y2 ? 8 + 4 =1,
得(1+2k2)x2+16k2x+32k2-8=0.① 由Δ=(16k2)2-4(1+2k2)(32k2-8)>0,解得 - 2 2 <k< .② 2 2

16k2 因为 x1,x2 是方程①的两根,所以 x1+x2=- , 1+2k2 x1+x2 8k2 4k 于是 x0= =- , y = k(x + 4) = . 0 0 2 1+2k2 1+2k2 8k2 因为 x0=- ≤0,所以点 G 不可能在 y 轴的右边, 1+2k2

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又直线 F1B2,F1B1 方程分别为 y=x+2,y=-x-2, 所以点 G 在正方形 Q 内(包括边界)的充要条件为
? ?y0≤x0+2, ? ? ?y0≥-x0-2,

? 即? 4k 8k ≥ ?1+2k 1+2k -2,
2 2 2 2 ? ?2k +2k-1≤0, 亦即? 2 ?2k -2k-1≤0. ?

4k 8k2 ≤- +2, 1+2k2 1+2k2

解得-

3-1 3-1 ≤k≤ ,此时②也成立. 2 2

? 3-1 3-1? ?. 故直线 l 斜率的取值范围是?- , 2 2 ? ?

高考热 点突破 突破点4 圆锥曲线的综合问题
x2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 a b 右焦点分别为 F1,F2.F2 也是抛物线 C2:y2=4x 的焦点,点 M 为 C1 5 与 C2 在第一象限的交点,且|MF2|= . 3 (1)求椭圆 C1 的方程; → =MF → +MF → ,直线 l∥MN,且与 C (2)平面上的点 N 满足MN 1 2 1 → ·OB → =0,求 l 的方程. 交于 A,B 两点,若OA

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解析:(1)由 C2:y2=4x 知 F2(1,0). 设 M(x1,y1),M 在 C2 上, 5 5 因为|MF2|= ,所以 x1+1= , 3 3
?2 2 6? 2 2 6 ?. 得 x1= ,y1= .所以 M? , 3 3 3 3 ? ?

又点 M 在 C1 上,且椭圆 C1 的半焦距 c=1,

? 4 2+ 8 2=1, 于是?9a 3b ?b2=a2-1,
消去 b2 并整理得 9a4-37a2+4=0.

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? ? 1 ? 解得 a=2 a=3不合题意,舍去?. ? ?

故 b2=4-1=3. x2 y2 故椭圆 C1 的方程为 + =1. 4 3 → +MF → =MN → 知四边形 MF NF 是平行四边形,其中心 (2)由MF 1 2 1 2 为坐标原点 O,因为 l∥MN,所以 l 与 OM 的斜率相同. 2 6 3 故 l 的斜率 k= = 6. 2 3 设 l 的方程为 y= 6(x-m).
2 2 ? ?3x +4y =12, 由? 消去 y 并化简得 ? ?y= 6(x-m)

9x2-16mx+8m2-4=0.

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设 A(x1,y1),B(x2,y2), 8m2-4 16m 则 x1+x2= ,x1x2= . 9 9 → ·OB → =0,所以 x x +y y =0, 因为OA 1 2 1 2 x1x2+y1y2=x1x2+6(x1-m)(x2-m) =7x1x2-6m(x1+x2)+6m2 8m2-4 16m 1 2 =7· -6m· +6m = (14m2-28)=0. 9 9 9 所以 m=± 2.此时Δ=(16m)2-4×9(8m2-4)>0,故所求直线 l 的方程为 y= 6x-2 3或 y= 6x+2 3.

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平面向量作为数学解题工具,常与平面解析几何综合考查,
因为平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份,能融数 形于一体,把向量的关系,即形的关系转化为数的关系.

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?跟踪训练 4.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(2,0),B(-2,0),点 3 P 是平面内一动点,直线 PA,PB 的斜率之积为- . 4 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;
?1 ? (2)过点?2,0?作直线 l 与轨迹 C 交于 E,F 两点,线段 EF 的中 ? ?

点为 M,求直线 MA 的斜率 k 的取值范围.

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解析:(1)设点 P(x,y),则依题意,得 y y 3 kPA·kPB= · =- (x≠±2). 4 x-2 x+2 x2 y 2 化简,得 + =1(x≠± 2). 4 3 x2 y2 故动点 P 的轨迹 C 的方程为 + =1(x≠± 2). 4 3 (2)依题意,可设点 M(x,y),E(x+m,y+n),F(x-m,y-n), (x+m)2 (y+n)2 + =1, 4 3 4mx 4ny 则 两式相减,得 + =0. 2 2 4 3 (x-m) (y-n) + =1. 4 3

? ? ?

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1 当直线 l 垂直于 x 轴时,M( ,0).当直线 l 不垂直于 x 轴时,由 2 n 3x y-0 题意可得 kEF= =- = .由此得点 M 的轨迹方程为 6x2+8y2 m 4y 1 x- 2 -3x=0(x≠0).
? ?y=k(x-2), 设直线 MA: y=k(x-2), 则? 2 ?(8k2+6)x2-(32k2 2 ? ?6x +8y -3x=0

+3)x+32k2=0. 故由Δ=(32k2+3)2-4(6+8k2)· 32k2≥0?k2≤
? 1 1? 解得 k 的取值范围是?-8,8?. ? ?

1 . 64

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1.正确区分椭圆、双曲线标准方程中 a,b,c 三者之间的数量 关系. x2 y2 2.方程 + =1 表示双曲线的充要条件是 mn<0. m n 3.理解圆锥曲线的概念,便于用定义法将某些实际问题转化为 圆锥曲线问题. 4.重视解析几何中的最值问题. 5.解题中认真领会数形结合思想、分类讨论思想. 6.注意解析几何与向量、三角、代数结合的综合性问题.


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